Números imaginarios. Unidad imaginaria. Números imaginarios. Un número imaginario se denota por bi, donde: besunnúmeroreal i es la unidad imaginaria

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1 Números Complejos

2 Números imaginarios Unidad imaginaria Launidadimaginariaeselnúmero ysedesignaporlaletrai. Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi, donde: besunnúmeroreal i es la unidad imaginaria

3 Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. Ejemplo: x = 0

4 Potencias de la unidad imaginaria i 0 = 1 i 1 =i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 Losvaloresserepitendecuatroencuatro,por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Ejemplo:

5 Números complejos en forma binómica Alnúmeroa+bilellamamosnúmerocomplejoenformabinómica. Elnúmeroaeslaparterealdelnúmerocomplejo. El número b es la parte imaginaria del número complejo. Sib=0elnúmerocomplejosereduceaunnúmerorealyaquea+0i=a. Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. El conjunto de todos números complejos se designa por.

6 Losnúmeroscomplejosa+biy-a-bisellamanopuestos. Losnúmeroscomplejosz=a+biyz=a bisellamanconjugados. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria. Representación de números complejos Los números complejos se representan a través de los ejes cartesianos. ElejeXsellamaejereal. ElejeYsellamaejeimaginario. Elnúmerocomplejoa+biserepresenta:

7 1.- Por el punto (a, b), que se llama suafijo.

8 2.- Medianteunvectordeorigen(0,0)yextremo(a,b).

9 Losafijosdelosnúmerosrealessesitúansobreelejereal,X. Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.

10 Operaciones con números complejos La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente. (a+bi) + (c+di) =(a + c)+(b+d)i (a+bi) (c+di) =(a c)+(b d)i Ejemplo: (5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i) = (5 8 4) + ( )i= 7 + 7i

11 Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del productorespectodelasumayteniendoencuentaquei 2 = 1. (a + bi) (c + di) =(ac bd) + (ad + bc)i Ejemplo: (5 + 2i) (2 3i) = 10 15i+ 4i 6i2 = 10 11i+ 6 =16 11i

12 División de números complejos El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este. Ejemplo:

13 Números complejos en forma polar y trigonométrica Módulo de un número complejo El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por z.

14 Argumento de un número complejo Elargumentodeunnúmerocomplejoeselánguloqueformaelvectorconelejereal. Sedesignaporarg(z). Para calcular el argumento, calculamos el arco tangente de b/a prescindiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

15 Expresión de un número complejo en forma polar z = r z =r (reselmódulo) α arg(z)=α (αeselargumento) Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica: z = 2 120º z = r α = r (cosα +isen α) Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica:

16 Reales e imaginarios puros de módulo unidad: z =1 0º =1 z =1 180º = 1 z =1 90º =i z =1 270º = i Ejemplos de pasar de la forma binomial a la forma polar:

17

18 Números complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos Números complejos iguales Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

19 Números complejos conjugados Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos. Números complejos opuestos Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

20 Números complejos inversos El inverso de un número complejo no nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

21 Operaciones con números complejos en forma polar y trigonométrica Multiplicación de complejos en forma polar La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que: Sumóduloeselproductodelosmódulos. Suargumentoeslasumadelosargumentos. Ejemplo:

22 Producto por un complejo de módulo 1 Al multiplicar un número complejo z = r α por 1 β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

23 División de complejos en forma polar La división de dos números complejos es otro número complejo tal que: Sumóduloeselcocientedelosmódulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos. Ejemplo:

24 Potencia de complejos en forma polar Potencia de números complejos La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que: Su módulo es la potencia n ésima del módulo. Suargumentoesnveceselargumentodado. Ejemplo:

25 Ejemplo: Fórmula de Moivre

26 Raíz enésima de complejos en forma polar Raíz de números complejos La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que: Su módulo es la n raíz enésima del módulo. Su argumento es:

27 Ejemplo:

28

29

30 Coordenadas cartesianas y polares Conversión de coordenadas polares a cartesianas x=r cosα y=r senα

31 Ejemplo: Reales e imaginarios puros de módulo unidad: 1 0 =(1, 0) =( 1, 0) 1 90 =(0, 1) = (0, 1)

32 Conversión de coordenadas cartesianas a polares

33 Ejemplos:

34 Forma trigonométrica Números complejos en forma trigonométrica a + bi =r α = r (cosα +isen α)

35 Formas de escritura de un complejo Binómica z = a + bi Polar z = r α Trigonométrica z = r (cosα +isen α) Ejemplos de pasar a la forma polar y trigonométrica:

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