Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Transcripción

1 u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo es ua epresió del tipo: a+bi, dode a y b so úmeros reales y la letra i se le cooce como la uidad imagiaria. Co la propiedad de que i -, por lo tato i siedo a+bi, se le cooce a a como la parte real de y b la parte imagiaria de, coocido como Re() e Im(), respectivamete. A se le cooce como variable compleja y puede represetar elemeto del cojuto de los úmeros complejos. Propiedades de los úmeros complejos a. Dos úmeros complejos a+bi y c+di so iguales si y solo si ab, y cd Se podría cosiderar a los úmeros reales como u subcojuto de los úmeros complejos, esto es cuado b0 Ejemplo: 0+0i y -3+0i represeta los úmeros reales 0 y 3 respectivamete. Si a0 se cosidera u úmero imagiario puro a 0+bi b. Cojugado Complejo, o cojugado simplemete de u úmero a+ bi es el úmero a-bi Siedo u úmero complejo, su cojugado se represeta como: Operacioes fudametales etre úmeros Complejos: a. Adició (Suma) (a+bi) + (c+di) (a+c) + (b+d)i * b. Sustracció (Resta) (a+bi) - (c+di) (a-c) + (b-d)i c. Multiplicació (a+bi) * (c+di) a * (c+di) + bi * (c+di) ac + adi + bci + bdi (ac-bd) + (ad+bc)i d. Divisió a + bi c + di a + bi c di * c + di c di ac adi + bci bdi c d i ac + bd + ( bc ad) i c + d ac + bd c + d bc ad + i c + d ACAP 03

2 u_miii.doc VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o módulo de u úmero complejo a+bi está defiido por: a + bi a + b Si,, 3 so úmeros complejos, etoces so válidas las siguietes propiedades. Km L m Para K+ Km + + m O bie, + Podemos cosiderar u úmero complejo como u par ordeado (a,b) de úmeros reales a y b Podemos maejar defiicioes de tal maera que:. Igualdad (a, b) (c, d) a c, b d. Suma (a, b) + (c, d) (a + c, b + d) 3. Producto (a, b). (c, d) (a c b d, a d + b c) Y m(a,b) ma, mb De lo cual se puede demostrar que (a,b)a(,0) + b(0,) y asociado esto co a + bi dode i es realmete el símbolo (0,) co la propiedad de que i (0,)(0,)(-,0), el cual se puede ACAP 03

3 u_miii.doc cosiderar equivalete al úmero real - y (,0) se pude cosiderar equivalete al úmero real. La pareja ordeada (0,0) correspode al úmero real 0 CONJUGADO Siedo a+bi, el cojugado deomiado Ƶ a-bi Propiedades básicas: c c c + d c + d cd c* d c es u úmero real c c c c es u úmero real o egativo y cc 0 c0 Al plao complejo se le cooce como plao Z, dode el eje, es el eje real, y el eje y el eje imagiario. A cada úmero complejo le correspode u solo úmero e el plao, y viceversa. Siedo: Z +iy Z +iy La distacia etre dos putos está defiida por ( ) + ( y ) y FORMA TRIGONOMETRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Si P es u puto e el plao complejo (tambié llamado Diagrama de Argad), (,y) o +iy. R es la hipoteusa del triágulo rectágulo formado por los catetos y y r cos θ y r se θ dode : r + y + iy 3 ACAP 03

4 u_miii.doc a r se le cooce como módulo o valor absoluto deotado por mod o, y θ es la amplitud o argumeto de + iy deotado por arg es el águlo que forma el vector formado por el puto del úmero complejo y el orige. De lo aterior se deduce que + iy r (cos θ +ise θ), Llamada la forma trigoométrica o polar de úmero complejo, r y θ se cooce como las coordeadas polares. E alguas ocasioes se abrevia r cis θ Para cualquier úmero complejo 0 correspode u solo valor de θ e 0< θ <π y P(,y) r σ TEOREMA DE D MOIVRE Si + iy r (cos θ +ise θ ) y + iy r (cos θ +ise θ ) r r (cos (θ + θ ) + i se(θ + θ ) / (r /r )(cos (θ - θ ) + i se(θ - θ )) si 3 4 geeraliado: (r (cos θ+ise θ)) (r (cos θ+ise θ)) a lo que se cooce como el teorema de D Moivre 4 ACAP 03

5 u_miii.doc RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO U úmero w es llamado raí -ésima de u úmero complejo Z si w Z y se escribe como w / Del teorema de D Moivre podríamos demostrar que si es u etero positivo / (r (cos θ+ise θ)) / r / (cos (θ+πk)/+ise (θ+πk)) para k0,,,.., - de lo cual se deduce que hay valores diferetes para / es decir diferetes raíces -ésimas de, si es diferete de 0 FORMULA DE EULER E base a la serie ifiita e + + +! 3 3! ! 5 5! 6 + 6! +...! Sustituyedo iσ Serie de coseos: 4 6 σ σ σ ! 4! 6! Serie de seos: 3 5 σ σ i( σ ) 3! 5! Se puede llegar al resultado de σ e i cos σ + iseσ dode e.788 Llamada fórmula de Euler.. + iy iy E geeral se defie: e e e e e (cos y + isey) Tambié podemos observar que Ecuacioes Poliómicas: ( e iσ ) e iσ Frecuetemete ecesitamos resolver ecuacioes poliómicas de la forma: a + a + a... + a + a0 0 5 ACAP 03

6 u_miii.doc Dode a 0 0 y a, a a so úmeros complejos dados y es u etero positivo llamado el grado de la ecuació Tales solucioes se llama ceros del poliomio o raíces de la ecuació. Teorema sobre ceros racioales de u poliomio: Si el poliomio f ( ) a + a + a... + a + a0 Tiee coeficietes eteros y c/d es u cero racioal de f() tal que c y d o posea u factor primo comú, etoces: ) El umerador c del cero es u factor del térmio costate a o ) El deomiador d del cero es u factor del coeficiete iicial a Recordar el siguiete cociete: Posibles ceros racioales es igual a los factores del térmio costate a o etre los factores del coeficiete iicial a El teorema sobre ceros racioales se puede aplicar a ecuacioes co coeficietes racioales multiplicado ambos lados de la ecuació por el MCD de todos los coeficietes para obteer ua ecuació co coeficietes eteros. 6 ACAP 03