7. Máquinas Síncrónicas

Transcripción

1 7. Máqunas Síncróncas 7.1 Introduccón Las máqunas sncróncas (o sncróncas) son maqunas cuyo estator se encuentra almentado por corrente alterna, en tanto el rotor tene almentacón contnua ya sea a través de un enrollado de campo o ben medante manes permanentes. En térmnos práctcos, las máqunas sncróncas tenen su mayor aplcacón en potencas elevadas, partcularmente como generadores ya sea a bajas revolucones en centrales hdroeléctrcas, o ben a altas revolucones en turbnas de vapor o gas. Cuando la máquna se encuentra conectada a la red, la velocdad de su eje depende drectamente de la frecuenca de las varables eléctrcas (voltaje y corrente) y del número de polos. Este hecho da orgen a su nombre, ya que se dce que la máquna opera en sncronsmo con la red. Por ejemplo, una máquna con un par de polos conectada a una red de 50 [Hz] grará a una velocdad fja de 000 [RPM], s se tratara de una máquna de dos pares de polos la velocdad sería de 1500 [RPM] y así sucesvamente, hasta motores con 40 o más pares de polos que gran a bajísmas revolucones. En la operacón como generador desacoplado de la red, la frecuenca de las correntes generadas dependen drectamente de la velocdad mecánca del eje. Esta aplcacón ha sdo partcularmente relevante en el desarrollo de centrales de generacón a partr de recursos renovables como la energía eólca. Las máqunas sncróncas tambén se emplean como motores de alta potenca (mayores de [HP]) y bajas revolucones. Un ejemplo partcular de estas aplcacones es al nteror de la ndustra mnera como molnos semautógenos (molnos SAG) o como descortezadores de la ndustra maderera. Adconalmente a la operacón como motor y generador, el control sobre la almentacón del rotor hace que la máquna sncrónca pueda operar ya sea absorbendo o nyectando reactvos a la red en cuyo caso se conocen como reactor o condensador síncrónco respectvamente. Partcularmente este últma aplcacón es utlzada para mejorar el factor de potenca del sstema eléctrco el cual tende a ser nductvo debdo a las característcas típcas de los consumos. En el presente capítulo se descrbe el prncpo de funconamento de la máquna sncrónca tanto como generador, motor, condensador y reactor y se detalla su modelo matemátco a través de dos ejes fctcos denomnados ejes drecto y en cuadratura. Además se comentan algunos aspectos constructvos de este tpo de máqunas y se explca el modelo equvalente de esta máquna junto a su comportamento en régmen permanente. 1

2 7.. Prncpo de funconamento del generador sncrónco Generador desacoplado de la red. Consdérese un generador monofásco como el de la fgura 7.1. El rotor del generador consste en un mán permanente que genera un campo magnétco B constante y se encuentra rotando (gracas a una máquna mpulsora externa) a una velocdad angular. S medmos la tensón e(t) se observa la curva snusodal mostrada a la derecha de la Fgura 7.1 e(t) E max e(t) S N = t t -E max Fgura 7.1. Generador monofásco desacoplado de la red El gro del eje del rotor hace que el flujo enlazado por la bobna del estator sea varable de modo que la tensón generada en sus termnales se debe a la varacón temporal de dcho flujo, es decr: e N t Suponendo que el flujo enlazado tene la forma BAcos( t), el voltaje nducdo es et () kb sen( t) E sen( t) (7.1) max Donde: k es una constante de dseño de la máquna (depende del área de la seccón A, del número de vueltas N y en general de la geometría del enrollado). B es la densdad de flujo magnétco generada por el rotor. es la velocdad mecánca del rotor. De acuerdo con la ecuacón (7.1), la tensón nducda en los termnales de la bobna del estator corresponde a una snusode de frecuenca equvalente a la velocdad de gro del eje y magntud proporconal a la densdad de flujo magnétco.

3 La ecuacón 7.1 revela que s es posble controlar el campo B entonces es posble controlar el valor máxmo del voltaje nducdo. Esto se logra agregando un enrollado en el rotor, el cual se almenta con una corrente contínua I R, según se muestra en la Fgura 7. e(t) E max e(t) S N I R = t -E max t Fgura 7.. Generador monofásco desacoplado de la red Ahora el flujo enlazado se relacona con las dos correntes a través de la ecuacón L 11 L1I, en donde L R 11 es la nductanca propa y L 1 es la nductanca mutua. Dado que las nductancas son funcón de la poscón, el flujo enlazado por el enrollado de estator es funcón del ángulo y de la corrente I R. Con ello le fem nducda tene la expresón L11 I R L1 e L11 L1 I R t t t t t L11 I R L1 e L11 L1 I R t t t t I Sabemos que la corrente I R del rotor es constante, luego R 0. Con ello podemos t escrbr L11 L1 e L11 I R t Supongamos ahora que las nductancas se pueden aproxmar medante las sguentes expresones: L11 L l sn L M sn Luego, la expresón para el voltaje nducdo es 1

4 e ( L l sn ) l cos I RM cos t y dado que t podemos escrbr, e ( L l sn t) l cost I RM cost t Para nterpretar esta ecuacón haremos una smplfcacón adconal. Supondremos que el rotor es clíndrco, con ello en la expresón de L 11 desaparece la componente l varante con el ángulo. Obtenemos: e L I RM cost t Esta ecuacón ndca que el voltaje nducdo tene dos componentes. La prmera es la expresón usual que relacona el voltaje nducdo con la nductanca propa, mentras que el segundo relacona el voltaje nducdo con la velocdad (y el ángulo) de gro del rotor. A medda que aumenta I R aumenta el voltaje nducdo y vceverza. En la stuacón más senclla cuando el generador esta en vacío, no hay corrente y el voltaje nducdo es e vaco E I M cost R Un crcuto equvalente de este generador, se muestra en la Fgura 7. + jxe e E - Fgura 7. Modelo eléctrco de un generador monofásco. La reactanca corresponde a la nductanca propa del estator, es decr, jxe =jl. Este modelo es smlar al que obtendremos para el generador sncrónco de rotor clíndrco en las seccones sguentes. Cuando el rotor no es clíndrco, es decr, cuando l 0 no es posble obtener un crcuto eléctrco equvalente. Más adelante veremos que este caso corresponde al generador de polos salentes. S en lugar de una bobna, se stúan enrollados en el estator espacados físcamente en 10º geométrcos, entonces el resultado es un generador trfásco cuyos voltajes estarán desfasados en 10º uno respecto del otro y tendrán una frecuenca eléctrca equvalente a la velocdad de gro del eje. 4

5 Dado que la frecuenca del voltaje generado es gual a la velocdad angular de gro, c deseamos obtener una frecuecna de 50Hz se requre hacer grar el rotor a n=50*60=000 [rpm]. Esta velocdad de gro es muy elevada, sobretodo s deseamos usar un flujo de agua para darle mpulso al eje del generador medante una turbna hdráulca. Por ello en la práctca se recurre a un artfco técnco que permte entregar la msma frecuenca eléctrca con velocdades menores, la cual consste en aumentar el número de polos en el rotor. Se obtene que en el caso de un generador con más pares de polos, la frecuenca eléctrca será equvalente a: np f Hz (7.) 10 Donde: f es la frecuenca eléctrca. n es la velocdad de gro del eje en [RPM]. p es el número de polos del generador Generador conectado a la red. S el generador se encuentra conectado a la red eléctrca, la frecuenca de los voltajes y correntes generados quedan mpuestas por la red al gual que la velocdad de gro del eje. Esta últma dependerá del del número de pares de polos que posea la máquna de acuerdo a la ecuacón: 10 f n RPM (7.) p Donde: f es la frecuenca eléctrca de la red a la que está nterconectada el generador. n es la velocdad de gro del eje. p es el número de polos del generador. En esta condcón, la potenca mecánca aplcada al eje no varará la velocdad del rotor sno que se transformará en potenca eléctrca que será entregada a la red. El factor de potenca, con que la red va a recbr la potenca mecánca aplcada al eje, va a depender de la corrente de exctacón de la máquna. De este modo, s la corrente de exctacón es baja (la máquna se encuentra subexctada) la tensón nducda será baja y por lo tanto el generador necestará consumr reactvos para operar a certa potenca actva, contraramente s el generador está sobrexctado se entregarán reactvos a la red. En medo de estas dos condcones de operacón es factble hacer funconar la máquna con factor de potenca untaro (1). ( 1 ) En seccones posterores se analzarán estas formas de operacón. 5

6 7.. Prncpo de funconamento del motor síncrono. Al gual que la máquna de nduccón el estator de la máquna sncrónca se encuentra almentado con correntes alternas. Esto hace que se produzca un campo magnétco rotatoro el cual nduce en los enrollados de estator una fuerza magnetomotrz dada por la ecuacón () : Fe Fmcost (6.5) Donde: F e es la fuerza magnetomotrz del estator. F m es la fuerza máxma equvalente a N I max (N es el número de vueltas de las bobnas del estator e I max el valor máxmo de la corrente de almentacón) es la velocdad sncrónca. es el ángulo que determna la poscón del punto del entreherro donde se está calculando la fuerza magnetomotrz. La expresón anteror mplca que el máxmo de la fuerza magnetomotrz (cuando cost 0 ) se desplaza a través del entreherro a velocdad, es decr a la velocdad sncrónca. Esta velocdad sncrónca, tambén denotada como s, corresponde a la frecuenca de la red cuando la máquna posee un par de polos o a cuando la máquna tene "p" polos. p En el caso del rotor de la máquna sncrónca, éste se encuentra almentado por una corrente contnua (o ben tene manes permanentes) lo cual hace que el fuerza magnetomotrz del rotor sea de magntud constante y se encuentre fja a él. En estas condcones, el campo magnétco del rotor tende a alnearse con el campo magnétco rotatoro de estator hacendo que el eje gre a la velocdad sncrónca. La expresón para el torque nstantáneo de la máquna está dado por: () t K F F sen( ) (7.4) T e r Donde: K T es una constante de dseño de la máquna. F e es la fuerza magnetomotrz del estator. F r es la fuerza magnetomotrz del rotor. es el ángulo entre las fuerzas magnetomotrces del estator y rotor. () Para mayor detalle de cómo se obtene esta fórmula convene revsar el capítulo anteror, seccón

7 De la expresón (7.4) es factble comprobar que la exstenca de torque medo está supedtada a la condcón de que el ángulo entre las fuerzas magnetomotrces () sea constante, lo cual se cumple ya que ambos campos magnétcos gran a la velocdad sncrónca. Adconalmente, la magntud del torque dependerá del valor del ángulo entre las fuerzas magnetomotrces sendo este valor máxmo cuando = 90º (caso teórco). Conforme a lo anteror, en el caso del motor síncrono, la característca torque velocdad es la que se muestra en la fgura 7.. De la fgura es posble aprecar que este tpo de motor no posee torque de partda por lo cual requere de mecansmos adconales que permtan el arranque hasta llevarlo a la velocdad sncrónca. T T max s -T max Fgura 7.. Característca Torque velocdad del motor síncrono 7

8 7.4. Operacón en los cuatro cuadrantes. La fgura 7. muestra la operacón de una máquna sncrónca en los cuatro cuadrantes de un dagrama P-Q. En el dagrama se consdera potenca actva postva cuando ésta es sumnstrada a la red, con lo cual los cuadrantes I y IV corresponden a la máquna operando como generador. En el caso de la potenca reactva, ésta es postva s se está nyectando a la red, lo cual se consgue en los cuadrantes I y II. Generador IV (P 5,0) P (P 1,Q 1 ) I (P 4,Q 4 ) Absorve Q (0,Q 6 ) (0,Q 5 ) Q Inyecta Q (P,Q ) (P,Q ) (P 6,0) III II Motor Fgura 7.. Operacón de la máquna sncrónca en el dagrama P-Q Los puntos señalados en el dagrama corresponden a las condcones de operacón defndas en la Tabla 1. Tabla 1: Operacón de la máquna sncrónca en el dagrama P-Q PUNTO OPERACIÓN (P 1,Q 1 ) Generador sobrexctado o generador nductvo (P 1 >0, Q 1 >0) (P,Q ) Motor sobrexctado o motor capactvo (P <0, Q >0) (P,Q ) Motor subexctado o motor nductvo (P <0, Q <0) (P 4,Q 4 ) Generador subexctado o generador capactvo (P 4 >0, Q 4 <0) (0,Q 5 ) Condensador síncrono (P=0, Q 5 >0) (0,Q 6 ) Reactor síncrono (P=0, Q 6 <0) 8

9 (P 5,0) Generador operando con factor de potenca untaro (P 5 >0, Q=0) (P 6,0) Motor operando con factor de potenca untaro(p 6 <0, Q=0) En el caso partcular de la máquna sncrónca operando como generador (su confguracón más amplamente utlzada), es posble establecer un dagrama de operacón práctco como el que muestra la fgura 7.4. =90º (límte teórco) <90º (límte práctco) P Tensón Generada Máxma Corrente de Armadura Máxma Potenca Actva Máxma Tensón Generada Mínma Q Fgura 7.4. Dagrama de operacón de un generador síncrono. En la fgura, el área coloreada en amarllo corresponde a la zona donde el generador es factble de ser operado, los límtes están dados por condcones práctcas tales como: Máxmo ángulo entre las fuerzas magnetomotrces: el límte teórco, tal como muestra la ecuacón (7.4), es 90º, sn embargo en la práctca se opera con ángulos menores ya que se debe garantzar la establdad en la operacón (s el ángulo llegase a sobrepasar los 90º la máquna se sale de sncronsmo y se acelera pelgrosamente). Potenca actva máxma: corresponde al límte de potenca actva que es capaz de entregar la máquna operando en condcones nomnales (límte dado por el fabrcante del generador). Tensón generada mínma y máxma: el generador requere una exctacón mínma en el rotor para poder generar tensón y puede generar hasta un límte práctco dado por la máxma corrente rotórca de la máquna. Máxma corrente de estator (armadura): corresponde al límte de corrente que puede crcular por la armadura en condcones nomnales. Exceder este límte perjudca la vda útl de la máquna debdo al calentamento y posble fallas en aslacones de la máquna. 9

10 7.5. Característcas constructvas Característcas del estator Dada la almentacón alterna de la armadura, el estator de la máquna sncrónca es muy smlar al estator de la máquna de nduccón, por lo cual las característcas constructvas del msmo no se repetrán en esta seccón () Característcas del rotor El rotor de una máquna sncrónca puede estar conformado por: Imanes permanentes Rotor de polos salentes Rotor clíndrco Los manes permanentes representan la confguracón más smple ya que evta el uso de anllos rozantes para almentar el rotor, sn embargo su aplcacón a altas potencas se encuentra lmtada ya que las densdades de flujo magnétco de los manes no es, por lo general, alta. Adconalmente, los manes permanentes crean un campo magnétco fjo no controlable a dferenca de los rotores con enrollados de exctacón donde se puede controlar la densdad de flujo magnétco. Dentro de los rotores con enrollados de exctacón se tenen los de tpo clíndrco y los de polos salentes, ambos lustrados en la fgura 7.5. La fgura 7.5(a) muestra el dagrama del estator de una máquna sncrónca, la fgura 7.5(b) corresponde a un rotor de polos salentes, en tanto que el dbujo 7.5(c) muestra el esquema de un rotor clíndrco. Por su parte, en las fguras 7.5(d) y (e) se observan la aparenca de una máquna sncrónca vsta desde fuera y la representacón de los enrollados de rotor y estator, respectvamente. Los detalles de las característcas constructvas del estator se descrben en la seccón 6. del capítulo anteror. 10

11 Fgura 7.5. Rotores de máquna sncrónca Desde el punto de vsta de modelamento el rotor clíndrco es bastante más smple que el rotor de polos salentes ya que su geometría es completamente smétrca. Esto permte establecer las relacones para los voltajes generados respecto de las nductancas mutuas del rotor y estator, las cuales son constantes. En el caso del rotor de polos salentes, su geometría asmétrca provoca que el modelamento de las nductancas propas de estator y rotor, así como las nductancas mutuas entre ambos, tengan un desarrollo analítco bastante complejo Generadores síncronos. Dependendo de la aplcacón los generadores síncronos tenen característcas constructvas bastante dferentes: En el caso de generadores de centrales hdroeléctrcas se utlzan máqunas de eje vertcal, con un rotor de polos salentes corto pero de gran dámetro. Puesto que la velocdad de rotacón es bastante lenta (00-50 [RPM]) se requere de un gran número de polos para efectuar la generacón. En el caso de centrales térmcas o de cclo combnado se emplean máqunas de eje vertcal con un rotor clíndrco largo pero de poco dámetro. Estas característcas constructvas permten que el eje del generador rote a altas velocdades, ya sea o.000[rpm] dependendo del numero de polos (usualmente dos). 11

12 Motores síncronos. De acuerdo con lo estudado, los motores síncronos no pueden arrancar en forma autónoma lo cual hace que requeran mecansmos adconales para la partda: Una máquna propulsora externa (motor auxlar). Barras amortguadoras. Partcularmente en el segundo caso, se ntenta aprovechar el prncpo del motor de nduccón para generar torque a la partda. Constructvamente, en cada una de las caras polares del rotor (polos salentes), se realzan calados donde se colocan una barras, denomnadas amortguadoras, que le dan al rotor una característca smlar a los segmentos tpo jaula de ardlla del motor de nduccón (ver fgura 7.6). Barras amortguadoras Fgura 7.6. Barras amortguadoras en motor síncrono De este modo, el motor se comporta como una máquna de nduccón hasta llegar a la velocdad sncrónca. Es mportante notar que el crcuto de compensacón se construye de modo que el campo magnétco rotatoro nducdo en el rotor sea débl comparado con el campo magnétco fjo del rotor (producdo por la almentacón con corrente contnua). De este modo se evta que el efecto de nduccón perturbe la máquna en su operacón normal. 1

13 7.6. Ejes drecto y en cuadratura El estudo del comportamento de las máqunas sncróncas se smplfca al consderar dos ejes fctcos denomnados eje drecto y eje en cuadratura, que gran soldaros al rotor a la velocdad de sncronsmo (ver fgura 7.7): El eje drecto es aquel que se defne en la dreccón Norte-Sur del rotor, con su orgen en el centro magnétco y en dreccón haca el Norte. El eje en cuadratura tene el msmo orgen que el anteror pero su dreccón es perpendcular a éste. Las correntes por ambos enrollados fctcos (I d e I q ) están desfasadas en 90º eléctrcos y la suma de ambas es equvalente a la corrente por fase en los enrollados reales. q (Eje en cuadratura) d (Eje drecto) N S Fgura 7.7. Ejes drecto y en cuadratura El uso de estos enrollados fctcos permte smplfcar el análss de las máqunas sncróncas. En partcular, en el caso de la máquna con rotor clíndrco que posee una geometría smétrca es posble establecer un crcuto eléctrco equvalente para defnr el comportamento de esta máquna. En el caso del rotor de polos salentes, s ben no se puede esquematzar el comportamento de la máquna a través de un crcuto eléctrco equvalente, el empleo de los ejes drecto y en cuadratura contrbuye a smplfcar notablemente el desarrollo analítco y las ecuacones debdo a que permte ndependzarse del ángulo de poscón entre el rotor y los ejes de las fases. En la seccón sguente se presenta el desarrollo analítco del comportamento de la máquna de polos salentes (más compleja) y posteror a ello se analza el comportamento de la máquna con rotor clíndrco a partr de su crcuto equvalente. 1

14 7.7. Flujos enlazados en las bobnas del rotor y estator Para llevar a cabo el desarrollo de las ecuacones que defnen los flujos enlazados del rotor y estator de la maquna sncronía, se han realzado las sguentes smplfcacones: Los enrollados del estator tenen una dstrbucón snusodal a lo largo del entre herro. Las ranuras del estator causan una no desprecable varacón en la nductanca con respecto a la varacón de la poscón del rotor La hstéress magnétca es desprecable Los efectos de la saturacón magnétca son desprecables Las smplfcacones a), b), y c) son razonables. Y su prncpal justfcacón vene dada por la comparacón de los resultados teórcos obtendos y medcones del funconamento de las maqunas. La smplfcacón d) está mas ben echa por convenenca del análss, esto ya que no sempre es partcularmente certo la línealdad de las relacones flujo-corrente. a Eje de la fase a d a q I fd I a I kq e fd c b Crcutos amortguadores I kd c I c I b b Estator Rotor Fgura 7.8. Crcutos de estator y rotor En la fgura 7.8 se muestra el crcuto relaconado con el análss de la maquna sncrónca. En el crcuto del estator se muestran los enrollados y las correntes pertenecentes a cada una de las tres fases. En el dagrama del rotor se muestra el enrollado del campo que está conectado a una fuente de corrente contnua y los enrollados de amortguacón, que se modelan cortocrcutados El ángulo esta defndo como el ángulo entre el eje drecto y el centro del enrollado de la fase a, en la dreccón de rotacón. De este modo, el ángulo crece en forma contnua y se relacona con la velocdad angular y el tempo a través de t. 14

15 De la msma fgura podemos establecer las sguentes varables: Tabla : Varables eléctrcas y magnétcas de una máquna sncrónca VARIABLE DEFINICIÓN e, e, e voltaje nstantáneo en el estator (fase neutro) a a b b c c,, corrente nstantánea en las fases a, b, y c e fd fd voltaje en el campo del rotor corrente en el crcuto de campo kd, kq corrente en los crcutos amortguadores Laa, Lbb, Lcc nductanca propas de los enrollados del estator Lab, Lbc, Lca nductancas mutuas entre los enrollados del estator Ljfd, Ljkd, Ljkq, j: a, b, c nductancas mutuas entre los enrollados de estator y rotor Lfd, Lkd, Lkq nductancas propas de los enrollados del rotor Lfkd Ra R fd Rkd R kq nductanca mutuas entre los enrollados del rotor resstenca de armadura por fase resstenca rotórca resstenca del crcuto amortguador drecto resstenca del crcuto amortguador en cuadratura Conforme a las defncones anterores en posble determnar las ecuacones que defnen el comportamento del estator y rotor respecto de los flujos enlazados en las respectvas bobnas. Ecuacones del estator: El voltaje en cada una de las tres fases esta dado por: e R t b e R t c e R t a a a a b a b c a c (7.5) Los flujos enlazados por cada bobna del estator son: L L L L L L a aa a ab b ac c afd fd akd kd akq kq L L L L L L b ba a bb b bc c afd fd akd kd akq kq (7.6) 15

16 L L L L L L c ca a bc b cc c afd fd akd kd akq kq En las ecuacones anterores, el sgno negatvo asocado a las correntes de los enrollados del estator es por la convenenca de tomar estas dreccones. Ecuacones del rotor: Las ecuacones del crcuto del rotor son las sguentes:. fd efd Rfd fd t kd 0 Rkd kd t kq 0 Rkq kq t (7.7) Las ecuacones que expresan los flujos enlazados por las bobnas del rotor son: fd Lfd fd Lfkd kd Lafd a cos b cos c cos kd Lfkd fd Lkd kd Lakd a cos b cos c cos kq Lkq kq Lakq asen bsen csen (7.8) nductancas propas del estator. La nductanca propa del enrollado a, es gual a la razón entre el flujo de la fase a, y la corrente por el enrollado de esta fase, cuando la corrente en todos los otros crcutos es gual a cero. La nductanca es drectamente proporconal a la permeabldad y es posble entender que la nductanca L aa estará en un valor máxmo cuando =0º, y un valor mínmo cuando =90º, un máxmo nuevamente cuando =180º, y así sucesvamente. Desprecando efectos armóncos, la fuerza magnetomotrz de la fase a tene una dstrbucón snusodal en el espaco con un máxmo centrado en el eje de la fase a. Este valor máxmo esta dado por Na a, donde N a son las vueltas efectvas del enrollado. En la fgura 7.9 se muestra la descomposcón de la fuerza magnetomotrz en los ejes de referenca drecto y de cuadratura, quedando el valor máxmo proyectado en los ejes de la sguente manera: 16

17 Fead max Na a cos Feaqmax Naacos 90º Naasen (7.9) Fgura 7.9. Descomposcón de la fuerza magnetomotrz (fase a) La razón para expresar la fuerza magneto motrz en térmnos de los ejes drecto y de cuadratura es por que en cada nstante se puede defnr adecuadamente la geometría del entreherro. La fgura 7.10 muestra la dstrbucón nterna del flujo magnétco de una maquna sncrónca cuando sólo esta crculando corrente por la bobna a. De este modo es posble obtener las nductancas propas en el estator, analzando la varacón de flujo magnétco en las bobnas de acuerdo al movmento del rotor. d q Fgura Flujo magnétco en el entreherro (fase a) eh Es posble defnr la trayectora del flujo magnétco en el entreherro ( ) respecto de los ejes drecto y en cuadratura como: N cos P eh ad a a d N sen P eh aq a a q (7.10) 17

18 Donde P d y P q son los coefcentes de permeabldad de los ejes drecto y de cuadratura respectvamente. El total del flujo enlazado en el entreherro es: cos sen N P cos P sen eh eh eh aa ad aq a a d q eh Pd Pq Pd Pq aa Na a cos (7.11) La nductanca propa Laa corresponde a: eh fuga Na( aa a ) Laa (7.1) a Donde: es el flujo enlazado en el entreherro. eh aa fuga a es el flujo de fuga no enlazado en el entreherro. Con ello: L cos( ) aa L0 L1 L L 0 N a P P N a P P d q 1 Na fuga d q a a (7.1) De esta msma manera se pueden encontrar las nductancas propas para las fases b y c, estando desplazadas en 10º y en 140º respectvamente: Lbb L0 L1cos Lcc L0 L1cos (7.14) La varacón de la nductanca propa de los enrollados del estator se muestra en la sguente fgura, en donde se puede aprecar la dependenca de esta con el ángulo 18

19 Fgura Varacón de la nductanca propa de los enrollados del estator nductancas mutuas del estator. eh La nductanca mutua L ab, es posble de evaluar encontrando el flujo en el entreherro ab que es enlazado por la fase b cuando solo la fase a es exctada. Esto se consgue reemplazando el valor de en la ecuacón (7.11) por ( ) de modo de proyectar las varables al eje de la fase b, quedando la sguente ecuacón: eh eh eh Pd Pq Pd Pq ba ad cos aq sen Na a cos 4 (7.15) De esta manera la nductanca mutua entre las fases a y b es: L ab N eh fuga ( ) L a ab ab a ba Lab L0m L1cos L0m L1cos (7.16) Smlarmente: L cos bc Lcb L0m L1 cos Lca Lac L0m L1 (7.17) En general, para crcutos balanceados el térmno L 0m es aproxmadamente L 0 /. De acuerdo con la ecuacón (7.5), la varacón de la nductanca mutua entre las fases a y b corresponde a lo mostrado en la fgura

20 Fgura 7.1. Varacón de la nductanca mutua de los enrollados de las fases a y b nductancas mutuas entre rotor y estator. Para este cálculo se consdera: Las varacones en el entreherro debdo a las ranuras del estator son desprecables. El crcuto del estator tene una permeabldad constante. La varacón de la nductanca mutua se debe al movmento relatvo entre los enrollados. Cuando el enrollado del rotor y del estator están el línea el flujo enlazado por ambos es máxmo, sn embargo, cuando se encuentran en forma perpendcular no hay flujo entre los dos crcutos y la nductanca mutua es cero. De este modo, la nductanca mutua de la fase a del estator y los enrollados del rotor son: L L afd akd L L afd max akd max cos cos Lakq Lakq max cos Lakq maxsen (7.18) Para consderar la nductanca entre la fase b y el rotor se debe reemplazar el valor de, de las ecuacones anterores por, y en al caso de la fase c se debe remplazar por. El análss anteror permte establecer una ecuacón fnal para los flujos enlazados por las bobnas del estator: 0

21 a a L0 L1cos b L0m L1cos c L0m L1cos L cos L L sen cos fd afd max kd akd max kq akq max (7.19) Análogamente para las fases b y c : b al0ml1cos b L0 L1cos c L0m L1cos fd Lafd max cos kd Lakd max cos kq Lakqmaxsen c al0m L1cos b L0m L1cos c L0 L1cos fd Lafd max cos kd Lakd max cos kq Lakqmaxsen (7.0) (7.1) 1

22 7.8. Transformacón DQ0 Las ecuacones anterores, asocadas al crcuto del estator rotor, permten descrbr completamente el funconamento de la maquna sncrónca, sn embargo estas ecuacones contenen nductancas que varían en funcón del ángulo, el cual depende del tempo. Esto ntroduce una consderable complcacón en la resolucón de las ecuacones que rgen el comportamento de las maqunas sncróncas, por lo cual se propone transformar los valores asocados a las fases a un nuevo sstema denomnado DQ0. Consderando en forma convenente las correntes de estator proyectadas sobre los ejes d-q, se tene la sguente transformacón de varables: d kd a cos b cos c cos q kq asen bsen csen (7.) Donde k d y k q son constantes arbtraras, que se toman de manera de smplfcar los desarrollos numércos en las ecuacones. En general k d y k q se toman guales a. S se consdera a =I m sen(t) y consecuentemente las restantes fases, las ecuacones anterores pueden rescrbrse como: d kd Imsentcos sent cos sent cos d kd Imcost (7.) Se puede notar que el valor máxmo para la corrente d esta dado por I m, sempre y cuando se cumple que k d =. De manera análoga para la corrente del eje de cuadratura: q kq Imcost (7.4) Tambén es convenente consderar una secuenca de varable cero 0 asocado a la smetría de las componentes eléctrcas (correntes en el estator). 1 En condcones de balance 0 a 0 a b c (7.5), entonces 0 =0. b c

23 Fnalmente, la transformacón de las varables de estator a,b,c a las varables d,q,0 se puede presentar resumda en la sguente matrz. cos cos cos d a q sen sen sen b c (7.6) La transformada nversa esta dada por: cos 1 a sen d cos b sen 1 q c 0 cos sen 1 (7.7) Al aplcar la transformacón anteror a las ecuacones prevamente obtendas para lo flujos del estator (ecuacones (7.19) a (7.1)) se tene: L L L L L q L0 L0m L1d Lakd kd (4) L L d 0 0m 1 d afd fd akd kd m 0 (7.8) Defnendo una nueva nductanca: Ld L L L Lq L L m L L L L 0 0m m (7.9) Con ello, las ecuacones de flujo son: d L d d Lafdfd Lakdkd (7.0) (4) Esta gualdad es cero cuando el sstema esta balanceado

24 L L q q q akq kq 0 L 0 0 De manera smlar es posble encontrar las ecuacones para el flujo enlazado por el rotor expresados en funcón de las componentes d-q. L L L L L L kq Lkqkq Lakqq fd fd fd fkd kd afd d kd fkd fd kd kd akd d (7.1) voltajes en el estator en térmnos de los ejes d-q e R t t q R t t 0 e0 Ra0 t d d q a d e q d a q (7.) Potenca y torque en térmnos de los ejes d-q La potenca nstantánea trfásca a la salda del estator es: P t e e e (7.) a a b b c c Con ello: P t e e e d d q q 0 0 (7.4) En condcones de equlbro, se cumple que e0 0 0 obtenendo la sguente expresón para la potenca eléctrca cuando se trata de un sstema equlbrado. P t e d d e q q (7.5) El torque electromagnétco se puede determnar consderando las accones de las fuerzas en los conductores producto del flujo por la corrente. 4

25 Consderando las ecuacones (7.) que expresan los voltajes en térmnos de los flujos enlazados y las correntes y la gualdad t r (velocdad de gro del rotor), la relacón para que torque eléctrco es: d q 0 Pt d q 0 dd qqr d q 0 Ra t t t (7.6) Donde conceptualmente: d q 0 d q 0 representa la tasa de varacón de la energía magnétca en la t t t armadura corresponde a la potenca transferda a través del entre herro d d q q r d q 0 a R representa las perddas de potenca en la armadura 5

26 7.9. Crcuto equvalente de la máquna sncrónca La exstenca de los ejes fctcos drecto y en cuadratura permten modelar eléctrcamente las varables del estator a través de la resstenca del estator y las reactancas del eje drecto y en cuadratura. Partcularmente, s el rotor es de polos salentes las reactancas en ambos ejes son dferentes y su cálculo supone un desarrollo complejo como el presentado precedentemente. En el rotor clíndrco, sn embargo, se defne una únca reactanca: X s =X d =X q por lo cual es posble establecer un crcuto como el de la fgura 7.1. R e X s I E V Fgura 7.1. Crcuto equvalente por fase de la máquna sncrónca. A partr de la fgura se defne: er E L I sen( t) L r N N R er e r (7.7) Donde: E es la tensón nducda de la máquna R e es la resstenca en los enrollados del estator. L er es la nductanca mutua entre rotor y estator. N e, N r son el número de vueltas de los enrollados de estator y rotor respectvamente. R es la reluctanca del crcuto magnétco. I r es la corrente rotórca (de exctacón). En el caso de la máquna operando como generador se tene: E R I j X I V e s (7.8) 6

27 El dagrama fasoral correspondente se muestra en la fgura I d I q I V R e I E jx s I jx d I d jx q I q q d Fgura Dagrama fasoral de una máquna sncrónca operando como generador. En la fgura representa el ángulo de torque, es decr, el ángulo entre las fuerzas magnetomotrces del estator y rotor. En el caso de la operacón como motor se tene: V R I j X I E e s (7.9) El dagrama fasoral correspondente se muestra en la fgura V j X s I I q E R e I j X d I d j X q I q q I d d I Fgura Dagrama fasoral de una máquna sncrónca operando como motor. La expresón para la potenca eléctrca generada por fase (caso de operacón como generador) es (R e se despreca): 7

28 EV PV cos( I ) sen X s (7.40) La ecuacón (7.40)muestra que la potenca actva nyectada a la red depende por una parte del ángulo entre las fuerzas magnetomotrces y prncpalmente de la tensón nducda E la cual es controlable a través de la corrente de exctacón. S se consderan los reactvos nyectados o absorbdos de la red se tenen: EV V QV I sen( ) cos X X s s (7.41) En el caso del torque generado en la operacón como motor se tene que cada fase aporta con: T VI EV cos( ) X s sen (7.4) En el caso de una máquna con rotor de polos salentes, las ecuacones (7.40), (7.41) se converten en: EV X X P sen V sen X X X d q ( ) ( ) d d q EV Q cos( ) V X X X cos ( ) sen ( ) d d q (7.4) 8