POLÍGONO ÁNGULOS DE UN POLÍGONO CLASIFICACIÓN: La denominación de polígono palabra compuesta de poli, del griego: muchos; y gonos del griego: ángulos

Transcripción

1 POLÍGONO La denominación de polígono palabra compuesta de poli, del griego: muchos; y gonos del griego: ángulos Un polígono es una porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los segmentos de la línea poligonal se llaman lados del polígono. Los extremos de los lados se llaman vértices. Cada dos lados consecutivos determinan un ángulo del polígono. Se llama diagonal de un polígono a cualquier segmento de recta que una dos vértices que no sean consecutivos. ÁNGULOS DE UN POLÍGONO En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios. CLASIFICACIÓN: De acuerdo al número de lados los polígonos se clasifican en: NOMBRE N DE LADOS NOMBRE N DE LADOS Triángulo 3 Hexadecágono 16 Cuadrilátero 4 Heptadecágono 17 Pentágono 5 Octodecágono 18 Hexágono 6 Eneadecágono 19 Heptágono 7 Isodecágono 20 Octágono 8 Triacontágono 30 Eneágono 9 Tetracontágono 40 Decágono 10 Pentacontágono 50 Endecágono 11 Hexacontágono 60 Dodecágono 12 Heptacontágono 70 Tridecágono 13 Octacontágono 80 Tetradecágono 14 Eneacontágono 90 Pentadecágono 15 Hectágono 100

2 Si todos los lados del polígono son iguales, el polígono se denomina equilátero. Si todos los ángulos del polígono son iguales, el polígono se denomina equiángulo. Por la igualdad o desigualdad de lados se clasifican en regulares e irregulares Los polígonos que son equiángulos y equiláteros se llaman regulares. Si un polígono no es equilátero ni equiángulo es llamado Irregular. Según la forma de la región que encierran, los polígonos se clasifican en concavos y convexos Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180.

3 En un polígono convexo al poner dos puntos cualesquiera en su interior, el segmento formado por ellos queda totalmente en el interior del polígono. Un polígono es cóncavo si por lo menos uno de sus ángulos interiores es mayor de 180 En un polígono convexo al poner dos puntos cualesquiera en su interior, no siempre el segmento formado por ellos queda totalmente en el interior del polígono. POLÍGONO SIMPLE Y COMPLEJO Un polígono simple es un polígono cuyos lados no adyacentes no se interceptan. Un polígono simple divide al plano geométrico que lo contiene en dos regiones: la región interior al polígono y la región exterior a él. Un polígono que no es simple se denomina polígono complejo Polígono simple hexagonal. Polígono complejo pentagonal Polígono complejo y estrellado POLÍGONOS ESTRELLADOS. Los polígonos que tengan sus ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada, se llaman Polígonos Estrellados.

4 CARACTERÍSTICAS DE LOS POLÍGONOS REGULARES LINEAS Y PUNTOS: En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos: ABDCA: Perímetro. O: Centro : Diagonal : Radio : Apotema El perímetro que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados. La diagonal que es la línea que une dos ángulos no consecutivos. El centro que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices. El radio que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios como ángulos. El apotema que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados Ejercicio Determina los puntos y lineas en el siguiente polígono ÁNGULOS: En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos: a, b, c, d : Interiores o: Central Los ángulos interiores que son los que se forman en el vértice entre los lados. Los ángulos centrales que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.

5 Como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360, entonces la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados. El ángulo central de un polígono regular de n lados es 360/n grados sexagesimales o, lo que es lo mismo, 2 /n radianes Ángulo central del triángulo equilátero: = 120. Ángulo central del cuadrado: = 90. Ángulo central del pentágono: = 72. Ángulo central del hexágono: = 60. Ángulo central del octógono: = 45. Ángulo central del decágono: = 36. El ángulo interior de un polígono regular de n lados es: 180 grados sexagesimales. Por ejemplo en un triángulo cada ángulo interior es igual a: 180 = * 180 = 60 donde n=3

6 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS POLÍGONOS REGULARES: En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono. En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. SUPERFICIE DE LOS POLÍGONOS IRREGULARES. Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triángulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando éstas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal. Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular. POLÍGONOS INSCRIPTOS Y CIRCUNSCRIPTOS. Se dice que un polígono está inscrito en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunferencia. Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunferencia.

7 CUADRILÁTEROS Son los polígonos más estudiados después de los triángulos. Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. A + B + C + D = 360 Se dividen en: A. Paralelogramos B. No paralelogramos. A. PARALELOGRAMOS Un paralelogramo es un polígono formado por cuatro lados, paralelos dos a dos. Algunas de sus propiedades son: Los lados opuestos son congruentes Dos pares de lados son paralelos Los ángulos opuestos son congruentes. Cada diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios

8 Los paralelogramos se clasifican según sus ángulos en: 1. Paralelogramos rectángulos 2. Paralelogramos no rectángulos PARALELOGRAMOS RECTÁNGULOS Son paralelogramos cuyos ángulos son todos ángulos rectos. Existen dos clases de paralelogramos rectángulos: El cuadrado: Todos sus lados son iguales, diagonales congruentes, cuatro ángulos rectos, las diagonales forman ángulos rectos. El rectángulo : Todos sus lados son iguales, diagonales congruentes Rectángulo PARALELOGRAMOS NO RECTÁNGULOS Son paralelogramos cuyos ángulos son dos de ellos agudos y los otros dos obtusos. Existen dosclases de paralelogramos no rectángulos: El rombo : Los cuatro lados iguales, sus diagonales son perpendiculares entre sí, los ángulos opuestos son congruentes y son bisecados por las diagonales El romboide : lados opuestos iguales.

9 B. CUADRILÁTEROS NO PARALELOGRAMOS TRAPECIO: Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no tiene ninguno de sus lados paralelo a otro. CLASES DE TRAPECIOS El trapecio rectángulo se caracteriza porque uno de los ángulos es un ángulo recto. El trapecio isósceles se caracteriza porque sus dos lados no paralelos tienen el mismo tamaño. CLASES DE TRAPEZOIDES Trapezoide asimétrico: Cuatro lados desiguales Trapezoide simétrico: (deltoide) Posee dos pares de lados iguales pero no paralelos. Sus diagonales son perpendiculares. También es llamado trapezoide biisósceles

10 CUADRILÁTEROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS A. Cuadrilátero convexo: Cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º. O bien, dados dos puntos cualesquiera interiores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus puntos interiores al cuadrilátero. Se dice que un cuadrilátero es convexo cuando al trazar una recta sobre el cuadrilátero lo corta a lo más en "dos lados". B. Cuadrilátero cóncavo: Uno de los ángulos (D) es mayor de 180º. Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales que el segmento PQ tenga puntos, X, exteriores al cuadrilátero. Se dice que un cuadrilátero es cóncavo cuando al trazar una recta sobre el cuadrilátero lo corta en más de dos lados". RESUMEN