Inecuaciones lineales y cuadráticas

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Gustavo Cuenca Mendoza
hace 7 años
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1 Inecuaciones lineales y cuadráticas 0.1. Inecuaciones lineales Una inecuación lineal tiene la forma ax + b < 0 ó ax + b > 0 ó ax + b 0 ó ax + b 0. El objetivo consiste en hallar el conjunto solución de la desigualdad, es decir, hallar el conjunto de valores reales que hacen la desigualdad verdadera. Esta solución en general será un intervalo. Ejemplo 0.1 Las siguientes son desigualdades lineales: x + 3 3(x + ) 1 3x + x < x + 5 x + 5 x + 3 (x+)(x 5)+ (x 1)(x 10) Para solucionar desigualdades lineales, hay que tener en cuenta los tips dados en las ecuaciones lineales. Su solución es análoga a solucionar ecuaciones, salvo que el signo de la desigualdad cambia cuando se pasan a multiplicar ó dividir números negativos. Ejemplo 0. Resolver x 3 5(3x + ) + 1 <. Hacemos la eliminación de 3 los paréntesis y la suma de las fracciones de cada lado. Es decir, x < 15x + 10 x 3 +. Al sumar las fracciones queda < 3 1 a la derecha, x 1 15x < y x 1 < 15x x Al sumar 3 1. Como los denominado- 3 3 res son positivos se pasan a multiplicar a cada lado contrario 3(x 1) < (15x+4). Al eliminar paréntesis, 6x 3 < 30x+8. Al pasar la variable a un lado y números al otro, queda 6x 30x < 8+3. Al reunir términos semejantes, 4x < 11. Como el factor que multiplica la x es 4 es negativo, lo pasamos a dividir y cambia el sentido de la desigualdad y tenemos x > 11 4 y así, x > 11. Esto nos muestra 4 1

2 Inecuaciones que el intervalo solución es ( 11 ) 4,. Ejercicios 1 Con base en lo anterior, resuelve las siguientes desigualdades, y: 1. Expresa su solución en forma de desigualdad, intervalo y representa en la recta. (x 3) < 4 3 x > 6 3x + x < x + 5 x + 5 x + 3 x + 3 3(x + ) 1 (x + )(x 5) (x 1)(x 10) 1 (x ) (x + 4) (x ) 3 > x 1 3( 3x) > 4(1 4x) 9y + 1 y 1 4 3y 1 5(y + 1) < 3 3(t ) > 6t 3 + t 5 10 (1 x) 3x < 3 3 x < 4 7 < x < 1 4 < x 3 4x x < x 41 6x 11 + x. Representa simbólicamente: a) Tengo por lo menos 5 cuadernos. b) Los costos deben ser máximo de $5,30 pesos por unidad. c) Los ingresos deben ser mínimo de $ d) Debe existir utilidad en la empresa. e) La utilidad debe superar los $1000 millones. f) La utilidad debe oscilar entre $5000 y $ g) El área de la caja debe estar entre 0 y 35 metros cuadrados. h) La cantidad de pacientes debe superar los 000. i) El crecimiento de esta semana debe ser a lo más de 1500 bacterias. j) Esta semana tuvimos pérdidas en la empresa. k) El número de horas de trabajo x necesarias para fabricar un producto no es mayor que 1 ni mayor que Resuelve los siguientes problemas:

3 Inecuaciones 3 a) Si 5 veces un número se disminuye en 4, el resultado es menor de 48. Qué se concluye sobre el número? b) Cada mes del año pasado, James ahorró mas de $50000 pesos pero menos de $ Si A representa el ahorro total en el año, describa A con el uso de las desigualdades. c) Si 7 veces un número decrece su valor en 6, el resultado es menor que 50. Qué se concluye acerca del número? d) Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: 1) Si a < b entonces a 16 < b 16. ) Si a < b entonces a < b. 3) Si 0 < a entonces a < a + a. 4) Si 1 < a entonces 1 a < Desigualdades cuadráticas y solución Una desigualdad cuadrática tiene la forma ax + bx + c < 0 ó ax + bx + c > 0 ó ax + bx + c 0 ó ax + bx + c 0. Ejemplo 0.3 Las siguientes son desigualdades cuadráticas: 1x + 3x x(x + ) 1 3x x + 5 (x + 4)(x 3) 3 < (x + 1)( x + 5) (x 7)(x + 8) > (x 1)(x 10) Para resolver una desigualdad cuadrática, es necesario que el término derecho o izquierdo de la desigualdad sea cero. Recuerdas cuando tenías ecuaciones cuadráticas? Luego se procede a factorizar y queda lista la expresión para comenzar a resolverla. A continuación describimos el método con el cual se podrá resolver las ecuaciones cuadráticas, similar al procedimiento llevado a cabo para resolver ecuaciones cuadráticas. (a) Escribir la desigualdad en la forma básica. Esto obliga a eliminar paréntesis, reunir términos semejantes y dejar hacer que uno de los términos de la desigualdad sea cero. Por ejemplo, (x + )( 3x + 5) x. Para poder resolverla, debemos eliminar paréntesis y pasar todo los términos a un lado, quedando, 3x + 5x 6x x. Al reunir términos semejantes, 3x x x. Al pasar todos los términos a un lado queda 3x x + 39 x 0. (b) Reemplazar el signo de desigualdad por un signo = y resolver la ecuación cuadrática resultante. Las raíces dividen la recta numérica en intervalos. Estos valores se denominan valores críticos.

4 Inecuaciones 4 (c) En cada intervalo elegir un valor de prueba y determinar el signo que asume cada factor en ese intervalo. (d) Hallar el signo de la expresión resultante a través de los signos de cada factor. (e) Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se incluyen los extremos del intervalo. Para una desigualdad no estricta se incluyen los extremos. (f) Expresar la solución en forma de intervalo. Ejemplo 0.4 Hallar el conjunto solución de la desigualdad 9x + 30x > 5. Dejamos a un lado cero, 9x +30x+5 > 0. Al factorizar queda (3x+5)(3x+5) = (3x + 5). Pero si observas, esta expresión está elevada al cuadrado, por lo que no importa cual número real asuma la variable x, su resultado siempre será positivo. Por lo tanto, el conjunto solución es R Ejemplo 0.5 Hallar el conjunto solución de la desigualdad x x Dejamos a un lado cero, x + x Al factorizar queda (x + 5)(x 3) 0. Cuántos factores tiene el término izquierdo de la desigualdad? Bueno, entonces ubicamos en la recta numérica los valores críticos, es decir, aquellos valores en los cuales cada factor de la desigualdad se hace cero. Esto es, x = 5 y x = 3. Estos valores dividen la recta numérica en tres franjas, que son: (, 5), ( 5, 3) y (3, ). Debemos hallar el signo de cada factor en cada franja, tomando como referencia un valor de prueba. Veamos: Intervalo (, 5) ( 5, 3) (3, ) Valor de prueba (x + 5) (x 3) Signo de (x + 5)(x 3) El valor de prueba puede ser cualquiera, nosotros hemos tomado uno arbitrario para determinar el signo del resultado. Si observas en la última línea, esta muestra el conjunto solución. Queremos determinar cuando (x+5)(x 3) es mayor o igual que cero, por lo que el intervalo en donde es positivo es (, 5) (3, ). Pero, también indica la desigualdad inicial que puede ser cero, por lo que podemos incluir los extremos, de tal forma que la solución es (, 5] [3, ) Ejercicios Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades: 1. x + x 15 > 0. 3x x < x > 7x x > x x 5x x x + 6x x + 7x 0

5 Inecuaciones Inecuaciones polinómicas y solución Una desigualdad polinómica es una desigualdad cuyo grado es mayor que dos. El de grado dos lo abordamos anteriormente, pero de grado 3 o mas lo trabajamos a continuación. La forma como se resuelven las desigualdades polinómicas es análoga a las cuadráticas, salvo que tenemos mas factores y así, mas valores críticos por ubicar en la recta. El procedimiento es el mismo. Se escoge un valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo de cada factor y finalmente, se determina el signo de la expresión completa. Vemos un ejemplo en donde se emplea el método y luego se proponen algunos ejercicios para que el estudiante resuelva. Ejemplo 0.6 Hallar el conjunto solución de (x + 1)(x 1)(x + 3) > 0. Intervalo (, 3) ( 3, 1) ( 1, 1) (1, ) Valor de prueba (x + 1) (x 1) (x + 3) Signo de (x + 1)(x 1)(x + 3) Esto nos muestra que el intervalo solución es ( 3, 1) (1, ). Ejemplo 0.7 Hallar el conjunto solución de la desigualdad x 1. Para x + 3 proceder con la solución, se debe pasar a restar el 1, realizar la suma de fracciones que queda y luego factorizar si es posible. Ejercicios 3 Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades: 1. (x + )(x )(x + 5) < 0 3. (x + 1) (x 4)(x + 4) 0. x(x 1)(x + 4) 0 4. x(x + 1)(x ) x(x 4) 0 Elaborado por Jaime Andrés Castaño Universidad del Valle

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