DEFINICIONES BASICAS SEGMENTOS Y ANGULOS

Transcripción

1 GOMTRÍ INIIONS SIS SGMNTOS Y NGULOS 1.1 ONPTO GOMTRI L Geometrí es l cienci que estudi ls propieddes de ls figurs geométrics, tendiendo su form, tmño y relción entre ells. Un figur geométric es un conjunto no vcío de puntos, representd por línes, superficies y sólidos. Tod figur se distingue de otr por su tmño y form. LINS L. Rect L. Querd L curv L. Mit SUPRIIS SÓLIOS cilindro cono esfer cuo 1. TIMOLOGI L plr Geometrí procede de ls plrs griegs geos que signific Tierr y metron que signific medid, es decir geometrí deriv de l plr grieg que signific medid de l tierr, concepto que no estuvo muy desligdo de l relidd en sus comienzos, como un necesidd de solucionr el prolem de los deslindes (delimitción) de tierrs origindos por ls inundciones periódics del río Nilo en el ntiguo gipto. 1.3 ONPTOS PRIMITIVOS Los conceptos primitivos no definidos de l geometrí son el punto, l líne y el plno l Punto: - s un concepto imginrio - Tiene uicción - No tiene longitud: nchur o grosor - Lo idelizmos l cortrse dos rects - Un punto diujdo diferenci de un punto conceptul, tiene tmño. Se design l punto conceptul por medio de un letr myúscul junto l punto diujdo o un sp. jemplo: L Líne: - s un concepto imginrio - Tiene longitud pero no nchur o grosor - No se puede medir - s ilimitd en mos sentidos - Puede ser rect, curv o un cominción de ms USTIONRIO SRROLLO

2 GOMTRÍ - L líne rect tiene dirección Un líne se design con letrs myúsculs en dos puntos culesquier sore ell o con un letr minúscul. L dole flech, pone de mnifiesto que l líne se etiende indefinidmente en mos sentidos: jemplo: Puntos olineles. Son quellos que pertenecen un mism líne rect. Puntos No olineles. Son quellos que no están uicdos en un mism líne rect l Plno: - s un concepto imginrio - Tiene dos dimensiones - No se puede medir - No tiene espesor - Superficie pln ilimitd en todo sentido Postuldos sore plnos * isten infinitos plnos * Por tres puntos no colineles ps un plno y solmente uno * n culquier plno eisten infinitos puntos y rects 1.4 SGMNTO RT s un porción de rect limitdo por dos puntos denomindos etremos. Se denot por y se lee segmento. L medid de un segmento denot por m o, y es un número positivo que compr l longitud del segmento ddo con l longitud del segmento unitrio (u) PUNTO MIO UN SGMNTO Un punto se llm punto medio de un segmento, si está entre y y se verific que = OPRIONS ON SGMNTOS Pr sumr dos segmentos culesquier, se tomn en un rect dos segmentos consecutivos culesquier y congruentes respectivmente los segmentos que se quieren sumr. Sum: iferenci: = + = 1.5 NGULO ryos que tienen el mismo punto de origen. lementos Ldos: O y O Vértice: O Notción O, O O, ( + ) ( - ) O USTIONRIO SRROLLO

3 GOMTRÍ m O = º : Medid del ángulo O es igul º isectriz de un ngulo: s el ryo que prtiendo del vértice de un ángulo, lo divide en dos ángulos congruentes. OX : isectriz de mox = mxo = O OX XO lsificción de los ngulos Los ángulos se clsificn según su medid, de cuerdo su posición y según sus crcterístics. I. SGÚN SU MI 1. ngulo Llno. Llmdo tmién ángulo rectilíneo, es quel ángulo cuyos ldos son dos ryos opuestos es decir un rect. Su medid en; - Sistem Segesiml: = 180º O O O. ngulo gudo. s quel ángulo cuy medid es menor que 90º pero myor que 0º X Oº < º < 90º 3. ngulo Otuso: s quel ángulo cuy medid es menor que 180º pero myor que 90º 90º < º < 180º 4. ngulo Recto: s quel ángulo cuy medid es igul 90º. O O = 90º 5. ngulo Nulo: s quel ángulo cuy medid es igul 0º O mo = 0º II. SGUN L POSIION SUS LOS 1. ngulos dycentes. os ángulos son dycentes cundo tienen el mismo vértice y un ldo común tl que los ángulos se encuentrn uno y otro ldo del ldo común. O O USTIONRIO SRROLLO L d o o m ú n

4 GOMTRÍ O y O son ángulos dycentes, llmdo tmién ángulos consecutivos.. Ángulos Opuestos por el Vértice Son dos ángulos en donde los ldos de uno son los ryos opuestos del otro. s decir, se determinn l trzr dos rects secntes, dichos ángulos con congruentes (tienen l mism medid). os o más ángulos serán dycentes cundo cd uno de ellos es dycente con su inmedito. β = β O, O y O son ángulos dycentes. O β β γ o O, O y O son ángulos dycentes sore un rect. III. SGUN SUS RTRÍSTIS 1. ngulos dycentes omplementrios Son dos ángulos dycentes cuys medids sumn 90º. O β O y O son ángulos dycentes complementrios + β = 90º o γ β. Ángulos omplementrios Son dos ángulos cuys medids sumn 90º. O, O, O y O son ángulos dycentes lrededor de un punto + = 90º USTIONRIO SRROLLO

5 GOMTRÍ Not 1. omplemento de un ángulo es lo que le flt este ángulo pr medir 90º. OMPLMNTO = 90º - = Not : 1º <> 60, 1 <> 60 90º <> 89º60 <> 89º59 60 Not 5: undo l plr suplemento se repite un número pr de veces, el resultdo es el mismo vlor del ángulo y si el número es impr, el resultdo es su suplemento. Sup del Sup... Sup de = #ro. veces pr Sup del Sup... Sup de = 180º- 3. Ángulos dycentes Suplementrios Son dos ángulos dycentes cuys medids sumn 180º. O O y O son ángulos dycentes suplementrios. + β = 180º 4. Ángulos Suplementrios Son dos ángulos cuys medids sumn 180º +β = 180º Not 3. Suplemento de l medid de un ángulo es lo que le flt pr medir 180º. SUPLMNTO = 180º - = β Not 4: 180º <> 179º60 <>179º59 60 β β #ro. veces impr NGULOS NTR PRLLS Prlels: Se llm rects prlels cundo no tienen ningún punto en común y están situdos en un mismo plno. L1//L L1 L Ángulos formdos por dos rects l ser cortdos por un Secnte ngulos Internos 3,4 5,6 1 ngulos ternos 1, 7,8 lternos Internos 4 y 6 3 y 5 lternos ternos 1 y 7 y 8 onjugdos Internos 4 y 5 3 y 6 onjugdos ternos 1 y 8 y 7 Ángulos correspondientes 1 y 5; y 6 4 y 8; 3 y 7 NGULOS ORMOS POR OS RTS PRLLS L SR ORTOS POR UN SNT USTIONRIO SRROLLO

6 GOMTRÍ ) Los ángulos lternos internos o eternos son congruentes. ) Los ángulos conjugdos internos o eternos son suplementrios. y serán suplementrios cundo uno de ellos se gudo y el otro otuso. c) Los ángulos correspondientes son congruentes. = NGULOS LOS PRLLOS Si dos ángulos tienen sus ldos respectivmente prlelos, serán congruentes cundo mos ángulos sen gudos o cundo mos sen otusos; y serán suplementrios cundo uno de ellos se gudo y el otro se otuso. β + β = 180 O = β PROLMS RSULTOS 01. Sore un líne rect se consider los puntos consecutivos,, y. Luego los puntos medios M y N de y respectivmente. Hllr MN si: + = 50. O + β = 180º ) 0 ) 5 c)30 d) 40 e) 50. Resolución NGULOS LOS PRPNIULRS Si dos ángulos tienen sus ldos respectivmente perpendiculres serán congruentes cundo mos sen gudos o cundo mos sen otusos; M N c ( + c + ) USTIONRIO SRROLLO

7 GOMTRÍ 1) to: M y N son puntos medios de y. M = M =, N = N = ) to: + = 50 ( + c) + (c + )= 50 + c + = 50 ( + c + )= 50 MN = 50 MN = 5 Rpt. 0. sore un rect se uicn los puntos consecutivos,, y. Luego los puntos medios M y N de y respectivmente. Hllr MN si: + = 60 ) 0 ) 5 c) 30 d) 40 e) 60 Resolución (-) 1) to: es punto medio de = = ) to = 50 ( + ) ( - ) = 50 = 50 = 5 = 5 Rpt. 04. Sore un rect se uicn los puntos consecutivos, y siendo 0 punto medio de, ² + ² = 100. Hllr 0² + 0² Resolución ) 10 ) 5 c) 50 d) 100 e) 0 M N 1) to: M y N puntos medios de y M = N =, N = N = ) to: + = 60 ( + - ) + ( + - ) = 60 = 60 = 30 MN = 30 Rpt. 03. Sore un rect se uicn los puntos consecutivos,, y tl que es punto medio de y = 50. Hllr ) 0 ) 5 c) 30 d) 40 e) 50 Resolución O 1) omo nos pide O² + O² ponemos O = y O = ) to: O punto medio de O=O= 3) to: ² + ² = 100 ( - )² + ( + )² = 100 (² + ²) = 100 ² + ² = 50 O² + O² = 50 Rpt. 05. n el gráfico, hlle el máimo vlor entero de y. ) 45 USTIONRIO SRROLLO º - y º 3 y º

8 GOMTRÍ ) 50 c) 60 d) 59 e) 58 ) 30º ) 36º c) 4º d) 60º e) 84º Resolución Resolución 1) º - yº + 3yº = 180º º + yº = 180º º = 180º - yº (I) ) Todo ángulo es positivo 0º < º - yº yº < º (II) 3) I en II yº < 180º - yº 3yº < 180º yº < 60º y = 59 Rpt. 06. L diferenci entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces el ángulo. l suplemento del complemento de dicho ángulo es: ) 15º ) 75º c) 105º d) 10º e) 150º Resolución 1), y c están en progresión ritmétic 3 to: =, = 3k c = 7k c 7 + c 3k + 7k ) = = = 5k 3) + + c = 180º 3k + 5k + 7k = 180º 15k = 180º k = 1º 4) l myor ángulo es c = 7k c = 7 (1º) c = 84º Rpt. 08. lculr si: L 1 //L ) 10º ) 0º c) 30º d) 40º e) 50º c 1) Sup - omp = 6 (180º - ) (90º - ) = 6 = 15º ) Nos piden = Sup. omp. 15º = Sup. 75º 8 0 º 7 0 º L 1 L = 105º Rpt. 07. Ls medids de tres ángulos consecutivos sore un rect están en progresión ritmétic. lculr l medid del myor ángulo, si el menor y el myor están en l relción de 3 7. USTIONRIO SRROLLO

9 GOMTRÍ Resolución Propiedd (Serrucho) 80º º = 90º + 90º = 30º Rpt. 09. n l figur L 1 //L y L 3 //L 4, el vlor numérico de 3º - 1º es: ) 15º )16º c)17º d) 18º e) 19º JRIIOS 1. do los puntos colineles y consecutivos,,, y tl que: = ; = y = 10. lcule ) 10 ) 5 ) 6 ) 8 ) 0. Sore un rect se uicn los puntos consecutivos,, y ; tl que = ; ()( ) = 1 y ()() = 8. lculr º L3 L4 L 1 ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 5º L 3. dos los puntos colineles y consecutivos,, y ; tl que: =()= () y ()() = 81. lculr Resolución 11º ) 9 ) 3 ) 1 ) 6 ) 8 º 5 º 1) º = 180º. I ) ngulos correspondientes = º, = 5º... II 3) II en I: º + 5º + 11º = 180º 18º = 180º º = 10º 4) Hllnfo : = 3º - 1º = 3(10º) 1º = 18º L 3 L 3 / / L º Rpt. L 4. Sore un rect se uicn los puntos consecutivos P, Q, R, S, T; tl que: PR = QS = RT y PQ + ST = 6. lculr PT ) 6 ) 5 ) 1 ) 18 ) dos los puntos colineles y consecutivos, y ; M y N isecn y, respectivmente: + MN + = 60; hllr ) 40 ) 50 ) 30 ) 0 ) n un rect se considern los puntos consecutivos,,,, y ; tl que: = ; = ; = 30; = 40 y + = 30. Hllr ) 16 ) 15 ) 0 ) 10 ) 5 USTIONRIO SRROLLO

10 GOMTRÍ 7. n un rect se considern los puntos consecutivos,,, y ; tl que: 3() = (); = 50 y + = 0 y isec l segmento ; hllr ) 0 ) 10 ) 30 ) 15 ) 5 8. dos los puntos colineles y consecutivos,, y : tl que: 4() = 3() = 6() y 3( )=( ) ; hllr ) 0 ) 6 ) 1 ) 4 ) 1 9. n un líne rect se considern los puntos consecutivos,, y ; se se que = m y se cumple ls siguientes relciones:. =.; =.. Hllr ( ) 1. dos los ángulos consecutivos: O, O y O, tl que m O = 70 ; m O = 80 y m O + m O = 50, clculr l medid del ángulo O ) 30 ) 40 )50 ) 60 ) Un ángulo llno es dividido por 4 ryos de tl mner que se formn ángulos consecutivos cuys medids están en progresión ritmétic. lculr l medid del ángulo determindo por el primer y último ryo ) 100 )108 )11 ) 10 ) 110 lculr, si: + + c =130 y +β = 70 ) m ) m ) m )m ) m / 10.Sore un líne rect se considern los puntos consecutivos P, Q, R y S con l siguiente condición: PQ = mqr y n - m+n = 1. PS nrs QR PR Hllr RS ) m ) n ) m - n ) (m n)/ ) (m - n) )0 )30 )40 )50 ) Si ls rects L 1 y L son prlels y m es el complemento de n, lculr. 11.Si los /y del complemento de l diferenci entre el suplemento y el complemento de es igul los m/n de l diferenci entre el complemento de β y el suplemento del suplemento de β. Hllr β ) 45 ) 40 )50 ) 55 ) 60 )15 )30 )0 )40 )60 USTIONRIO SRROLLO

11 GOMTRÍ 16. n l figur, L 1 // L, clcule. )100 )105 )110 )115 ) n el grfico L 1 // L, hllr β β ) 10 ) 15 ) 0 ) 5 ) 30 L1 L 17. lculr:. Si m n = 5 L 1 // L y L 3 // L 4 m L 3 L 4 L Según el gráfico. Hllr. Si L 1 // L y L 3 // L 4 L β β L L L ) 60 ) 75 ) 90 ) 100 ) Hllr el vlor de. Si L 1 // L y L 3 // L 4 w β β L 3 w ) 60 )70 )80 ) 90 ) Siendo L 1 // L. lcule: + y 1 4 L L 1 L 4 n L ) 10 ) 15 ) 0 ) 5 ) 30 ) 90 ) 180 ) 70 ) 55 ) 360 USTIONRIO SRROLLO

12 TRINGULOS I INIIÓN: Se llm triángulo l figur formd por 3 segmentos de rect que unen tres puntos no colineles. P u n t o s I n t e r i o r e s P u n t o s t e r i o r e s NOTIÓN. Un triángulo se denot por ls tres letrs myúsculs que llevn sus vértices, denominándolo: NOT 3. Región Tringulr es un figur formd por los puntos del triángulo y los puntos interiores l triángulo. NOT 4. undo se dice áre del triángulo, se refiere l áre de l región tringulr. LSIIION LOS TRINGULOS tendiendo sus ldos 1) quilátero ) Isósceles = / lementos: Y º β Ldos:,, Vértices:,, 3) scleno c X º Internos X,Y, Z ngulos ternos β γ,, Perímetro (p): p = + + c + + c Semiperímetro (p) p = NOT 1. Ls medids de los ldos del triángulo se designn por l letr minúscul del vértice opuesto dicho ldo. =, =, = c NOT. Todo triángulo divide l plno en tres suconjuntos de puntos: - Puntos interiores l triángulo - Puntos eteriores l triángulo y - Puntos del triángulo Z º γ

13 tendiendo sus ángulos 1) Rectángulo TTO HIPOTNUS T T O PROPIS UNMNTLS L TRINGULO 1. L sum de ls medids de los ángulos internos es igul 180º. Xº + Yº + Zº = 180º ) Olicuángulos cutángulo. Sus tres ángulos son gudos. X º X º Y º Z º Z º Otusángulo: tiene un ángulo otuso TORM PITÁGORS n todo triángulo rectángulo, l sum de los cudrdos de ls medids de los ctetos es igul l cudrdo de l medid de l hipotenus. c ² = ² + c² NOT 5. n todo triángulo isósceles, l ldo desigul se le llm se y l ángulo que se opone ell se le conoce como ángulo en el vértice o ángulo desigul. Los dos ángulos de l se.. L medid de un ángulo eterno es igul l sum de ls medids de los ángulos internos no dycentes él. emostrción: Y º 1) + Xº = 180º ) Xº + Yº + Zº = 180º 3) Igulndo + Xº = Xº + Yº + Zº = Yº + Zº β = Xº + Zº γ = Xº + Yº = Yº + Zº L.q.q.d. β X º Z º 3. L sum de ls medids de los ángulos eternos es igul 360º. Y º β γ S N G U L O N L V R T I : n g u l o d e l s e X º Z º + Xº = 180º β + Yº = 180º γ + Zº = 180º + β + γ + 180º = 540º + β + γ = 360º 4. TORM L XISTNI L TRINGULO. L medid de un ldo γ

14 es siempre menor que l sum de ls medids de los otros dos ldos pero myor que su diferenci. ) Xº + Yº + Zº + Wº = 360º Y º Z º c X º W º c < < + c LINS NOTLS Y PUNTOS NOTLS 1) < + c...i ) < + c c <...II 3) e I y II emostrción c < < + c 5. myor ldo se opone myor ángulo y vicevers. menor ldo se opone menor ángulo y vicevers. ldos congruentes se oponen ángulos congruentes y vicevers. PROPIS L URILTRO 1) X = + + c Ls línes notles son quells que cumplen funciones específics en el triángulo, dichs línes son: ltur, Medin, Meditriz, isectriz interior, isectriz eterior. Puntos Notles son Ortocentro, ricentro, ircuncentro, Incentro y centro 1. LTUR. s el segmento perpendiculr trzdo desde un vértice del triángulo l rect que contiene l ldo opuesto. n cd un de ls siguientes figurs, el segmento H es un ltur del triángulo. X c H H ORTONTRO. s el punto de concurrenci de ls lturs de un triángulo. l ortocentro es un punto que puede estr en el interior del triángulo, fuer de él o en el vértice del ángulo recto, según los triángulos sen cutángulos, Otusángulos y Rectángulos respectivmente. ste punto tiene l propiedd de dividir cd ltur en dos segmentos cuyo producto es un constnte. H

15 H H : O R T O N T R O 3) MITRIZ: s un rect perpendiculr un ldo del triángulo en su punto medio, dich rect se encuentr en el mismo plno que contiene l triángulo O T U S N G U L O L L : MITRIZ U T N G U L O H R T N G U L O H: ORTONTRO n el vértice de un ángulo recto de un triángulo se uic el Ortocentro. M IRUNNTRO (O): s el punto de concurrenci de ls meditrices de los ldos de un triángulo. H ) MIN: s un segmento que une un vértice y el punto medio del ldo opuesto. n l figur M es el punto medio de, M se llm medin. M : M e d i n l circuncentro es un punto que puede estr en el interior del triángulo, fuer de él o en el punto medio de l hipotenus, según los triángulos sen cutángulos, Otusángulos y Rectángulos respectivmente. ste punto tiene l propiedd de ser el centro de l circunferenci circunscrit l triángulo (ircunferenci circunscrit, es l que ps por los vértices del triángulo) y equidistn de sus vértices. M RINTRO (G): Llmdo tmién centro de grvedd o grvicentro o centroide, es el punto de concurrenci de ls tres medins de un triángulo. l ricentro, siempre es un punto interior l triángulo, divide cd medin en dos segmentos que están en l relción de 1/3 y /3 de l medin. P G M N G = (GM) G = (GN) G = (GP) UTNGULO OTUSNGULO RTNGULO 4) ISTRIZ INTRIOR. s el ryo que prtiendo del vértice de un triángulo, divide l ángulo interior en ángulos de igul medid. X: : O O isectriz Interior Segmento de isectriz interior. O

16 INNTRO (I): s el punto de concurrenci de ls isectrices interiores. l Incentro, siempre es un punto interior l triángulo. ste punto tiene l propiedd de ser l centro de l circunferenci inscrit l triángulo (circunferenci inscrit es l que toc los ldos del triángulo, interiormente en tres puntos) y equidistr de los 3 ldos. β β I γ γ γ γ 5) ISTRIZ XTRIOR: s el ryo que prtiendo del vértice de un triángulo, divide l ángulo eterior en ángulos de igul medid. β β un ldo y ls prolongciones de los otros dos ldos en tres puntos respectivmente) y equidistr de un ldo y de ls prolongciones de los otros dos. Todo triángulo tiene 3 ecentros, cd uno de ellos reltivo uno de los ldos del triángulo. * VIN: s el segmento que une un vértice de un triángulo con un punto culquier del ldo opuesto o de su prolongción. esde un vértice se puede trzr infinits cevins. Por lo tnto ls cevin no es líne notle. l nomre de cevin se dee en honor l mtemático itlino V en P, Q, R: evins : S e g m e n t o d e i s e c t r i z t e r i o r P Q R PROLMS RSULTOS XNTRO (): s el punto de concurrenci de dos isectrices eteriores, con l isectriz interior del tercer ángulo del triángulo. 01. Hllr Xº ) 50º ) 60º c) 65º d) 70º e) 80º Resolución 3 5 º 0 º º 5 º 0 º β β : centro reltivo l ldo 3 5 º y 5 º l centro es siempre, un punto eterior l triángulo. ste punto tiene l propiedd de ser el centro de l circunferenci einscrit l triángulo (circunferenci einscrit es l que toc

17 1) Por ngulo eterno = y + 5º... (I) y = 35º + 0º...(II) ) (II) en (I) = 35º + 0º + 5º = 80º Rpt. e 0. n l figur, GH es un cudrdo. Hllr el vlor de ) 60º ) 45º c) 50º d) 30º e) 0º 7 5 º H Resolución: 5 8 º + + = 180º = + + Sum = 180º + Mitd: = 90º + / = 90º + 58º/ Resolución G = 119º Rpt. 4 5 º 7 5 º 1) n el triángulo PH 75º + 45º + y = 180º y = 60º... (I) P 7 5 º 4 5 º y H G 04. Hllr el ángulo formdo por l intersección de ls isectrices de los ángulos eteriores de los ángulos gudos de un triángulo rectángulo ) 60º ) 45º c) 30º d) 65º e) 90º Resolución ) n + y = (II) 3) (I) en (II) + 60º = 90º = 30º Rpt. d 03. n un triángulo, el ángulo mide 58º. uánto mide el ángulo donde es el punto de intersección de ls isectrices de los ángulos y? ) 15º ) 119º c) 110º d) 95º e) 10º 1) Sum de ángulos eternos en 90º + + = 360º + = 70º Mitd + = (I) ) n + + = (II) 3) (I) en (II) 135º + = 180º = 45º Rpt. 05. l ángulo de un triángulo mide 40º. uánto mide el ángulo donde es el punto de

18 intersección de ls isectrices del ángulo interior y ángulo eterior? ) 10º ) 0º c) 30º d) 40º e) 50º Resolución PROLMS PROPUSTOS 1. e l figur = ; = ; el triángulo es: 4 0 º 1) Por ángulo eterno + 40º = Mitd + 0º =... (I) + =... (II) ) Igulndo (II) y (I) + = + 0º ) ) Isósceles quilátero ) ) cutángulo Rectángulo ) Otus ángulo. e l figur: = ; = ; = ; =. lculr: m. Si: m =40º = 0º Rpt. 06. Hllr X si: I es Incentro del triángulo, m = 140º. ) 100º ) 110º ) 45º ) 75º ) 65º c) 10º d) 130º ) 55º ) 85º e) 140º I º 3. el gráfico djunto determin l Resolución relción correct, si: PQ= PR º 1) Propiedd (Pro.4) 140º = 90º + / = 90º + / Sum 140º+ = 180º + (+)/ 140º + = º + = 70º β β ) 3 = )5 = ) 7 = 3 ) 4 = ) 7 = = 130º Rpt. d

19 4. lculr, si = y T = T cevin PQ. Sore PQ se tom el punto R tl que NQ = NR y l m RNP = 36. Hllr l m MPQ ) 18 ) 0 )30 ) 36 ) n un tringulo rectángulo recto en, se trz l ltur H. n el tringulo H se trz l isectriz interior R. Si = 10 y H = 7. Hllr HR ) 10º ) 15º ) 0º ) 30º ) 40º 5. lculr, si: - = 18 ) ),5 ) 3 ) 3,5 ) Según el grfico. Hllr el vlor de 4 4 β β ) 16º ) 17º ) 18º ) 19º ) 36º 6. n un triángulo se trz l isectriz interior, tl que m< = 7º y m< = 35º. lculr l m<. ) 10 ) 0 )30 ) 40 ) e l figur. Hllr, = 4 y = β β ) 56º ) 71º ) 63º ) 77º ) 70º ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 + β 7. n l figur W =, = 3, = 8. Hllr β W ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 8. Se tiene un tringulo isósceles MNP; MN = NP, en el cul se trz l 1. e l figur. Hllr + y + β β β y z ) 00 ) 170 ) 300 ) 330 ) 360

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21 TRINGULOS II ONGRUNI TRIÁNGULOS os triángulos son congruentes, si tienen todos sus elementos (ldos y ángulos) respectivmente congruentes. Pr que dos triángulos sen congruentes es necesrio que cumpln con uno de los siguientes csos generles: 1º so (L..L.): os triángulos son congruentes si tienen dos ldos respectivmente congruentes y congruente el ángulo comprendido entre dichos ldos. 4º so: (L.L..): os triángulos son congruentes si tienen dos ldos respectivmente congruentes y congruente el ángulo que se opone l myor de dichos ldos. º so (.L..): os triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivmente congruentes y congruente el ldo comprendido entre dichos ángulos. 3º so: (L.L.L.): os triángulos son congruentes si tienen sus tres ldos respectivmente congruentes. OSRVIONS: 1. Un sol epresión nos dice l vez seis coss, ser: Â,,,,. Si dos triángulos son congruentes, son respectivmente congruentes sus seis elementos; y ldos congruentes se oponen ángulos congruentes y recíprocmente. 3. lgunos utores no considern el 4º so LL (Ldo, Ldo, ngulo), mencionn solmente los tres primeros csos. ONGRUNI TRINGULOS RTNGULOS stán comprendidos en los csos de congruenci y estudidos, teniendo

22 presente que necesitn sólo de condiciones porque tienen el ángulo recto como ángulo conocido. 1º so (-) (teto, teto) LL os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen sus ctetos respectivmente congruentes. cteto respectivmente congruentes. (so LL). º so (-) (teto, ngulo) L os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen un cteto y un ángulo gudo respectivmente congruentes. TORM L TRINGULO ISOSLS n todo triángulo isósceles, ldos congruentes se oponen ángulos congruentes. THLS MILTO (600..) Uno de los 7 sio de l ntigu GRI, demostró que l medid de los ángulos de l se de un triángulo isósceles son igules. Si: = ntonces 3º so (H - ) (Hipotenus, ngulo) os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen l hipotenus y un ángulo gudo respectivmente congruentes. emostrción: 1) Trzmos l isectriz. ) por el cso LL. L.q.q.d. NOT: n el º SO de congruenci de triángulos rectángulos, el ángulo gudo puede ser dycente l cteto o puede ser opuesto l cteto. 4º so (H- ) (Hipotenus, teto) os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen l hipotenus y un TORM L TRINGULO QUILTRO n todo triángulo equilátero, sus tres ángulos internos son congruentes.

23 l segmento o l prolongción de dicho segmento. s decir perpendiculr l rect que contiene el segmento. P P emostrción: 1) Por teorem del isósceles. y ) Trnsitividd de congruenci de ángulos. L.q.q.d. PROPI: es un cudrdo, L1//L ² = ² + y² = + y ISTNI UN PUNTO L distnci de un punto un rect, es l longitud del segmento perpendiculr desde el punto l rect. P Y X L 1 Y L PLIIONS L ONGRUNI TRINGULOS. 1º TORM L ISTRIZ UN NGULO. Todo punto que pertenece l isectriz de un ángulo equidist de los ldos del ángulo. o H emostrción: so H-: OP OP P = P L.q.q.d. P = P º TORM L MITRIZ Todo punto que pertenece l meditriz de un segmento equidist de los etremos del segmento ddo. H M P P H P = P L L medid H de PH es l distnci de P l rect L. l punto H se le denomin pie de l perpendiculr. L distnci de un punto un segmento, es tmién l longitud del segmento perpendiculr desde el punto emostrción: so LL PM PM P = P L.q.q.d. NOT:

24 Si dos línes notles coinciden en un triángulo, entonces dicho triángulo es isósceles. jemplo: Los siguientes triángulos son isósceles. 3º TORM: Los segmentos de prlels comprendidos entre prlels son congruentes. = = emostrción: Sen y dos segmentos prlelos comprendidos entre ls prlels y. Trzndo el segmento quedn formdos dos triángulos congruentes y (so L), por lo tnto: = = L.q.q.d. 4º TORM LOS PUNTOS MIOS Si por el punto medio de un ldo de un triángulo se trz un rect prlel otro ldo, dich prlel divide l tercer ldo del triángulo en dos segmentos congruentes. l segmento determindo por los puntos medios de dos ldos del triángulo mide l mitd del tercer ldo. Hipótesis: - M punto medio de (M = M) - L rect MN es prlelo l ldo. Tesis: N = N, MN = M N M emostrción: 1) Trcemos N// ntonces: MN es un prlelogrmo M = N = MN (I) ) MN N (L) N = N = MN (II) 3) + = (III) 4) I y II en III MN + MN = MN= L.q.q.d. 5º TORM l segmento que une los puntos medios de dos ldos de un triángulo es prlelo l tercer ldo y mide l mitd de su longitud. Hipótesis: Se el triángulo M punto medio de N punto medio de Tesis: M N N

25 MN// MN = / emostrción. 1) Prolongmos MN hst P tl que MN= NP ) MN NP (cso LL) m = mnp y M = P 3) MP es un prlelogrmo. MN// (MN) = MP= MN= L.q.q.d. 6º TORM L MNOR MIN N L TRINGULO RTNGULO. L medin reltiv l hipotenus de un triángulo rectángulo mide l mitd de l longitud de l hipotenus. M o M N P 1) Por el punto M trcemos MN// ) N = N (Teorem de los puntos medios) 3) MN MN (so LL) M = M M = / 7º PROPI LS MINS UN TRINGULO. Ls medins de un triángulo concurren en un punto que dist de cd vértice el dole de l distnci l punto medio del ldo opuesto. emostrción. G N P M Hipótesis: m = 90º M = Medin 1) Prolongr N hst P tl que P//M ) GN NP (cso L) Tesis: M = / emostrción: M GN = NP =, G = P..(I) 3) Teorem de los Puntos Medios G = GP = N

26 (II) GM = P = P =... = 60º 4) G = P = L.q.q.d. TRINGULOS NOTLS emostrción: 1) Trzr l medin M ) M quilátero (: constnte) = 60º L.q.q.d º 4 5 º TRINGULO RTNGULO ISOSLS n un cudrdo de ldo,, trzmos l digonl, oservmos que el triángulo es isósceles. 4 5 º 6 0 º TRINGULO 30º Y 60º 4 5 º X Pitágors X² = ² + ² X² = ² n un triángulo equilátero de ldo, trzmos l ltur H y oservmos que H = H = 3 0 º X H 3 0 º 6 0 º 6 0 º Teorem de Pitágors. X² + ² = ()² X² + ² = 4² X² = 3² X = 3 n el H (30º y 60º) el cteto dycente 60º mide l mitd de l hipotenus. TORM 1 Si un cteto mide l mitd de l hipotenus, entonces el ángulo gudo dycente dicho cteto mide 60º. X = n el (45º) l hipotenus es veces el lrgo de un cteto. TORM n un triángulo rectángulo isósceles, el cteto es / veces el lrgo de l hipotenus. X 4 5 º X 4 5 º 4 5 º = emostrción Pitágors ² + ² = ² ² = ² 4² = ² = M TORM 3

27 Si l se de un triángulo isósceles es veces el lrgo de cd uno de los. Él triángulo es isósceles, = dos ldos congruentes, entonces el ángulo opuesto l se es un ángulo y l ltur trzd desde mide 10. si P recto. es un punto culquier del ldo, umple Pitágors ²+ ² = ( )² = 90º TORM 4 L ltur reltiv l hipotenus de un triángulo rectángulo de 15º y 75º mide l curt prte de l hipotenus. 6 0 º 1 5 º H = + 3 H = ( + 3 H = - 3 H = ( - 3 ) clculr l sum de ls distncis de P los ldos congruentes. ) ) ) ) 10 ) n un triángulo, m< =105º, m<=5º y = 6. Si l meditriz de intersec en P, clculr P. ) ) 3 4 ) ) 6 7 ) º º H M 4 emostrción: 1) Trzmos l medin M M =... (I) ) HM (30º y 60º) M H =... (II) 3) I en II H = 4 JRIIOS 4. n un triángulo rectángulo, recto en, se se que =10 y m<=6,5º. clculr l medid de l ltur H. ) 3 ) 6 ) 4 ) 7 ) 5 5. n un triángulo rectángulo, l isectriz interior del ángulo gudo myor y l meditriz de l hipotenus se intersecn en un punto sore el cteto myor. lculr l medid de uno de los ángulos gudos. 1. n un triángulo l medid del ángulo eterior en el vértice es el triple de l medid del ángulo, demás l meditriz intersec en P. lculr P, si = 9. ) ) ) ) ) ) 75º ) 45º ) 60º ) 37º ) 53º 6. n un triángulo, =6 y =9. Por se trz perpendiculr l isectriz interior

28 . Si N es el punto medio de, clculr PN. ),5 ) ) 3,5 ) ) 1,5 7. n un triángulo se trz l medin tl que l m<m=50º y m<m=65º. Si =18, clculr M. ) ) ) ) 1 ) 3 8. n un triángulo, en y se uicn los puntos P y Q respectivmente tl que: = Q, m = 50 ; m = 70 ; m P = 55 ; clcule l m QP. ) 15 ) 30 )37 d) 45 e) es un triángulo otusángulo, otuso en, se trz l isectriz interior, si m = m, = y =. lculr. m P = 90 y m P = m P, si = 6. lculr PH ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 1. do un triángulo rectángulo tl que =, interiormente se uic el punto P, si: P = 3, P = 7, m P = 90; clcule P. ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) do un triángulo en l cul l isectriz interior y l ltur H se intersecn en P. Tl que m PH = 15 y en H se uic el punto Q, si QP P ; Q = (P), clcule l m P. ) 15 ) 30 )45 d) 53 e) Se tiene un triángulo en l cul se trz l medin M y l cevin N ls cules se intersecn en T, tl que MT = T y TN = 5u, clcule T. ) 10 ) 15 ) 0 ) 7,5 ) 10 ) + ) + ) - ) + ) es un triángulo rectángulo, recto en, en l prolongción de se uic el punto P y en el eterior reltivo se uic el punto Q, tl que P PQ, si = P + PQ y m = m PQ. lculr l m Q ) 30 ) 37 )45 ) 60 ) es un triángulo rectángulo, recto en, en él se trzn; l ltur H y l cevin interior, tl que = = 8, en el interior del triángulo se uic el punto P, tl que

29 POLIGONOS Y URILTROS INIIÓN: Sen P 1, P, P 3, P 4,... P n-1, P n puntos distintos en el plno y no colineles con n>. L unión de los segmentos P 1 P, P,P 3,..., P n-1 P n, P n P 1, recie el nomre de POLÍGONO, si los segmentos tienen ls siguientes propieddes: - os segmentos con un punto común no deen ser colineles. - os segmentos culesquier sólo pueden interceptrse en sus etremos. con uno de los ángulos internos del polígono. - Un segmento que une dos vértices no consecutivos lo denominremos digonl del polígono. - Un segmento que une los puntos medios de dos ldos culesquier, lo llmremos digonl medi del polígono. OSRVIÓN: n un polígono de n ldos eisten n vértices, n ángulos internos. P 1 P P n P 7 P 5 P 3 NOT 1: Todo polígono divide l plno en tres suconjuntos de puntos: - Puntos interiores l polígono. - Puntos eteriores l polígono - Puntos que pertenecen l polígono. P n - 1 P 6 n l figur, l prte punted indic otros posiles puntos y segmentos puesto que n es un número nturl culesquier igul o myor que 3. P 4 Un punto está en el interior de un polígono si está en el interior de cd uno de los ángulos internos del polígono, y está en el eterior, si no está ni en el interior ni en el polígono. P U N T O S L P O L Í G O N O LMNTOS L POLÍGONO - Los puntos P 1, P,...,P n se llmn verticles del polígono. - Los segmentos P 1 P, P P 3,..., P n-1, P n P 1, son los ldos del polígono. - os segmentos con un vértice común determinn un ángulo l cul llmremos ángulo interno del polígono. - Un ángulo es ángulo eterno de un polígono si y solo si form un pr linel dycente NOT. l perímetro del polígono es igul l sum de todos sus ldos. NOT 3. P U N T O S I N T R I O R S P U N T O S X T R I O R S

30 Región poligonl es un figur formd por los puntos del polígono y los puntos interiores l polígono. s quel polígono cuyos ldos son todos congruentes.jemplo: LSIIIÓN POLÍGONOS Los polígonos se clsificn en: ) Por el número de ldos Triángulo udrilátero Pentágono Heágono Heptágono Octágono Nonágono o neágono ecágono ndecágono o Undecgono odecágono Pentdecágono Icoságono 3 ldos 4 ldos 5 ldos 6 ldos 7 ldos 8 ldos 9 ldos 10 ldos 11 ldos 1 ldos 15 ldos 0 ldos Los polígonos restntes se llmn según su número de ldos. Por ejemplo: polígono de 14 ldos, polígono de 5 ldos, etc. 4. Polígono quiángulo s quel polígono cuyos ángulos internos son todos congruentes 5. Polígono Regulr s quel polígono que es l vez equiángulo y equilátero. jemplo: 1 0 º 1 0 º 1 0 º 1 0 º 1 0 º 1 0 º ) Por su form 1. Polígono onveo: s interceptdo en sólo dos puntos 6 0 º por un rect secnte. 6 0 º 6 0 º. Polígono no onveo s interceptdo en más de dos 6. Polígono No Regulr (Irregulr) s quel polígono que no cumple ls condiciones del polígono regulr. puntos por un rect secnte. ÓRMULS GNRLS N UN 3. Polígono quilátero: POLÍGONO N LOS.

31 d: Números de digonles que se pueden trzr desde un vértice. d = N-3 : Número totl de digonles que se pueden trzr. URILÁTRO Se llm cudrilátero, l polígono de 4 ldos. onsiderndo l medid de sus ángulos internos pueden ser conveo o cóncvo. = N(N 3) Z : Número de digonles que se pueden trzr desde V vértices consecutivos. ONVXO ÓNVO lementos: Z : V N - ( V + 1)(V + ) Si : Sum de ls medids de los ángulos internos β Y Z γ Si = 180º (N-) Se: Sum de ls medids de los ángulos eternos Se = 360º ORMULS PR POLÍGONOS RGULRS N LOS i : Medid de un ángulo interno 1) Ldos:, y ) Vértices:,, y 3) ngulos Interiores: X, Y, Z, W 4) ngulos teriores:, β, γ,. Not 1. n todo cudrilátero, l sum de ls medids de sus ángulos es 360º. W i = 180 º(N ) N e: Medid de un ángulo eterno 360 º e = N c : Medid de un ángulo centrl 360 º c = N LSIIIÓN URILÁTROS ONVXOS tendiendo l prlelismo de sus ldos, se clsificn en tres: Prlelogrmos, Trpecios y Trpezoides.

32 ) PRLLOGRMOS. Son quellos que tienen sus ldos opuestos prlelos. Se clsificn en: 1. ROMO. Llmdo tmién Losnge. s un prlelogrmo que tiene sus 4 ldos congruentes. Romo o Losnge. Romoide. s un prlelogrmo. P R L L O G R M O O R O M O I.3 Rectángulo. Llmdo tmién udrilongo. s un prlelogrmo que tiene sus 4 ángulos rectos h h Not. undo en un prolem se mencion prlelogrmo, se diuj como un romoide. Not 3 l udrdo es un romo y tmién es rectángulo. Not 4 e todos los rectángulos de igul perímetro, el que tiene más áre es quel cuy diferenci de ldos es menor. Por lo tnto el que tiene áre máim es el cudrdo. PROPIS L PRLLOGRMO 1. n todo prlelogrmo, los ldos opuestos son congruentes.. n todo prlelogrmo, los ángulos opuestos miden igules y los ángulos dycentes un mismo ldo son suplementrios. 3. n todo prlelogrmo ls digonles se isecn mutumente. (isecn: se cortn en su punto medio)..4 udrdo. s un prlelogrmo que tiene sus 4 ángulos rectos y sus 4 ldos congruentes. (Polígono Regulr de 4 ldos). 4. Ls digonles de un rectángulo son congruentes (miden igul). 5. Ls digonles de un rectángulo se interceptn en su punto medio, determinndo 4 segmentos de igul longitud. O

33 Son cudriláteros que tienen dos ldos opuestos prlelos y se les llm se myor y se menor. Se su-clsificn en 3:.1 Trpecio escleno. s quel que tiene sus ldos no prlelos desigules. O = O = O = O 6. Ls digonles de un romo son perpendiculres entre si y isectrices de sus ángulos. h : igonl myor : igonl menor o X = 90º O = O O = O. Trpecio isósceles: s quel que tiene sus ldos no prlelos congruentes (miden igul). h.3 Trpecio Rectángulo. s quel que tiene dos ángulos rectos. + = º 7. Ls digonles de un cudrdo son congruentes, perpendiculres y isectrices de sus ángulos. 4 5 º 4 5 º X = 90º h = 4 5 º 4 5 º. TRPIOS. X Not 5. undo se dice ltur del trpecio, se sorentiende que es l distnci entre ls ses.

34 Not 6. Medin del trpecio: s el segmento que une los puntos medios de los ldos no prlelos. Not 7. Los ángulos dycentes un mism se de un trpecio isósceles y los ángulos opuestos son suplementrios. P Q PROPIS L TRPIO I) MIN UN TRPIO: MN - emostrción: M + emostrción: M=M, N=N MN = + 1. Se trz N cuy prolongción intercept l prolongción de en.. N N (cso L) = = N = N 3. Teorem de l se medi MN = MN = N + l.q.q.d. II) SGMNTO QU UN LOS PUNTOS MIOS LS IGONLS L TRPIO: PQ 1) Se trz Q cuy prolongción intercept en. ) Q Q (L) = = Q = Q 3) Teorem de l se medi PQ = PQ =. TRPZOIS l.q.q.d. Son cudriláteros que no tienen ningún ldo prlelo otro. isten dos clses:.1 Trpezoide Simétrico: Si un de sus digonles es meditriz de l otr. L figur es simétrico respecto l eje (lo que ven l ldo izquierdo de es igul lo que ven l ldo derecho). Trpezoide Simétrico o isosceles

35 = = sum de ls medids de ls digonles. Perímetro (MNPQ) = ( + ) ) l áre del prlelogrmo MNPQ es igul l mitd del áre del cudrilátero. 3) n el cudrilátero conveo se cumple que: re(mn)+re(pq)=re(mq)+re(pn) 4) n el cudrilátero cóncvo se cumple que: c. Trpezoide simétrico s quel cudrilátero que no tiene ningun simetrí. r(mn)-re(pq)=re (MQ)+re (PN) II) X PROPIS L TRPZOI X = m + m emostrción: I) n todo trpezoide, l unir los puntos medios de los ldos consecutivos, se form un prlelogrmo cuyo perímetro es igul l sum de ls digonles de dicho trpezoide. N 1) + + m + m = 360º m + m Mitd ++ =180º (I) ) + + X = 180º (II) M Q P ONVXO ÓNVO 1) MNPQ es prlelogrmo cuyo perímetro es igul l M Q P N 3) II I + + X = + + X = m + m m + m Z P X l.q.q.d.

36 1) = X + + m I III ) X + = m + II 3) I en II X + X + + m = m + emostrción: 1) P Z = + m + (I) X = X = m - m m + m l.q.q.d. ) P Z++m += 360º (II) 3) I + II Z+ + m + = + m º (III) Z + m - m = 360º Mitd Z+ m m + = 180º 4) X + Z = 180º (IV) 5) IV=III X+Z=Z+ X = m + m emostrción l.q.q.d. m + m JRIIOS 1. Si l medid del ángulo eterno de un polígono regulr es k veces el interior. lculr k (k Z). ) 1 y 3 ) 1 y ) 1 y 4 ) y 3 ) y 4. s un polígono regulr... l m =144. uánts digonles medis tiene? ) 100 ) 150 ) 160 ) 170 ) Los ángulos interiores, y de un pentágono conveo miden 70, 160 y 50 respectivmente. Ls isectrices interiores de los ángulos y, formn un ángulo que mide: ) 30 ) 35 )40 ) 45 ) n un heágono equiángulo, =, = 1, = 4 y = 3. Hllr su perímetro. ) 10 ) 15 ) 18 ) 4 ) 8 5. L diferenci del número de digonles de cierto polígono y el número de ángulos rectos que

37 equivle l sum de ls medids de sus ángulos interiores es 8. uántos ldos tiene el polígono? ) 4 ) 5 ) 8 ) 1 ) Ls medids de los ángulos interiores de dos polígonos conveos regulres se diferencin en 0 y ls medids de los ángulos eteriores sumn 100. uánts digonles tienen el polígono de myor número de ldos? ) 7 ) 18 ) 3 ) 40 ) 5 7. Se tienen dos polígonos regulres cuyos números de digonles se diferencis en 34 y cuys medids de sus ángulos, centrles están en l relción de 3. Hllr l diferenci de ls medids de sus ángulos interiores. ) 5 ) 5 )10 ) 40 ) l perímetro de un octágono equiángulo GH es 4 + 4, dicho polígono tiene dos tipos diferentes de ldos los cules se presentn en form lternd. Hllr + G. ) + ) 3 ) 3 + ) 3 + ) lculr el ángulo centrl de un polígono regulr en donde l disminuir el número de ldos en máimos números de digonles disminuye en 15. ) 30 ) 45 )36 ) 70 ) n un trpecio ; m =m =90; ls isectrices interiores de los ángulos y se intersecn en P. lculr, si l distnci desde el punto P es 4. )6 )8 )10 )1 )16 11.n un romo, se trz, tl que H = H, clculr m. )30º )45º )40º )60º )75º 1.n un trpecio se se que: m < = m < ; = 4; = 5. lculr l medid de l se myor. )6 )7 )8 )9 ) n un romoide se trz l isectriz (M en ). Si = 6, clculr l medid del segmento que une los puntos medios de y. ) )3 )4 )5 ) 3 IRUNRNI I Puntos eteriores l circunferenci Puntos de l circunferenci. IRUNRNI: L circunferenci es el lugr geométrico de los puntos de un plno que equidistn de un punto del mismo plno llmdo centro. P U N T O S I N T R I O R S P U N T O S X T R I O R S Lugr geométrico s el conjunto de puntos que gozn de un mism propiedd. L circunferenci divide l plno en tres suconjuntos de puntos: Puntos interiores l circunferenci ÍRULO s l figur formd por los puntos de l circunferenci y los puntos interiores l circunferenci.

38 LMNTOS 7. lech o Sgit. S SNT H M R P s el segmento que une los puntos medios de l cuerd y el rco de menor longitud que sutiende dich cuerd. (figur: MH ) IMTRO O RO RIO TORMS UNMNTLS TNGNT Q ) l rdio trzdo con respecto l punto de tngenci, es perpendiculr l rect tngente que l contiene. OT R T 1. Rdio: s el segmento que une el centro con un punto de l circunferenci(figur OQ, O ).. rco: s quell prte de circunferenci limitd por dos puntos de dich circunferenci (figur: ) 3. uerd: s el segmento que une dos puntos culesquier de l circunferenci (figur ). 4. iámetro o uerd Myor: s l cuerd que ps por el centro y es el dole del rdio. (figur ). 5. Rect Secnte: s culquier rect que cort l circunferenci en dos puntos (figur RS ). 6. Rect Tngente. s quell rect que tiene un sólo punto en común con l circunferenci (figur: PQ). O T R T ) n tod circunferenci, un diámetro o rdio es perpendiculr un cuerd. Si y solo si ps por el punto medio de dich cuerd. Si: MN ntonces MH = HN M r c) n tod circunferenci cuerds congruentes se oponen rcos congruentes y vicevers. O H r N

39 Si: d) n tod circunferenci, los rcos comprendidos entre cuerds prlels son congruentes (miden igules). Si // ntonces e) Si es diámetro de un semicircunferenci y es un punto culesquier de dich semicircunferenci, entonces m = 90º emostrción = 180º + = 180º Mitd + = 90º l.q.q.d. m = 90º R R 0 R MI ÁNGULOS N L IRUNRNI LSIIIÓN: Según l posición del vértice del ángulo: 1. ngulo entrl: undo tienen su vértice en el centro de l circunferenci. ngulos céntricos: uándo no tienen su vértice en el centro de l circunferenci. stos se clsificn en periféricos, internos y eternos..1 ngulos Periféricos: Son los que tienen sus vértices en l circunferenci. Pueden ser inscrito, semiinscrito y einscrito. ngulos internos: Son los que tienen sus vértices en el interior de l circunferenci..3 ngulos eternos: Son los que tienen su vértice en el eterior de l circunferenci. INIIONS: 1. NGULO NTRL s quel ángulo que tiene su vértice en el centro de l circunferenci, sus ldos contienen cd uno un rdio y su medid es igul l rco comprendido entre sus ldos; siempre y cundo est medid del rco se ngulr. O

40 O = entro = m. NGULO INSRITO s quel cuyo vértice es un punto de l circunferenci, sus ldos contienen cd uno un cuerd y su medid es igul l mitd de l medid del rco que sutiende sus ldos. m = 4. NGULO SMINSRITO: Su vértice se encuentr en l circunferenci, un ldo es un tngente y el otro contiene un cuerd y su medid es igul l mitd de l medid del rco que sutienden sus ldos. o = entro = m o L: tngente R L 3. NGULO XINSRITO s el suplemento de un ángulo inscrito, su vértice se encuentr en l circunferenci, un ldo contiene un cuerd y el otro ldo l prte eterior de un secnte y su medid es igul l mitd de l medid de todo el rco que no corresponde l ángulo inscrito. =m 5. NGULO INTRIOR Su vértice se encuentr en el interior de l circunferenci, está formdo por dos secntes que contienen dos cuerds que se cortn y su medid es igul l semi sum de los rcos interceptdos por él y por su opuesto por el vértice. emostrción + = 180º + = 360º + m = 360º = 360º - m = m = ngulo inscrito = m = + 6. NGULO XTRIOR Su vértice se encuentr en el eterior de l circunferenci, pudiendo ser sus ldos dos secntes, un secnte y un tngente o dos tngentes. n éste último cso se llm ángulo circunscrito.

41 L medid del ángulo eterior es igul l semidiferenci de ls medids de los rcos que sutienden sus ldos. ) Ldos Secntes = ) Ldos tngentes y secntes = n 180º (3) e ls tres fórmuls pr ángulo circunscrito, l más utilizd es l fórmul (). RO PZ s el lugr geométrico de todos los puntos que unidos dos puntos fijos determinn ángulos constntes e igules l ángulo ddo. l rco cpz es un rco de circunferenci y el segmento que une los puntos fijos se denominn cuerd cpz o segmento cpz. r c o p z = - c) Ldos tngentes (ngulo circunscrito) n = n (1) UR PZ e l figur: NOT : rco cpz de todos los ángulos que miden º : uerd cpz l rco cpz de los ángulos de 90º es un semicircunferenci. n = 360º - Reemplzndo en l fórmul tenemos: + = 180º () PROPIS 1. Ls medids de los ángulos opuestos de un cudrilátero inscrito sumn 180º nálogmente:

42 T + T + = emostrción: Por ángulo inscrito = = Sum: + = + = º + = 180º. n dos circunferencis tngentes interiores cumple: m = m l.q.q.d. = 3. n dos circunferencis tngentes eteriores cumple: m = 90º, y : Puntos de Tngenci T n g e n t e emostrción: T P = 180º + = 180º Mitd + = 90º P y T: Puntos de Tngenci l.q.q.d. m = 90º emostrción: = T + (ngulo Seminscrito) 4. l ldo de un pentágono regulr sutiende un rco de 7º = 360 º 5 = 7º = T + (ngulo Interior) Igulndo

43 5. Si un cuerd mide igul que el rdio entonces dich cuerd sutiende un rco de 60º R 6 0 º R 6 0 º R 6 0 º o emostrción 1) Por hipótesis = Rdio ) Trzmos los rdios O y O 3) l triángulo O es equilátero mo = 60º 4) ngulo entrl l.q.q.d. m = 60º 6. l ldo de un heágono regulr sutiende un rco de 60º y l medid del ldo del heágono regulr es igul l medid del rdio. O

44 3 JRIIOS 1. n l figur Hllr ) 18º ) 0º ) 36º ) 48º ) 7º. Si = 4 I: Incentro. Hllr IQ I ) 150º ) 160º 5. Según el gráfico m T = m =. Hllr X T ) 30º ) 40º ) 50º ) 60º ) 70º 6. Hllr si, y T son puntos de tngenci. Q ) ) ) 3 ) 4 ) 6 3. n el gráfico mostrdo. Hllr el vlor de T β X 1 0 º 0 ) β ) β )+β ) ) β 7. Hllr PQ, si P = 4m, P es punto de tngenci ) 80º ) 90º )100º ) 110º ) 10º 4. n l figur mostrd, hllr el vlor de. P Q O X º ) m ) 3m ) 4m ) 5m ) 6m 6 0 º ) 100º ) 10º ) 140º

45 8. lculr, si y, son puntos de tngenci. T 80 ) 15 ) 0 ) 30 ) 45 ) 60 ) 80 ) 60 ) 70 ) 40 ) lculr, si: P, R, S, T y M. Son puntos de tngenci. P M R T 4 0 ) 10 ) 15 ) 35 ) 30 ) 0 S 1. Se tiene un semicircunferenci de diámetro ; en el rco se uicn los puntos y tl que l distnci de dichos puntos hci el diámetro son 4 y 3; clcule l medid del ángulo entre y si: m = 90 ) 16 ) 0 ) 37 / ) 53 / ) do un prlelogrmo l circunferenci que contiene los puntos, y intersec en M. lculr l m, si = 5 y M = 6 ) 37 ) 53 )74 ) 100 ) lculr l m, si O es centro. = y O 5 0 ) 50 ) 60 ) 80 ) 40 ) lculr, si m = 150 ( T punto de tngenci)

46 IRUNRNI II POSIIONS RLTIVS OS IRUNRNIS os circunferencis de centro O 1 y O en un mismo plno y de rdios R y r respectivmente, pueden tener ls siguientes proposiciones. 1 ircunferencis teriores: Si l distnci entre los centros es myor que l sum de sus rdios. 3. ircunferencis Secntes Su l distnci entre los centros es menor que l sum de los rdios y myor que su diferenci. O 1 R d R r < d < R + r r O d = O 1 O istenci del triángulo d > R + r. ircunferencis tngentes eteriores s l distnci entre los centros es igul l sum de los rdios. R O 1 R O 1 d T d r O O r d = R + r Tiene dos puntos comunes ( y ) L cuerd común es perpendiculr l segmento que une los centros 4. ircunferencis Ortogonles Si el cudrdo de l distnci entre los centros es igul l sum de los cudrdos de los rdios. O 1 L d² = R² + r² R d r O L 1 T : Punto de Tngenci l segmento que une los centros ps por el punto de tngenci. L rect tngente común interior ms circunferencis es perpendiculr l segmento que une sus centros. m0 1 O = 90º L 1 : Rect tngente l circunferenci de centro O en el punto L : Rect tngente l circunferenci de centro O 1 en el punto 5. ircunferencis tngentes interiores

47 Si l distnci entre los centros es igul l diferenci de los rdios. L : Tngente común L r O M R R O O 1 r d T d = R - r M : Punto de tngenci OM : PITÁGORS T : Punto de Tngenci * L rect que ps por los centros, tmién ps por el punto de tngenci y es perpendiculr l rect tngente común. 6. ircunferencis Interiores Si l distnci entre los centros es menor que l diferenci de los rdios. R O O 1 r d d + r < R d < R r + r = R = R² - r² = R r = R r TORMS RLIONOS L IRUNRNI 1. ircunferenci Inscrit Se dice que un circunferenci está inscrit en un polígono, si se encuentr en el interior de éste y sus ldos son tngentes dich circunferenci. su rdio se le llm INRIO. Los puntos de un de ells (circunferenci de centro O ) son interiores l otr. (ircunferenci de centro O 1 ) r r r : INRIO : Triángulo 7. ircunferencis concéntrics Si l distnci entre los centros es cero, es decir, sus centros coinciden. (Tienen el mismo centro). circunscrito : udrilátero circunscrito

48 L circunferenci es inscrit. ircunferenci ircunscrit s quell circunferenci que ps por todos los vértices de un polígono. su rdio se le llm IRUNRIO. R R : ircunrdio O : ircuncentro : Triángulo inscrito : udrilátero inscrito L circunferenci es circunscrit. 3. ircunferenci inscrit Se dice que un circunferenci es einscrit un triángulo, si se encuentr en el eterior de dicho triángulo y es tngente un ldo y ls prolongciones de los otros dos ldos. su rdio se le llm XRIO., T y : Son puntos de tngenci. r : rdio Reltivo l ldo : Triángulo einscrito n todo triángulo, hy tres circunferencis einscrits. TORMS TNGNT T R r o 1. Ls tngentes trzds desde un punto eterior un circunferenci son congruentes. emostrción: OP P = P P = P OP (4º cso) l.q.q.d.. Los tngentes interiores comunes dos circunferencis eteriores son congruentes y l rect que ps por los centros tmién ps por el punto de intersección de dichs tngentes. emostrción 1) P = P ) P = P Sumndo: P+P=P + P O = = l.q.q.d. 3. Los tngentes eteriores comunes dos circunferencis son congruentes y su punto de intersección se hll sore l rect que ps por los centros. O P O P = O O P

49 TORM STINR emostrción n todo cudrilátero einscrito o einscriptile l diferenci de ls medids de dos ldos opuestos es igul l diferenci de ls medids de los otros dos ldos. 1) P = P ) P = P Restndo P P = P P M = = lqqd. TORM PITOT n todo cudrilátero circunscrito un circunferenci o circunscriptile, se cumple que l sum de ls medids de dos ldos opuestos es igul l sum de ls medids de los otros dos ldos. + = + R P N emostrción y y 1) M = N + P = + R + + = + + = l.q.q.d. n m emostrción = + n = y + m n m TORM PONLT n todo triángulo rectángulo l sum de ls medids de los ctetos es igul l medid de l hipotenus ms l medid del diámetro de l circunferenci inscrit. Sumndo: + = + y + n + m + = + lqqd m m + = + r GNRLIZNO: n todo polígono circunscrito con un número pr de ldos, l sum de los ldos no consecutivos es igul l sum del resto de ldos. r r r r r n n r : Inrdio

50 emostrción = m + r = n + r Sumndo: + = m + n + r l.q.q.d. + = + r emostrción Perímetro () = + + = + + y + = P + P Perímetro () = P Mitd PROPIS p = P lqqd 1. n todo triángulo circunscrito se cumple: = p y = p z = p - 3. ircunferencis einscrits reltivs l ldo y l ldo, cumple: = y z y z emostrción 1) + y + z = perímetro () ) mitd + y + z = p + = p = p lqqd. n todo triángulo e-inscrito se cumple: P = Q = p emostrción 1) + = semiperímetro ( ) ) + = semiperímetro ( ) 3) Igulndo = lqqd p : Semiperímetro del p y Q p y P 4. ircunferenci einscrit reltiv l ldo y circunferenci inscrit, cumple: +y y = y P = = =G = y P + N y G

51 emostrción P = = + y + y + = y Mitd L.q.q.d. = y 5. L sum de ls medids de los rdios de ls circunferencis einscrits reltivs los ctetos de un triángulo rectángulo, es igul l medid de l hipotenus.. eemos tener en cuent que l medid del ángulo semi-inscrito es igul l medid del ángulo inscrito que sutiende el mismo rco. m = m Recomendciones pr resolver prolems de ángulos en l circunferenci 3. eemos tener en cuent que l medid del ángulo dycente un ángulo circunscrito es igul l medid del rco que sutiende los ldos de este último. 1. Se tiene dos circunferencis tngentes interiormente o tngentes eteriormente, por lo generl los dtos están en un circunferenci y l incógnit está en l otr, trce en estos csos por el punto de contcto un tngente común. = m O O emostrción TNGNT OMÚN : ángulo circunscrito + = 180º m + = 180º Igulndo: O O = m lqqd