FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

Transcripción

1 Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente. Si llamamos f a la función, a la variable independiente e y a la variable dependiente, escribiremos y f () y leemos «y está en función de». Una función se puede epresar mediante un enunciado, una tabla de valores, una gráfica o una fórmula. Una función está definida a trozos cuando se aplican diferentes fórmulas dependiendo de los valores de. Imagen y antiimagen Dado un valor de la variable independiente a, su imagen es f (a). Puede tener una imagen o no tener ninguna. Dado un valor de la variable dependiente y b, una antiimagen es un valor a tal que f (a) b. Escribiremos a f (b). Puede tener más de una antiimagen o no tener ninguna. Dominio de una función Conjunto de valores de la variable que tienen imagen. El dominio de f () se escribe Dom f (). Ejemplos: Polinómicas, irracionales de índice impar, eponenciales, sen y cos : Dom f (). Racionales: { / Q () 0}, donde Q () es el denominador de la función. Irracionales con índice par: { / g () < 0}, donde g () es el radicando de la función. Logarítmica: (0, ). tg : { / π k π, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). Recorrido de una función Conjunto de valores de la variable y que tienen antiimagen. El recorrido de f () se escribe R(f). Ejemplos: Polinómicas de grado impar, logarítmicas y tg :. Eponencial: (o, ). sen y cos : [, ]. Gráfica de una función Dada una función f (), el conjunto de puntos (a, f (a)), a Dom (f) forman la gráfica de f(). Recíprocamente, si un punto (a, b) es de la gráfica de f (), entonces b f (a).

2 Operaciones con funciones OPERACIÓN NOTACIÓN OPERACIÓN NOTACIÓN Suma y diferencia (f ± g) () f () ± g () Cociente f f ( ) ( ) g g( ) Producto (f g) () f () g () (k f) () k f () Composición (f g) () f (g ()) No es conmutativa Función inversa La función inversa de f () se escribe f () y cumple que (f f ) () (f f)(). La función logarítmica es inversa de la eponencial. Las inversas del seno, coseno y tangente son, respectivamente, arcoseno (arcsen ), arcocoseno (arccos ) y arcotangente (arctg ). La función inversa permite calcular el recorrido de una función, ya que R(f) Dom (f ). Límites de una función Para averiguar qué valores adopta y f (), cuando toma valores cada vez más próimos a 0, 0 {± }, se calcula el límite de f () cuando tiende a 0 y se simboliza f (). Para calcular límites se sustituye por 0 : f () f (0). Esto es válido incluso cuando 0 ±. 0 0 Límite de una función en el infinito El límite de f () en el infinito es el valor al que tienden las imágenes cuando toma valores positivos muy grandes o valores negativos muy pequeños. Si L es el límite en y L es el límite en, se escribe: f () L y f () L con L, L {± } Límites laterales de una función en un punto El límite lateral por la izquierda (o por la derecha) de f () cuando tiende a 0 es el valor al cual se aproiman las imágenes de f () cuando se toman valores a la izquierda (o a la derecha) de 0 tan próimos a éste como se quiera. Si L es el límite por la izquierda y L el límite por la derecha, siendo L y L números reales o ±, se escribe: f () L y f () L 0 0 Eiste el límite de f () en 0 si los límites laterales son finitos e iguales a L, y se escribe: f () L. 0

3 Cálculo con límites Operaciones con límites. Si f () L y g () L, y son finitos: 0 0 f ± g L L f g L L f g L L, si L 0 f g L, si L L 0 Límites infinitos ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ) ( ) k ( ± ) ( ± ) k k ( ± ) ( ± ) ±, k 0 0 k ± 0, k ± ± ± k Ver tabla Indeterminaciones Estudio de la continuidad de una función en un punto Una función es continua en un punto si eiste el límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto. f () es continua en a a f () f (a) Una función es continua en un intervalo, si es continua en cada uno de sus puntos. Si un función no es continua en un punto, entonces se dice que es discontinua en ese punto. TIPOS DE DISCONTINUIDADES EVITABLE Eiste el límite (y es finito), pero no coincide con el valor de la función, o bien la función no está definida en dicho punto: a f () f (a) o bien no eiste f (a) DE PRIMERA ESPECIE DE SALTO FINITO DE SALTO INFINITO Los límites laterales son finitos, pero diferentes: Los límites laterales son infinitos: f () f () a a DE SEGUNDA ESPECIE Uno o los dos límites laterales no eisten: f () o f () a No eisten f () o f () Todas las funciones elementales son continuas en su dominio, ecepto: a Funciones racionales: Son discontinuas en los puntos que no son del dominio, es decir, donde el denominador se anula. Las discontinuidades son evitables o de salto infinito, en ningún caso pueden ser de salto finito. a a ±

4 Funciones trigonométricas: La tangente presenta discontinuidades de salto infinito en los puntos que no son de su dominio. Funciones a trozos: Se debe estudiar la continuidad de cada fórmula en su dominio de aplicación y la continuidad en el cambio de una fórmula a otra, donde puede aparecer la discontinuidad de salto. Otras características de las funciones Monotonía: Estudio del crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos. Concavidad y conveidad: Si las rectas tangentes en un punto están por debajo de la gráfica, la función es cóncava en ese punto, si están por encima, es convea. Periodicidad: Las imágenes de la función se repiten en intervalos de una cierta longitud T. Puntos de corte con los ejes: Abscisas (a, 0), Ordenadas (0, b) Asíntotas: Son rectas a las cuales se aproima la gráfica. Son de tres tipos: Horizontales, verticales y oblicuas. Teorema de Bolzano Permite encontrar, de manera aproimada, ceros de funciones. Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y el signo de f (a) es distinto del signo de f (b), entonces eiste, al menos, un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) de modo que f (c) 0. Simbólicamente: [, ] [ ( )] signo[ f ( b) ] f continua en a b signo f a c [ a, b] f() c 0 Teorema de Weierstrass Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en este intervalo al máimo y el mínimo absolutos.

5 La indeterminación 0 k (k 0) se elimina calculando los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite o - ; en caso contrario, no eiste límite. 0 Calculando los límites laterales: Puesto que son distintos, la función no tiene límite en. LIMITES INDETERMINADOS DE FUNCIONES LIMITE DE FUNCIONES RACIONALES LIMITE DE FUNCIONES IRRACIONALES INDETERMINACIÓN La indeterminación 0 0 de funciones racionales desaparece factorizando el y después simplificando Factorizando el numerador y el denominador: 5 6 ( ) ( ); 9 ( ) ( ); Sustituyendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 La indeterminación de funciones racionales desaparece dividiendo por la potencia máima del denominador. 5 6 Como el grado del denominador es, se dividen por. Así: La indeterminación 0 0 de funciones irracionales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epresión radical conjugada. 6 La epresión radical conjugada del denominador es ( 6 ). Así: 6 ( ( ( ) ( 6 ) ( 6 ) 6 ) ( ) ( 6 ) (6 ) ( ) ( 6 ) ( ) 6 ) La indeterminación de funciones irracionales desaparece dividiendo por la potencia máima del denominador. 5 Como el grado del denominador es, se dividen por. Así: La indeterminación se resuelve aplicando la propiedad que figura a continuación: f ( ) 0 g( ) ± 0 e 0 [ f ( ) ] g( ) 0 g( ) [ f ( ) ] Aplicando la propiedad anterior, el límite queda: e e 8 e 0

6 INDETERMINACIONES DEL TIPO Para resolver este tipo de indeterminaciones se emplea el criterio epuesto en la tabla anterior, pero se puede establecer la siguiente regla general; si P() y Q() son polinomios, siempre se cumple que: P( ) - Si grado de P() > grado de Q() entonces ±. El signo depende de los Q( ) signos de los coeficientes de los términos de mayor grado de P() y de Q() y del grado de estos. P( ) a - Si grado de P() grado de Q() entonces, siendo a el coeficiente del Q( ) b término de mayor grado de P() y b el coeficiente del término de mayor grado de Q(). Ejemplos: - Si grado de P() < grado de Q() entonces P( ) 0. Q( ) La regla anterior también es valida cuando en el numerador, en el denominador o en ambos casos hay epresiones con radicales. Por ejemplo: ; Para calcular el grado del 6 denominador nos fijamos únicamente en el término de mayor grado del radicando. INDETERMINACIÓN DEL TIPO En la diferencia de funciones racionales, resta y recalcula el límite. En la diferencia de funciones irracionales de índice, multiplica y divide por la epresión radical conjugada. La indeterminación se transforma en una del tipo : 5 ( 5) ( ) ( ) INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 Se transforma la indeterminación en una del tipo.