MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 1 / 1

2 Parte I Funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 2 / 1

3 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

4 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

5 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial. 2 La función del conjunto de ciudadanos de un país en el de las huellas digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su índice derecho. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

6 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial. 2 La función del conjunto de ciudadanos de un país en el de las huellas digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su índice derecho. 3 La función del conjunto de los reales en sí mismo, que a cada real le asigna su cuadrado. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

7 Funciones De una manera más formal tenemos: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, notada: f : A B es un subconjunto de A B (una relación de A en B) que cumple: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 4 / 1

8 Funciones De una manera más formal tenemos: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, notada: f : A B es un subconjunto de A B (una relación de A en B) que cumple: Para todo elemento a A existe un único b B tal que la pareja (a, b) f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 4 / 1

9 Funciones De una manera más formal tenemos: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, notada: f : A B es un subconjunto de A B (una relación de A en B) que cumple: Para todo elemento a A existe un único b B tal que la pareja (a, b) f. Como es único el elemento b relacionado con a, escribimos f (a) = b. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 4 / 1

10 Funciones Si f : A B es una función, A se llama el Dominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 5 / 1

11 Funciones Si f : A B es una función, A se llama el Dominio de f. B se llama el Codominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 5 / 1

12 Funciones Si f : A B es una función, A se llama el Dominio de f. B se llama el Codominio de f. {b B existe a A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o el Recorrido de f o la Imagen de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 5 / 1

13 Ejemplos f : R R definida por f (x) = 2x 1 Dom(f ) = R, Imagen de f = R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 6 / 1

14 Ejemplos f : R R definida por f (x) = 2x 1 Dom(f ) = R, Imagen de f = R. g : R R definida por g(x) = x 2 Dom(g) = R, Imagen de g = [0, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 6 / 1

15 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 7 / 1

16 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x). En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 7 / 1

17 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x). En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R. En este caso se acostumbra simplemente a identificar la función con la expresión que define su efecto sobre la variable, suponiendo que el dominio es, el subconjunto más grande de R en el que se puede definir la función y el codominio es R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 7 / 1

18 Ejemplos Si f (x) = 2x 1, entonces Dom(f ) = R {3}. x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 8 / 1

19 Ejemplos Si f (x) = 2x 1, entonces Dom(f ) = R {3}. x 3 Si g(x) = 2 5x, entonces Dom(g) = (, 2 5 ]. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 8 / 1

20 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = 4 x 2 8x + 7. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

21 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = 4 x 2 8x + 7. x 2 8x + 7 = 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

22 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = 4 x 2 8x + 7. x 2 8x + 7 = 0 (x 1)(x 7) = 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

23 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = Dominio de f : R {1, 7}. 4 x 2 8x + 7. x 2 8x + 7 = 0 (x 1)(x 7) = 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

24 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

25 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

26 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x x 6 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

27 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x x 6 x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

28 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x x 6 x 3 Dominio de f : [ 3, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

29 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

30 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

31 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

32 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 x < 3 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

33 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 x < 3 ( 2 S =, 3 ) 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

34 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 x < 3 ( 2 S =, 3 ) 2 Por qué el intervalo es abierto en 3 2? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

35 Dominio Ejemplo (Cont.) Hallar el dominio de la función f (x) = 1 7x (x + 5) 3 2x. Además, el denominador se hace cero cuando x = 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 12 / 1

36 Dominio Ejemplo (Cont.) Hallar el dominio de la función f (x) = 1 7x (x + 5) 3 2x. Además, el denominador se hace cero cuando x = 5, así que el dominio de f es ( Dom(f ) =, 3 ) ( { 5} = (, 5) 5, 3 ). 2 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 12 / 1

37 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

38 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Si f (x) = 2x 1, su gráfica es la recta y = 2x 1. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

39 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Si f (x) = 2x 1, su gráfica es la recta y = 2x 1. Si g(x) = x 2 2x + 1, su gráfica es la parábola y = x 2 2x + 1. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

40 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Si f (x) = 2x 1, su gráfica es la recta y = 2x 1. Si g(x) = x 2 2x + 1, su gráfica es la parábola y = x 2 2x + 1. Nótese que una gráfica en el plano cartesiano representa una función real, si toda recta vertical corta la gráfica en a lo sumo un punto. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

41 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

42 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a y En particular, la función idéntica de R I R : R R x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

43 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a y En particular, la función idéntica de R y = x I R : R R x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

44 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a y En particular, la función idéntica de R y = x I R : R R x x x Dom(I R ) = R Im(I R ) = R Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

45 Función constante y f : R R x c donde c es una constante. x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 15 / 1

46 Función constante y f : R R x c c y = c donde c es una constante. x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 15 / 1

47 Función constante y f : R R x c c y = c donde c es una constante. Dom(f ) = R Im(f ) = {c} x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 15 / 1

48 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

49 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. x y = mx + b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

50 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. Dom(f ) = R Im(f ) = R, si m 0 x y = mx + b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

51 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. Dom(f ) = R Im(f ) = R, si m 0 x Qué pasa si m = 0? Cómo es la gráfica de f en este caso? y = mx + b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

52 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 0. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

53 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

54 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? Cómo es la gráfica de f? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

55 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c y donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? x Cómo es la gráfica de f? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

56 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c y donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? Cómo es la gráfica de f? Caso a > 0 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

57 Función valor absoluto f : R R x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

58 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R Im(f ) = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

59 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

60 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

61 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

62 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y y = x Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

63 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y y = x Im(f ) = [0, ) Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

64 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

65 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

66 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

67 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

68 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 [ 2] = 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

69 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 [ 2] = 2 [ 1,5] = 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

70 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 [ 2] = 2 [ 1,5] = 2 [ π] = 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

71 Función parte entera Ejercicio Haga la gráfica de y = [x] y encuentre su imagen. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 20 / 1

72 Función parte entera f (x) = [x] y x

73 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

74 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

75 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

76 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

77 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

78 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

79 Función parte entera f (x) = [x] y Im(f ) = y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

80 Función parte entera f (x) = [x] y Im(f ) = Z y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

81 Funciones definidas a trozos Consideremos la función definida como sigue 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > 2. Veamos su gráfica. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 22 / 1

82 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

83 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

84 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

85 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

86 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

87 Funciones definidas a trozos Consideremos la función definida como sigue 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x 2. Veamos su gráfica. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 24 / 1

88 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

89 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

90 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

91 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

92 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

93 Gráficas Ejercicio Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones: x 2 si x < 0 f (x) = 2 si 0 x < 1 1 x si x > 1 4 si x < 1 f (x) = x + 1 si 1 x 1 2x si x > 1 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 26 / 1

94 Parte II Propiedades de funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 27 / 1

95 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

96 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

97 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por x. 2 f (x) = x y f (x) = x 2 son ejemplos de funciones pares. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

98 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por x. 2 f (x) = x y f (x) = x 2 son ejemplos de funciones pares. 3 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

99 Funciones pares y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 29 / 1

100 Funciones impares Definición Una función f es impar si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 30 / 1

101 Funciones impares Definición Una función f es impar si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 f (x) = x y f (x) = x 3 son ejemplos de funciones impares. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 30 / 1

102 Funciones impares Definición Una función f es impar si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 f (x) = x y f (x) = x 3 son ejemplos de funciones impares. 2 La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 30 / 1

103 Funciones impares y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 31 / 1

104 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

105 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

106 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

107 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

108 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

109 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

110 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

111 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

112 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

113 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

114 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) = 12( x) 5 6( x) 3 3( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

115 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) = 12( x) 5 6( x) 3 3( x) = 12x 5 + 6x 3 + 3x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

116 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) = 12( x) 5 6( x) 3 3( x) = 12x 5 + 6x 3 + 3x = f (x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

117 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

118 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

119 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

120 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

121 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) = 3( x) 7 + 9( x) 5 3( x) 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

122 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) = 3( x) 7 + 9( x) 5 3( x) 8 = 3x 7 9x 5 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

123 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) = 3( x) 7 + 9( x) 5 3( x) 8 = 3x 7 9x 5 3x 8 = (3x 7 + 9x 5 + 3x 8 ) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

124 Funciones pares e impares Ejercicio Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 34 / 1

125 Funciones pares e impares Ejercicio Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 2x 7 + 3x 5 6x f (x) = 8x 6 + 3x 4 x + 4 f (x) = 2 x + 4 f (x) = (x 1) 2 + x 4 f (x) = 3 (x + 2) 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 34 / 1

126 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

127 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

128 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

129 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B. f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

130 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

131 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

132 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

133 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

134 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

135 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

136 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

137 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

138 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

139 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f 5 (x) = x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

140 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f 5 (x) = x no es uno a uno ni sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

141 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f 5 (x) = x no es uno a uno ni sobre. Cómo determinar por medio de la gráfica si una función es uno a uno? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

142 Funciones inyectivas y sobreyectivas Prueba de la recta horizontal Una función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontal corta la gráfica de f máximo en un punto. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 37 / 1

143 Funciones inyectivas y sobreyectivas Prueba de la recta horizontal Una función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontal corta la gráfica de f máximo en un punto. Una función de codominio R es sobreyectiva si toda recta horizontal corta su gráfica. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 37 / 1

144 Parte III Operaciones entre funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 38 / 1

145 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

146 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

147 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia (f g)(x) = f (x) g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

148 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia (f g)(x) = f (x) g(x) Producto (fg)(x) = f (x)g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

149 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia (f g)(x) = f (x) g(x) Producto (fg)(x) = f (x)g(x) ( ) f Cociente (x) = f (x), siempre que g(x) 0. g g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

150 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

151 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

152 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

153 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 (fg)(x) = (2x + 1)(3x 2 4) = 6x 3 + 3x 2 8x 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

154 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 (fg)(x) = (2x + 1)(3x 2 4) = 6x 3 + 3x 2 8x 4 ( ) f (x) = 2x + 1 g 3x 2 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

155 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 (fg)(x) = (2x + 1)(3x 2 4) = 6x 3 + 3x 2 8x 4 ( ) f (x) = 2x + 1 g 3x 2 4 Cuál es el dominio de estas funciones? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

156 Operaciones entre funciones El dominio de f + g, f g, fg es la intersección I de los dominios de f y de g, mientras que el dominio de f g está formado por los puntos x de I tales que g(x) 0. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 41 / 1

157 Operaciones entre funciones El dominio de f + g, f g, fg es la intersección I de los dominios de f y de g, mientras que el dominio de f g está formado por los puntos x de I tales que g(x) 0. Ejemplo Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Hallar una expresión para las siguientes funciones y sus dominios, f + g, f g, fg, f g, g f, g f + g. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 41 / 1

158 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

159 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

160 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

161 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

162 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

163 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

164 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x ( 4 x ) x (fg)(x) = (5x + 3) 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

165 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x ( 4 x ) x (fg)(x) = (5x + 3) 4 x = 5x 2 + 3x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

166 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x ( 4 x ) x (fg)(x) = (5x + 3) 4 x = 5x 2 + 3x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Dom(fg) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

167 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

168 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

169 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

170 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

171 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

172 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

173 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 ( ) x f Dom = R {0, 4}. g Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

174 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

175 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

176 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

177 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x + 3 x (5x + 3)(4 x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

178 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

179 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

180 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 ( g ) Dom = R {4, 3 f 5 }. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

181 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

182 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

183 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x x 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

184 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

185 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x x 5x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

186 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x x = 5x x x x = 5x x + 12 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

187 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g ( ) g Dom f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x x = 5x x x x = 5x x + 12 = R {4, 9 ± 141 }. 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

188 Composición de funciones Si f y g son funciones se define (g f )(x) = g(f (x)). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 46 / 1

189 Composición de funciones Si f y g son funciones se define (g f )(x) = g(f (x)). De esta manera g f es una función cuyo dominio es {x Dom(f ) f (x) Dom(g)}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 46 / 1

190 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

191 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

192 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

193 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

194 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

195 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

196 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

197 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

198 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

199 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

200 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

201 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 = 2x 2 4x + 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

202 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 = 2x 2 4x + 5 De nuevo Dom(f g) = R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

203 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 = 2x 2 4x + 5 De nuevo Dom(f g) = R. Nótese que en general (f g) (g f ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

204 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

205 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

206 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

207 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

208 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

209 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

210 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

211 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

212 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

213 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

214 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) Dom(f g) = {x [0, ) x R} = 2 x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

215 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 x + 3 Dom(f g) = {x [0, ) x R} = [0, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

216 Composición de funciones Ejercicio Si f (x) = 1 1 x 2 y g(x) = 1 x, defina (f g) y encuentre su dominio. CUIDADO! Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 49 / 1