ESTADÍSTICA. Tema 2 Nociones elementales de inferencia estadística

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1 ESTADÍSTICA Grado en CC. de la Alimentación Tema 2 Nociones elementales de inferencia estadística Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 1

2 Estructura de este tema Conceptos básicos de probabilidad Algunos modelos de probabilidad. La distribución normal Estimación de una media poblacional Estimación de una proporción poblacional Intervalos de confianza para una media y una proporción poblacional Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 2

3 Probabilidad Tipos de fenómenos: Deterministas: Se conoce desde el principio el resultado final. Aleatorios: Muchas situaciones finales posibles. Un experimento aleatorio puede dar resultados diferentes aunque se repita bajo condiciones aparentemente idénticas. La teoría de la probabilidad estudia el comportamiento de los fenómenos o experimentos aleatorios. Una variable aleatoria (v.a.) es el valor de una característica de interés en un fenómeno aleatorio. Las v.a.s se suelen denotan con letra mayúscula (X, Y, Z... ) y su valor observado con letras minúsculas (x, y, z,... ). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 3

4 Ejemplo 2.1: Un encuestador selecciona aleatoriamente a una persona y le preguntar con qué frecuencia consume un producto alimentario específico. Una variable aleatoria que representa el resultado es: Nunca Una vez al año Una vez al mes X = Todas las semanas Todos los días No contesta Ejemplo 2.2: X = superficie dedicada a alimentos de producción ecológica en un supermercado elegido al azar. Ejemplo 2.3: X = Número de frutas pochas que cuelan en una barqueta de 1/2 kg del producto durante el proceso de envasado. Ejemplo 2.4: X = Contenido de grasa, Y = Contenido proteico en una hamburguesa de un establecimiento de comida rápida. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 4

5 El espacio muestral Ω de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados elementales que pueden obtenerse en dicho experimento. Ejemplo 2.1 (cont.): Ejemplo 2.2 (cont.): Ejemplo 2.3 (cont.): Ejemplo 2.4 (cont.): Ejemplo 2.5: Sea X el número de caras obtenidas al lanzar al aire una moneda 10 veces. El espacio muestral es Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 5

6 Un suceso A es un subconjunto del espacio muestral Ω, A Ω. Ejemplo 2.5 (cont.): Consideremos el suceso A= Obtener un número par de caras Ejemplo 2.3 (cont.): A = Que como mucho haya tres frutas en mal estado en una barqueta Ejemplo 2.4 (cont.): A = Contenido en grasa de una hamburguesa basura Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 6

7 Dado un experimento aleatorio, es importante cuantificar cuál es la incertidumbre asociada a los posibles resultados finales. La probabilidad se define como una medida de la incertidumbre asociada a cada suceso. En muchas ocasiones, al repetirse muchas veces un experimento sus resultados (sucesos) presentan un comportamiento regular a largo plazo. Por ejemplo, al tirar muchas veces una moneda, la fracción de veces que sale cara se aproximará al 50 %. La probabilidad de un suceso es el valor al que converge la frecuencia relativa de veces que ocurre ese suceso al aumentar el número de veces que se repite el experimento. En general, la probabilidad se puede considerar como la modelización en la población de las frecuencias relativas. Notación: La probabilidad del suceso A se suele denotar P(A). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 7

8 Propiedades básicas de la probabilidad: La probabilidad de un suceso siempre es un valor entre 0 y 1. La probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra (P(A c ) = 1 P(A)). Si dos sucesos son incompatibles (disjuntos), la probabilidad de que ocurra alguno de los dos es la suma de las dos probabilidades. Si A B =, entonces P(A B) = P(A) + P(B). Si un suceso está incluido en otro, la probabilidad del primero es menor o igual que la probabilidad del segundo. Si A B entonces P(A) P(B). Principio de inclusión-exclusión: Si A y B son dos sucesos cualesquiera (no necesariamente incompatibles), entonces P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 8

9 Nos interesa conocer la probabilidad P de los sucesos correspondientes a una variable aleatoria X, es decir, conocer la distribución de probabilidad de la v.a. X. Ejemplo 2.6: Sea X el resultado obtenido al lanzar al aire un dado. Entonces Ω =. La probabilidad de obtener un número impar en un lanzamiento es Ejemplo 2.4 (cont.): Cuál es la probabilidad de que una hamburguesa sea basura (por su alto contenido graso)? Ejemplo 2.3 (cont.): Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres frutas pochas en una barqueta? Y la probabilidad de que haya al menos tres? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 9

10 Los dos tipos más importantes de v.a. s son: discretas y continuas. Una v.a. X es discreta si sólo toma un número finito o numerable de valores. La distribución de probabilidad de una v.a. discreta X queda caracterizada por la función de masa de X : P(x) = P{X = x} para cualquier posible valor x de X. Ejemplo 2.6 (cont.): Ejemplo 2.5 (cont.): Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 10

11 Ejemplo 2.3 (cont.): Sea X el número de fresas pochas en una barqueta de 1/2 kg: x P(x) 0,05 0,1 0,15 0,25 0,25 0,15 0,05 Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres fresas pochas en una barqueta? Y la probabilidad de que haya al menos tres? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 11

12 La esperanza de una v.a. es una medida de centralización, localización o posición de la variable. La media poblacional o esperanza de una v.a. discreta X, que tiene como posibles valores x 1,..., x n,..., es µ = E(X ) = i x i P(x i ). Ejemplo 2.3 (cont.): Ejemplo 2.6 (cont.): Interpretación física: Si sobre cada punto se pone una masa igual a la probabilidad de que la v.a. tome ese valor, µ corresponde con el centro de masas o de gravedad de estos puntos. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 12

13 Una medida de la dispersión de X en torno a su media µ es la varianza de X σ 2 = V (X ) = E[(X µ) 2 ] = i (x i µ) 2 P(x i ). Se cumple que σ 2 = E(X 2 ) µ 2 = i x 2 i P(x i ) µ 2. Ejemplo 2.3 (cont.): Ejemplo 2.6 (cont.): La desviación típica de X es σ = V (X ). Es una medida de dispersión expresada en las mismas unidades que X. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 13

14 Ejemplo 2.7: Calcular la media y la varianza de las siguientes v.a.s (a) X tiene distribución Valores 0 1 Probabilidades 0,25 0,75 (b) X tiene distribución Valores 0 1 Probabilidades 1 p p Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 14

15 Una v.a. continua puede tomar una cantidad infinita de valores. Intuitivamente puede tomar cualquier valor de un intervalo. Ejemplo 2.4 (cont.): X = % de grasa en una hamburguesa Ejemplo 2.8: X = Contenido de calcio (mg/100g) en un yogur. Ejemplo: X = Peso (en g) de un calabacín de una huerta casera Para determinar la distribución de una v.a. continua no se puede hacer una lista de todas las probabilidades ya que la variable puede tomar infinitos valores. Se utiliza una función de densidad f : R R, que satisface: f (x) 0 para todo x R; f (x)dx = 1. R Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 15

16 La probabilidad de que la v.a. X tome valores en el intervalo (a, b), P(a < X < b), es el área por debajo de la función de densidad. f P(a<X<b) a b Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 16

17 La densidad como ĺımite de histogramas: n=10 n=100 n=10000 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 17

18 La media de X es el promedio de los valores que toma X ponderado por la probabilidad con la que los toma. En el caso continuo es necesario expresar este promedio como una integral. La esperanza de una v.a. continua X con densidad f se calcula así µ = E(X ) = x f (x) dx. La varianza de X es la media de las desviaciones al cuadrado de los valores que toma X respecto a la media de X. También puede expresarse como una integral: σ 2 = V (X ) = E[(X µ) 2 ] = (x µ) 2 f (x) dx R = E(X 2 ) µ 2 = x 2 f (x) dx µ 2 R R Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 18

19 Densidades, media y varianza: Densidad Varianza = 8 Densidad Varianza = 16 Densidad Varianza = 1 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 19

20 Dos modelos de probabilidad: Bernoulli y normal Distribución de Bernoulli Una prueba de Bernoulli es un experimento aleatorio con sólo dos posibles resultados (excluyentes): éxito (E) y fracaso (F), con P(E) = p y P(F) = 1 p. Ejemplo: Lanzamos una moneda al aire y tomamos E = Cara y F = Cruz. Ejemplo: Un hombre y una mujer, cada uno con un gen recesivo (azul) y uno dominante (marrón) para el color de los ojos, tienen un niño. Se considera E = Niño ojos azules y F = Marrones. Ejemplo: En una campaña para detección de diabetes se realizan análisis de sangre a voluntarios. Si el nivel de glucosa está por encima de 200 mg/dl, se realizan más pruebas para confirmar si la persona es diabética. Si no, se considera que el individuo está sano. Tomamos E = Diabético potencial con P(E) = 0,03. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 20

21 Una variable X tiene distribución de Bernoulli de parámetro p si { 1 si en la prueba Bernoulli sale éxito X = 0 si sale fracaso Su distribución de probabilidad es: Valores 0 1 Probabilidades 1 p p Su esperanza y varianza son: E(X ) = y Var(X ) = Siempre que examinamos a n individuos de una población para ver si presentan o no cierta característica tenemos una muestra X 1,..., X n de variables de Bernoulli. Las pruebas de Bernoulli dan lugar a otros modelos de probabilidad muy utilizados que no estudiaremos, como la distribución binomial, la distribución geométrica, la binomial negativa y la hipergeométrica. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 21

22 Distribución normal Muchos histogramas tienen la siguiente forma aproximada: Densidad x Simétrica alrededor de un valor central µ. A medida que los valores se alejan del centro las frecuencias disminuyen rápidamente. La dispersión viene dada por la desviación típica poblacional σ. Los puntos de inflexión se sitúan en los valores µ σ y µ + σ. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 22

23 La v.a. continua X sigue una distribución N(µ, σ), normal de parámetros µ y σ ( 8.3. < Distribución µ < y σ > normal 0), si su densidad es [ f (x) = 1 σ 2π exp 1 ( ) ] x µ 2 para todo x R. 2 σ La función de densidad normal depende de 2 parámetros: µ y σ. σ=0,5 σ=1 σ=2 µ=0 11 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 23

24 8.3. Distribución normal La curva de densidad normal dependiendo de µ y σ: µ=-1 µ=0 µ=1 σ=0.5 σ=1 σ=2 12 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 24

25 Propiedades básicas de la normal N(µ, σ): Media y varianza: E(X ) = µ, Var(X ) = σ 2. Simetría: f es una densidad simétrica respecto a µ. Aprox. el 68 % de los datos está entre µ σ y µ + σ. Aprox. el 95 % de los datos está entre µ 2σ y µ + 2σ. Más del 99 % de los datos está entre µ 3σ y µ + 3σ. Tipificación o estandarización: Si una v.a. X tiene distribución N(µ, σ), entonces la variable estandarizada Z = X µ σ tiene distribución N(0, 1) (normal estándar). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 25

26 Ejemplo 2.8: Sea X la v.a. que representa la cantidad de calcio (mg/100g) en un yogur natural. Se sabe que X es normal con media µ = 167 y desviación típica σ = 5. Usando las propiedades anteriores da respuestas aproximadas a las preguntas siguientes: Cuál es la probabilidad de que X esté entre 163 y 171 mg/100g? Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 171 mg/100g? Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 163 mg/100g? Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 167 mg/100g? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 26

27 La distribución normal o gaussiana es la distribución de probabilidad más importante. (1) Modeliza muchos fenómenos aleatorios habituales como (entre otros): peso o altura de una persona o animal (datos biométricos en general); contenido de un nutriente o elemento en un alimento; errores de medición; etc. (2) Muchos estadísticos estudiados en este curso siguen distribuciones normales o aproximadamente normales. (3) (1) y (2) son debidos (principalmente) a que se verifica un resultado importante, el Teorema Central del Límite (TCL). (4) Para variables con densidad asimétrica, se puede intentar transformar la variable a normal. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 27

28 Inferencia estadística La distribución de probabilidad de la v.a. X de interés no suele ser conocida. Supondremos que sigue un modelo paramétrico: la distribución tiene expresión matemática conocida y depende sólo de unos parámetros desconocidos. Entonces, especificando el valor de los parámetros, determinamos totalmente la distribución de X. Los parámetros que nos van a interesar en este curso son: La media µ y la varianza σ 2 de una variable X normal. La proporción p de individuos que presentan cierta característica. Objetivo: Estimar los parámetros desconocidos a partir del conocimiento de una muestra aleatoria de la población. Una muestra aleatoria (simple) de tamaño n de X es una colección X 1,..., X n tal que cada X i tiene la misma distribución de probabilidad que X ; las v.a. X 1,..., X n son independientes entre sí. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 28

29 Un estimador es una cantidad que se puede calcular a partir de la muestra y que aproxima el valor de un parámetro de interés. Una estimación (puntual) es el valor (numérico) concreto que toma un estimador al ser aplicado a una realización muestral. Estimadores naturales de la media y varianza poblacional son: Media muestral: X = X X n = 1 n X i n n i=1 Varianza muestral: V X = 1 n (X i X ) 2 = 1 n Xi 2 X 2 n n i=1 Cuasi-varianza muestral: S 2 = 1 n 1 i=1 n (X i X ) 2 i=1 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 29

30 Determina en los ejemplos un parámetro poblacional de interés, su correspondiente estimador y la estimación con los datos obtenidos. Ejemplo 2.9: En 2004 en Bolivia se seleccionaron aleatoriamente 35 quesos frescos (fabricados a partir de leche sin pasteurizar) y se analizó la presencia de Listeria monocitogenes en cada uno de ellos. La presencia de la bacteria se confirmó en seis quesos. Ejemplo 2.10: Se escogen uvas de la variedad Cannonau en diez lugares distintos de Cerdeña y se mide su contenido en flavonoides (en mg/kg de uva fresca). La media observada es 51,6. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 30

31 Antes de la observación: X X 1,..., X n V X S 2 son v.a. s Si tomo observaciones concretas de la población: x x 1,..., x n v x son números. s 2 Si tomo nuevas observaciones de la población: x x 1,..., x n ṽ x son otros números. s 2 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 31

32 Ejemplo 2.10 (cont.): Los valores observados de flavonoides fueron: 57,6 39,9 52,9 71,3 41,7 41,5 35,0 63,7 44,4 68,4. x = v x = Se vuelve a los mismos viñedos y se escogen uvas Cannonau de plantas diferentes a las de la muestra anterior, obteniéndose los siguientes contenidos en flavonoides: 58,2 36,7 54,1 68,0 45,3 42,8 34,6 65,2 43,5 70,1. x = v x = Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 32

33 Para estimar la media de una población, µ, el estimador más natural es la media muestral. X = X X n n = 1 n n i=1 X i Cuál es la calidad del estimador? Son las estimaciones obtenidas con la media muestral precisas? Un estimador es una variable aleatoria ya que su valor depende de la muestra concreta de la que se dispone y la selección de la muestra es aleatoria. La precisión de las estimaciones se mide analizando lo que ocurriría si dispusiéramos de muchas muestras y pudiéramos evaluar la media de cada una de ellas. Tenemos que estudiar la distribución de X. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 33

34 Distribución de la media muestral Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 34

35 Distribución de la media muestral Población n=5 n=10 Densidad Frecuencia Frecuencia Observaciones Medias Medias n=50 n=100 Comparación Frecuencia Frecuencia Medias Medias n=5 n=10 n=50 n=100 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 35

36 Sea X una variable con con media µ y varianza σ 2. La media muestral X verifica: E( X ) = µ, Var( X ) = σ2 y Var( X ) = σ. n n Si X tiene distribución normal, entonces la distribución de los valores que toma X es también normal. ( ) σ Si X N(µ, σ) = X N µ,. n Teorema del ĺımite central (TCL): Si n es grande, la distribución de X es aproximadamente normal de media µ y desviación típica σ/ n, aunque X no sea normal. Si n es grande = X aprox ( ) σ N µ,. n Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 36

37 Ejemplo 2.11: Un laboratorio determina el contenido de ácido ascórbico (en mg/100 ml) de zumos de naranja comerciales mediante cromatografía ĺıquida de alta resolución. Las medidas tienen distribución normal con media µ = 55 mg/100 ml y desviación típica σ = 10 mg/100 ml. (a) Se calcula la media de 3 medidas: Cuál es la distribución de X? X = X 1 + X 2 + X 3. 3 (b) Cuál es la probabilidad de que X diste de µ menos de 5 mg/100 ml? (c) Cuál es la probabilidad de que una única medida de vitamina C diste de µ menos de 5 mg/100 ml? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 37

38 Ejemplo 2.12: El peso de los huevos producidos por una gallina tiene distribución normal de media µ = 65 g. y desviación típica σ = 5 g. Cuál es la probabilidad de que una docena de huevos pese entre 750 y 825 g.? Ejemplo 2.13: De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud un individuo tiene sobrepeso si su índice de masa corporal (IMC) es superior a 25. Se sabe que el IMC de una población es una variable con distribución normal de media µ = 26 y desviación típica σ = 6. (a) Calcula la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar en esta población presente sobrepeso. (b) Calcula el valor x tal que el IMC del 25 % de la población es menor que x. (c) Si se seleccionan aleatoriamente 100 individuos y se calcula la media de sus IMC, cuál es la probabilidad de que esta media sea superior a 25.5? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 38

39 El error típico de un estimador es un estimador (o una estimación) de su desviación típica. La desviación típica de la media es σ/ n, pero en la práctica σ es un parámetro poblacional desconocido. Resulta natural estimar σ 2 con la cuasivarianza muestral: s 2 = (x 1 x) (x n x) 2. n 1 Se divide por n 1 ya que puede demostrarse que al dividir por n el estimador tiene una tendencia sistemática a infraestimar el verdadero valor de la varianza poblacional σ 2. El error típico de la media muestral es s n Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 39

40 Ejemplo con una población pequeña: Población: Los 12 alumnos de una clase. Variable: Nota que un alumno obtiene en un examen Estudiante Nota Notas Density x Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 40

41 Ejemplo con una población pequeña (cont.): Media poblacional: µ = = 4,75 Varianza poblacional: σ 2 = (1 4,75)2 + (0 4,75) (3 4,75) 2 12 = 7,3542 Desviación típica poblacional: σ = 7,3542 = 2,7119 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 41

42 Ejemplo con una población pequeña (cont.): Una posible muestra de tamaño 4 es: Estudiante Nota x 1 = 4, x 2 = 3, x 3 = 5, x 4 = 6 A partir de estos datos, un estimador de µ (que sería útil si no conociéramos µ) es: ˆµ = x = = 4,5 Cómo se evalúa la precisión de x, sin conocer µ? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 42

43 Ejemplo con una población pequeña (cont.): Extraemos 2000 muestras de tamaño 4. Todos los valores son equiprobables y se extraen con reemplazamiento (muestreo aleatorio simple). Un histograma de las correspondientes 2000 medias muestrales: Frecuencias Medias Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 43

44 Ejemplo con una población pequeña (cont.): Las propiedades de X como estimador de µ se corresponden con las propiedades del histograma anterior. La forma del histograma es la de una distribución normal. Los valores de X se centran alrededor del verdadero valor de µ. El estimador es centrado o insesgado. La desviación típica de X es menor que σ. Se puede demostrar que la desviación típica de X es: σ = 2,7119 1,356. n 2 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 44

45 Ejemplo con una población pequeña (cont.): Como X es insesgado, no hay tendencia sistemática a infraestimar o sobreestimar el valor de µ. Como X = N(µ, σ/ n), con probabilidad aproximada 0.95 el error cometido al estimar µ mediante X es menor o igual que 2 σ/ n 2,7119 Es decir, que podemos tener bastante confianza en que el valor de µ se encuentra en el intervalo: [4,75 2,7119] Como en la práctica σ 2 es desconocida se usa s 2 en su lugar: s 2 = (4 4,5)2 + (3 4,5) 2 + (5 4,5) 2 + (6 4,5) 2 3 = 1,666. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 45

46 Varianza y cuasivarianza muestrales Sea X 1,..., X n una muestra de X con varianza Var(X ) = σ 2. La varianza muestral V X = 1 n n (X i X ) 2 = 1 n i=1 y la cuasi-varianza muestral S 2 = 1 n 1 verifican: E(V X ) = n 1 n σ2. E(S 2 X ) = σ2. n i=1 n (X i X ) 2 i=1 X 2 i X 2 Esta es la razón por la que se divide por n 1 para calcular la cuasi-varianza muestral. De esta forma se consigue un estimador insesgado de la varianza poblacional. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 46

47 Por qué se divide por n 1 en lugar de n? Puede comprobarse que la varianza muestral (dividiendo por n) presenta una tendencia sistemática a infraestimar σ 2. Para corregir este sesgo se incrementa ligeramente el valor del estimador dividiendo por n 1 en lugar de n. Diagramas de cajas de las 2000 varianzas y cuasivarianzas muestrales. La ĺınea roja corresponde a σ 2 = 7,3542. Dividir por n Dividir por n Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 47

48 Estimación de una proporción poblacional Queremos estimar la proporción p de explotaciones de cerdo de cebo en las que hay salmonelosis. Para ello, se examinan 232 explotaciones y definimos { 0, si en la explotación i no se detecta salmonelosis X i = 1, si la explotación i da positivo en salmonella, que es una v.a. Bernoulli de parámetro p. Se detecta la salmonelosis en 100 de las explotaciones. Cuál es el estimador más natural de p? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 48

49 Distribución de la proporción muestral Población (p=0.1) n=5 n= Frecuencia Frecuencia Medias Medias n=50 n=100 Comparación Frecuencia Frecuencia Medias Medias n=5 n=10 n=50 n=100 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 49

50 Según el TCL, cómo se distribuye aproximadamente la proporción muestral ˆp? Cuál es la desviación típica de ˆp? Cuál es el error típico de ˆp? Calcula el error típico de ˆp para los datos de la salmonelosis. Cuál es el máximo (mínimo) valor posible de este error típico? En qué situación se va a dar ese valor? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 50

51 Intervalos de confianza La estimación puntual nos proporciona un valor concreto como aproximación de un parámetro desconocido. Sin embargo, en general no se precisa la incertidumbre existente en dicha estimación. La estimación por intervalos nos proporciona un intervalo de valores donde el parámetro se puede encontrar, junto con un nivel de exactitud o fiabilidad de la estimación, el nivel de confianza. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 51

52 Un intervalo de confianza (IC) para un parámetro es un intervalo, calculado a partir de la muestra, que contiene al parámetro con un alto grado de seguridad. La fórmula general de los intervalos que vamos a estudiar es: IC =[Estimador Margen de error] En general, el centro del intervalo es el estimador del parámetro en el que estamos interesados. El margen de error depende de la precisión del estimador utilizado, del grado de seguridad con el que queremos que el intervalo contenga al parámetro (el nivel de confianza). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 52

53 IC para la media de una población normal (varianza conocida) Queremos estimar el contenido medio en grasas (en g/100 g) de la carne de cerdo, µ. Para ello disponemos de una muestra de 12 piezas de carne para la que el contenido medio es x = 24,93. Esto significa que µ 24,93. Por supuesto, µ 24,93. Si tomáramos otras 12 piezas distintas nos habría resultado una estimación de µ diferente. Un IC es una forma de precisar qué significa µ 24,93. Suponemos que la población es normal y que la desviación típica de la población es conocida y vale σ = 0,25. Como X N(µ, 0,25/ 12), sabemos qué valores podríamos esperar si tomáramos muchas muestras de tamaño 12. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 53

54 Aproximadamente para el 95 % de las muestras de tamaño 12 se cumple: 0,072 1,96 < X µ < 0,072 1,96. Las desigualdades anteriores son equivalentes a: x 0,072 1,96 < µ < X + 0,072 1,96. Aproximadamente para el 95 % de las muestras de tamaño 12 se cumple que µ [ X 0,1411]. Confiamos (con un nivel del 95 %) en que la única muestra de la que disponemos sea una de las que verifican la condición. Decimos que [24,93 0,1411] es un IC para µ a un nivel de confianza del 95 %. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 54

55 Cuestiones: Con los mismos datos del ejemplo anterior calcula dos intervalos cuyos nivel de confianza sean 90 % y 99 %. Se ha obtenido x = 24,93 pero la muestra era de 36 piezas en lugar de 12. Calcula un intervalo de nivel 95 %. Se ha obtenido x = 24,93 con una muestra de 36 piezas pero σ = 1 en lugar de σ = 0,25. Calcula un intervalo de nivel 95 %. Fórmula general: Un IC con nivel de confianza 1 α para la media de una población normal con σ conocida viene dado por: [ x z α/2 σ n ] Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 55

56 [ x z α/2 σ n ] Aparecen tres cantidades variables: la confianza, 1 α; el tamaño muestral, n; la semiamplitud o error, z α/2 σ n. A mayor tamaño muestral, n, se reduce el intervalo de confianza (se reduce el error). A mayor confianza exigida, 1 α, aumenta el intervalo de confianza (aumenta el error). Cualesquiera dos de estas tres cantidades permiten determinar la otra tercera. Fijado un nivel de confianza, podemos encontrar el tamaño de la muestra necesario para que el error de la estimación sea tan pequeño como queramos. Esto ocurre en el resto de los intervalos de confianza que veremos. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 56

57 Interpretación del nivel de confianza Si tenemos muchas realizaciones muestrales para estimar un parámetro, con cada realización obtendremos distintos intervalos de confianza. Entre éstos algunos contendrán el verdadero valor del parámetro y otros no. Al tomar muchos intervalos, la proporción de ellos que contiene al parámetro será aproximadamente el (1 α)100 %. Ejemplo 2.14: Se extraen 100 muestras de tamaño n = 20 de una población normal con media µ = 0 y σ = 1. Para cada muestra se calcula x y el intervalo de confianza para µ de nivel 95 % (suponemos varianza poblacional conocida): [ x z 0,025 σ/ n]. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 57

58 Se representa un histograma de las 100 medias obtenidas, así como los 100 intervalos (en verde si contienen el valor 0 y en rojo si no). Medias Intervalos Frecuencias Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 58

59 Población normal con varianza desconocida Cuando la población es normal y σ no es conocida, es posible dar un IC exacto incluso cuando el tamaño muestral es pequeño. Para ello, basta mirar en unas tablas distintas. En lugar de buscar z α/2 en las tablas de la normal, buscamos t n 1,α/2 en las tablas de la distribución t de Student. La fórmula del IC queda [ ] s x t n 1;α/2. n Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 59

60 Distribución t de Student La distribución t de Student con n 1 grados de libertad (t n 1 ) es la distribución de en una población normal. X µ S/ n La forma de la densidad de t n es similar a la de la normal. Es simétrica alrededor de cero. Sin embargo, la distribución t n da más probabilidad a valores lejanos al centro. Si n es grande t n = N(0, 1). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 60

61 Cuestiones: Busca en las tablas de la distribución t de Student un valor de c que verifique: Si tenemos n = 15 datos, la probabilidad de es 0,025. X µ S/ n > c Si tenemos n = 15 datos, la probabilidad de es 0,75. X µ S/ n < c Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 61

62 Ejemplo 2.15: El envenenamiento por DDT causa temblores y convulsiones. En un estudio se ha administrado una dosis de DDT a 4 ratones y se ha medido posteriormente en cada uno el periodo absolutamente refractario, es decir, el tiempo que tardan sus nervios en recuperarse tras un estímulo. Las 4 medidas en milisegundos son: 1,7 1,6 1,8 1,9 (a) Estima el periodo absolutamente refractario medio µ para toda la población de ratones de la misma cepa sujeta al mismo tratamiento con DDT. La estimación de µ es la media muestral: x = 1,7 + 1,6 + 1,8 + 1,9 4 = 1,75. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 62

63 (b) Calcula el error típico de la estimación anterior. Para calcular el error típico, primero hay que calcular la varianza muestral: s 2 = (1,7 1,75)2 + (1,6 1,75) 2 + (1,8 1,75) 2 + (1,9 1,75) 2 3 Por lo tanto s 2 0,017 y s = 0,017 0,13. El error típico es s/ n = 0,13/2 = 0,065. (c) Calcula un intervalo de confianza para µ con nivel de confianza 90 %. (Se supone normalidad). Como t 3;0,05 = 2,353, un I.C. con nivel de confianza 1 α = 0,90 es [1,75 2,353 0,065] = [1,597, 1,903]. Podemos afirmar que 1,597 < µ < 1,903 con un nivel de confianza del 90 %. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 63

64 (d) Calcula otro intervalo, pero ahora con un nivel del 95 %. Como t 3;0,025 = 3,182, un I.C. con nivel de confianza 1 α = 0,95 es [1,75 3,182 0,065] = [1,543, 1,957]. Podemos afirmar que 1,543 < µ < 1,957 con un nivel de confianza del 95 %. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 64

65 Cuestiones En un informe leemos que un intervalo de confianza para la puntuación media de los estudiantes en un test de inglés es (267,8, 276,2). (a) Verdadero o falso: El 95 % de los estudiantes han tenido puntuaciones entre y (b) Cuál fue la puntuación media de los estudiantes de la muestra utilizada para calcular el intervalo? (c) Es correcto decir que la puntuación media pertenece al intervalo (267,8, 276,2) con probabilidad 0.95? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 65

66 IC para una proporción La idea para construir un IC en este caso es que X aprox. N(p, p(1 p)/n) para n grande y que p(1 p) se puede estimar mediante ˆp(1 ˆp). La fórmula del intervalo queda: [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2 n y es válida para n grande, ya que se basa en el TCL. El margen de error en este caso es ˆp(1 ˆp) E = z α/2. n Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 66

67 Ejemplo 2.15: En una encuesta para estudiar la preocupación de la población por su alimentación, se ha preguntado a 965 personas si han seguido alguna dieta en los últimos 5 años. De ellas, 406 han respondido afirmativamente. Con esta información: (a) Estima la proporción p de la población que ha seguido alguna dieta en los últimos 5 años. El estimador de p a partir de los datos disponibles es la proporción muestral ˆp = 406/965 = 0, 421. (b) Calcula el error típico del estimador anterior. El error típico de este estimador es ˆp(1 ˆp) n = 0, 421 (1 0, 421) 965 = 0, Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 67

68 (c) Calcula un intervalo de confianza para p con un nivel de confianza del 95 %. Como z 0,025 = 1,96, un I.C. con nivel de confianza 1 α = 0,95 es [0,421 1,96 0,0159] = [0,39, 0,45]. (d) Si para un nuevo estudio se desea estimar p con un margen de error de 1 % y un nivel de confianza del 95 %, a cuántas personas hay que entrevistar aproximadamente? Para calcular n despejamos en la ecuación: 1,96 De aquí obtenemos: 0,421 (1 0,421) n = 0,01 n = 0,421 (1 0,421) 1,962 0,01 2 = 9364, Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 68

69 . de la actuación del Rey 58,8 en estas tres décadas? En % 8 72 ( Nov. 2000) Nov Muy buena 26,8 34 Buena 2 52,4 50 Regular 4 14,4 8 Mala 2,2 2 Está a favor o en contra de que Muy se mala modifique 2,1 la Constitución2 para abolir la preferencia del NS/NC 2,1 4 hombre sobre la mujer en la Cuál sucesión sería valoración trono? de la actuación del heredero de la Corona, En % el principe Felipe? En % Nov ( Nov. 2000) 3 ( Nov. 2000) En % Ficha técnica de una encuesta Igual NS/NC Sigue siendo 7,2 necesaria 958,8 ( Nov. 2000) 72 ( Nov. 2000) 19 ( Nov. 2000) Es partidario de NS/NC que esa reforma se realice 7,2cuanto antes? 9 ( Nov. 2000) En % Está a favor o en contra de que se modifique la Constitución para abolir la preferencia del hombre sobre la mujer en la sucesión al trono? En % En % NO 28 58,6 Ha cumplido su misión ( Nov. 2000) Es partidario de que esa reforma se realice cuanto antes? NS/NC 8,5 9 ( Nov. 2000) Usted se considera NS/NC monárquico o republicano? 8,5 9 ( Nov. 2000) En % Republicano 29 Muy buena 19,4 28 NO Republicano Buena 51,4 55 Monárquico A favor En contra SÍ Regular 17, ,4 6,4 56 Monárquico A favor En contra SÍ 45 Mala 2,7 3 NS/NC 83,4 6,4 56 NS/NC NS/NC 10,2 NS/NC 16 NS/NC 27NS/NC Muy mala 2,5 2 10, NS/NC 6,5 6 FICHA TÉCNICA Realización del trabajo de campo: la encuesta ha sido realizada por el Instituto Opina los días 7 y 8 de noviembre de Ámbito geográfico: España. Recogida de a encuesta información: ha sido mediante realizada entrevista por telefónica el Instituto asistida Opina por ordenador los días (CATI). 7 y Universo 8 de noviembre de análisis: de población mayor Ámbito de 18 geográfico: años residente en España. hogares con Recogida teléfono. Tamaño de fónica de la asistida muestra: por ordenador entrevistas proporcionales. (CATI). Universo Error muestral: de análisis: el margen población de error para mayor el total de 18 la muestra años residente ± 3,10% en para hogares un margen con de teléfono. confianza del Tamaño 95% y bajo orcionales. el supuesto Error de máxima muestral: indeterminación el margen (p=q=50%). de error Procedimiento para el total de muestreo: de la muestra selección es polietápica de ± 3,10% del entrevistado: para un unidades margen primarias de confianza de muestreo del (municipios) 95% y bajo seleccionadas de forma aleatoria proporcional para cada provincia. Unidades secundarias (hogares) mediante la selección aleatoria de números de teléfono. Unidades ón (p=q=50%). últimas (individuos) Procedimiento según cuotas cruzadas de muestreo: de sexo, edad selección y recuerdo polietápica de voto en las del elecciones entrevistado: generales unidades de primarias de muestreo (municipios) orcional para cada provincia. Unidades secundarias (hogares) mediante la selección aleatoria de números de teléfono. Unidades EL PAÍS zadas de sexo, edad y recuerdo de voto en las elecciones generales de En % la mayoría de la gente en España esperaba cuando llegó al 3,9 trono? Mejor 58,6 67 ( Nov. 2000) Usted se considera monárquico o republicano? EL PAÍS entrevistados ahora señala que la figura del Rey sigue siendo necesaria, un porcentaje sensible- Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 69 En % ( Nov. 2000) Peor 3,9 3 ( Nov. 2000)

70 El margen de error del intervalo de confianza de una proporción verifica ɛ = z α/2 ˆp(1 ˆp) n z α/2 1 4n ya que el caso p = q = 1/2 (q = 1 p) es el más desfavorable. Según la ficha técnica, n = 1000 y 1 α = 0,95 (z 0,025 = 1,96), por lo que en el caso más desfavorable: 1 ɛ = 1, ,031. El valor que da la fórmula es consistente con el margen de error de 3,10 % para los porcentajes estimados en el sondeo. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Inferencia estadística 70