CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 1

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1 CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 1 1. Proeso iterativo. La idea fudametal de u proeso iterativo osiste e lo siguiete: Dada ua o varias situaioes iiiales (etapa 1), se les aplia algua trasformaió iterativa, la ual ovierte a la situaió o situaioes iiiales e otras, que pasa a ser osideradas omo uevas situaioes iiiales e el proeso. 2. Proeso ifiito. La oió de proeso ifiito se etra e u proeso iterativo ilimitado, es deir, que por muy grade que sea el úmero de vees que se realiza el proeso, siempre es posible efetuar uo más, y otro más, y así suesivamete, hasta el ifiito. 3. Suesió. Cuado se tiee u ojuto de térmios formados segú ua ley o regla determiada, se die que diho ojuto es ua suesió. Si el úmero de térmios es limitado, la suesió es fiita, pero si el úmero de térmios es ilimitado, lo ual se idia o putos suspesivos, la suesió reibe el ombre de suesió ifiita. 4. Suesió geométria. a, a, a, a, a,..., a,... represeta a ua suesió, esta será Si a 1 geométria si y sólo si el valor de la razó permaee ostate para toda a. El valor de diha ostate se le deomia razó omú y se represeta o la letra miúsula r. 5. Térmio geeral de ua suesió geométria. a, a, a, a, a,..., a,... es ua suesió geométria o razó omú r Si , etoes su térmio geeral está dado por la expresió 1 a = a1r. Coeptos lave de la Uidad 1 1-1

2 6. Serie geométria. Ua serie es la suma idiada de los térmios de ua suesió. Si la suesió es geométria, etoes la serie es geométria. Si el úmero de térmios es limitado, la serie es fiita, pero si el úmero de térmios es ilimitado, lo ual se idia o putos suspesivos, la serie es ifiita. 7. Suma hasta el eésimo térmio de ua serie geométria. La eésima suma parial de la serie geométria o primer térmio a y razó omú r es S = a ( 1 r ) 1 r, Z y r Serie geométria overgete y serie geométria divergete. a) Si L es u valor ostate y la eésima suma parial de ua serie geométria es tal que S L, etoes la serie es overgete y su suma es igual a L. b) Si la eésima suma parial de ua serie geométria es tal que S, etoes la serie es divergete y su suma se vuelve ifiita. 9. Noió de ite al ifiito. Si la fuió S ( ) es tal que S L, etoes el úmero L es el ite de la fuió S ( ) uado tiede al ifiito y se esribe S = L. Esto último sigifia que oforme tiede al ifiito, los valores de las imágees de S ( ) se aproxima a L más que a ualquier otro úmero. 10. Límites que sugiere reglas para operar o el ifiito. Si es ua ostate y Z, etoes: 1) = 1-2 Coeptos lave de la Uidad 1

3 2) = = 3) 1 1 = = 0 4) 5) [ ] = 0 = = = = 6) [ ] = = 7) [ ] = = 8) [ ] = =, si > 0 9) [ ] = =, si < 0 10) = = 11), si > 0 = =, si < 0 12) = = 0 13) 0 = = 14) = =, si > 0 15) = =, si < 0 16) = =, si > 0 17) = =, si < 0 Coeptos lave de la Uidad 1 1-3

4 11. Priipales reglas para el álulo algebraio de ites al ifiito. Si f = L y g = M, etoes: a) Regla de la suma para ites: f g = L M b) Regla del produto para ites: f g = L M ) Regla del oiete para ites: Si M 0, etoes d) Si es ua ostate, etoes f L = g M = y f = L 12. Límite al ifiito de ua fuió de variable real. Sea f ( x ) ua fuió de variable real, el úmero L es el ite de la fuió f ( x ) uado x se vuelve ifiita o meos ifiita que se esribe respetivamete f ( x) = L o f ( x) = L, si uado x tiede al ifiito o a x meos ifiito, las imágees de f ( x ) se aproxima al valor L más que a ualquier otro úmero. Si f ( x) = o f ( x) =, etoes se dirá que el x ite es ifiito. Si f ( x) = o f ( x) es meos ifiito. x =, etoes se dirá que el ite 13. Límites que sugiere reglas para operar o meos ifiito. Si es ua ostate y Z, etoes: 1) = 2) 3) = =, si es par = =, si es impar 4) 1 1 = = Coeptos lave de la Uidad 1

5 5) 6) [ ] = 0 = = = = 7) [ ] = = 8) [ ] = = = 9) [ ] = =, si > 0 10) [ ] = =, si < 0 11) = = 12), si > 0 y es par = =, si > 0 y es impar = =, si < 0 y es par 13) 14) = = 15) = = 0, si < 0 y es impar 16) 0 = = 17) = =, si > 0 18) 19) 20) 21) = = = =, si < 0 = = = =, si > 0 y es par, si > 0 y es impar, si < 0 y es par Coeptos lave de la Uidad 1 1-5

6 22) = =, si < 0 y es impar 14. Límite de ua fuió de variable real e u puto. Sea f ( x ) ua fuió de variable real y a R, el úmero L es el ite de la fuió f ( x ) uado x tiede a a, que se deota f ( x) = L, si uado x se aproxima al úmero a, las imágees de f ( x ) se aproxima al valor L más que a ualquier otro úmero. Si f ( x) f ( x) =, etoes se die que el ite es ifiito. Si =, etoes se die que el ite es meos ifiito. 15. Existeia y uiidad del ite de ua fuió e u puto. Si f ( x) = L y f ( x) = L, etoes existe f ( x) y Notas: Si existe el ite de ua fuió e u puto, es úio. Este ite tambié puede ser ifiito o meos ifiito. f x = L. 16. Priipales reglas para el álulo algebraio de ites e u puto. Si a R y además f ( x) = L y g x = M, etoes: a) Regla de la suma para ites: f x g x = L M b) Regla del produto para ites: f x g x = L M ) Regla del oiete para ites: Si M 0, etoes d) Si es ua ostate, etoes f x L = g x M = y f ( x) = L 1-6 Coeptos lave de la Uidad 1