Continuidad, límites y asíntotas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Continuidad, límites y asíntotas"

Transcripción

1 9 Continuidad, ites y asíntotas. Funciones especiales Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: Parte entera de Parte decimal de Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 Ent () Dec () 3,9 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 3,9 Parte entera de Ent () Parte decimal de Dec () 0,3 0,7 0,8 0,2 0,4 0,6 0,9 0, Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 3,9 Aplica la teoría. Representa las funciones: y Ent(2) y y Ent(2) y 2. Representa las funciones: y Signo( 2 4) y SOLUCIONARIO

2 y Signo( 2 4) 4. Representa las funciones: si y 2 si > / si < 0 y si 0 y Representa las funciones: y log 2 y sen y log 2 5. Representa la función: 2 si y + 3 si < 2 log 2 si > 2 0 y sen TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 283

3 2. Continuidad Piensa y calcula Completa mentalmente las siguientes tablas: y Ent(),9,99,999,9999 y Ent() 2, 2,0 2,00 2,000 y Ent(),9,99,999,9999 y Ent() 2, 2,0 2, ,000 2 Aplica la teoría 6. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad analizando su gráfica: y y 2/ c) y y Representa la función f() + 3 y calcula los siguientes ites: f() f() 2 y + 3 Es una parábola y es continua en todo y Representa la función f() si 2 si > 2 y calcula los ites laterales en 2 Es una hipérbola y es discontinua en 0 c) y Es una función irracional y es continua en todo su dominio, Dom(f) [0, + ) 2 f() ( ) f() ( ) 284 SOLUCIONARIO

4 9. Representa la función f() 2 si 2/ si > y estudia la continuidad en f() 2 2 f() f() 2 2 La función es continua en 3. Discontinuidades Piensa y calcula Completa la siguiente sucesión: 2,9 2, ,0 3, 2,9 2,99 2,999 2,9999 2, ,0000 3,000 3,00 3,0 3, Aplica la teoría 0. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: + si 3 f() 2 si 3 Se estudia el punto 3 f(3) f() ( + ) f() ( + ) 2 3 La función es discontinua en 3, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f(3) 2. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y Dec() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 285

5 4. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y tg Es discontinua en los números enteros, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto uno. 2. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y + (2k + )π Es discontinua en,k, donde tiene una 2 discontinuidad de ª especie de salto infinito. 5. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: f() 3 2 si 2 5 si 2 Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la izquierda. 3. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y 3 y Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f( 2) 2 Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 286 SOLUCIONARIO

6 4. Límites de funciones polinómicas y racionales Piensa y calcula Calcula mentalmente los siguientes cocientes y di cuál o cuáles no tienen solución, tienen una solución o tienen muchas soluciones c) d) Muchas soluciones. c) 0 d) No tiene solución. Aplica la teoría 6. Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) +@ ( No eiste f() 7. Calcula los siguientes ites y representa la función correspondiente: ( + 2)( 2) [ ] ( 2) Calcula mentalmente los siguientes ites: @ c) d) +@ 7 3 e) f) +@ e) 0 f) 0 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 287

7 5. Límites de funciones irracionales y ites de operaciones Piensa y calcula Halla el resultado de operar los siguientes símbolos; puede dar +, o indeterminado. @ @ Indeterminado. c) Indeterminado. Aplica la teoría 9. Representa la función f() Halla el ite de f() cuando 2 2. Halla el siguiente ite: 5 ( 5) 2 + +@ ( ) ( + 3) (3 + 2 ) Representa la función f() + 2 Halla el ite de f() cuando + [ ] Halla el siguiente 7 ( 72 ) ( 72 ) ( + 2) ( @ [ ] SOLUCIONARIO

8 23. Halla el siguiente ite: ( ) +@ ( 2 +6)( ) 2 ( 2 + 6) ( 2 +6) [ ] Halla el siguiente ite: ( ( )( ) ( @ ( 2 4) @ [ ] 25. Halla el ite de la siguiente sucesión: ( n 2 + 3n 5 n 2 + ) n +@ ( n 2 + 3n 5 n 2 +)( n 2 + 3n 5 + n 2 +) ( n 2 + 3n 5 n 2 +) n n n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 (n 2 + ) n 2 + 3n 5 n 2 3n n n n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 + n 2 + n 2 + 3n 5 + n 2 3n 3 n n 2 + n 2 2 n [ ] 26. Halla el ite de la siguiente sucesión: (3n 9n 2 + 5n ) n +@ (3n 9n 2 + 5n )(3n + 9n 2 + 5n ) 9n 2 (9n 2 + 5n) (3n 9n 2 + 5n ) n n n 3n + 9n 2 + 5n 3n + 9n 2 + 5n 9n 2 9n 2 5n 5n 5 5 n n [ ] n 3n + 9n 2 + 5n 3n + 9n 2 + 3n + 9n TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 289

9 6. Asíntotas de funciones racionales Piensa y calcula Dibuja la siguiente hipérbola, halla sus asíntotas y represéntalas. 2 y + 3 Asíntotas: Vertical: 3 Horizontal: y y 2 3 Aplica la teoría Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: 28. y y Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: y La curva está encima de la asíntota. 0 La curva está debajo de la asíntota. Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: y 2 0+ La curva está encima de la asíntota. 0 La curva está debajo de la asíntota. 290 SOLUCIONARIO

10 29. y Verticales: no tiene. Horizontal: y La curva está encima de la 2 +3 asíntota. 0 La curva está debajo de la 2 +3 asíntota. Oblicua: no tiene. 30. y Verticales: 2 0, Horizontal: 2 y Ï@ 2 0+ La curva está encima de la 2 0+ La curva está encima de la 2 asíntota. Oblicua: no tiene. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 29

11 Ejercicios y problemas. Funciones especiales 3. Representa las funciones: y Dec(2) y Signo(sen ) y Dec(2) 33. Representa las funciones: y y cos 4 y 4 y cos y Signo(sen ) 34. Representa la función: y 2 si 2 3 si > Representa las funciones: y 2 4 y y Representa la función: y 3 si 3/ si > y SOLUCIONARIO

12 36. Representa la función: 3 si < 2 y si 2 si > 38. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad de forma gráfica: y y Dec() y Es el valor absoluto de una función polinómica y es continua en todo y Dec() 2. Continuidad 37. Representa las siguientes funciones y estudia la continuidad de forma gráfica: 2 y 3 3 y 2 y 3 Es la función parte decimal y es discontinua en todos los puntos de abscisa entera. 39. Representa la función: f() sen y calcula los siguientes ites: f() f() π/2 π y sen Es una recta y es continua en todo y 3 Es el valor absoluto de una función racional, de una hipérbola y es discontinua en 0 π/2 sen π sen Representa la función: + 4 si 0 f() 2 si > 0 y calcula los ites laterales en 0 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 293

13 Ejercicios y problemas Se estudia el punto f() 3 +f() f() ( + 2) 3 La función es continua en ; por lo tanto, es continua en todo 0 + f() f() Representa la función: 4 si < f() 3/( + 2) si y estudia la continuidad en 43. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y Signo() f( ) 3 f() 3 + f() 4 La función es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de salto finito de 3. Discontinuidades 42. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: + 2 si < f() 3 si Se estudia el punto 0 f(0) no eiste. 0 +f() Signo() f() Signo() 0 La función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de 2 unidades. 44. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y 2 y 2 Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la derecha. 45. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y SOLUCIONARIO

14 y 2 4 +f() ( + 3) 2 + f() 2 2 La función es continua en y + 4. Límites de funciones polinómicas y racionales Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 46. Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: y log Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) +@ ( ( ) ( ) 5 ) y log Calcula el siguiente ite: Representa la función correspondiente ( + ) ( + ) Es continua en todo su dominio, es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya que no eiste el ite lateral por la izquierda ( ) ( ) Representa la siguiente función y estudia sus discontinuidades: f() 2 si < + 3 si 4 y Calcula el siguiente ite: Se estudia el punto f() Representa la función correspondiente ( )( + 3) [ ] 0 ( + 3) TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 295

15 Ejercicios y problemas 5. Límites de funciones irracionales y ites de operaciones 54. Representa la función: f() Halla el ite de f() cuando Calcula mentalmente los siguientes ites: [ ] [ ] ( ) Representa la función: f() 3 Halla el ite de f() cuando 52. Calcula mentalmente los siguientes ites: [ ] Calcula mentalmente los siguientes ites: [ [ ] [ Halla el siguiente ite: ( ) @ ( ) (2 + ) ( ) [ SOLUCIONARIO

16 57. Halla el siguiente ite: 0 ( 5) ( ) ( [ ] Halla el siguiente ite: ( ) +@ ( ) ( )( ) @ @ [ ] 59. Halla el siguiente ite: ( ) ( ) +@ ( )( ) [ ] Halla el ite de la siguiente sucesión: ( ) ( 3n 5 n + 2) n n 2n 2n +@ n 3n 5 + n + 3n + n n [ ] n +@ 3n 5 n + 2 ( 3n 5 n + 2)( 3n 5 + n + 2) 3n 5 n 2 3n 5 + n + 2 n 3n 5 + n Halla el ite de la siguiente sucesión: (2n 5 4n 2 7n ) n +@ (2n 5 4n 2 7n)(2n 5 + 4n 2 7n) (2n 5 4n 2 7n) n n 2n 5 + 4n 2 7n 4n 2 20n n 2 + 7n 3n + 3n 3n 3 n n [ ] n n 2n 5 + 4n 2 7n 2n 5 + 4n 2 2n + 2n 4n 4 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 297

17 Ejercicios y problemas 6. Asíntotas de funciones racionales 62. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y y Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: La asíntota es: y Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y y Verticales: , @ Horizontal: Ï@ La asíntota es: y La curva está debajo de la La curva está encima de la 4 2 asíntota. Oblicua: no tiene. 0+ La curva está encima de la 0 La curva está debajo de la asíntota. Verticales: no tiene. Horizontal: Ï@ 2 La asíntota es: y ( ) 0 La curva está debajo de la ( 3 ) 0 La curva está debajo de la asíntota. Oblicua: no tiene. Verticales: Horizontal: Ï@ 2 0 La asíntota es: y La curva está encima de la 2 asíntota. 0 La curva está debajo de la 2 asíntota. Oblicua: no tiene. 298 SOLUCIONARIO

18 64. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: 5 y y Verticales: no tiene. Horizontal: y 0 Ï@ 5 0 La asíntota es: y La curva está encima de la 2 + asíntota. 0+ La curva está encima de la 2 + asíntota. Oblicua: no tiene. Verticales: Horizontal: no tiene. Oblicua: La asíntota es: y + 2 ( ) 0 La curva está debajo de la ( ) 0+ La curva está encima de la asíntota. Para ampliar 65. Representa las funciones: f() f() 2 y si < Representa la función: y 2 si 2 < log 2 si y Representa la función: f() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 299

19 Ejercicios y problemas 68. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones, es decir, el conjunto donde es continua, y razona por qué son iguales o distintos. f() f() 3 c) f() d) f() 3 Dom(f) C(f) Las funciones polinómicas son continuas en todo El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Dom(f) {} U (, C(f) {} U (, El punto de discontinuidad no está en el dominio. El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. c) Dom(f) C(f) No hay ningún punto de discontinuidad. El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. c) Dom(f) C(f) El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. (2k + )π d) Dom(f) {,k 2 } (2k + )π C(f) { },k 2 El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. e) Dom(f) C(f) El dominio y el campo de continuidad no son iguales. Se observa que la función no está definida por una fórmula analítica. f) Dom(f) C(f) {0} El dominio y el campo de continuidad no son iguales. Se observa que la función no está definida por una fórmula analítica. 70. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: y 2 4 d) Dom(f) [3, C(f) [3, El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. 69. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones y razona por qué son iguales o distintos. f() 2 f() log 2 c) f() sen d) f() tg e) f() Ent() f ) f() Signo() Dom(f) C(f) El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Dom(f) (0, C(f) (0, El dominio y el campo de continuidad son iguales por estar definida la función por una sola fórmula. Es discontinua en 2 y en 2, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 7. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: f() + 3 Es discontinua en 3, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie porque no eiste el ite lateral por la derecha. 300 SOLUCIONARIO

20 72. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente función a partir de su gráfica: ( )( 3) 3 [ ] 3 2 f() si? 4 si Es discontinua en, donde tiene una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f( ) Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) ( ) 74. Calcula mentalmente los siguientes ites: Calcula mentalmente los siguientes ites: @ Calcula el siguiente ite: Como los ites laterales son distintos, el ite cuando tiende a 5 no eiste. 79. Calcula mentalmente los siguientes ites: Calcula mentalmente los siguientes ites: ( ) ( Calcula los siguientes ites: Calcula los siguientes ites: ( 2) 2 [ ] ( + 2)( 2) TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 30

21 Ejercicios y problemas 8. Halla el siguiente ite: ( 3 )( + 3 ) [ ] ( 2 3)( + 3 ) ( 2 3)( + 3 ) Halla los siguientes ites: ( + 8 3)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] ( 2)( + 3 5) ( 2)( + 3 5) ( 3 5)( + 3 5) [ ] ( 2)( + 3 5) ( 2)( + 3 5) ( 2) Halla una función racional que tenga como asíntota vertical la recta 2 f() Halla una función racional que tenga como asíntota horizontal la recta y 3 y 0 3 f() Halla una función racional que tenga como asíntota oblicua la recta y 2 Horizontal: y 0 f() Representa y halla mentalmente las asíntotas de las siguientes funciones eponenciales: y 2 y c) y d) y + 2 Horizontal: y 5 y SOLUCIONARIO

22 c) c) 3 y 3 Horizontal: y 3 Vertical: 3 d) d) 3 y Horizontal: y Vertical: Representa y halla mentalmente las asíntotas de las siguientes funciones logarítmicas: y log 2 y 3 + log 2 c) y log 2 ( + 3) d) y + log 2 ( 3) Dada la función f() completa mentalmente las siguientes tablas: f() f() Observando las tablas, induce los siguientes ites: 0 + 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 c) Calcula f(0), razona si la función f() es continua en 0 y, en caso negativo, clasifica la discontinuidad. Vertical: 0 0 f() , 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 f() Vertical: c) f(0) no eiste y viendo los ites laterales obtenidos en el apartado, la función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 303

23 Ejercicios y problemas Con calculadora 89. Dada la función f() 2 completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: c) Calcula f(0) y razona si la función f() es continua en Dada la función f() completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: 0 + f() f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 f(),07,007,0007, , 0,0 0,00 0,000 f() 0,9 0,99 0,999 0, c) f(0) y, viendo los ites laterales obtenidos en el apartado, la función es continua en 0 f() f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 0 c) Calcula f(0), razona si la función f() es continua en 0 y clasifica la discontinuidad. 9. Dada la función: f() completa las siguientes tablas: Observando las tablas, induce los siguientes ites: ( @ f() f() ( ) ( ( ) 92. Dada la función: f() f() f() completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valor de la función menos el valor de la asíntota horizontal. f() y 3 f() f() 0,3 0, 0,03 0,0 f() 0, 0,0 0,00 0,000 0, 0,0 0,00 0,000 No eisten 0 no eiste c) f(0) 0 y,viendo los ites obtenidos en el apartado, la función es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie. Observando la tabla, razona si la curva está encima o debajo de la asíntota f() 3,05 3,0005 3, , y f() 3 0,05 0,0005 0, , La curva está encima de la asíntota. 304 SOLUCIONARIO

24 93. Dada la función: f() completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valor de la función menos el valor de la asíntota horizontal. f() y 2 + f() (2 + ) Observando la tabla, razona si la curva está encima o debajo de la asíntota f() 2, 20,0 2 00, ,000 y f() (2 + ) 0, 0,0 0,00 0,000 La curva está encima de la asíntota. Problemas 94. Representa la función: f() Qué función es? 96. Halla el valor de n para que la siguiente función sea continua en todo + n si < 2 f() 2 si 2 f(2) (2) f() ( + n) 2 + n 2 2 f() (2 ) Por tanto, tiene que ser: 2 + n 3 n Es la función y Signo() 95. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo 2 si 2 f() k si > 2 f(2) f() (2 ) f() k k Por tanto, tiene que ser: k Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo f () k k + 2 si < f() k/ si f() ( + 2) f() k k + + Por tanto, tiene que ser: k 3 TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 305

25 Ejercicios y problemas 98. Halla el valor de n para que la siguiente función sea continua en todo f() 2 si 3 + n si > f() 2 2 f() 2 2 f() (3 + n) 3 + n + + Por tanto, tiene que ser: 3 + n 2 n 0. Calcula el valor de a para que: a 3 a 6 2 +@ a Observando la gráfica: 3 y Los ingresos de una empresa, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por la función: si 0 9 f() 4 30 si > 9 7 donde viene dado en años,y f(),en millones de euros. Es continua la función f()? Sí es continua, porque: f(9) 3 f() f() calcula: ( 4) 3 +@ 3 ( 4) En un aparcamiento que permanece abierto 0 horas diarias, hay un cartel que dice: cada hora,,5 y más de 4 horas, 7 Representa la función correspondiente. En qué puntos es discontinua, y qué tipo de discontinuidad tiene en cada uno de ellos? 03. Observando la gráfica: y 2 + Es discontinua en:, 2, 3, 4 En esos puntos tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito. En los tres primeros puntos el salto es de,5 y en el último el salto es de calcula: c) d) c) 306 SOLUCIONARIO

26 04. Observando la gráfica: calcula: ( ) Halla el ite analíticamente para comprobar el resultado. 0 + f() Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función: 0,4 + k si f() si > donde son los ingresos de la familia en euros. Halla el valor de k para que los gastos sean continuos; es decir, no haya salto en 000 Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimentación de las familias con la renta más alta? k ( ) ( )( ) ( + 3) Rocío comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de ordenadores que monta, en función del tiempo, viene dada por: 6t f(t) t + 5 donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de ordenadores que monta. Cuántos ordenadores monta el primer día? Cuántos ordenadores monta el quinto día? c) Cuántos ordenadores monta el décimo día? d) Qué día montará 5 ordenadores? e) Puede llegar a montar algún día 7 ordenadores? f) A qué número tenderá cuando lleve mucho tiempo trabajando? 3 c) 4 d) 6t 5 t 25 t + 5 e) No, porque al resolver la ecuación 6t 7, se obtiene un número negativo. t + 5 f) 6t 6 t t En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función: t P(t) t (t + 50) 2 donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo,y P(t) es el número de habitantes en millones. Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, hacia qué población se estabilizará? Halla la asíntota horizontal para comprobarlo. t 0 P(0) millón. t 50 P(50) 3 millones. c) t t millón. (t + 50) 2 Asíntota horizontal: y 08. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y Verticales: no tiene. Horizontal: y La curva está encima de la asíntota La curva está debajo de la 2 + Oblicua: no tiene. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 307

27 Ejercicios y problemas 09. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la posición de la curva respecto de cada una de ellas: y Verticales: 2 0, Horizontal: y 2 0+ La curva está encima de la asíntota La curva está encima de la asíntota. 2 Oblicua: no tiene. m + n 2 2m + n m, n 3 3. Una determinada especie evoluciona según la función: f(t) t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? Para profundizar 0. Halla el valor de f(3) para que la siguiente función sea continua en todo f() f(3) 3 La especie no está en vías de etinción, porque tiende a estabilizarse hacia 5 millones de unidades. (5 + t 2t ) 5 4. Una determinada especie evoluciona según la función: 2 f(t), t > 0 t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción?. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo 2 si f() m + n si < < 2 2/ si 2 m + n 2m + n m 0, n 2. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo 2 si f() m + n si < < 2 log 2 si 2 La especie sí está en vías de etinción, porque tiende hacia t t 308 SOLUCIONARIO

28 5. Observando la gráfica de la sucesión: calcula: Halla el ite analíticamente para comprobar el resultado. 3 3 n +@ 6. Una entidad financiera paga un tanto por ciento en función del dinero depositado, definido por: R() donde es la cantidad de dinero depositado en euros, y R(), el valor del tanto por ciento. Hacia qué valor se estabilizará el tanto por ciento cuando se deposite una cantidad muy grande % +@ y 3 3n 2 2n + 4 a n n n 2 2n + 4 n Los beneficios o las pérdidas de una empresa vienen dados por la función: 5 f() donde es el número de años que lleva funcionando, y f() son millones de euros. Halla los beneficios o las pérdidas en el er,2º y 3 er años. Hacia qué valor se estabilizan las ganancias o pérdidas con el paso del tiempo. 3, 0, 25/3,9 millones de euros, respectivamente millones de euros de ganancias. +@ Halla una función racional que tenga como asíntotas verticales las rectas 3, f() f() ( 3)( + ) Calcula una función racional que tenga como asíntotas las rectas 2 e y 3 y Halla una función racional que tenga como asíntotas las rectas e y 2 y 2 + f() TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 309

29 Linu/Windows Paso a paso 2. Dibuja la siguiente función, identifícala y estudia sus discontinuidades. y suelo() Resuelto en el libro del alumnado. 22. Dibuja la siguiente función y estudia sus discontinuidades. y 2 5 si si > 3 Resuelto en el libro del alumnado. 23. Halla el siguiente ite y dibuja la función correspondiente para comprobarlo gráficamente. ( ) +@ Resuelto en el libro del alumnado. 24. Representa la siguiente función, halla sus asíntotas y dibújalas. y Resuelto en el libro del alumnado. 25. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso y tema. Practica 26. Dibuja las siguientes funciones, identifícalas y estudia sus discontinuidades. y decimal() y signo() Es la función parte decimal, y Dec() Es discontinua en los números enteros, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de una unidad. Es la función signo, y signo() Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de dos unidades. 27. Dibuja las siguientes funciones y estudia su continuidad. y 2/ y SOLUCIONARIO

30 Windows Derive Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. Es discontinua en 2, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto finito de 7 unidades. 29. Halla el siguiente ite y dibuja la función correspondiente para comprobarlo gráficamente. +@ ( ) Es continua en toda la recta real, ( ) 2 +@ 28. Dibuja las siguientes funciones y estudia sus discontinuidades. 2/ si < 0 f() si si < 2 f() 2 si si > Es discontinua en 0, donde tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 30. Halla los ites laterales en el punto que se indica y dibuja la función para comprobarlo gráficamente. Clasifica la discontinuidad en dicho punto. y 2 en y 2 5 en TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 3

31 Linu/Windows En 2 tiene una discontinuidad evitable porque no está definida para 2. Se evita la indeterminación definiendo f(2) / Vertical: Horizontal: no tiene. Oblicua: y Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o DERIVE: En 3 tiene una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 3. Dibuja las siguientes funciones, halla sus asíntotas y represéntalas. y y Una determinada especie evoluciona según la función: f(t) t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades eistentes. Dibuja la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? Para comprobarlo, calcula el ite cuando t y representa la asíntota horizontal. Vertical: no tiene. Horizontal: y 3 Oblicua: no tiene. (3 + 2t ) 3 t +@ La especie no está en vías de etinción, porque tiende a estabilizarse hacia 3 millones de unidades. 32 SOLUCIONARIO

32 Windows Derive 33. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función: P(t) t t (t + 50) 2 donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo y P(t) es el número de habitantes en millones. Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, hacia qué población se estabilizará? d) Representa la función y la asíntota horizontal. millón. 3 millones. c) millón, y d) En la gráfica. TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES ASÍNTOTAS 33

Límites, continuidad y asíntotas

Límites, continuidad y asíntotas BLOQUE II Análisis 6. Límites, continuidad y asíntotas 7. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas 9. Análisis de funciones y representación de curvas 0. Integral indefinida y definida 6 Límites,

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

Unidad 9. Límites, continuidad y asíntotas

Unidad 9. Límites, continuidad y asíntotas Unidad 9. Límites, continuidad y asíntotas. Límite de una función en un punto Piensa y calcula Halla mentalmente y completa la tabla siguiente:,9,99,,00,0, f () =,9,99,,00,0, f () =,9,99 3, 3 3,00 3,0

Más detalles

Continuidad, límites y asíntotas. Funciones

Continuidad, límites y asíntotas. Funciones 9 Continuidad, ites y asíntotas Funciones Introducción El estudio de la continuidad de una función se inicia desde el análisis de la gráfica de la función. Este análisis, intuitivo y fácil, pero insuficiente

Más detalles

Funciones algebraicas y trascendentes

Funciones algebraicas y trascendentes 7 Funciones algebraicas y trascendentes. Funciones polinómicas Piensa y calcula Dibuja una recta que tenga de pendiente y pase por el punto P(0, ) P(0, ) Aplica la teoría. Analiza de qué grado pueden ser

Más detalles

f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5

f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos

Más detalles

lím f(x) lím f(x) lím f(x) lím f(x) lím f(x)

lím f(x) lím f(x) lím f(x) lím f(x) lím f(x) . La siguiente gráfica corresponde a la función f(). Halla el valor de los siguientes ites: 0 - y 9 8 7 6 5-9 -8-7 -6-5 - - - - - 5 6 7 8 9 - - - -5-6 -7-8 -9. La siguiente gráfica corresponde a la función

Más detalles

f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5

f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos a

Más detalles

EJERCICIO DE FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS O POR PARTES. Es discontinua en x = 1. Valor absoluto de una función

EJERCICIO DE FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS O POR PARTES. Es discontinua en x = 1. Valor absoluto de una función 1 Límites y derivadas 1.1 Funciones definidas a trozos o por partes Una función está definida a trozos o por partes en distintos intervalos del dominio la función está definida por una fórmula diferente.

Más detalles

UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.

UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento

Más detalles

Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa

Más detalles

Funciones racionales, irracionales y exponenciales

Funciones racionales, irracionales y exponenciales 0 Funciones racionales, irracionales y exponenciales. Funciones racionales Despeja y de la expresión xy = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = x Es una función racional que corresponde

Más detalles

1.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

1.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. En ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproima una función cuando la variable

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() = L, si al tomar cada vez valores más

Más detalles

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() 4 3 0 Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 7 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE El valor de la función f () = + 5 para = 5 no se puede obtener directamente porque el denominador se hace

Más detalles

Funciones. Rectas y parábolas

Funciones. Rectas y parábolas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 239 a 257

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 239 a 257 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 Página 9 Página. a) f() 0. a) f() 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,9,99,999,9,99,999,9999 f() 00 0.000 0 6 0 8 b) f() 0 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,0,00,000

Más detalles

12 Representación de funciones

12 Representación de funciones Representación de funciones ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando previamente las epresiones, resuelve las siguientes ecuaciones: 3 a) 6 7 4 + 5 = 0 6 4 c) 4 + 4 = 0 7 b) 6 d) + + + + 3 = 0.II. Resuelve

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas 11 Aplicaciones de las derivadas 1. Representación de funciones polinómicas Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) lím ( 3 3) b) lím ( 3 3) +@ a) + @ b) @ @ Aplica la teoría Representa las siguientes

Más detalles

FACULTAD de INGENIERÍA Análisis Matemático A

FACULTAD de INGENIERÍA Análisis Matemático A FACULTAD de INGENIERÍA Anális Matemático A Página FACULTAD de INGENIERÍA Anális Matemático A g( ) g( ) g () d) g( ) 6) Encuentre los guientes ites endo f ( ) a cada paso indicando el álgebra de ites utilizado.

Más detalles

Límite de una función Funciones continuas

Límite de una función Funciones continuas Límite de una función Funciones continuas Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 2014-2015 1 LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO. 3 1. Límite cuando la variable tiende

Más detalles

CONTINUIDAD DEFINICIÓN CONTINUIDAD LATERAL. es continua en un punto. Una función. si:

CONTINUIDAD DEFINICIÓN CONTINUIDAD LATERAL. es continua en un punto. Una función. si: CONTINUIDAD DEFINICIÓN Una función 1) l a ) f (a) ) f ( a) a un punto a Si una función no cumple alguna de estas condiciones es discontinua en : a CONTINUIDAD LATERAL Ejemplo a por la izquierda f ( a)

Más detalles

tiene una rama infinita cuando x, f(x) o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto ( x, f ( x))

tiene una rama infinita cuando x, f(x) o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto ( x, f ( x)) Matemáticas II Curso 03-04 6. Asíntotas Se dice que una función y f ( tiene una rama infinita cuando, f( o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto (, f ( ) se aleja infinitamente

Más detalles

12 Integrales. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría. Completa la siguiente tabla: x 6. f(x) x 6 x 5. x n. f'(x) 4x 3.

12 Integrales. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría. Completa la siguiente tabla: x 6. f(x) x 6 x 5. x n. f'(x) 4x 3. Integrales. Reglas de integración Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: f() 6 6 6 n f'() n f() 6 6 6 n n + n + f'() 6 0 n n n Aplica la teoría. ( + ) d ( + ) 8. d + k. e / d e / + k. + d + L. d

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS UNIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 6. Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua: < 0 a) y = + < b) y = 0

Más detalles

TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

TEMA 10.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD

TEMA 10.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES TEMA.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Una sucesión de números reales es un conjunto de números (a, a, a 3,...,

Más detalles

Funciones racionales, irracionales y exponenciales

Funciones racionales, irracionales y exponenciales 0 Funciones racionales, irracionales y eponenciales. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que corresponde

Más detalles

Página 194 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Tasa de variación media PARA PRACTICAR UNIDAD

Página 194 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Tasa de variación media PARA PRACTICAR UNIDAD UNIDAD Página 9 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Tasa de variación media Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] 0 5 f (0) f ( ) a)

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. LÍMITES Y CONTINUIDAD . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. LÍMITES Y CONTINUIDAD... LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO... LÍMITES INFINITOS... LÍMITES EN EL INFINITO..4.

Más detalles

Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones Problemas Propuestos Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones Problemas Propuestos Definición de ites Demuestra, aplicando la definición, que ( ) Demuestra, aplicando la definición, que + + 8 Cálculo de ites

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

Los números reales. 1. Números racionales e irracionales

Los números reales. 1. Números racionales e irracionales Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado de cm de lado. Expresa de forma exacta el lado, x, de un cuadrado de cm de área. P I E N S A Y C A L C U

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES GBG

LÍMITES DE FUNCIONES GBG LÍMITES DE FUNCIONES GBG - 010 1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f. de elementos del Decimos que f = L si y sólo si

Más detalles

a) x = 2 b) x = 4 c) x = ± 5 d) x = 0, x = 7 e) x = 0 f) x = ± 7 Solución: 5. Halla la descomposición factorial de los siguientes trinomios

a) x = 2 b) x = 4 c) x = ± 5 d) x = 0, x = 7 e) x = 0 f) x = ± 7 Solución: 5. Halla la descomposición factorial de los siguientes trinomios 3 Ecuaciones e inecuaciones. Ecuaciones de er y 2 grado Piensa y calcula Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) + 3 = 5 b) 3 = 2 c) 2 = 25 d) ( 7) = 0 e) 5 2 = 0 f) = 7 a) = 2 b) = 4 c) = ±

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS UNIDAD 6 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 38. Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua: < 0 a) y = + 3 < b) y

Más detalles

Soluciones a las actividades

Soluciones a las actividades Soluciones a las actividades BLOQUE I Aritmética. Los números reales. Potencias, radicales y logaritmos Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces

Más detalles

Veamos ahora el comportamiento de la función parte entera (f(x) = E(x)). Si x se aproxima a 2, a qué valor tiende f(x)?

Veamos ahora el comportamiento de la función parte entera (f(x) = E(x)). Si x se aproxima a 2, a qué valor tiende f(x)? LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. C O N C E P T O D E L Í M I T E D E U N A F U N C I Ó N E N U N P U N T O Consideremos la función f(x)x², cuya gráfica es una parábola. Si x se aproxima a, a qué valor

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA Unidad 5 / Límites de funciones Continuidad! PARA RESOLVER a)) Calcula el límite de la función f() cuando,,,, - : f() (-)/( -5) b)) Representa gráficamente los resultados obtenidos. a))! 5! 5 indeterminado,

Más detalles

. Si grado p x grado q x lim f x = k con lo que la función f x tiene una asíntota horizontal.

. Si grado p x grado q x lim f x = k con lo que la función f x tiene una asíntota horizontal. Límites y continuidad de funciones. Curso 4/5 Ejercicio. Determina las asíntotas de la función f ( ) y analiza la posición de la gráfica con respecto a ellas. f ( ) 3 8 p ( ) q( ) R Una función cuya epresión

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a 2, 3, 3 3 2 b 2, 3, 3 2 8 @ c 2, 3, 3 5 2 + 3 8 2

Más detalles

Tema 5. Límites y continuidad de funciones

Tema 5. Límites y continuidad de funciones Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Análisis: Límites y continuidad 97 Tema 5 Límites y continuidad de funciones Límite de una función en un punto Idea inicial Si una función f está definida

Más detalles

Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función

Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición

Más detalles

Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función

Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición

Más detalles

2-LÍMITES Y CONTINUIDAD

2-LÍMITES Y CONTINUIDAD -Distancia entre dos números: d(a,b)= -LÍMITES Y CONTINUIDAD Sea f una función a y L R 0 Propiedad- =L Ejemplos: -f()= + = = = ( = = =5 ( ) - = = = ( ) - = M > > para suficientemente próimos a a =a es

Más detalles

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12. 7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +

Más detalles

5.3 Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(x): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + )

5.3 Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(x): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + ) Tema 5: Funciones. Dominio, Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones 5.1 Concepto de Dominio de una función Función: es una regla que asigna a cada número real X un único número real Y. X Dom R Dom

Más detalles

Problemas Tema 2 Enunciados de problemas de Límite y Continuidad

Problemas Tema 2 Enunciados de problemas de Límite y Continuidad página /2 Problemas Tema 2 Enunciados de problemas de Límite y Continuidad Hoja. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f ()=. solución: continua en toda la recta real. Punto anguloso en

Más detalles

TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. LÍMITES EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores

Más detalles

tiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x

tiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite L cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ) L, cuando al acercarnos

Más detalles

Un i d a d 2. Co n t i n U i da d. Objetivos. Al inalizar la unidad, el alumno:

Un i d a d 2. Co n t i n U i da d. Objetivos. Al inalizar la unidad, el alumno: Un i d a d Co n t i n U i da d Objetivos Al inalizar la unidad, el alumno: Identificará cuándo una función es continua en un punto y en un intervalo. Aplicará las operaciones de las funciones continuas

Más detalles

TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD º CONCEPTOS PREVIOS Ejercicio º Valor absoluto a,b, TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD º Intervalos: a, b, a, b, a, b Semirrectas:, a, -,a, a,, a, Representa gráficamente las siguientes funciones,

Más detalles

TEMA 6 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 6 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 6 : DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejercicio: Observa la gráfica siguiente: a) Estudia el dominio, el recorrido y la continuidad de f(). b) Indica si eisten los límites

Más detalles

Ejercicios: Límites y continuidad

Ejercicios: Límites y continuidad . En los apartados siguientes, usar la gráfica de las funciones para hallar el límite si eiste: (a) (4 ) ( + ) (c) f(); f() = 4,! d 3 d d 0, = f(); f() = +,! 5 (f) d, = d 5 5 d 3 3. Calcula los siguientes

Más detalles

Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización.

Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización. TEMA 1 Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización. Límite finito en un punto: Consideremos una función f definida en las proimidades

Más detalles

(Soluc: a) ; b)- ; c)± ; d)± ; e)± ; f) 0; g)± ; h) ; i)± ; x 1. 3 f) x e. lim x 2 x 1. lim x. lim. lim log x. lim. lim. x 1 (x 1)(x 4) lim x 1.

(Soluc: a) ; b)- ; c)± ; d)± ; e)± ; f) 0; g)± ; h) ; i)± ; x 1. 3 f) x e. lim x 2 x 1. lim x. lim. lim log x. lim. lim. x 1 (x 1)(x 4) lim x 1. + ln 4 + f + 5 EJERCICIOS de LÍMITES de FUNCIONES y CONTINUIDAD. Calcular los siguientes límites no indeterminados : 4 + + 4 f) e log g) 0, + 4 d) i) 0+ + 4 e) j) 4. Dada la gráfica de la figura, indicar

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

f : R R Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f(x) :

f : R R Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f(x) : Resumen Tema 2: Funciones Concepto de función. Gráficas Definición. Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R que a cada número le hace corresponder otro valor f(). f() Definición

Más detalles

Límites. Continuidad.

Límites. Continuidad. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Límite finito cuando x tiende a infinito (1) Límite finito cuando x tiende a infinito (2) Se dice que el límite de la función f(x) cuando

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. b) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) crecen cada vez más

CÁLCULO DIFERENCIAL. b) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) crecen cada vez más 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: CÁLCULO DIFERENCIAL Una función f(x) tiene por límite L en el número real x = c, si para toda sucesión de valores x n c del dominio que tenga por límite c, la sucesión

Más detalles

Funciones elementales más importantes

Funciones elementales más importantes º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS. FUNCIONES ELEMENTALES Definición de función Una función real

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

10 Integral. indefinida y definida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Integral. indefinida y definida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría Integral indefinida y definida. Reglas de integración Piensa y calcula Calcula: a y =, y' = b y' =, y = c y = e, y' = d y' = e,y = a y' = b y = c y' = e d y = e Aplica la teoría. 7 d Se aplica la integral

Más detalles

x 1 3 f) x e lim x lim + 2 lim lim log x lim x 1 (x 1)(x 4) lim x 1 (x 2)(x 5) (x 2)(x 3) 1. Calcular los siguientes límites no indeterminados 1 :

x 1 3 f) x e lim x lim + 2 lim lim log x lim x 1 (x 1)(x 4) lim x 1 (x 2)(x 5) (x 2)(x 3) 1. Calcular los siguientes límites no indeterminados 1 : + ln 4 + f + 5 EJERCICIOS de LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD. Calcular los siguientes límites no indeterminados : 4 + + 4 f) e log g) 0, + 4 i) 0+ + 4 e) j) 4. Dada la gráfica de la figura, indicar

Más detalles

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

1) (1,6p) Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: x+4-3 x-5. f(x)=

1) (1,6p) Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: x+4-3 x-5. f(x)= 2 de diciembre de 2008. ) (,6p) Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: f()= +4-3 -5 2) (,6p) Halla las ecuaciones de las asíntotas de la siguiente función y estudia la posición relativa:

Más detalles

f : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real

f : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (. A

Más detalles

3 LÍMITE - Teoría y Ejemplos

3 LÍMITE - Teoría y Ejemplos 3 LÍMITE - Teoría y Ejemplos Introducción A partir del concepto de ite, podemos analizar el comportamiento de una función tanto en intervalos muy pequeños alrededor de un número real como cuando los valores

Más detalles

Funciones, límites y continuidad

Funciones, límites y continuidad 8/0/016 Funciones, límites y continuidad C U R S O 0 1 5-0 1 6 Funciones, limites y continuidad Los puntos rojos son los que entran en el eamen de º evaluación 1) Concepto de función. Dominio y recorrido.

Más detalles

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos

Más detalles

f : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real

f : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (). A la

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD Límites y Continuidad ºBCCSS LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() L, si

Más detalles

1 Elabora una tabla de valores de la función f(x) = x 2-4x + 3 en puntos x próximos a x = 2. Sugiere la tabla

1 Elabora una tabla de valores de la función f(x) = x 2-4x + 3 en puntos x próximos a x = 2. Sugiere la tabla Unidad nº 9 CARACTERÍSTICAS DE LAS GRÁFICAS! 1 PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Elabora una tabla de valores de la función f() - + en puntos próimos a. Sugiere la tabla que f() es continua en? 1 9 1 99 1 999 1 01

Más detalles

I.- Límite de una función

I.- Límite de una función I.- Límite de una función a) En un punto En la mayoría de las funciones que vas a encontrarte, el límite, cuando tiende a un número real c, coincide con el valor numérico f(c), siempre que c pertenezca

Más detalles

Parte II. DERIVADAS. APLICACIONES.

Parte II. DERIVADAS. APLICACIONES. Parte II. DERIVADAS. APLICACIONES. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. f ( a + h ) f ( a ) Se dice que f es derivable en = a si eiste el límite lim. Este número se denomina derivada

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD Límites y Continuidad ºBCCSS LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() = L,

Más detalles

{ 0} - Dominio de. f(x) f(x) g(x) g(x) = f(x) = g(x) x 16. f g. Solución: Para hallar el punto de equilibrio basta resolver el sistema: + =

{ 0} - Dominio de. f(x) f(x) g(x) g(x) = f(x) = g(x) x 16. f g. Solución: Para hallar el punto de equilibrio basta resolver el sistema: + = Funciones Se ha hecho un estudio de mercado en el que la curva de oferta de un determinado producto viene dada por la función,7 8 la curva de demanda por, -. Si el punto de corte de ambas curvas es el

Más detalles

? Sí es un infinito. Comparación de infinitos

? Sí es un infinito. Comparación de infinitos Infinitos: límites infinitos. Comparación de infinitos Ejercicio. Cuáles de las siguientes expresiones son infinitas ( ± 4 ) cuando x 6 + 4? Sí es un infinito?????? Comparación de infinitos < Dadas dos

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

tema09 24/6/04 09:35 Página CÁLCULO DE DERIVADAS

tema09 24/6/04 09:35 Página CÁLCULO DE DERIVADAS tema09 24/6/04 09:35 Página 166 9 CÁLCULO DE DERIVADAS tema09 24/6/04 09:35 Página 167 Introducción En muchas ocasiones se realizan cálculos de valores medios; por ejemplo, la velocidad media ha sido de

Más detalles

TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD

TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD 6.. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Dada la función f() = 2, a qué valor se aproima f() cuando se aproima a 2? Dada la función f() =?, a qué valor se aproima f() cuando

Más detalles

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE CURVAS

REPRESENTACIÓN DE CURVAS ºBachillerato REPRESENTACIÓN DE CURVAS Esquema Para representar gráficamente una función se debe estudiar:. Dominio. Puntos de corte con los ejes coordenados. Paridad y periodicidad 4. Asíntotas 5. Monotonía

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES CUADRÁTICAS. La función f() = La función cuadrática más sencilla es f() = cuya gráfica es: -3 - - -0'5 0 0'5 3 f() = 9 4 0'5 0 0'5 4 9 Características generales Su dominio

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes

Más detalles

1. Función cuadrática y traslación vertical. Completa la siguiente tabla y di qué números se obtienen en la última fila: 36 Diferencia de áreas

1. Función cuadrática y traslación vertical. Completa la siguiente tabla y di qué números se obtienen en la última fila: 36 Diferencia de áreas 0 Función cuadrática. Función cuadrática y traslación vertical Completa la siguiente tabla y di qué números se obtienen en la última fila: P I E N S A C A L C U L A Longitud del lado: x 0 Superficie: y

Más detalles