La integral de Riemann

Transcripción

1 Cpítulo 6 L integrl de Riemnn Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cotdo y cerrdo, es decir [, b] con < b R, y l definición que dremos de integrl sólo se plic funciones cotds, y no tods, sino ls funciones que llmremos integrbles. En el siguiente cpítulo veremos cómo, en un sentido más mplio, podemos hblr de integrles de funciones no cotds o definids en intervlos no cotdos. Seguiremos básicmente el desrrollo que puede verse, entre otros muchos textos, en [Ross, cp. VI, pp. 84 y ss.] o en [Brtle-Sherbert, cp. 6, pp. 25 y ss.]. Como complemento puede consultrse [Guzmán, cp. 2]. L evolución históric de l integrl está muy bien contd (sobre todo l portción de Newton y Leibniz) en [Durán]; de crácter más técnico es el libro [Grttn-Guinness]. 6.. Definición (de Drboux) de l integrl de Riemnn 6... Definición de integrl Definición 6... Un prtición de un intervlo [, b] es un conjunto finito de puntos de [, b] que incluye los extremos. Un prtición P l denotremos ordenndo sus puntos de menor myor, comenzndo en y terminndo en b, P = {x i } n i=0 { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b}. El conjunto de ls prticiones de [, b] lo expresremos como P([, b]). Un prtición como l indicd divide el intervlo [, b] en n subintervlos [x i, x i ], cd uno de longitud x i x i. Definición 6..2 (sums de Drboux). Se f un función cotd definid en [, b], y se P P([, b]), P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b}. Sen, pr cd i =,..., n, M i = sup{f(x); x [x i, x i ]}; m i = inf{f(x); x [x i, x i ]}. L sum inferior de f socid P se define como S(f, P ) = m i (x i x i ), y l sum superior de f socid P es S(f, P ) = M i (x i x i ). 99

2 00 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN Observción. Pr culquier P P([, b]) tenemos que S(f, P ) S(f, P ), y que m i M i pr cd i. Así mismo, poniendo M = sup{f(x) : x [, b]}, m = inf{f(x) : x [, b]}, se deduce que m(b ) S(f, P ) S(f, P ) M(b ) culquier que se l prtición P (y por consiguiente, tnto el conjunto de ls sums superiores como el de ls sums inferiores están cotdos, superiormente por M(b ), inferiormente por m(b )). Not (relción entre l integrl y l medid de áres). Supongmos que f es un función no negtiv, y consideremos l región que delimit su gráfic con ls rects y = 0, x = y x = b. Si el áre de dich región es A, entonces S(f, P ) A S(f, P ), y que ls respectivs sums son ls áres que obtenemos si cmbimos f en cd [x i, x i ) por m i o M i, y los hemos definido de form que m i f M i (de hecho hemos tomdo los vlores más justdos que cumplen dichs desigulddes). En l figur, l diferenci entre l sum superior y el áre A es lo que mide l zon de color mrillo (clro), y l diferenci entre A y l sum inferior es lo que mide l zon de color zul (oscuro). Prece clro que si tommos un prtición suficientemente nutrid de puntos podemos conseguir que ests zons sen muy pequeñs, de form que tnto l sum superior como l inferior sen rbitrrimente próxims l áre A. Definición Dd f cotd en [, b], se define su integrl inferior en [, b] como y su integrl superior en [, b] como f = sup{s(f, P ); P P([, b])}, f = inf{s(f, P ); P P([, b])}. Notemos que, como consecuenci de l observción previ, l integrl inferior y l superior son vlores reles perfectmente definidos pr culquier función cotd en un intervlo cerrdo y cotdo. No es difícil divinr que l integrl inferior es siempre menor o igul que l superior, pero l demostrción de este hecho es menos trivil de lo que prece simple vist. Pr probrlo, necesitremos un estudio más detlldo de ls sums de Drboux, que posponemos l prtdo siguiente.

3 6.. DEFINICIÓN (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 0 Definición Un función f cotd en [, b] es integrble-riemnn en [, b] (en el sentido de Drboux), o simplemente integrble, si se cumple que f = En tl cso, l vlor común de dichs integrles se le llm l integrl (de Riemnn) de f en [, b], y se escribe A veces es cómodo escribir l integrl como f(x)dx, expresndo l función medinte su vlor f(x) en l vrible x. En tl cso, es indiferente l letr empled: el mismo significdo tiene f(y)dy, f(z)dz, f en el intervlo [, b]. f(t)dt, etc.; todos estos símbolos representn l integrl de l función Ejemplos. () Integrl de un función constnte. Si f(x) = c pr todo x [, b] y P es l prtición trivil {, b} result que S(f, P ) = c(b ) = S(f, P ). Se comprueb fácilmente que lo mismo sucede pr culquier otr prtición, sí que l integrl superior y l inferior coinciden con c(b ). Es decir, c dx = c(b ). (2) Integrl de l función identidd. Si f(x) = x pr todo x [, b], su integrl superior y su inferior coinciden con 2 (b2 2 ). Es decir, x dx = 2 (b2 2 ). L comprobción de este resultdo prtir de l definición de integrl requiere más esfuerzo del que cbe suponer (vénse en [Brtle-Sherbert, p ] los cálculos pr = 0, b = ). (3) Integrl de l función cudrdo. Si f(x) = x 2 pr todo x [, b], su integrl superior y su inferior coinciden con 3 (b3 3 ). Es decir, x 2 dx = 3 (b3 3 ). L obtención de est fórmul es sorprendentemente complicd. Los detlles del cálculo pueden verse en [Ross, p. 86] o [Brtle-Sherbert, p. 258]. Este ejemplo y el nterior ponen de mnifiesto l necesidd de hllr procedimientos indirectos de cálculo que permitn evlur cómodmente l menos integrles de funciones tn sencills como ests. Veremos lgunos más delnte. (4) Hy funciones cotds que no son integrbles. Se f : [0, ] R l dd por f(x) = si x Q y f(x) = 0 si x / Q (función de Dirichlet). Por l densidd de los rcionles y de los irrcionles, en culquier intervlo [x i, x i ], socido culquier prtición P, f tom los vlores 0 y, luego result que S(f, P ) = y S(f, P ) = 0. Por lo tnto l integrl inferior vle 0 y l integrl superior vle. L función de Dirichlet no es integrble-riemnn! Not ( l integrl es el áre?). Dd un función f cotd y no negtiv, y hemos visto que S(f, P ) A S(f, P ) pr cd prtición P, si A es el áre de l región que limit l gráfic de Por tnto A es un cot superior del conjunto de ls sums inferiores y un cot inferior del conjunto de ls sums superiores, y entonces f A

4 02 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN Si f es integrble los dos extremos de ls desigulddes nteriores coinciden con es igul l integrl de f, sí que A f(x) dx Pero hy que señlr un mtiz importnte: mientrs que l integrl es un concepto que hemos definido rigurosmente, nos hemos vlido de un noción intuitiv e ingenu de l medid de áres Propieddes básics de ls sums de Drboux Lem Se f un función cotd en un intervlo cerrdo y cotdo [, b]. Si P y Q son prticiones de [, b] y P Q (se dice en tl cso que Q es más fin que P ), entonces S(f, P ) S(f, Q) S(f, Q) S(f, P ), y en consecuenci S(f, Q) S(f, Q) S(f, P ) S(f, P ). Demostrción. Bst probrlo en el cso en que Q tiene un elemento más que P ; pr el cso generl bst reiterr el rzonmiento, ñdiendo en cd pso un punto nuevo hst obtener Q. Ponemos entonces Q = P {c}, con P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b} y Q = x 0 <... < x k < c < x k <... < x n = b. Se trt de probr que S(f, P ) S(f, Q) y S(f, Q) S(f, P ). Sen m i los ínfimos correspondientes l prtición P y sen α = inf{f(x); x [x k, c]}, α 2 = inf{f(x); x [c, x k ]}. Entonces, m k α, m k α 2. Por lo tnto, S(f, Q) S(f, P ) = α (c x k ) + α 2 (x k c) m k (x k x k ) m k (c x k + x k c) m k (x k x k ) = 0. Análogmente, sen M i los supremos correspondientes P y sen β = sup{f(x); x [x k, c]} y β 2 = sup{f(x); x [c, x k ]}. Entonces, M k β, M k β 2 y S(f, Q) S(f, P ) = β (c x k ) + β 2 (x k c) M k (x k x k ) 0.

5 6.. DEFINICIÓN (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 03 Lem Se f un función cotd en un intervlo cerrdo y cotdo [, b]. Si P y Q son prticiones culesquier de [, b], entonces S(f, P ) S(f, Q). Demostrción. Por el lem nterior, si tommos P Q P([, b]) entonces S(f, P ) S(f, P Q) S(f, P Q) S(f, Q); l primer desiguldd se d porque P P Q, y l tercer porque Q P Q. Teorem Si f es un función cotd en [, b], entonces su integrl inferior es siempre menor o igul que su integrl superior: Demostrción. Según el lem nterior si Q es un prtición culquier de [, b], f f = sup{s(f, P ); P P([, b])} S(f, Q). f Por lo tnto, f inf{s(f, Q); Q P([, b])} = Existenci de l integrl: condición de Riemnn. Integrbilidd de ls funciones monótons y de ls funciones continus Al bordr l integrl de Riemnn uno se enfrent dos cuestiones. Primero, pr un función cotd en un intervlo, se encuentr l cuestión de l existenci de l integrl. Segundo, cundo se sbe que existe l integrl, surge entonces el problem de evlurl ([Brtle-Sherbert, p. 259]). Pr ver si un función es integrble, es preciso considerr tods ls sums de Drboux y clculr l integrl superior e inferior? Por suerte, en el siguiente teorem vmos demostrr que no es necesrio: bst probr que hy prticiones cuys sums de Drboux están suficientemente próxims. Este resultdo servirá demás pr deducir que ls funciones continus y ls monótons son integrbles. Teorem 6..8 (condición de integrbilidd de Riemnn). Un función f cotd en [, b] es integrble en dicho intervlo si y sólo si pr cd ε > 0 existe un prtición P = P ε de [, b] tl que S(f, P ) S(f, P ) < ε.

6 04 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN Demostrción. Supongmos primero que f es integrble. Como inferiores y el ínfimo de ls sums superiores, pr ε > 0 result que ni de ls primers ni P 2 tles que f es el supremo de ls sums f ε/2 es cot superior f + ε/2 es cot inferior de ls segunds, sí que existen dos prticiones P y f ε/2 < S(f, P ), S(f, P 2 ) < f + ε/2. Si P = P P 2 entonces S(f, P ) S(f, P ) y S(f, P ) S(f, P 2 ), luego f ε/2 < S(f, P ), S(f, P ) < y por tnto S(f, P ) S(f, P ) < ε. Recíprocmente, si esto sí pr lgun P entonces f S(f, P ) < S(f, P ) + ε f + ε/2 f + ε, luego 0 f f < ε, y si esto es sí pr todo ε > 0 entonces f f = 0. Definición Dd un prtición P P([, b]), su norm P es el máximo de {x i x i ; i =,..., n}. L norm de un prtición es l myor distnci entre dos puntos consecutivos de l mism. Gráficmente, se trt de l nchur máxim de los intervlos prciles [x i, x i ]; control l holgur de l prtición, de modo que cunto menor se, más tupid es l prtición, sus puntos están menos dispersos. Observción. Podemos tomr prticiones de norm rbitrrimente pequeñ: pr conseguir que l norm se menor que un δ > 0 prefijdo, bst elegir un n tl que h = b n < δ y tomr P = {, + h, + 2h, + 3h,..., + nh = b}. Teorem 6..0 (integrbilidd de ls funciones monótons). Tod función monóton en un intervlo [, b] es integrble. Demostrción. Supongmos que f es un función no decreciente en [, b]. Entonces f está cotd (inferiormente por f(), superiormente por f(b)). Dd P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b}, l monotoní dice que, pr cd i, Por lo tnto, S(f, P ) S(f, P ) = M i sup{f(x); x [x i, x i ]} = f(x i ); m i inf{f(x); x [x i, x i ]} = f(x i ). (M i m i )(x i x i ) = < P (f(x i ) f(x i ))(x i x i ) (f(x i ) f(x i )) = P (f(b) f()).

7 6.. DEFINICIÓN (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 05 Ahor, ddo ε > 0 bst tomr un prtición P de modo que P (f(b) f()) < ε pr probr que se cumple l condición de integrbilidd de Riemnn. Si f es no creciente l demostrción es nálog. Notemos que l ide esencil de l demostrción es que, grcis l monotoní de f, en cd subintervlo [x i, x i ] podemos controlr l oscilción de sus vlores (el tmño de M i m i ) trvés del tmño de l norm de l prtición. Est mism ide es dptble l cso de que f se continu, debido que f es entonces uniformemente continu. Teorem 6.. (integrbilidd de ls funciones continus). Tod función continu en un intervlo [, b] es integrble. Demostrción. Se f continu en [, b]. Notemos que f es cotd por ser continu en el intervlo cerrdo y cotdo [, b], sí que tiene sentido considerr su integrbilidd. Además, el teorem de Heine dice que es uniformemente continu en [, b]. Ddo ε > 0, existe por tnto un vlor δ > 0 tl ε b que f(x) f(y) < pr culesquier x, y [, b] tles que x y < δ. Se P un prtición tl que P < δ, P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b}. Si M i y m i son los correspondientes supremos e ínfimos en cd [x i, x i ], por el teorem de Weierstrss podemos elegir r i, s i en dicho intervlo con M i = f(r i ) y m i = f(s i ). Entonces r i s i x i x i < δ, sí que f(r i ) f(s i ) < ε b, y S(f, P ) S(f, P ) = = M i (x i x i ) m i (x i x i ) (M i m i )(x i x i ) = < ε b Por el criterio de integrbilidd, f es integrble. (x i x i ) = ε b (f(r i ) f(s i ))(x i x i ) (b ) = ε. Pero hy funciones integrbles que no son monótons ni continus. El siguiente resultdo proporcion ejemplos sencillos. Proposición Se f : [, b] R un función cotd. Si f integrble en cd intervlo [c, b], con < c < b, entonces es integrble en [, b]. Demostrción. Se B > 0 un cot de f en [, b]. Ddo ε > 0, tomemos c (, b) de mner que c < ε 4B. Como f es integrble en [c, b], en virtud de l condición de Riemnn se puede encontrr un prtición Pc b del intervlo [c, b] tl que S(f, Pc b ) S(f, Pc b ) < ε 2. Añdiendo el punto l prtición nterior obtenemos un prtición P de [, b] pr l que S(f, P ) S(f, P ) = sup f([, c]) (c ) + S(f, P b c ) inf f([, c]) (c ) S(f, P b c ) B (c ) + S(f, P b c ) + B (c ) S(f, P b c ) < 2B (c ) + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε,

8 06 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN y en consecuenci f es integrble en [, b]. Ejemplo. L función f : [0, ] R definid medinte f(0) = y f(x) = sen x si 0 < x es integrble-riemnn en [0, ]. En efecto, clrmente está cotd y demás es integrble en cd intervlo [c, ], con 0 < c <, porque es continu en [c, ]. Este es un ejemplo interesnte de un función integrble que no es continu ni monóton. Comentrio: discontinuiddes de ls funciones integrbles-riemnn (condición de integrbilidd de Lebesgue) Ls funciones continus son integrbles, unque no tods ls funciones integrbles son continus: vlen de ejemplo ls funciones monótons con discontinuiddes. Pero ls funciones integrbles no pueden tener demsids discontinuiddes, según demostró Lebesgue. Concretmente: Teorem Un función f cotd en [, b] es integrble si y sólo si pr cd ε > 0 se puede encontrr un sucesión (J n ) de intervlos tl que lím long J k < ε y el conjunto de puntos n de [, b] en los que f es discontinu está contenido en n J n. Cundo se conozc l medid de Lebesgue, se verá que esto signific que el conjunto de puntos de discontinuidd de f es de medid nul. Los conjuntos finitos quedn dentro de est ctegorí; tmbién los conjuntos numerbles, es decir, los conjuntos infinitos que pueden escribirse en form de sucesión, como N, Z o Q Sums de Riemnn. Definición de integrbilidd de Riemnn: comprción con l de Drboux El control de ls oscilciones de f trvés de l norm de l prtición que hemos visto pr funciones monótons o continus puede llevrse cbo pr culquier función integrble: Teorem Un función f cotd en [, b] es integrble si y sólo si pr cd ε > 0 existe un δ > 0 tl que pr tod prtición P de [, b] k= P < δ implic S(f, P ) S(f, P ) < ε. Demostrción. Supongmos que f es integrble. Fijdo ε > 0, se P 0 P([, b]) tl que S(f, P 0 ) S(f, P 0 ) < ε/2, pongmos que P 0 tiene n puntos y se K > 0 tl que f(x) K pr todo x [, b]. Se P un prtición de [, b], P { = t 0 < t <... < t m < t m = b}. y tomemos Q = P 0 P. Como máximo, Q tiene n 2 puntos más que P, los de P 0 \ {, b}. Supongmos que fuese Q = P {c}, con t j < c < t j. Entonces serí S(f, P ) S(f, Q) = M j (t j t j ) α (c t j ) α 2 (t j c) donde M j, α y α 2 son los supremos de los vlores de f en [t j, t j ], [t j, c] y [c, t j ] respectivmente. Como M j K, α K, α 2 K y 0 < t j t j P, deducimos que S(f, P ) S(f, Q) K(t j t j ) + K(c t j ) + K(t j c) 2K P.

9 6.. DEFINICIÓN (DE DARBOUX) DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 07 Reiterndo lo nterior (ñdiendo cd vez un punto hst obtener Q) es fácil ver que en generl tendremos S(f, P ) S(f, Q) 2(n 2)K P < 2nK P, y nálogmente se ve que S(f, Q) S(f, P ) < 2nK P. Tmbién tenemos que S(f, Q) S(f, Q) < ε/2, porque Q es más fin que P 0. Por lo tnto, ε S(f, P ) < S(f, Q) + 2nK P < S(f, Q) + ε/2 + 2nK P < S(f, P ) + ε/2 + 4nK P. Ahor bst tomr δ = 8nK y si P < δ, entonces S(f, P ) S(f, P ) < ε. El recíproco es consecuenci direct de l condición de integrbilidd. Definición Dd un prtición P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b} y un función f definid en [, b], pr cd elección de vlores s i [x i, x i ] se dice que S = f(s i )(x i x i ) es un sum de Riemnn de f socid P. Provisionlmente, diremos que f es R-integrble o integrble según l definición de Riemnn en [, b] si existe un número rel R tl que, ddo ε > 0 rbitrrio, se puede encontrr un δ > 0 de mner que S R < ε pr culquier sum de Riemnn S de f socid un prtición P de norm P < δ. Cundo esto suced, diremos que R es l R-integrl de f en [, b], y pondremos (provisionlmente) R R = Observción. Ddo que m i f(s i ) M i pr cd i, culquier sum de Riemnn socid P de un función cotd f cumple que S(f, P ) S S(f, P ). Teorem Un función cotd en un intervlo [, b] es integrble con l definición de Riemnn si y sólo si lo es con l de Drboux, y en su cso los vlores de ls integrles coinciden. Demostrción. Se f integrble con l definición de Drboux y se ε > 0. Por l proposición nterior existe δ tl que S(f, P ) S(f, P ) < ε siempre que P < δ; si S es un sum de Riemnn socid P entonces S(f, P ) S S(f, P ), y como tmbién S(f, P ) f S(f, P ) concluimos que l distnci entre S y f es menor que ε. Es decir, culquier sum de Riemnn S socid un prtición P P([, b]) con P < δ cumple que S f < ε. Por lo tnto, f es integrble en [, b] según l definición de Riemnn, con integrl igul Pr probr el recíproco, supongmos que f es integrble según l definición de Riemnn en [, b], con integrl R. Ddo ε > 0, si δ es como en l definición nterior y P { = x 0 < x <

10 08 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN x 2 <... < x n < x n = b}, P < δ, podemos tomr s i [x i, x i ] de mner que f(s i ) > M i ε ( i n). L correspondiente sum de Riemnn S verific simultánemente Entonces, y como ε es rbitrrio, S S(f, P ) ε(b ), S R < ε. f S(f, P ) S + ε(b ) < R + ε + ε(b ), f R. De mner nálog se prueb que f R, por lo cul f = f = R, f es integrble en el sentido de Drboux y f = R. Conclusión. A l vist de lo que cbmos de probr, result innecesri l distinción entre l integrbilidd y l integrción según l definición de Drboux o según l definición de Riemnn : mbs integrles se plicn exctmente ls misms funciones y dn el mismo resultdo numérico. Corolrio Se f un función integrble en [, b], (P n ) un sucesión de prticiones de [, b] tl que lím P n = 0. Si pr cd n se consider un sum de Riemnn S n correspondiente l n prtición P n y l función f, entonces lím n S n = Ejemplo. Pr tod función f integrble en [0, ], lím n n f k= ( ) k = n 6.2. Propieddes básics de l integrl de Riemnn Operciones con funciones integrbles Empezremos probndo l linelidd de l integrl. Pr ello nos conviene observr ntes lo siguiente: Lem Se A un conjunto cotdo y no vcío de números reles. Entonces: () sup( A) = inf A; inf( A) = sup A. (b) Pr todo α > 0 se cumple que sup(αa) = α sup A, inf(αa) = α inf A. (c) sup A inf A = sup{ x y ; x, y A}. Demostrción. () Si y = inf A y x A result que x y, luego y es cot superior de A, y por tnto sup( A) inf A. Si s = sup( A), ddo x A tenemos que x s, es decir que s x, luego s es un cot inferior de A y entonces sup( A) inf A, o se inf A sup( A). Y tenemos que sup( A) = inf A, y entonces sup A = sup( ( A)) = inf( A), luego inf( A) = sup A. (b) Si s = sup A, ddo x A tenemos que αx αs, luego αs es un cot superior de αa; por tnto sup(αa) α sup A. Por l mism rzón tenemos que sup A = sup α αa α sup(αa), y entonces α sup A sup(αa). Por tnto sup(αa) = α sup A. Por () tenemos entonces que α inf A = α sup( A) = sup( αa) = inf(αa). (c) Recordemos que, ddos dos conjuntos cotdos A y B, sup(a+b) = sup A+sup B. Notemos que el conjunto { x y ; x, y A} es l intersección con [0, + ) de {x y; x, y A} = A+( A), luego su supremo es igul l de este, y por () sup(a + ( A)) = sup A + sup( A) = sup A inf A. 0 f.

11 6.2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 09 Teorem Sen f y g funciones integrbles en [, b] y se α un número rel. Entonces () αf es integrble y (b) f + g es integrble y (αf) = α (f + g) = f + Demostrción. () Notemos primero que f es cotd, y entonces αf tmbién lo es. Si α = 0 el resultdo es inmedito. Si α > 0, pr cd prtición P de [, b] se obtiene, usndo l prte (b) del lem nterior, que S(αf, P ) = αs(f, P ) y S(αf, P ) = αs(f, P ). Por l mism rzón, se deduce que g. luego αf es integrble y (αf) = α αf = α αf = α f = α f = α Pr ver que f es integrble (α = ) utilizmos l prte () del lem: result que, pr culquier P, S( f, P ) = S(f, P ) y S( f, P ) = S(f, P ), luego f, f, ( f) = f = f, ( f) = f = Por último, si α es culquier vlor negtivo lo reducimos los csos nteriores: αf = α f es integrble, con integrl igul ( α f) = α f = α (b) Notemos primero que f + g está cotd, porque f y g lo están. Ddo A [, b], pr cd t A tenemos que f(t) + g(t) sup{f(x); x A} + sup{g(x); x A}, luego sup{f(t) + g(t); t A} sup{f(t); t A} + sup{g(t); t A} y nálogmente inf{f(t); t A} + inf{g(t); t A} inf{f(t) + g(t); t A}. Cundo tommos como A los subintervlos [x i, x i ] que define un prtición P P([, b]), se sigue que S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ), S(f, P ) + S(g, P ) S(f + g, P ). Ddo ε > 0, podemos tomr dos prticiones P y P 2 tles que S(f, P ) S(f, P ) < ε/2 y S(g, P 2 ) S(g, P 2 ) < ε/2. Si P = P P 2, tmbién S(f, P ) S(f, P ) < ε/2 y S(g, P ) S(g, P ) < ε/2, y lo

12 0 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN nterior dice que S(f + g, P ) S(f + g, P ) < ε. Por el criterio de integrbilidd, f + g es integrble. Además tenemos que f + g ε = f ε/2 + S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) < = f + g + ε. g ε/2 < S(f, P ) + S(g, P ) (f + g) S(f + g, P ) f + ε/2 + g + ε/2 Es decir, pr culquier ε > 0 result que f + g ε < (f + g) < f + g + ε, y entonces (f + g) = f + g. Not. El teorem que cbmos de probr dice que el conjunto R([, b]) formdo por tods ls funciones integrbles en [, b] es un espcio vectoril, y que l plicción R([, b]) R dd por f f es linel. El siguiente resultdo expres l monotoní de l integrl: Teorem Sen f y g funciones integrbles en [, b] tles que f(x) g(x) pr cd x [, b]. Entonces f Demostrción. Si f g tenemos que 0 g f, y es inmedito comprobr que S(g f, P ) 0 pr culquier prtición P del intervlo [, b]. Como demás g f es integrble, se deduce que 0 S(g f, P ) g. (g f) = g Not. En prticulr, si h es integrble en [, b] y h 0, entonces h 0. Aunque no es tn sencillo de demostrr, tmbién se d l monotoní estrict: si h es integrble en [, b] y h(x) > 0 pr todo x [, b], entonces h > 0. Como consecuenci, si dos funciones f y g son integrbles y se cumple que f(x) < g(x) en todo x [, b], podemos segurr que f < g. Teorem Si f es integrble en [, b], entonces f es integrble en [, b] y f f. Demostrción. Como f es integrble, está cotd. Y por lo tnto, l función f tmbién está cotd. Dd un prtición P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b} P([, b])

13 6.2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN tenemos que S(f, P ) S(f, P ) = S( f, P ) S( f, P ) = donde, usndo l prte (c) del lem, (M i m i )(x i x i ), (M i m i)(x i x i ), M i m i = sup{f(t); t [x i, x i ]} inf{f(t); t [x i, x i ]} = sup{ f(t) f(s) ; s, t [x i, x i ]} pr cd i. Análogmente, M i m i = sup{ f(t) f(s) ; s, t [x i, x i ]}. Como pr cd t y s l desiguldd tringulr invers dice que f(t) f(s) f(t) f(s), result que M i m i M i m i pr cd i, y por tnto que S( f, P ) S( f, P ) S(f, P ) S(f, P ) pr tod P. Por el criterio de integrbilidd result que si f integrble tmbién lo es f. Ahor, como f f y f f, por los teorems previos tenemos que f f y b ( f) = f f, luego f { = máx f, } f En cierto sentido, este resultdo puede verse como un generlizción de l desiguldd tringulr, cmbindo sums por integrles. Pronto iremos comprobndo que es tn útil como l propi desiguldd tringulr. Corolrio Sen f y g funciones integrbles en [, b]. Entonces ls funciones máx(f, g), mín(f, g) son tmbién integrbles en [, b]. Demostrción. Bst tener en cuent que máx{f(x), g(x)} = [ ] f(x) + g(x) + f(x) g(x), 2 mín{f(x), g(x)} = [ ] f(x) + g(x) f(x) g(x). 2 Teorem Sen f y g funciones integrbles en [, b]. Entonces () f 2 es integrble en [, b]; (b) l función producto fg es integrble en [, b]. Demostrción. () f está cotd, sí que existe K > 0 tl que f(x) < K pr todo x [, b]. Entonces 0 f(x) 2 K 2 pr todo x, luego f 2 tmbién está cotd. Ddo ε > 0, se P P(I) tl que S(f, P ) S(f, P ) < ε 2K. Si P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b}, entonces, como en el teorem nterior, result que S(f, P ) S(f, P ) = n r i(x i x i ), donde f. r i = sup{ f(t) f(s) ; s, t [x i, x i ]}, y nálogmente S(f 2, P ) S(f 2, P ) = i r i (x i x i ), donde Como pr cd s y t tenemos que r i = sup{ f 2 (t) f 2 (s) ; s, t [x i, x i ]}. f 2 (t) f 2 (s) = f(t) + f(s) f(t) f(s) ( f(t) + f(s) ) f(t) f(s) 2K f(t) f(s),

14 2 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN result que r i 2Kr i pr cd i, y por tnto que S(f 2, P ) S(f 2, P ) 2K ( S(f, P ) S(f, P ) ) < ε, y sí vemos que f 2 es integrble, por el criterio de integrbilidd. (b) Por el prtdo (), son integrbles tnto f 2 como g 2 y (f + g) 2 (y que f + g es integrble). Pero y sí vemos que fg es integrble. fg = 2( (f + g) 2 f 2 g 2), Observción. Los dos últimos teorems no dmiten recíproco: un función f puede ser no integrble pese que f y f f = f 2 sí lo sen. Como ejemplo podemos tomr, en I = [0, ], l función dd por f(x) = si x Q y f(x) = si x / Q, de form que f 2 = f = Integrción en subintervlos Teorem Se f un función definid en un intervlo cerrdo y cotdo [, b]. Ddo c [, b], son equivlentes: () f es integrble en [, b]; (b) f es integrble en [, c] y en [c, b]. Además, cundo f es integrble en [, b] se tiene (c) f = c f + c (b) = (). Como f es integrble en [, c] y en [c, b], en prticulr f está cotd en [, c] y en [c, b]: en consecuenci, f está cotd en [, b]. Así mismo, usndo l condición de Riemnn, l integrbilidd de f grntiz que pr todo ε > 0 existen un prtición P c de [, c] y un prtición P b c de [c, b] tles que S(f, P c ) S(f, P c ) < ε 2, S(f, P b c ) S(f, P b c ) < ε 2. Considerndo hor l prtición P b de [, b] obtenid l tomr todos los puntos de P c y los de P b c, se sigue directmente plicndo l definición que luego Es decir, S(f, P b ) = S(f, P c ) + S(f, P b c ), S(f, P b ) = S(f, P c ) + S(f, P b c ), f S(f, P) b = S(f, P) c + S(f, Pc b ) < S(f, P) c + ε 2 + S(f, P c b ) + ε c 2 f + ε 2 + f + ε 2. f < pr culquier ε > 0. De quí se obtiene que Análogmente, f c c f + f + c c f + ε f S(f, P) b = S(f, P) c + S(f, Pc b ) > S(f, P) c ε 2 + S(f, P c b ) ε c 2 f ε 2 + f ε 2. c c

15 6.2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 3 Es decir, f > pr culquier ε > 0. De hí se deduce que Como f f, result b f = f c lo que nos dice que f es integrble en [, b] con f = c f = f + c f + c c c f + f ε () = (b) Si f es integrble en [, b], pr cd ε > 0 existirá un prtición Q b del intervlo [, b] tl que S(f, Q b ) S(f, Q b ) < ε. Se P b l prtición de [, b] obtenid l ñdir Q b el punto c (si es que no figur y en Q b ), y descompongmos P b en sends prticiones P c y P b c de [, c] y de [c, b], respectivmente. Se tiene S(f, P c ) S(f, P c ) + S(f, P b c ) S(f, P b c ) = S(f, P b ) S(f, P b ) S(f, Q b ) S(f, Q b ) < ε, y como S(f, P c ) S(f, P c ) y S(f, P b c ) S(f, P b c ) son no negtivos, cd uno de ellos será menor o igul que su sum, por lo que f + c S(f, P c ) S(f, P c ) < ε, S(f, P b c ) S(f, P b c ) < ε, y por consiguiente f es integrble en [, c] y en [c, b]. Corolrio Se f : [, b] R cotd, y sen = c 0 < c < c 2 <... < c n = b. Se cumple que f es integrble en [, b] si y sólo si lo es en [c i, c i ] pr cd i =,..., n, y en tl cso f c f, f = ci c i Demostrción. Aplicr inducción sobre n y el teorem nterior. El siguiente resultdo permite mplir ligermente l noción de integrl y dr ejemplos dicionles de funciones integrbles. Lem Sen f y g dos funciones definids en un intervlo cerrdo y cotdo [, b] que coinciden excepto posiblemente en y b, es decir, tles que f(x) = g(x) pr todo x (, b). Entonces f es integrble en [, b] si y sólo si lo es g. Si son integrbles, f = g.

16 4 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN Demostrción. Bst probr que l función h = f g es un función integrble en [, b] con integrl nul. Ahor bien: h se nul en (, b), por lo que pr cd prtición P {t 0 = < t < < t n < t n = b} será S(h, P ) = máx{h(), 0} (t ) + máx{h(b), 0} (b t n ) 0, S(h, P ) = mín{h(), 0} (t ) + mín{h(b), 0} (b t n ) 0. Ddo ε > 0, tomemos B > máx{ h(), h(b) } y P ε de mner que Result t < ε 2B, b t n < ε 2B. h S(h, P ε ) < B ε 2B + B ε 2B = ε, h S(h, P ε ) > B ε 2B B ε 2B = ε, luego h 0 h. Por lo tnto, h = h = 0, es decir, h es integrble en [, b] con integrl nul. Corolrio Se g un función integrble en [, b], y se f un función igul g excepto en un conjunto finito de puntos de [, b]. Entonces f es integrble, y f = g. Demostrción. Por inducción sobre el número de puntos, con yud del lem. Definición Funciones monótons trozos y funciones continus trozos. Un función f : [, b] R se dice continu trozos si existe un prtición = t 0 < t < t 2 <... < t n < t n = b tl que f es continu en cd intervlo (t i, t i ) y existen y son reles los límites lterles en cd t i. Un función f : [, b] R se dice monóton trozos si existe un prtición = t 0 < t < t 2 <... < t n < t n = b tl que f es monóton (de culquier clse) en cd intervlo (t i, t i ). Por ejemplo, l función siguiente no es continu ni monóton, pero sí continu trozos y monóton trozos. Teorem Si f es un función continu trozos o un función cotd y monóton trozos en [, b], entonces f es integrble en [, b]. Demostrción. Si f es continu trozos y t i son como en l definición, pr cd i existe un extensión continu (y por tnto integrble) de f (ti,t i ) l intervlo [t i, t i ]. Est extensión es integrble en el intervlo [t i, t i ], por ser continu, y coincide con f en (t i, t i ), luego f es integrble en [t i, t i ], por el lem Por el corolrio 6.2.8, como lo nterior es cierto pr cd i =,..., n result que f es integrble en [, b]. Si f es monóton trozos y cotd y t i son como en l definición, entonces existen y son reles los límites lterles en cd t i. L demostrción sigue de mner nálog l de funciones continus trozos.

17 6.2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 5 No obstnte, hy funciones que son integrbles en un intervlo [, b] y no son continus trozos ni monótons trozos. Un ejemplo es l función definid en [0, ] medinte f(x) = que vimos que er integrble en [0, ]. {, si x = 0, sen x, si 0 < x, Teorems de l medi (o del vlor medio) del cálculo integrl Teorem Se f un función integrble en el intervlo cerrdo y cotdo [, b] y sen m, M tles que pr todo x [, b] se cumpl Entonces el número m f(x) M. b denomindo promedio integrl de f en [, b], está en [m, M], es decir m b f, f M. Demostrción. Puesto que m f M, por l monotoní de l integrl m(b ) = m y como b > 0, podemos dividir pr obtener m b f f M. M = M(b ), Cundo f es continu en [, b], su promedio integrl está en el rngo de vlores de f: Corolrio Se f un función continu (y por tnto integrble) en el intervlo cerrdo y cotdo [, b]. Existe entonces l menos un punto x 0 [, b] tl que b f = f(x 0 ). Demostrción. Por el teorem de Weierstrss el conjunto {f(x); x [, b]} tiene mínimo y máximo, los que llmmos m y M respectivmente. Se cumple sí que Es decir, m(b ) = m m b f f M. M = M(b ). Por el teorem de los vlores intermedios (o de Drboux), existe x 0 [, b] en el que f tom dicho vlor entre m y M, y sí f(x 0 ) = b

18 6 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN Ejemplo. Se < < b. Pr cd x [, b], x + x x x = x + x = + 2 x + 2. Por lo tnto, x + x b x x dx + 2. En lguns ocsiones, no es necesrio clculr el vlor excto de un integrl, sino que bst con estimciones proximds. Por ejemplo, ls desigulddes nteriores bstn pr probr que lím + + x + x x dx =. x El teorem de l medi (versión integrndo continuo ) puede mirrse como un lectur invers del teorem del vlor medio del cálculo diferencil (teorem de los incrementos finitos). De hecho, otr demostrción del corolrio consiste en plicr el teorem del vlor medio l función F : [, b] R dd por F (x) = x f, que es derivble con F (x) = f(x) (según probremos en el siguiente prtdo). Teorem Se f un función integrble en el intervlo cerrdo y cotdo [, b], se g un función no negtiv integrble en el intervlo cerrdo y cotdo [, b] y sen m, M tles que pr todo x [, b] se cumple m f(x) M. Entonces existe µ [m, M] tl que fg = µ (el número µ es un especie de promedio ponderdo de f respecto l densidd de ms g). Demostrción. Puesto que g 0, se verific g mg fg Mg. Tods ests funciones son integrbles, luego podemos poner m g fg M Si g = 0, culquier µ [m, M] cumple l iguldd del enuncido. Si g 0, entonces g > 0, y bst tomr como µ el cociente entre fg y g. Corolrio Se f un función continu (y por tnto integrble) en el intervlo cerrdo y cotdo [, b] y se g un función no negtiv integrble en [, b]. Existe entonces l menos un punto x 0 [, b] tl que fg = f(x 0 ) Demostrción. Similr l del corolrio nterior. Proposición (segundo teorem de l medi del cálculo integrl). Sen f y g funciones integrbles en un intervlo cerrdo y cotdo [, b]. () Si g 0 y es no creciente, existe x 0 [, b] tl que fg = g() g. x0 g.

19 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL 7 (b) Si g 0 y es no decreciente, existe x 0 [, b] tl que fg = g(b) x 0 (c) Si g es monóton, existe x 0 [, b] tl que x0 fg = g() f + g(b) x 0 Demostrción. Ver [Gry-Cudr-Alfro, p. 22] Teorems fundmentles del cálculo integrl Regl de Brrow (primer teorem fundmentl del cálculo integrl) Teorem 6.3. (regl de Brrow). Se f un función integrble en un intervlo [, b] y supongmos que existe otr función g continu en [, b], derivble en (, b) y tl que g (x) = f(x) pr todo x (, b). Entonces, f = g(b) g(). Demostrción. Se P un prtición culquier de [, b], Según el teorem del vlor medio, P { = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b}. g(b) g() = g(x n ) g(x 0 ) = = (g(x i ) g(x i )) g (c i )(x i x i ) = donde c i (x i, x i ) pr cd i. Puesto que f(c i )(x i x i ), inf{f(t); t [x i, x i ]} f(c i ) sup{f(t); t [x i, x i ]}, se deduce que S(f, P ) g(b) g() S(f, P ). Como esto es cierto pr culquier prtición P, tomndo supremos e ínfimos result que f g(b) g() Pero sbemos que f es integrble, sí que f = f = f = g(b) g(). Por lo tnto,

20 8 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN L regl de Brrow nos dice cómo clculr l integrl de un función f integrble entre y b: si g es continu en [, b] y es un primitiv de f en (, b), entonces f(x) dx = g(b) g(), lo que suele escribirse como g(x) x=b. x= Ejemplo. L función rc sen es continu, luego integrble, en el intervlo [0, ]. Clculndo por prtes un primitiv, encontrmos l función x rc sen x + x 2, continu en [0, ] y derivble clrmente en el intervlo [0, ), con derivd rc sen x en ese intervlo; menos clro es lo que sucede en el punto, pero según el teorem nterior no necesitmos sberlo pr grntizr que 0 rc sen x dx = [ rc sen + ] 2 [0 rc sen 0 + ] 0 2 = π 2. Si plicmos l regl de Brrow pr clculr un integrl, puede ser conveniente utilizr los resultdos empledos en el cálculo de primitivs, como el teorem de integrción por prtes que cbmos de citr o el teorem de cmbio de vrible. Ambos tienen su versión pr integrles. Vemos primero l de integrción por prtes: Teorem (integrción por prtes). Si u y v son funciones continus en [, b] derivbles en (, b) y sus derivds u y v son integrbles en [, b], entonces u v = u(b)v(b) u()v() Demostrción. Notemos que u v y uv son integrbles porque lo son u, v (ests por hipótesis) y tmbién u y v (porque son continus). Entonces tmbién es integrble (uv) = u v + uv, y por l regl de Brrow uv + u v = de donde obtenemos l fórmul del enuncido. u v. (uv) = u(b)v(b) u()v(), Observción. Este resultdo no es plicble en el ejemplo nterior ( por qué?). Ejemplo. Vemos que, pr culesquier m y n enteros no negtivos, 0 x m ( x) n dx = m! n! (m + n + )!. Probémoslo por inducción sobre n. Primero vemos que l fórmul es válid pr n = 0 y culquier m, usndo l regl de Brrow: x m dx = xm+ x= m + = x=0 m + = m! 0! (m )!. 0 Ahor, si n N y suponemos que l fórmul es ciert pr n y culquier m, integrndo por prtes concluimos que lo es pr n y culquier m: pr ello tommos u(x) = ( x) n y v(x) = x m+ /(m + ), con lo que 0 x m ( x) n dx = que por hipótesis de inducción es n m + 0 = n m + u(x)v (x)dx = u(x)v(x) 0 x m+ ( x) n dx, (m + )! (n )! ( (m + ) + (n ) + )! = x= x=0 0 m! n! (m + n + )!. u (x)v(x)dx

21 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL 9 Corolrio (fórmul de Tylor con resto integrl). Se I un intervlo, c un punto de I, f un función definid en I, n N. Supongmos que f es derivble en I hst el orden n y que f (n) es continu en I. Entonces pr cd x I es f(x) = f(c)+f (c)(x c)+ f (c) 2 (x c) f (n ) (c) (n )! (x c)n + (n )! Demostrción. Bst integrr por prtes reiterdmente (n )! x (ver [Brtle-Sherbert, teorem 6.3.4, p. 28]). c (x t) n f (n) (t) dt x c (x t) n f (n) (t) dt Continuidd y derivbilidd de un integrl con extremo de integrción vrible El teorem de l regl de Brrow viene decir que l integrr l derivd de f recupermos f (y que f(x) = f() + x f ). Pr que podmos decir del todo que integrr y derivr son procesos inversos, l pregunt nturl serí: podemos decir que derivndo un función dd por l integrl de f recupermos f? Es tnto como decir: podemos expresr un primitiv de f medinte integrles de f? L respuest es firmtiv, como vmos comprobr. Convenio. Si > b y f es integrble en [b, ], pondremos Si = b, pondremos f = 0. f = Notemos que, con l definición nterior, l regl de Brrow vle tmbién pr integrles f con b. Además, l relción entre ls integrles de f y de f es en generl f (si < b el término de l derech es f, como hst hor). En cunto l monotoní, notemos que si 0 f g son funciones integrbles podemos segurr que f (y que si > b lo nterior es b f b g). Por último, si ls integrles tienen sentido entonces c culquier que se el orden entre, b y c. f + c Teorem (teorem fundmentl del cálculo integrl (segundo)). Se f un función integrble en [, b]. Definmos F : [, b] R medinte b f = f g f Entonces F (x) = x

22 20 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN () F es continu en [, b]; (b) si f es continu en lgún x 0 [, b], entonces F es derivble en x 0 y F (x 0 ) = f(x 0 ). Demostrción. () L función f es integrble, sí que está cotd; se K > 0 tl que f(x) K pr todo x [, b]. Vemos que pr cd x, y [, b], F (x) F (y) K x y. Si x = y, no hy nd que probr. Si no, podemos suponer que x > y, por ejemplo. Entonces, x y x F (x) F (y) = f(t) dt f(t) dt = x f(t) dt f(t) dt K x y, como querímos probr. Ahor, ddo ε > 0, tenemos: pr cd x, y [, b] con x y < ε/k, se cumple que F (x) F (y) < ε. Es decir, l función F es continu en [, b] (de hecho hemos probdo que es uniformemente continu). (b) Supongmos que f es continu en lgún x 0 [, b]. Se trt de probr que y y Tnto si h > 0 como si h < 0, F (x 0 + h) F (x 0 ) lím = f(x 0 ). h 0 h luego F (x 0 + h) F (x 0 ) = x0 +h x0 f(t) dt f(t) dt = x0 +h x 0 f(t) dt, F (x 0 + h) F (x 0 ) h Entonces, f(x 0 ) = h x0 +h x 0 F (x 0 + h) F (x 0 ) h f(t) dt h x0 +h x 0 f(x 0 ) = h x0 +h x 0 f(x 0 ) dt = h x0 +h x 0 [f(t) f(x 0 )] dt. [f(t) f(x 0 )] dt. Se ε > 0. Como f es continu en x 0, existe lgún δ > 0 tl que f(t) f(x 0 ) < ε, si t x 0 < δ. Se hor h < δ. Si h > 0, entonces F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h = x0 +h h [f(t) f(x 0 )] dt x0 +h ε dt = ε; h x 0 y si h < 0, F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h = h En resumen, si h < δ. Hemos probdo que, en efecto, x 0 x0 x 0 +h F (x 0 + h) F (x 0 ) h [f(t) f(x 0 )] dt h f(x 0 ) ε, F (x 0 + h) F (x 0 ) lím = f(x 0 ). h 0 h x0 x 0 +h ε dt = ε. Relmente, se cumple un resultdo más generl:

23 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL 2 Teorem Se f un función definid en un intervlo no trivil I culquier, que se integrble en culquier intervlo cerrdo y cotdo contenido en I. Fijdo un punto I, definmos Entonces F : x I F (x) = () F está bien definid y es continu en todo I; x f R. (b) en cd punto x 0 I donde f se continu, F es derivble y F (x 0 ) = f(x 0 ). Demostrción. Pr puntos l derech de, bst plicr el teorem nterior l función F (x) = x f, x [, b], pr lgún b I, b >. Y pr los puntos l izquierd de, bst considerr l función G(x) = x b f, x [b, ], pr lgún b I, b < y tener en cuent que F (x) = G(x) G(). Corolrio Tod función f continu en un intervlo no trivil I culquier dmite un primitiv en dicho intervlo. Demostrción. Bst observr que, por ser continu, f es integrble en cd intervlo cerrdo y cotdo contenido en I, y si fijmos un punto I y considermos l función F : x I F (x) = por el teorem precedente result que F = f en I. x f R, Aplicción. Podemos construir l función logrítmic como l primitiv de l función /x que se nul pr x = (ver Apéndice.) Corolrio Se f un función definid en un intervlo no trivil I culquier, integrble en culquier intervlo cerrdo y cotdo contenido en I y se α: J I derivble en x 0 J. Ddo I, se G: J R l función dd por G(x) = α(x) Si f es continu en α(x 0 ), entonces G es derivble en x 0, con G (x 0 ) = α (x 0 )f ( α(x 0 ) ). Demostrción. Si definimos F en I como F (x) = x f, x I, entonces G = F α, y por l regl de derivción de ls funciones compuests y el teorem fundmentl del cálculo integrl, result que G (x 0 ) = α (x 0 )F ( α(x 0 ) ) = α (x 0 )f ( α(x 0 ) ).

24 22 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN Ejemplo. Se F : [0, + ) R dd por F (x) = 2x x e t2 dt. Nos proponemos hllr sus extremos reltivos y bsolutos y sus puntos de inflexión. No podemos expresr un primitiv de e t2 como combinción de funciones elementles, y entonces no podemos plicr l regl de Brrow pr clculr l integrl y obtener otr expresión de F. Pero sí que podemos obtener un expresión mnejble de l derivd de F, grcis l teorem fundmentl del cálculo integrl y l corolrio nterior, que podemos plicr porque e t2 es continu y 2x es derivble. Como F (x) = 2x 0 e t2 dt x 0 e t2 dt, result que pr culquier x 0, F (x) = 2e 4x2 e x2 = e x2 (2e 3x2 ) = e x2 (e log 2 3x2 ). Vemos que F tiene el mismo signo que log 2 3x 2, luego es positiv en [0, (log 2)/3) y negtiv en ( (log 2)/3, + ). Por tnto F es creciente en [0, (log 2)/3] y decreciente en [ (log 2)/3, + ), y lcnz su máximo bsoluto en (log 2)/3. Su mínimo bsoluto lo tiene en 0, y que F (0) = 0 y, pr culquier x > 0, F (x) es positiv por ser l integrl de un función positiv en el intervlo no trivil [x, 2x]. De l expresión de F obtenemos que F (x) = 6xe 4x2 ( 8 e3x2 ) = 6xe 4x2 (e 3x2 3 log 2 ), de donde su signo es el de x 2 log 2, y deducimos que F es cóncv en [0, log 2] y convex en [ log 2, + ). Tenemos un único punto de inflexión en log 2. Es fácil ver, demás, que el límite de F en + es 0. Bst cotr el vlor de F usndo l monotoní de l integrl: como e t2 es decreciente en [0, + ), pr todo t en el intervlo [x, 2x] se cumple que e t2 e x2, y entonces F (x) = Por l regl de L Hospitl vemos que 2x x e t2 dt lím x + 2x x e x2 dt = xe x2. x = 0, luego tmbién lím F (x) = 0. e x2 x + Teorem (cmbio de vrible). Se u un función derivble en un intervlo bierto J tl que u es continu y se I un intervlo bierto tl que u(j) I. Si f es continu en I, entonces f u es continu en J y pr culesquier, b J. f(u(x))u (x) dx = u(b) u() f(t) dt Demostrción. Se F un primitiv de f en I. Entonces (F u) = (f u) u, y como f y (f u) u son integrbles en intervlos cerrdos y cotdos (porque son continus), por l regl de Brrow result que u(b) u() Ejemplo. Clculemos el vlor de Ponemos 3 3 f = F (u(b)) F (u()) = (F u)(b) (F u)() = x 2 dx. 3 4 x 2 dx = 2 (x/2) 2 dx = (f u) u. 4 (x/2) 2 2 dx

25 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL 23 (hcemos el cmbio de vrible t = x/2 de izquierd derech, en l fórmul del teorem nterior) = 3/2 3/2 4 t 2 dt (hor hcemos el cmbio de vrible t = sen y, de derech izquierd) = π/3 π/3 = 4 sen 2 y cos y dy = π/3 π/3 π/3 π/3 4 cos y cos y dy = π/3 π/3 2( + cos 2y) dy = (2y + sen 2y) y=π/3 = 4π y= π/ cos 2 y dy Ejemplo (integrles de funciones pres e impres). Si f es pr e integrble en [, ], entonces f = 2 Esto se puede demostrr prtir de l definición de integrl o medinte l condición de integrbilidd de Riemnn. El significdo geométrico es clro, ddo que l gráfic de f es simétric respecto de x = 0. Notemos que podímos hberlo usdo en el ejemplo nterior. En el cso prticulr de que f se continu, est propiedd se puede demostrr de mner más sencill con un cmbio de vrible, y que f = 0 f + 0 f y 0 f(x) dx [[t= x]] = Análogmente, si f es impr entonces 0 0 f( t) dt = f = 0. 0 f( t) dt = 0 f(t) dt APÉNDICE. Construcción de ls funciones logrítmic y exponencil Y hemos usdo ls propieddes de l función logrítmic en ejemplos y ejercicios. Ahor disponemos de ls herrmients necesris pr poder construirl, probndo con todo rigor su existenci y sus propieddes básics. Recordemos que ls potencis de exponente rcionl se definen en R + = (0, + ) de l siguiente mner: x n = x x x (n veces) si n N, y x /n es l función invers. Ddo m otro número nturl, x m/n = (x /n ) m, y por último x 0 = y x = /x. Result que l derivd de l función dd por x es x, de mner que un primitiv de x en R + es + x+, pero esto sólo vle si. Como x = /x es continu en R +, podemos usr el teorem fundmentl del cálculo integrl pr definir un primitiv en este cso ( = ), l dd por x c (/t)dt, culquier que se c > 0. Elegimos c =, y l función que result cumple todos los requisitos que buscmos pr el logritmo neperino. Proposición L función L : x (0, + ) L(x) = x t dt R está bien definid, es estrictmente creciente (luego inyectiv) y supryectiv. Es simismo derivble en todos los puntos de su dominio y pr cd x (0, + ) en prticulr, es cóncv en su dominio. L (x) = x ;

26 24 Demostrción. L función f : t (0, + ) t R. CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN es continu, luego L está bien definid, es derivble en cd x (0, + ) y su derivd es L (x) = f(x) = x. Puesto que L = f es estrictmente positiv, L es estrictmente creciente. Como es continu por ser derivble, su imgen L ( (0, + ) ) es un intervlo, y pr ver que este intervlo es todo R bstrá probr que no está cotd superior ni inferiormente. Ahor bien: ddos > 0 y n N, el cmbio de vrible t = u n permite escribir n L( n ) = t dt = nu n u n du = n du = nl(). u Tomndo >, como L() > L() = 0, se deduce que L no está cotd superiormente; tomndo <, como L() < L() = 0, se deduce que L no está cotd inferiormente. Con est informción es suficiente pr comprobr que su gráfic tiene l form que y conocemos (complétese el estudio de l función de l mner hbitul). En cunto l propiedd esencil del logritmo de trnsformr productos en sums, tenemos: Proposición Con l notción nterior, pr culesquier x, y (0, + ) es L(xy) = L(x) + L(y) Demostrción. Utilizndo el cmbio de vrible t = u/, L(b) L() = t dt b t dt = b t dt = du b u = du u = L(b). Observción. Tmbién puede drse otr demostrción usndo sólo el vlor de l derivd: fijdo rbitrrimente y > 0, se f y l función dd por f y (x) = L(xy). Entonces f y(x) = y L (xy) = y xy = x = L (x) pr todo x, luego f y (x) = L(x) + C, pr ciert constnte C, en todo x > 0. Si tommos x = vemos que C = L(y). Ejercicio. L sucesión ( + n) n es convergente, y denotndo su límite por e, result L(e) =. En efecto: [( L + ) n ] ( = nl + ) = L ( + ) n L() L () = n n /n =, y l función invers de L es continu por ser L creciente y continu. Es fácil, igulmente, obtener ls equivlencis conocids y el desrrollo de Tylor-Mclurin pr el logritmo de + x. Lo dejmos como ejercicio pr el lector. Por último, l función invers L : R (0, + ), tiene tods ls propieddes dmitids pr l función e x, de modo que tenemos quí un mner de introducir rigurosmente l función exponencil. Definición Se llm función exponencil l definid por exp : x R exp(x) = L (x) R. Así pues, exp(x) = y si y sólo si L(y) = x; en prticulr, exp(0) = y exp() = e. Suele escribirse e x en lugr de exp(x).

27 6.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL 25 Proposición ) L función exponencil es derivble (indefinidmente) y su derivd es ell mism: pr cd x R, (e x ) = e x. b) e 0 =. c) Pr cd x R, d) Ddos x, y R, e x+y = e x e y. e x = e x y, en prticulr, e x 0. e) Ddos n N y x R, e nx es el producto de n fctores igules e x : e nx = e x n e x. f) Pr cd x R, e x > 0. g) L función exponencil es estrictmente creciente y convex. En prticulr, es inyectiv. h) Se tiene lím x + ex = +, lím x ex = 0. En consecuenci, el conjunto imgen de l función exponencil es (0, + ). Demostrción. ) Podemos plicr el teorem de derivción de l función invers, y que L es continu según hemos señldo nteriormente. En prticulr: exp (x) = L (exp(x)) = = exp(x), x R; / exp(x) l derivd de l función exp es ell mism, luego result indefinidmente derivble (igul tods sus derivds sucesivs). b) Obvio. c) Se f : x R f(x) = e x e x R. Derivndo de cuerdo con ), f (x) = e x e x e x e x = 0, luego f tom constntemente el vlor f(0) =. d) Fijdo y, se f : x R f(x) = ex+y e x R. Teniendo en cuent ), f (x) = ex+y e x e x+y e x (e x ) 2 = 0, luego f tom constntemente el vlor f(0) = e y. e) Se prueb por inducción sobre n utilizndo d). f) e x = ( e x/2) 2 0 y ex 0. g) L derivd primer y l derivd segund de l función exponencil (que son igules l función exponencil) son estrictmente positivs. h) Puesto que l función exponencil es estrictmente creciente, e = e > e 0 =, luego lím e n = +. Nuevmente por l monotoní de l función exponencil, esto bst pr n probr que lím x + ex = +.

28 26 CAPÍTULO 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN Finlmente, lím x ex = lím y + e y = lím y + e y = 0. Del teorem de los vlores intermedios (Drboux) se sigue que l función exponencil plic R sobre (0, + ). Obsérvese que, según l exposición nterior, tods ls propieddes básics de l función exponencil se deducen relmente de ) y b), que en este sentido pueden ser considerds sus propieddes fundmentles.

29 Bibliogrfí [Brtle-Sherbert] [Durán] Brtle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducción l Análisis Mtemático de un Vrible. Limus, México, 990. Citdo en l(s) págin(s) 99, 0, 03, 9 Durán, A. J.: Histori, con personjes, de los conceptos del cálculo. Alinz, Mdrid, 996. Citdo en l(s) págin(s) 99 [Gry-Cudr-Alfro] Gry, J. - Cudr, J. L. - Alfro, M.: Un introducción l cálculo infinitesiml. (Ed. de los utores) Zrgoz, 974. Citdo en l(s) págin(s) 7 [Grttn-Guinness] [Guzmán] [Ross] Grttn-Guinness, I. (comp.): Del cálculo l teorí de conjuntos, Un introducción históric. Alinz Editoril, Mdrid, 984. Citdo en l(s) págin(s) 99 Guzmán, M.: El rincón de l pizrr: Ensyos de visulizción en nálisis mtemático. Pirámide, Mdrid, 996. Citdo en l(s) págin(s) 99 Ross, K.A.: Elementry Anlysis: The Theory of Clculus. Springer, Berlín, 980. Citdo en l(s) págin(s) 99, 0 27