1º BACHILLERATO - MATEMÁTICAS CCSS - TEMA 1 NÚMEROS REALES
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- Benito Belmonte Martín
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1 1º BACHILLERATO - MATEMÁTICAS CCSS - TEMA 1 NÚMEROS REALES ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 68 Una habitación con forma de ortoedro de base cuadrada y altura la mitad del lado de la base se pintó en tres días. Se pintaron las cuatro paredes y el techo. En el primer día se pintó la tercera parte de la supercie; en el segundo, la mitad de lo que quedaba, y en el tercero los 15 m que faltaban para acabar el trabajo. a) Calcula la supercie total de la habitación y la supercie que se hizo cada día. b) Calcula las medidas de cada una de las paredes y el volumen con la precisión que consideres adecuada. Sea el lado de la base l, y la altura del ortoedro l. S = 4 l l + l l = 3 l 1º día = 3l 3 = l ; queda 3l l = l º día = l = l ; queda l l = l 3º día = l = 15 a) El 1º día se pintaron 15 m, el º día también 15 m y el 3º día otros 15 m. La supercie total es, pues, de 45 m. b) Cada pared tendrá una medida de m. El volumen total será V = l l l = , 05 m 3. ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 69 La corporación municipal de un Ayuntamiento cuyo municipio cuenta con 600 habitantes de edades comprendidas entre 16 y 0 años ha realizado una encuesta sobre las actividades culturales que interesan a dicho segmento de población. Sabiendo que el 81' % contestó que le interesaba el cine y que el 14, % contestó que no le interesaban las conferencias de divulgación cientíca, calcula el número de personas que contestaron la encuesta. Los tantos por cien se pueden escribir: 81 81% = %, y = Así, pasando a tanto por uno tenemos 9 11 y = Reduciendo a común denominador tendremos 58 y De esto se puede deducir, ya que aparecen números enteros, que son 58 las personas que contestaron la encuesta. ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 70 El área de un cuadrado mide 10'5 m. Calcula, aproimando a los decímetros: a) La diagonal del cuadrado. b) El área del círculo inscrito. c) El área del círculo circunscrito. A = 10 5 m = l = 10 5 m m a) D = l + l = D 4 5 m b) r = l. Así, A = π r 8 1 m c) r = D = A 16 1 m ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 71 Se quiere vallar el perímetro de un campo rectangular del que se sabe que uno de sus lados mide el triple que el otro y que su diagonal es de 50 m. Calcula el precio que hay que pagar si cada metro de valla cuesta 15 euros. Epresa el resultado en forma de radical y después aproima a los céntimos de euro. 1
2 + (3) = 50 = 10 = 500 = = 50 = = 50 P = = Así, el precio será de ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 7 Una empresa elabora latas de conserva con forma cilíndrica de dimensiones 5 cm de radio de la base y 10 cm de altura. Tras un estudio de mercado, decide cambiar la forma de las latas: serán ortoedros de base cuadrada y de altura el doble que el lado de la base. ¾Cuáles serán las dimensiones de la nueva forma si la capacidad debe ser la misma? Tenemos un cilindro de altura 10 cm y radio de la base 5 cm, y un ortoedro de altura l y lado de la base l. V c = π 5 10 = 50π; V o = l l l = l 3 Así, V c = V o = l 3 = 50π = l = 3 15π 7 3 cm. ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 73 El radio de una circunferencia se ha medido con un error menor de 0'1 cm, obteniéndose 10' cm. a) Calcula los valores máimo y mínimo de la longitud de dicha circunferencia, así como del área del círculo limitado por la misma. b) Calcula los valores máimo y mínimo de la longitud que se recorrerá al dar eactamente 5000 vueltas. Utiliza la aproimación de π que consideres adecuada de acuerdo con los datos del problema. Dado que disponemos de calculadora, y con el n de minimizar el error cometido, podemos hacer los cálculos de π con su valor eacto gracias a ella. Si no disponemos de ninguna, o queremos de cualquier manera utilizar una aproimación, deberemos hacerlo con un decimal signicativo, ya que es la misma utilizada para medir el radio. a) El radio está entre 10'1 y 10'3 cm. Como la longitud de la circunferencia se calcula como l = πr, estará entre l inf = π 10 1 y l sup = π 10 3, es decir entre l inf = 63 4 y l sup = 64, 7 cm. Igualmente, el área, que es A = π r, estará entre A inf = π 10 1 = 30 4 y A sup = π 10 3 = cm. b) Entre 5000 l inf 3170 y 5000 l sup = 335 m. ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 74 Una empresa cobra por el alquiler de una furgoneta 80 diarios. Otra empresa cobra por el mismo alquiler 60 al día, pero a esta cantidad se le deben añadir 00 independientemente del tiempo que se contrate. ¾A partir de cuántos días es más económica la segunda empresa? Escribe la solución en forma de desigualdad y de intervalo. f 1 () = 80; f () = Así, 80 = = 0 = 00 = = 10 Solución: < 10 o (10, + ). ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 75 Una entidad bancaria cambia euros por dólares cobrando además del valor correspondiente a dichos dólares, una comisión que depende de la cantidad que se quiere cambiar según la tabla siguiente: Cantidad de dólares que se compran Comisión en euros Menos o igual que Entre 00 y Entre 500 y Más o igual que
3 Se sabe que por comprar 300$ se han debido pagar 4'54. a) Calcula, con cuatro cifras decimales signicativas, el precio del dólar en euros y el precio del euro en dólares sin tener en cuenta la comisión. b) Calcula los dólares que se han conseguido si se han pagado 750. c) Calcula los euros que se deberían pagar por 150 dólares. d) Calcula los euros que se deberían pagar por 1400 dólares. ¾Y si se compraran en siete paquetes de 00 dólares? a) = 1 54 sin comisión 1$ = = ; 1 = = $ son los factores de conversión. b) = 736 sin comisión = = c) = = = pagaremos, incluida la comisión. d) = = = pagaremos, incluida la comisión = = = pagaremos por cada paquete de 00$. Los siete paquetes costarán = ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 76 Al medir la altura de una persona de 180 cm se ha obtenido 178 cm. Al medir la altura de un edicio de 39 m se ha obtenido 40 m. Calcula los errores absoluto y relativo de cada medida e indica razonadamente cuál de las dos es más precisa. Caso 1: E A = / / = cm; E R = 180 = Caso : E A = / / = 100 cm; E R = = Por tanto, es más precisa la primera aproimación, puesto que tiene un menor error relativo. ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 77 La diagonal de un cubo mide eactamente 1'5 cm. Halla la supercie del cubo aproimando su diagonal por 1'5 cm. Calcula el error relativo cometido. D = 1 5 d = l D = l + l = 3l Usando aproimación: 1 5 = 3l = l = S = 6l = 3 15 cm Sin usarla: 1 5 = 3l = l = S = 6l = 3, E A = /S S / = ; E R = E A S = ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 78 Calcula la medida de la diagonal de un paralelepípedo cuyos lados miden 10, 8 y 5 cm, respectivamente. ¾Qué tipo de número es el resultado? Aproima el resultado redondeando a dos decimales y calcula los errores absoluto y relativo. d = = = 18 D = = = 3 I = E A = / / = E R = E A
4 ˆ PÁGINA 4, EJERCICIO 79 Un parque cuadrado tiene 50 m de lado. Dos personas pasean a la misma velocidad, una por el perímetro del cuadrado y la otra recorriendo una diagonal. Si parten simultáneamente de la misma esquina del parque, ¾volverán a encontrarse? Las dos personas solo pueden volver a encontrarse en alguno de los dos puntos marcados en la gura. d = = 5000 m I; l = 50 = l = 100 m Q Así, una persona siempre habrá recorrido una distancia irracional al llegar a uno de esos dos puntos, mientras que la otra persona siempre habrá recorrido una distancia racional. Por tanto, esas distancias no podrán ser iguales y las dos personas nunca volverán a encontrarse. ˆ PÁGINA 5, EJERCICIO 80 Un determinado tipo de protozoo tiene un diámetro de 10 5 m. Calcula cuántos protozoos habría que situar, uno a continuación de otro, para alcanzar una longitud de 1 cm m = 10 7 cm = = protones ˆ PÁGINA 5, EJERCICIO 81 Sabiendo que la velocidad de la luz es de km/s, calcula el tiempo que tardaría en llegar a la Tierra la luz emitida por una hipotética estrella que se encontrara a km de distancia. Epresa el resultado con la precisión que consideres adecuada. 1 segundo km km = = = = segundos = 666 minutos y 40 segundos = 11 horas 6 minutos y 40 segundos ˆ PÁGINA 5, EJERCICIO 8 Se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media que separa la Tierra del Sol, que equivale a km. a) Sabiendo que el 1 de enero la distancia en kilómetros entre la Tierra y el Sol es de km, eprésala en unidades astronómicas. b) Sabiendo que la distancia media entre Júpiter y el Sol es de 5' UA, eprésala en km. a) 1 UA km km = = UA b) = km 4
5 ˆ PÁGINA 5, EJERCICIO 83 El diámetro de una molécula de agua mide aproimadamente m. a) Calcula el volumen de una molécula de agua suponiendo que su forma es aproimadamente esférica. Epresa el resultado en notación cientíca. b) Calcula el número de moléculas de agua que hay en una gota de 3 mm de diámetro, epresando el resultado en notación cientíca. d = = r = m a) V m = 4 3 πr3 = 4 3 π (1 5) m 3 = m 3 = mm 3 b) V g = 4 3 π (1 5) mm 3 V g V m = = = 10 1 moléculas ˆ PÁGINA 5, EJERCICIO 84 Se quiere hallar el área y el perímetro de un terreno con forma de trapecio rectángulo. Para ello se miden las bases, y se obtiene como resultado 85' y 11'3 m, respectivamente. La longitud del lado perpendicular a las bases se conoce previamente y con una precisión mayor: es de 48'76 m. Calcula, con la precisión adecuada, las medidas deseadas. El trapecio encierra en su interior un triángulo rectángulo, con el que comparte el lado desconocido y la altura 48'76. El otro cateto mide = 7 1 m. = m P = = m A = ( ) = m 5
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