EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 EXMEN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES Se recomienda: a) ntes de hacer algo, leer todo el eamen. b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del eamen en una hoja distinta. d) Es una hoja de eamen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. 1 Siendo a un número real cualquiera, se define el sistema siguiente: 2 az 1 0 a z a 1.1. Discútase dicho sistema en función del valor de a Resúelvase dicho sistema en función de los valores de a. (3 P) 2 Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del dinero en euros. (2.5 P) Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible. 3 Estudia resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 3z z 3 3 5z6 (2 P) 4 Resuelve e interpreta geométricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (2.5 P) FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXMEN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 1

2 1 2 az 1 0 a z a SOLUCIÓN 1.1. Discútase dicho sistema en función del valor de a. Tenemos las matrices de los coeficientes ampliada siguientes: a a 1 0 a Hemos de estudiar sus rangos, por lo que buscamos menores no nulos. 0 1 a 1 0 rg 2 aplicando la regla de Sarrús Hacemos 0 0 a 0 a 1 0 a 1 Luego tenemos que_ si a 1 rg 3 rg número de incógnitas, entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius, el sistema es compatible determinado 0.75 P si a 1 rg 2 La matriz ampliada Se ve que la última fila es combinación lineal de las otras dos: Entonces rg 2 Finalmente rg 2 rg número de incógnitas, entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado 0.75 P 1.2. Resúelvase dicho sistema en función de los valores de a si a 1 Estamos en condiciones de aplicar directamente la regla de Cramer: a 1 1 a a2 2a 1 1 a a tenemos dos columnas iguales FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXMEN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 2

3 a 0 a z 0 0 tenemos dos columnas iguales La solución del sistema es 1, 0, P si a 1 Nos quedamos con el sistema z z1 z1 La solución del sistema es (# 3 P) 1 z R que es una recta del espacio 0.75 P euros 2 Llamamos dólares z libras Tenemos el siguiente sistemas de ecuaciones lineales z z P Tenemos las siguientes matrices de coeficientes ampliada: Hemos de ver si podemos aplicar la regla de Cramer: z z 10 0 si podemos, por lo que la solución vendrá dada por: z FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXMEN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 3

4 euros La solución es dólares libras 1.25 P 0.25 P (# 2.5 P) 3 3z z 3 3 5z6 Consideramos la matriz de los coeficientes la segunda fila le quitamos el doble de la primera la tercera fila le quitamos el triple de la primera Permutamos las filas segunda tercera. la tercera fila le quitamos el triple de la segunda la segunda fila le quitamos doce veces la tercera sociada al sistema 3z14 0 Se trata de un sistema compatible indeterminado cuas infinitas soluciones vienen dadas por: R que se trata de una recta de R 4 2 P FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXMEN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 4

5 Tenemos las matrices de los coeficientes ampliada siguientes: Se tiene que 7 0 rg 2 Se tiene que rg 3 Por el Teorema de Rouche-Frobenius se trata de un sistema incompatible. Por otro lado, se cumple que: 1 P 14 0 las rectas asociadas a este menor son secantes, pues los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales. 0 mientras que el término independiente no es proporcional 5, 0 entonces se trata de dos rectas paralelas 7 0 las rectas asociadas a este menor son secantes, pues los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales. Es decir, tenemos dos rectas paralelas con una secante común. 1.5 P(# 2.5 P) FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXMEN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 5

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