Tema 1.NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD.

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1 Tema 1.NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD. 1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Nuestro sistema de numeración es decimal porque 10 unidades del mismo orden forman una unidad del orden inmediato superior. Utiliza 10 cifras. Nuestro sistema de numeración es posicional, ya que el valor de posición de una cifra en un número depende del lugar que ocupa la cifra en dicho número.. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos o de los factores no varía el resultado. + 3 = x 5 = 5 x 4 Propiedad asociativa. El orden en que se realicen las sumas o las multiplicaciones no varía el resultado. ( + 3 ) + 5 = + ( ) ( x 3 ) x 5 = x ( 3 x 5 ) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. 6 x ( ) = 6 x x 1 Propiedad de la resta. Si a los dos términos de una resta se les suma o resta el mismo número, la diferencia no varía. Propiedad de la división. Dividendo = divisor x cociente + resto. 3. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural. Para obtener los múltiplos de un número se multiplica ese número por los números naturales. Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta. 4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por, si termina en 0., 4, 6 o en 8. Un número es divisible por 5, si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 10, si termina en 0. Un número es divisible por 4, si lo es el número formado por sus dos últimas cifras, o si termina en 00. Un número es divisible por 5, si lo es el número formado por sus dos últimas cifras, o si termina en 00. Un número es divisible por 100, si termina en 00. Un número es divisible por 3 o por 9, si lo es la suma de los valores de sus cifras. Para saber si un número es divisible por 11: a) sumamos por separado las cifras que ocupan los lugares pares y las que ocupan los lugares impares. b) Calculamos la diferencia entre las dos sumas anteriores c) Si esa diferencia es 0 o múltiplo de 11, el número inicial es divisible por 11.

2 5. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. Un número es primo cuando tiene sólo dos divisores: el propio número y el 1. Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. 6. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS. La descomposición de un número en factores primos es la expresión del número como un producto de factores primos. 1º Dividimos el número por un factor primo. Resulta cómodo empezar por los más pequeños. º Dividimos el cociente obtenido por otro factor primo, y se repite el procedimiento. 3º Terminamos cuando el último cociente es 1. El número es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo. 7. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS. El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. (m.c.d.) Para calcular el máximo común divisor de varios números: 1º. Escribimos cada número como producto de factores primos. º. El máximo común divisor es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. 8. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS. El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus factores comunes distinto de cero (m.c.m.) Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1º. Escribimos cada número como producto de factores primos. º. El mínimo común múltiplo es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

3 Tema. NÚMEROS ENTEROS 1. DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS NÚMEROS ENTEROS. Los números enteros son los números enteros positivos, los enteros negativos y el cero. Los números naturales precedidos de un signo (+) se llaman números enteros positivos. Los números naturales precedidos de un signo (-) se llaman números enteros negativos.. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO. El valor absoluto de un número es el número natural que resulta al quitar su signo. 3. ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto (se lee +7 mayor que +3) (se lee -5 menor que 8) 4. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros del mismo signo, sumamos sus valores absolutos al resultado le añadimos el signo de los sumandos. (+) + (+3) = +5 (-6) + (-1) = -7 Para sumar dos números enteros de distinto signo, restamos sus valores absolutos y añadimos al resultado el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto. (-7) + (+) = -5 TEN EN CUENTA: EL SIGNO MENOS DELANTE DE UN PARÉNTESIS CAMBIA LOS SIGNOS DE LOS NÚMEROS QUE HAY DENTRO DEL PARÉNTESIS. +7 ((- 3) + 6) = OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO. Dos números enteros son opuestos si su suma es 0. El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y distinto signo. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. El opuesto de una suma es igual a la suma de los opuestos de los sumandos. 6. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS. EL SIGNO (-) TIENE DOS Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo. SIGNIFICADOS Operación y (-8) (-) = (-8) + (+) = -6 número negativo

4 7. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. Para calcular el producto de dos números enteros: * Hallamos el producto de sus valores absolutos. * Al resultado le añadimos el signo más (+) si ambos tienen el mismo signo, y el signo menos (-) si tienen distinto signo. Hay que tener en cuenta la siguiente regla de los signos: + x + = + - x + = - + x - = - - x - = + 8. DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS. Para calcular el cociente de dos números enteros: Hallamos el cociente de sus valores absolutos. Al resultado le añadimos el signo más (+) si ambos tienen el mismo signo, y el signo menos (-) si tienen distinto signo. Hay que tener en cuenta la siguiente regla de los signos: + : + = + - : + = - + : - = - - : - = + 9. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando. 10. SACAR FACTOR COMÚN. (-) x ((-6) + 4) = (-) x (-6) + (-) x 4 Sacar factor común consiste en escribir en forma de producto una suma en la que todos los sumandos poseen un factor común. 9 x (-5) + 9 x 8 = 9 x ((-5) + 8 ) 11. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS. Para operar con números enteros seguimos este orden: 1º. Resolvemos las operaciones que estén dentro de los paréntesis. º. Realizamos las multiplicaciones y divisiones. 3º. Realizamos las sumas y restas. TEN EN CUENTA: HAY OPERACIONES INDICADAS ENTRE PARÉNTESIS QUE A SU VEZ SE ENCUENTRAN DENTRO DE OTROS PARÉNTESIS. PARA DISTINGUIR QUÉ PARÉNTESIS SE ENCUENTRA DENTRO DE OTROS, SE SUELEN UTILIZAR LOS CORCHETES. Por ejemplo, la expresión: 1 8 4x Se escribe: 1 8 4x

5 Tema 3. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL MAYOR QUE 1. Una potencia es una expresión abreviada que se utiliza para escribir una multiplicación de factores iguales. La base es el factor que se repite y el exponente indica el número de veces que se repite. Las potencias de base negativa y exponente par son positivas. Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas. TEN EN CUENTA: Cuando las potencias tienen base negativa, el uso de paréntesis cambia el resultado POTENCIA DE UN PRODUCTO Y DE UN COCIENTE. La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor : 8 3 : 8 3. PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE. El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y el exponente igual a la suma de los exponentes de los factores COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE. El cociente de potencias de la misma base es una potencia que tiene la misma base y el exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y el exponente del divisor. 7 4 : Una potencia de cualquier base y exponente 0 es igual a : POTENCIA DE UNA POTENCIA. Una potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base y el exponente igual al producto de los exponentes xx7x

6 6. CUADRADOS PERFECTOS Y RAÍZ CUADRADA EXACTA. La raíz cuadrada exacta de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero ya que RAÍZ CUADRADA ENTERA. La raíz entera de un número es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que dicho número. La diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera es el resto de la raíz. 8. REGLA PARA EL CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA. (Ver página 57 del libro)

7 Tema 4. FRACCIONES 1. FRACCIONES PARA EXPRESAR PARTES. Una fracción expresa una parte de un todo. Se representa: Numerador Deno min ador El denominador indica el número de partes iguales en que se divide el todo y el numerador indica el número de partes que se toman.. FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte del todo. Para averiguar si dos fracciones son equivalentes se comprueba si los productos cruzados son iguales x 1 = 4 x OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES. Para obtener fracciones equivalentes a una fracción: Multiplicamos sus términos por un mismo número distinto de cero. Dividimos sus términos por un mismo número distinto de cero. Si los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible. 4. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente con términos más pequeños. Para simplificar, dividimos los dos términos de la fracción por los divisores comunes de ambos. TEN EN CUENTA: SI UNA FRACCIÓN ES IRREDUCIBLE NO SE PUEDE SIMPLIFICAR MÁS. 5. REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR. Para reducir a común denominador multiplicamos los dos términos de cada fracción por el producto de los denominadores de las otras fracciones. 6. REDUCCIÓN DE FRACCIONES A MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR. El mínimo común denominador es un número igual o mayor que cada uno de los denominadores, por ser un múltiplo de todos ellos. 4, 5 Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Dividimos el m.c.m. por cada denominador. Multiplicamos, en cada caso, el resultado del cociente por los términos de la fracción. 3 1, m.c.m.(5, 0, 4) = x4 3x1 1x ,,,,

8 7. COMPARACIÓN DE FRACCIONES. Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. Para comparar dos fracciones cualesquiera, se reducen a común denominador. La fracción mayor es la que tiene mayor numerador. 8. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES. Para sumar fracciones con el mismo denominador dejamos el mismo denominador y sumamos los numeradores. Para restar fracciones con el mismo denominador dejamos el mismo denominador y restamos los numeradores. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador: Reducimos a común denominador. Operamos las fracciones obtenidas x m.c.m. (10, 5) = 50 x SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONES. Para sumar o restar un número entero y una fracción: 1º Expresamos el número entero como una fracción, multiplicándolo y dividiéndolo por el denominador de la fracción dada. º Operamos las fracciones de igual denominador FRACCIONES CON EL NUMERADOR MAYOR QUE EL DENOMINADOR. Una fracción con el numerador mayor que el denominador equivale a un número entero más una fracción con el numerador menor que el denominador. 5 8 También se puede expresar como número mixto MULTIPLICACIÓN CON FRACCIONES. Para multiplicar una fracción por un número entero: multiplicamos el numerador por el número entero y dejamos el mismo denominador. El producto de dos fracciones es una fracción donde: El numerador es el producto de los numeradores. El denominador es el producto de los denominadores.

9 1. FRACCIONES INVERSAS. Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad. 13. DIVISIÓN CON FRACCIONES. Para hallar el cociente de dos fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda : x

10 Tema 5. NÚMEROS DECIMALES 1. CIFRAS DECIMALES Las cifras decimales son las que se encuentran a la derecha de la coma.. FRACIONES Y DECIMALES Las fracciones se pueden expresar mediante números decimales. Existen números decimales: Exactos. Su parte decimal es un número limitado de cifras. Periódicos. Su parte decimal contiene un grupo de cifras que se repite indefinidamente. El grupo de cifras que se repite se llama período. Periódico puro. Toda su parte decimal es periódica. Periódico mixto. Hay cifras que no se repiten delante del período. TEN EN CUENTA: TODO NÚMERO DECIMAL EXACTO TIENE ASOCIADA UNA FRACCIÓN 465 DECIMAL: 4, ORDENACIÓN DE DECIMALES Y FRACCIONES. Para ordenar números decimales: 1º. Comparamos las cifras de los distintos órdenes de unidades de los números, empezando por la izquierda. º. Si las cifras del mismo orden son iguales continuamos comparando. Y si son distintas, es mayor el número cuya cifra es mayor. Para ordenar fracciones y decimales, expresamos las fracciones como números decimales y comparamos. 7 Cuál de estos números, 7 7 y 0,46 es mayor? 0, 4375 ; luego 0,46 > 0,4375 ; 0,46> SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES. Para sumar o restar números decimales: 1º Escribimos uno debajo del otro, de modo que coincidan las unidades del mismo orden y la coma decimal. º Sumamos o restamos como si fueran enteros. 3º En el resultado colocamos la coma debajo de las comas. 5,75 4,35 +,50-1,50 8,5,85

11 5. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR 10, 1000, 1000 Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000, desplazamos la coma hacia la derecha uno, dos, tres lugares. 1,5 x 100 = 150 Para dividir un número decimal por 10, 100, Desplazamos la coma hacia la izquierda uno, dos, tres lugares. 90,30 : 10 = 9,03 6. MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES. Para multiplicar dos números decimales: 1º Multiplicamos como si fueran enteros. º En el resultado, separamos con una coma, empezando a contar por la derecha, un número de cifras decimales igual a la suma del número de cifras decimales que tienen los dos factores. 7. DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.,75 x 1,5 = 3,4375 Para dividir dos números decimales multiplicamos el dividendo y el divisor por 10, 100, 1000 de modo que el divisor se transforme en entero. Luego hacemos la división. La división se termina cuando se han obtenido tantas cifras decimales como se desea, o cuando se obtiene un resto igual a 0. TEN EN CUENTA: EL RESTO DE UNA DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES ES UN NÚMERO DECIMAL. 101,4: 5 = 1,9 resto 6. El resto son 6 décimas, es decir,6 unidades.

12 Tema 6. EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES. 1. LETRAS Y NÚMEROS. En una expresión con letras, estas pueden representar cualquier número. El lenguaje algebraico utiliza letras y signos de operaciones para expresar informaciones. Ejemplos: a + c 5 x n, n + 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Para escribir las expresiones algebraicas tenemos que tener en cuenta lo siguiente: A partir de ahora el signo de multiplicación se escribirá con un punto, para no confundir con la letra x. El factor 1 no se escribe. Ejemplo: 1 x y x y El exponente 1 tampoco se escribe. Por ejemplo: 1 3 x y 3 x y Si estamos multiplicando letras o un número y una letra el signo de multiplicar puede no ponerse. Por ejemplo: 5 a 5a 3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la expresión por números determinados y hacer las operaciones indicadas en ella. Calcular el valor numérico de 5x y 6 x, y SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Dos expresiones algebraicas son semejantes si sus partes literales son iguales. Para sumar o restar expresiones algebraicas es necesario que sean semejantes. Para sumar se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal. Para restar se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 5. LETRAS PARA EXPRESAR RELACIONES ab ab 7ab Las letras permiten expresar de forma concisa relaciones entre magnitudes. Las expresiones literales que las relacionan se llaman fórmulas. 6. LETRAS PARA EXPRESAR IGUALDADES E IDENTIDADES Una igualdad algebraica es una expresión que tiene dos miembros separados por el signo (=). Una identidad algebraica es una igualdad que se verifica para cualquier valor que se asigne a las letras.

13 TEN EN CUENTA: NO HAY QUE CONFUNDIR LOS MIEMBROS CON LOS TÉRMINOS. Términos x 8 x 1º miembro º miembro EN CADA MIEMBRO PUEDE HABER UNO O MÁS TÉRMINOS SEPARADOS POR EL SIGNO (+) O EL SIGNO MENOS (-) 7. LETRAS PARA EXPRESAR ECUACIONES. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas del mismo valor unidas por el signo igual (=). Una ecuación es una igualdad con números y letras que expresa una condición que deben cumplir las letras. Las letras se llaman incógnitas. Lo expresamos así: x Las ecuaciones con una sola letra con exponente 1 se llaman ecuaciones de primer grado con una incógnita. 8. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN. La solución de una ecuación es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la igualdad. Resolver una ecuación es encontrar su solución. Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 9. REGLA DE LA SUMA. Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente. De esta forma se pueden simplificar fracciones. 10. REGLA DEL PRODUCTO. Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente.

14 11. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. 1º Suprimimos los paréntesis. º Eliminamos los denominadores. 3º Operamos los términos que se puedan suprimir para simplificar la expresión resultante. 4º Aplicamos las reglas de la suma y del producto. Resuelve la ecuación: 4 x x 3 3 1º Quitamos paréntesis: 4 x x 3 3 4x º Quitamos el denominador multiplicando por 3: x 6 3 3º Aplicamos la regla de la suma restando 3: 4x 3x 18 ; x 18 TEN EN CUENTA: SI EL SIGNO MENOS (-) VA DELANTE DE UNA FRACCIÓN AFECTA A TODOS LOS TÉRMINOS DEL NUMERADOR. 7 x x x x 3 6

15 1. MAGNITUDES Y CANTIDADES Tema 7. SISTEMA DE MEDIDAS Cualquier cualidad que podemos medir se llama magnitud. Para medir una magnitud, comparamos su valor con el de un patrón que llamamos unidad, y determinamos el número de veces que la contiene.. UNIDADES DE MEDIDA. En casi todos los países del mundo se ha adoptado el mismo sistema de medidas llamado SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. Algunas unidades son: El metro para medir longitudes. El kilogramo para medir masas. El metro cuadrado para medir superficies. El metro cúbico para medir volúmenes. 3. UNIDADES DE LONGITUD: EL METRO. La unidad de medida de longitud es el metro (m). Cada unidad de longitud es igual a 10 unidades del orden inmediato inferior. Para realizar cambios de unidades se multiplica o divide por 10. La unidad se refiere al número o números que están inmediatamente a la izquierda de la coma. Por ejemplo, 3,7 decímetros son 3 decímetros y 7 centímetros. 4. UNIDADES DE SUPERFICIE: EL METRO CUADADRADO. La unidad de superficie es el meto cuadrado m de lado., que es la superficie de un cuadrado de 1 metro Cada unidad de superficie es igual a 100 unidades del orden inmediato inferior. Para realizar cambios de unidades se multiplica o divide por 100. Unidades agrarias: Para medir terrenos de uso agrícola también se utilizan unidades que no pertenecen al Sistema Internacional. Son las unidades agrarias. Relación entre unidades de superficie y unidades agrarias. Unidades de superficie km hm dam m Unidades agrarias ha a ca dm cm mm 5. UNIDADES DE VOLUMEN: EL METRO CÚBICO. La unidad de volumen es el metro cúbico m 3, que es el volumen de un cubo de 1 metro de lado. Cada unidad de volumen es igual a 1000 unidades del orden inmediato inferior, y 1000 veces menor que la del orden inmediato superior.

16 6. UNIDADES DE CAPACIDAD Y DE MASA. La unidad de medida de capacidad es el litro (L). Cada unidad de capacidad es igual a 10 unidades del orden inmediatamente inferior. La unidad de masa es el kilogramo (kg), que equivale, aproximadamente, a la masa de un litro de agua. Cada unidad de masa es igual a 10 unidades del orden inmediato inferior. 7. RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN Y DE CAPACIDAD. La capacidad de un cubo de 1 decímetro de arista es 1 litro, por lo tanto: 1 Relación entre las unidades de volumen y las de capacidad: dm 3 1L 3 m 3 dm 3 cm kl hl dal L dl cl ml

17 Tema 8. MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES 1. RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA. Razón entre dos números a y b es el cociente b a. Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es igual a la razón entre c y d. Se escribe a c y se lee a es a b como c es a d. b d En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y d se llaman medios. En toda proporción se cumple la propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple cantidad de la primera corresponde doble, triple de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden con esta tabla: Magnitud 1ª a b c Magnitud ª a b c son directamente proporcionales si se verifica que: a b c... k, siendo k la razón de proporcionalidad. a b c 3. CÁLCULO CON MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. REDUCCIÓN A LA UNIDAD. El método de reducción a la unidad consiste en calcular el valor que corresponde a la unidad de una de las magnitudes, para calcular después el valor que corresponde a cualquier otra cantidad. 1º Identificamos los datos conocidos. º Calculamos el valor que corresponde a la unidad. 3º Hallamos el valor que corresponde a la cantidad que pide el problema. 4. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. Para aplicar la regla de tres se colocan las cantidades de este modo: 50 L 1300 g x L 500 g x

18 5. PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO. Un porcentaje o tanto por ciento es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa mediante el símbolo %. Un porcentaje es equivalente a una razón de denominador 100 y también al número decimal correspondiente. Podemos representar en la misma escala, los porcentajes, las razones equivalentes y su 15 expresión decimal. Por ejemplo: el 15 % equivale a la razón y a 0, CÁLCULO CON PORCENTAJES. Para calcular la cantidad que corresponde a un porcentaje de otra cantidad, se multiplica esta última cantidad por la razón o por el número decimal equivalentes al porcentaje. TEN EN CUENTA: OTRA FORMA DE CALCULAR EL TOTAL DE UN PORCENTAJE ES: % DE x = 64; x 64 ; x PROBLEMAS DE PORCENTAJES. Incrementos. Ejemplo. Sandra ha comprado un coche cuyo precio de fábrica es de 800 euros. A este precio hay que añadirle un 16 % de IVA. Cuál será el precio final del coche? Si el incremento es del 16 %, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116 euros x x ;por tanto, tendrá que pagar 951 euros por el coche. Disminuciones. Ejemplo. En las rebajas el descuento de una tienda es de un 0 % sobre el precio indicado. Julián ha comprado un juego de toallas etiquetado con 90 euros. Cuánto tiene que pagar? Si el descuento es del 0 %, quiere decir que de cada 100 euros le descuentan 0, es decir, pagaría x x ;por tanto, tendrá que pagar 7 euros por el juego de toallas.

19 1. COORDENADAS EN EL PLANO. Tema 9. FUNCIONES Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que dividen el plano en cuatro cuadrantes, reciben el nombre de ejes de coordinadas. El punto donde se cortan estas rectas es el origen de coordinadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas. El eje vertical se llama eje de ordenadas. El punto de corte de los dos ejes se llama origen de coordenadas. La primera coordenada se mide sobre el eje horizontal y se llama abscisa del punto. La segunda se mide sobre el eje vertical y se llama ordenada del punto.. RELACIONES DADAS POR TABLAS. En una tabla a cada valor de la primera magnitud le corresponde un valor de la segunda. Esta magnitud está en función de la primera o depende de ella. 3. RELACIONES DADAS POR GRÁFICAS. En una gráfica a cada valor de la magnitud del eje de abscisas le corresponde un valor de la magnitud del eje de ordenadas. Esta magnitud depende o está en función de la primera. 4. RELACIONES DADAS POR FÓRMULAS. La relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una igualdad llamada fórmula. En una fórmula a partir de los valores de x de una magnitud se obtienen valores de y de la otra. Esta magnitud depende o está en función de la primera. 5. CONCEPTO DE FÚNCIÓN. y x 1 Una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Este valor también se designa con f(x). La variable independiente es la que se fija previamente. La variable dependiente es la que se deduce de la variable independiente a través de la función. 6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. 1º Construimos una tabla a partir de los datos que tenemos. º Representamos los puntos obtenidos en los ejes de coordenadas. 3º Estudiamos si tiene sentido unir los puntos. 7. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA. Las funciones cuyas gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas se llaman funciones de proporcionalidad directa. La fórmula de estas funciones es la forma y m x, donde m es la razón de proporcionalidad.

20 Tema 10. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. FRECUENCIAS. Cada uno de los datos obtenidos al realizar una encuesta se llama dato estadístico. La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite ese dato. La frecuencia relativa de un dato estadístico es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos.. DIAGRAMA DE BARRAS. En un diagrama de barras los datos se representan en la base de cada barra. La altura de cada una es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato. En un diagrama de barras, uniendo los extremos de las barras se obtiene el polígono de frecuencias. 3. DIAGRAMA DE SECTORES. En un diagrama de sectores la superficie del círculo se distribuye en sectores de amplitud proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato. Para calcular los grados de cada sector establecemos esta proporción: 360 nº total datos nº frecuencia absoluta 4. MEDIA ARITMÉTICA: SIMPLE Y PONDERADA. La media aritmética simple o media es el cociente entre la suma de todos los datos y el número total de datos. Para calcular la media: 1º Multiplicamos los datos por sus frecuencias absolutas y sumamos los resultados. º Dividimos la cantidad obtenida por el número total de datos. 5. MODA. La moda de un conjunto de datos es el dato que tiene mayor frecuencia. 6. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS. Un experimento es aleatorio cuando no se puede predecir el resultado que se va a obtener. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral. Cualquier parte del espacio muestral se llama suceso. 7. PROBABILIDAD DE UN SUCESO ALEATORIO. La probabilidad de un suceso indica la facilidad con la que puede ocurrir. Regla de Laplace: P(A) = nº de casos favorables nº de casos posibles

21 Tema 11. FORMAS GEOMÉTRICAS 1. PUNTOS Y RECTAS A p A B B Dos puntos determinan una recta Un punto divide a una recta en dos semirrectas El trozo de recta entre dos puntos es un segmento Dos rectas que se cortan son secantes Dos rectas que no se cortan son paralelas. ÁNGULOS Un ángulo es una figura formada por dos semirrectas con el mismo origen. Este origen es el vértice del ángulo. Los lados del ángulo son las semirrectas. Clasificación de los ángulos: Un ángulo recto mide 90º Un ángulo llano mide 180º Ángulo agudo es menor que un recto Ángulo obtuso es mayor que un recto Ángulo convexo es menor que un llano Ángulo cóncavo es mayor que un llano Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto, es decir, suman 90º Dos ángulos son suplementarios si su suma es un ángulo llano, es decir, suman 180º 3. ÁNGULOS IGUALES. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son suplementarios.

22 4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos s la misma distancia de otro punto fijo llamado centro. Un círculo de centro O y radio r es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que la longitud del radio. CIRCUNFERENCIA SECTOR CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR CORONA CIRCULAR 5. POSICIONES DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA. Recta exterior a la circunferencia Recta tangente a la circunferencia Recta secante a la circunferencia No tienen puntos en común Tienen un punto en común. Tienen puntos en común. 6. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS. Circunferencias Exteriores. Circunferencias interiores. Circunferencias tangentes Exteriores. Circunferencias tangentes interiores. Circunferencias secantes. No tienen ningún punto en común y cada una está en la región exterior de la otra. No tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra. Tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra. Tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra. Tienen puntos en común.

23 7. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio. 8. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO. La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales. 9. ÁNGULOS CENTRALES. Un ángulo central tiene su vértice en el centro de una circunferencia y sus lados son radios de la misma. La medida de un arco es la misma que la de su ángulo central correspondiente. 10. ÁNGULOS INSCRITOS. Un ángulo inscrito tiene su vértice en una circunferencia y sus lados son secantes o tangentes a ella. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que abarca. 11. LONGITUDES DE LA CIRCUNFERENCIA. La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L r La longitud de un arco de circunferencia del que se conoce el número de grados, nº, que mide r nº se calcula con la fórmula: Larco 360º

24 Tema 1. FIGURAS PLANAS 1. POLÍGONOS. Un polígono es la región delimitada por una línea poligonal cerrada. Elementos de un polígono: Centro: punto que equidista de los vértices. Radio: cualquier segmento que une el centro con un vértice. Apotema: cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Ángulo central: cualquier ángulo determinado por dos radios. En todo polígono regular podemos dibujar su circunferencia circunscrita. En este caso el polígono se llama polígono inscrito.. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS. Clasificación de los triángulos según sus lados: EQUILÁTERO: 3 lados iguales ISÓSCELES: lados iguales ESCALENO: ningún lado igual Clasificación de los triángulos según sus ángulos: RECTÁNGULO: 1 ángulo recto Clasificación de los cuadriláteros: ACUTÁNGULO: 3 ángulos agudos OBTUSÁNGULO: 1 ángulo obtuso TRAPEZOIDES Ningún par de lados paralelos TRAPECIOS 1 par de lados paralelos Isósceles Rectángulo

25 PARALELOGRAMOS: pares de lados paralelos CUADRADO RECTANGULO ROMBO ROMBOIDE 4 lados iguales 4 ángulos iguales Lados paralelos iguales 4 ángulos iguales 4 lados iguales ángulos iguales dos a dos Lados paralelos iguales Ángulos iguales dos a dos 3. SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º n 4. POLÍGONOS IGUALES Dos polígonos son iguales si tienen los lados iguales y los ángulos correspondientes iguales. 5. SIMETRÍAS EN LAS FIGURAS PLANAS Un eje de simetría es una recta que divide en dos partes iguales una figura. 180 º Cuando una figura tiene n ejes de simetría, dos ejes contiguos forman un ángulo de. n 6. CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales y los tres ángulos iguales. Criterio 1: Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales. Criterio : Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y su ángulo comprendido. Criterio 3: Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos contiguos. 7. MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de los lados. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro. 8. BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de cada uno de sus ángulos interiores. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro. 9. ALTURAS DE UN TRIÁNGULO Las alturas sobre un lado de un triángulo es el segmento determinado por el vértice y el pie de la perpendicular trazada por él. Las rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro. 10. MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO. Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.

26 1. PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS Tema 13. LONGITUDES Y ÁREAS El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. Representa una medida de longitud, por ello se utiliza el metro y sus múltiplos y submúltiplos.. MEDIDAS INDIRECTAS: TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. C a a En general, si la hipotenusa mide a, y los catetos miden b y c, se cumple la relación: a b c b 3. ÁREA DE UNA SUPERFICIE El área de una figura plana es la medida de la superficie que ocupa. Para medir las superficies se utiliza el meto cuadrado. El meto cuadrado ( m ) es la cantidad de superficie que ocupa un cuadrado de 1 metro de lado. 4. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS RECTÁNGULO A b h El área del rectángulo es igual al producto de su base por su altura. CUADRADO A l El área del cuadrado es igual al producto de su lado por sí mismo. PARALELOGRAMO A b h El área del paralelogramo es igual a la base por la altura. TRIÁNGULO b h A TRAPECIO B b A h POLÍGONO REGULAR p a A El área del triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura El área del trapecio es igual a la mitad de la suma de las bases multiplicada por la altura. El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro y de la apotema.

27 5. ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES CÍRCULO A r El área del círculo es igual al producto del número por el cuadrado del radio. CORONA CIRCULAR A R r El área de la corona circular es igual a la diferencia del área del círculo mayor y del círculo menor. SECTOR CIRCULAR r nº A 360º El área del sector circular se calcula aplicando la fórmula señalada. 6. CÁLCULO DE ÁREAS POR COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN. Si una figura plana está compuesta por polígonos o círculos, su área se puede calcular sumando las áreas de estos. El área de una figura compuesta por un polígono o círculo al que se le ha quitado otro se calcula restando las áreas.

28 Tema 14. CUERPOS GEOMÉTRICOS. VOLÚMENES. 1. POLIEDROS. Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos planos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras. El lado común a dos caras se llama arista. El punto común a tres o más aristas se llama vértice. Un poliedro es regular cuando las caras son iguales y en cada vértice concurren el mismo número de caras. Los poliedros regulares son: TETRAEDRO (4) CUBO (6) OCTAEDRO (8) DODECAEDRO (1) ICOSAEDRO (0). PRISMAS Un prisma es un poliedro que tiene: Dos bases iguales y paralelas que son polígonos. Caras laterales que son paralelogramos. Un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares y sus caras laterales son rectángulos. Los prismas cuyas caras son paralelogramos se llaman paralelepípedos. El ortoedro y el cubo son paralelepípedos.

29 3. PIRÁMIDES Una pirámide es un poliedro que tiene: Una base que es un polígono. Caras laterales que son triángulos y concurren en un vértice. Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y sus caras son triángulos isósceles. En una pirámide, además de la apotema de la base hay que tener en cuenta la apotema de la pirámide que es el segmento que une el vértice con el punto medio de cualquier lado de la base. 4. CILINDROS Y CONOS Cilindros. Un rectángulo al girar sobre uno de sus lados genera un cilindro. La superficie curva del cilindro es la superficie lateral, y los dos círculos son las bases. Los lados del rectángulo son la longitud de la circunferencia, r y la generatriz. Conos. Un triángulo rectángulo al girar sobre uno de sus catetos genera un cono. La superficie curva del cono es la superficie lateral, y el círculo es la base. El radio del sector es la generatriz, y el arco es la longitud de la circunferencia, r. 5. ESFERAS. Un semicírculo al girar sobre su diámetro genera una esfera. La mayor sección que se puede obtener con un plano que pasa por el centro se llama círculo máximo. Cada una de las partes de la esfera en que se queda dividida se llama semiesfera.

30 6. VOLÚMEN DE UN CUERPO. El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Para medir el volumen de un cuerpo, se compara con el volumen de otro cuerpo elegido como unidad, y se averigua el número de unidades que contiene. ORTOEDRO V a bc El volumen de un ortoedro coincide con el producto del largo (a) por el ancho (b) por la altura (c). CUBO V a 3 El volumen de un cubo es igual a la arista elevada al cubo. PRISMA V B h El volumen del prisma es igual al área de la base por la altura. PIRÁMIDE 1 V B h 3 El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura. CILINDRO V r h El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura. V CONO El volumen de un cono es igual a un 1 tercio del área de la base por la altura. r h 3 ESFERA 4 V r 3 3 El volumen de la esfera es igual a cuatro tercios por por el radio al cubo.