Plan de clase (1/3) a) Los siguientes triángulos son semejantes. Calcula la medida del lado que falta en cada uno, sin medir:

Transcripción

1 Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Prof. (a): Curso: Matemáticas 9 Eje temático: F. E. y M. Contenido: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Intención didáctica. Que los alumnos utilicen la relación de proporcionalidad entre los lados de dos figuras semejantes para calcular la medida de un lado de un triángulo. Consigna. Resuelve lo siguiente: a) Los siguientes triángulos son semejantes. Calcula la medida del lado que falta en cada uno, sin medir: b) En la siguiente figura, los segmentos BB, CC y DD son paralelos. Explica por qué los triángulos ABB, ACC y ADD son semejantes. Después, calcula las medidas de BC y C D : AB= 4 cm CD= 8 cm AB = 3 cm B C = 9 cm BC= C D = Consideraciones previas. En el problema a), las medidas faltantes se pueden calcular a partir del hecho de que, en dos o más triángulos semejantes, los lados correspondientes son proporcionales. Entonces, la medida que falta se puede determinar a partir de las que sí se conocen calculando el factor de proporcionalidad, usando la regla

2 de tres, o bien, con el valor unitario la medida en uno de los triángulos que corresponde a 1 cm en el otro triángulo. El problema b) es similar, pero lo que se calcula con estos procedimientos son las medidas de AC y AD, y después a éstas hay que restarles las de AB y AB +B C para determinar las que se piden. La idea de trabajar con triángulos que están en posición de Tales (inciso b) para calcular medidas de uno de los triángulos tiene el propósito de preparar a los alumnos para el estudio del Teorema de Tales. La semejanza de los triángulos se puede argumentar a partir del criterio AA: los tres triángulos comparten el ángulo que corresponde al vértice A, y además, como las líneas BB, CC y DD son paralelas, se tiene que los ángulos de los vértices B, C y D son iguales (de hecho también los de B, C y D son iguales entre sí). Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

3 Plan de clase (2/3) Escuela: Fecha: Prof. (a): Curso: Matemáticas 9 Eje temático: F. E. y M. Contenido: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Intención didáctica: Que los alumnos aprendan una manera de dividir un segmento en partes iguales Consigna: Resuelve lo siguiente: 1. El siguiente dibujo muestra la hoja de un cuaderno en la que están marcados dos segmentos, AE y AE. Los puntos A, B, C, D y E son los cortes de la línea AE con las rayas de la hoja, y lo mismo sucede con los puntos marcados en AE. Como la línea AE es perpendicular a las rayas de la hoja, y dichas rayas están a la misma distancia, se tiene que AB, BC, CD y DE son iguales: a) Explica por qué los triángulos ABB, ACC, ADD y AEE son todos semejantes. b) Anota el factor de proporcionalidad que permite obtener las medidas de: i. ACC a partir de las medidas de ABB ii. ADD a partir de las medidas de ABB iii. AEE a partir de las medidas de ABB c) Explica por qué los segmentos AB, B C, C D y DE son iguales. 2. Divide el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; puedes usar escuadras y compás. No puedes usar regla graduada.

4 Consideraciones previas: En el problema 1, el hecho de que los cuatro segmentos en los que se divide AE son iguales no se deriva inmediatamente de la semejanza de los triángulos. A partir de dicha semejanza se puede establecer la relación de proporcionalidad entre los lados de dichos triángulos: CA es a BA como C A es a B A, etc. Entonces, por ejemplo, como CB = BA, se tiene que CA es el doble de BA, y por lo tanto C A es el doble de B A. Así que C B es igual a B A. De la misma manera se puede argumentar la igualdad del resto de los segmentos. A partir de esta explicación se puede generalizar: cualquier segmento pintado en una hoja rayada queda dividido en partes iguales (siempre y cuando sus extremos coincidan con alguno de los renglones) Observaciones posteriores: 4. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 5. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 6. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

5 Plan de clase (3/3) Escuela: Fecha: Prof. (a): Curso: Matemáticas 9 Eje temático: F. E. y M. Contenido: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Intención didáctica: Qué los alumnos establezcan -en un ejemplo particularel teorema de Tales. Consigna: Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades: a) En el segmento AB marquen un punto C, de manera que la razón entre AC y BC sea 2:3 B A b) Tracen tres líneas paralelas (o bien toma tres líneas de una hoja rayada), L, L y L, de manera que L pase por A, que L pase por C y L pase por B Traza tres segmentos más, DE, FG y HI, de manera que los extremos D, F y H de cada segmento estén sobre L, y además E, G, I estén ubicados sobre L. La recta L divide a DE, FG y HI, cada uno en dos segmentos. Cuál es la razón entre los dos segmentos en cada caso? Consideraciones previas: En el primer inciso se espera que los alumnos se auxilien de las hojas rayadas de la libreta para dividir el segmento en cinco partes iguales. Es muy probable que la dificultad principal no sea la división de los segmentos en partes iguales, sino la división en una razón dada. Por ejemplo, qué quiere decir dividir un segmento en una razón de 2 a 3? Si es necesario, se puede explicar con dibujos- lo siguiente: Si se toma un segmento cualquiera Y ese segmento se itera dos veces para formar XY, y luego tres veces para formar YZ Entonces XY es a YZ como 2 es a 3, es decir, que los segmentos están en razón 2:3 En el segundo inciso, se puede argumentar que, por lo que se vio en la clase anterior, los tres segmentos quedan divididos en 5 partes iguales, y que la recta L las separa en dos y tres. Así que la razón es la misma. En este momento el profesor puede enunciar el teorema de Tales: si tres o más paralelas cortan a dos líneas transversales, entonces los segmentos en los que se divide una de esas líneas son proporcionales a los de la otra. En caso de que haya tiempo, se pueden plantear problemas en los que se aplique el teorema de Tales para calcular medidas faltantes, como el siguiente: Cuánto miden AB y DE?

6 Finalmente, si se tienen los medios se puede usar la propuesta del Teorema de Tales de Geometría Dinámica.EMAT sugerido en el programa (se anexa la lección). Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 1. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 2. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

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