Tema 5. Análisis Transitorio de Circuitos de Primer y Segundo Orden

Transcripción

1 Tema 5. Análss Transoro de Crcuos de Prmer y egundo Orden 5.1 Inroduccón 5.2 Crcuos C sn fuenes 5.3 Crcuos C con fuenes 5.4 Crcuos L 5.5 Crcuos LC sn fuenes v() 5.6 Crcuos LC con fuenes () C () C v( ) José A. Pereda, Dpo. Ing. de Comuncacones, Unversdad de Canabra. 1

2 Bblografía Básca para ese Tema: [1] C. K. Alexander, M. N. O. adku, Fundamenos de crcuos elécrcos, 3ª ed., McGraw-Hll, 26. [2]. C. Dorf, J. A. voboda, Inroducon o elecrc crcus, 7h ed., John Wley & ons, 26. adku Temas 7 y 8 Dorf Tema 8 y 9 - Esa presenacón se encuenra, emporalmene, en: hp://personales.uncan.es/peredaj/ac.hm 2

3 5.1 Inroduccón - En ese ema se consderan crcuos que conenen dversas combnacones de dos o res elemenos pasvos (, L, C) - En la prmera pare del ema se examnan dos pos de crcuos smples: 1) el crcuo con una ressenca y un condensador (crcuo C) 2) el crcuo con una ressenca y una bobna (crcuo L) - Los crcuos C y L se analzarán aplcando las leyes de Krchhoff. - El análss de crcuos ressvos da como resulado ecs. algebracas. n embargo, los crcuos C y L producen ecs. dferencales. - Las ecs. dferencales resulanes del análss de crcuos C y L son de prmer orden. Por ello, se les denomna Crcuos de Prmer Orden - Esudaremos ano crcuos con fuenes ndependenes como crcuos sn fuenes ndependenes. - Cuando no hay fuenes ndependenes, las ensones y correnes en el crcuo se deben a las condcones ncales en el condensador o en la bobna (a la energía ncalmene almacenada en ellos). 3

4 5.1 Inroduccón - En la segunda pare del ema se esudarán crcuos que enen dos elemenos de almacenameno. - A esos crcuos se les conoce como Crcuos de egundo Orden porque se descrben medane ecs. dferencales que conenen dervadas segundas - En concreo, esudaremos la respuesa de crcuos LC, ano con fuene ndependene como sn ella. 4

5 5.2 Crcuos C sn fuenes - Descarga de un condensador a ravés de una ressenca: v( ) - Consderamos un condensador C ncalmene cargado - Conecamos el condensador a una ressenca a ravés de un nerrupor como se muesra en la fgura (crcuo C sn fuenes) C v( ) - En el nsane ncal = se cerra el nerrupor y el condensador comenza a descargarse 5

6 5.2 Crcuos C sn fuenes - Para esudar el proceso de descarga resolveremos la KCL en el nudo ( ) ( ) - egún la relacón -v de cada elemeno: v C C dv C d v( ) - usuyendo en la KCL: v C dv d dv v 1 d C () v() C () C - Inegrando: dv v 1 C d sendo ln A = ce 1 ln v ln A 1 v Aexp C C 6

7 5.2 Crcuos C sn fuenes - Aplcando las condcones ncales resula v( ) 1 Aexp C A () v() C () C - Luego, la solucón buscada es: v( ) v( ) exp 1 C - Esa solucón ndca que la ensón del crcuo C cae exponencalmene desde el valor ncal hasa cero 7

8 5.2 Crcuos C sn fuenes - La solucón aneror suele escrbrse como v( ) e / con sendo τ una consane con undades de empo denomnada empo de relajacón o consane de empo del crcuo τ C La consane de empo de un crcuo C es el empo necesaro para que la ensón dsmnuya en un facor 1/e (un 63.21% de su valor ncal) v( ) /e % 8

9 5.2 Crcuos C sn fuenes -El empo τ da una dea de la rapdez de descarga del crcuo. - Cuano más pequeño es τ más rápda es la descarga - Después de un empo = 5τ la ensón ha llegado al 99% de su valor fnal el empo efecvo de un ransoro es 5τ 9

10 1 5.2 Crcuos C sn fuenes () C C () v() - Cálculo de la correne: - Poenca dspada en : - Energía dspada hasa un nsane : / ) ( ) ( e v / 2 2 / / ) ( e e e v p / 2 2 / 2 2 / d d ) ( ) ( e C e e p w - Para nf: ) ( C w - La energía oal dspada en es gual a la energía almacenada en el condensador en el nsane ncal =.

11 5.2 Crcuos C sn fuenes - Descarga de un condensador a ravés de una red ressva: v( ) - Consderamos un condensador C ncalmene cargado - Conecamos el condensador a una red ressva a ravés de un nerrupor como se muesra en la fgura ed essva eq C v() - Para obener v() ( > ) basa calcular eq vsa desde los ermnales del condensador y aplcar la solucón conocda para el crcuo C: / v( ) e con τ eq C - Noa: s el nerrupor camba en = v( ) e ( )/ 11

12 -Ejemplo 1: abendo que v C () = 15, calcular v C, v X e X en el crcuo de la fgura. A&-3ª Ej

13 olucón: - La forma más dreca de enconrar la solucón es reducr el crcuo problema a un crcuo C smple como el de la fgura, ya que la solucón de ese crcuo es conocda: v C / ( ) e con τ eq C eq v C () C - Enonces, el problema se reduce a calcular eq, que es la ressenca equvalene vsa desde los ermnales del condensador, eso es eq 25 (12 8) C - Por ano, τ s eq y v C ( ) 15e

14 - Una vez obendo v C, la ensón v X se calcula medane un dvsor de ensón: v x vc y la correne X medane la ley de Ohm: e 9e x vx 12.75e 2.5 A 14

15 -Ejemplo 2: El nerrupor del crcuo de la fgura ha esado cerrado mucho empo y se abre en =. Calcular v() para >=. A&-3ª Ej

16 olucón: - Menras el nerrupor esá cerrado el condensador esá en proceso de carga. - Al abrr el nerrupor, el condensador se descargará a ravés de las ressencas de 1 y 9 Ohms. - La solucón buscada ( > = ) es de la forma: / v( ) e con τ eq C - El problema se reduce a calcular = v() y eq -Cálculo de : - La ensón en el condensador es connua v( ) v( ) - El nerrupor ha esado mucho empo cerrado, por ano en = - esamos en régmen de correne connua 16

17 - El crcuo equvalene de un condensador en cc es un crcuo abero. Por ano, para = - el crcuo equvalene es: - Aplcando la fórmula del dvsor de ensón: v C - La condcón ncal buscada es: 9 ( ) v C ( ) 15 17

18 -Cálculo de eq : - La ressenca equvalene vsa desde los ermnales del condensador para >= es: eq Por ano, τ C s eq - La solucón buscada es: v( ) e / 15e 5 18

19 5.3 Crcuos C con fuenes v( ) - Consderamos un condensador C ncalmene cargado - Conecamos el condensador a una fuene de connua. Tambén se ncluye una ressenca y un nerrupor. v() C v( ) - En el nsane ncal, =, se cerra el nerrupor y el condensador comenza a cargarse 19

20 5.3 Crcuos C con fuenes - Podemos redbujar el crcuo de la sguene forma: C v() - La fuene represena la excacón o enrada al crcuo C - La ensón en el condensador v () puede nerprearse como la respuesa o salda -Cuando es ce, al po de enrada del dbujo se le llama ECALÓN, ya que camba bruscamene de a s 2

21 5.3 Crcuos C con fuenes - esolucón del crcuo: -En = se cerra el nerrupor, luego para >= el crcuo resulane es: v() C - La ensón en el condensador es connua, luego v( ) v( ) - Para resolver el crcuo emplearemos análss de nudos 21

22 5.3 Crcuos C con fuenes - Tenemos 2 nudos más el de referenca v() - Aplcamos la KCL al nudo v(): ( ) ( ) - egún las relacones -v: v - usuyendo en la KCL: C C dv C d () C () v( ) C v dv C d - Inegrando: v( ) dv v 1 C v d dv 1 d C ln v v( ) C 22

23 5.3 Crcuos C con fuenes - usuyendo en los límes v( ) ln de donde v( ) C / e () C () v() C con τ C v( ) - La solucón fnal del problema es: v, ( ) / e, para para τ C 23

24 5.3 Crcuos C con fuenes - epresenacón gráfca de la solucón v( ) / e - La ensón en el condensador ende al valor de la ensón de la fuene (la salda sgue a la enrada) 24

25 5.3 Crcuos C con fuenes - espuesa ransora y respuesa en esado esable - La respuesa complea de un crcuo, v, puede dvdrse en dos conrbucones: 1) la respuesa ransora, v 2) la respuesa en esado esable, v ss - Maemácamene: v v v - Para el crcuo C: v( ) / e (respuesa complea) 25

26 5.3 Crcuos C con fuenes v( ) / e (respuesa complea) La respuesa ransora de un crcuo es la pare de la respuesa complea que se anula con el empo (se hace cero cuano -> nf) - Para el crcuo C: v / e (respuesa ransora) La respuesa en esado esable de un crcuo es la pare de la respuesa complea que permanece mucho empo después de aplcada la excacón (la pare que queda cuando -> nf) - Para el crcuo C: v (respuesa en esado esable) - Nóese que, cuando la fuene ene valor ce, la respuesa en esado esable es la msma que la repuesa de connua!!! 26

27 -Ejemplo 3: El nerrupor de la fgura ha esado mucho empo en la poscón A. En = se mueve a la poscón B. Calcular v() para >= y su valor en = 1 s. A&-3ª Ej

28 olucón: - Comenzamos resolvendo para < (con el nerrupor en A): - El nerrupor ha esado mucho empo en A esamos en cc - Aplcamos la fórmula del dvsor de ensón: 5k v( ) k 3k 28

29 - Ahora resolvemos para >= (con el nerrupor en B): - La solucón buscada es de la forma: v( ) / e - Para esa problema: 3 v( ) v( ) 15 3 τ C s -Luego: v( ) 3 15e Para = 1 s: v( ) 3 15e

30 5.3 Crcuos C con fuenes - Carga de un condensador a ravés de una red de ressencas y fuenes: v( ) - Consderamos un condensador C ncalmene cargado - Conecamos el condensador a una red de ressencas y fuenes de valor ce a ravés de un nerrupor, como se muesra en la fgura Th ed con essencas y Fuenes v() C - Para obener la ensón en el condensador v() (para >) basa calcular el equvalene Thevenn vso desde los ermnales del condensador y aplcar la solucón conocda para el crcuo C: Th v() C / e con τ C v( ) Th Th Th 3

31 -Ejemplo 4: Después de pasar mucho empo, los dos nerrupores del crcuo de la fgura camban de esado en =. El nerrupor 1 se abre y el nerrupor 2 pasa a la poscón B. Calcular v e para >=. A&-3ª Ej B A 1 2 v F

32 olucón: - La correne en el condensador puede ser dsconnua en =, menras que la ensón no. Por ano, es mejor calcular anes la ensón - Comenzamos deermnando las condcones ncales en = - - El crcuo equvalene en = - es: 1 2 v 1 - e observa que: - Enonces la condcón ncal para v es: 1 v( ) 1 ( ) 1A 1 ( ) v v( ) 1 32

33 - Para >= el crcuo equvalene se muesra en la fgura: 1 - La solucón para v() es: con v( ) Th / e Th v F 4 - Para deermnar Th y Th debemos calcular el equvalene Thevenn vso desde los ermnales del condensador: τ Th -Luego: Th C v( ) 2 1e.6 Th 1 τ C Th s - La ensón en la ressenca de 1 Ohms es: -Enonces: 3 v( ) ( ) 1 1 e.6 A 3 v( ) 33

34 5.4 Crcuos L ( ) I - Consderamos una bobna L con una correne ncal - Conecamos la bobna a una fuene de valor ce. Tambén se ncluye una ressenca y un nerrupor. L - En el nsane ncal, =, se cerra el nerrupor y comenza a crcular correne 34

35 35 - esolvemos para >= - Aplcamos análss de mallas L v v - egún las relacones v-: - usuyendo en la KCL: v L v L d d L d / d - Inegrando: I L ) ( d / d I L ) ( / ln 5.4 Crcuos L L v () v L ) ( I d d L

36 36 - usuyendo en los límes L I / / ) ( ln de donde / ) ( e I L τ / con - La solucón fnal del problema es: para, para, ) ( / e I I L τ / 5.4 Crcuos L L v () v L ) ( I

37 37 - Al gual que en el crcuo C, la respuesa () ene una pare ransora y ora pare permanene 5.4 Crcuos L / ) ( e I (respuesa complea) (respuesa ransora) / e I (respuesa en esado esable) - Noa: s el nerrupor camba en = la respuesa complea es: / ) ( e I

38 5.4 Crcuos L - Gráfcamene I I ( ) I e / 38

39 5.4 Crcuos L - Consderamos una bobna L con una correne ncal ( ) I - Conecamos la bobna a una red con ressencas y fuenes de valor ce a ravés de un nerrupor, como se muesra en la fgura Th ed con essencas y Fuenes () L Th () L - Para obener la correne en la bobna () (para >) basa calcular el equvalene Thevenn vso desde los ermnales de la bobna y aplcar la solucón conocda para el crcuo L: ( ) Th Th I Th Th e / con L Th 39

40 - Ejemplo 5: Calcular () en el crcuo de la fgura para >. upóngase que el nerrupor ha esado cerrado mucho empo A&-3ª Ej

41 olucón: - Para < el nerrupor esá cerrado la ressenca de 3 Ohms esá corocrcuada. - El nerrupor lleva mucho empo cerrado esamos en cc - En cc podemos susur la bobna por un corocrcuo - La correne que pasa por el corocrcuo vale: 1 ( ) 2 5 A 41

42 - La correne en la bobna no puede cambar nsanáneamene, luego ( ) ( ) ( ) 5 A - Para > = el nerrupor se abre - Queda un crcuo L con fuene - La solucón para la correne es: ( ) - Para ese crcuo: 1 ; I e / I 5 A; L s - El resulado fnal es: ( ) 2 3e 15 A para 42

43 - Ejemplo 6: El nerrupor 1 de la fgura se cerra en = y el nerrupor 2 en = 4 s. Calcular () para >. Deermnar el valor de para = 2 s y = 4 s. A&-3ª Ej

44 olucón: - El crcuo problema ene 2 nerrupores que se cerran en nsanes de empo dsnos, lo cual nos defne res nervalos de empo: a) < ; b) <= < 4; c) >= 4 s - Debemos resolver el crcuo en cada uno de esos nervalos. - a) < (los dos nerrupores esán aberos) -En ese caso ( ) - Tomamos el valor de () en = - como condcón ncal para el sguene nervalo: ( ) ( ) A 44

45 - b) <= < 4 s (1 esá cerrado y 2 abero) - En ese caso la rama paralelo esá desconecada y queda el crcuo de la fgura - La solucón es de la forma: ( ) donde 4 ; I e / con ; 2 -Luego ( ) 4 1e A 4 1 L I ( ) ( ) L s A 5 H - La condcón ncal para el sguene ramo es: (4 ) 24 e 4 A

46 - b) >= 4 s (1 y 2 esán cerrados) - La solucón es de la forma: ( ) Th 4 s L I e Th Th ( )/ Th Th ; Th s 22 I (4 ) (4 ) 4 A 4 Th 1 -KCL para el nudo P: Th Th ( 4)/ 1.47( 4) ( ) 4 e e A

47 - Agrupando las solucones obendas: ( ) 2 4 1e A e 1.47( 4) para para A para 4 s 4 s - Para = 2: (2) 4 1e A 1.47(54) - Para = 5: (5) e 3.2 A 47