MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

Transcripción

1 MEDIDAS DE POSICIÓN

2 També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co u ejemplo: Supogamos que queremos descrbr de ua forma breve y precsa los resultados obtedos por u cojuto de alumos e u certo exame; dríamos: a) La ota meda de la clase es de 6,5. b) La mtad de los alumos ha obtedo ua ota feror a 5. c) La ota que más veces se repte es el 4,5. E la expresó a) se utlza como medda la meda artmétca o smplemete la meda. E la b) se emplea como medda la medaa, que es el valor promedo que deja por debajo de ella la mtad de las otas y por ecma de ella la otra mtad. Y e la c) se usa el valor de la ota que más veces se ha repetdo e ese exame, este valor es la moda. MEDIA ARITMÉTICA Normalmete se suele dstgur etre meda artmétca smple y meda artmétca poderada. Meda artmétca smple: Es la suma de todos los elemetos de la sere dvdda por el úmero de ellos. Se calcula como: sedo: x : la meda k x = : suma de elemetos x = : úmero de elemetos (cluyedo a los de gual valor) k : úmero de elemetos co dstto valor. Ejemplos:. Hallar la meda artmétca de los sguetes valores: 5, 7, 8, 0, 5. k = x = = 45 = 5 x x = 9. S las otas de u alumo e las dsttas asgaturas de u curso durate ua evaluacó fuero: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,. Hallar la ota meda de la evaluacó. (Resp. 5, ) 3. La meda de 6 elemetos se sabe que es 0. Sabedo que cco de ellos so: 8,, 3, 5 y 9, hallar el elemeto que falta. (Resp. 3) Meda artmétca poderada: Por lo geeral, e Estadístca, los datos se os preseta agrupados medate ua dstrbucó de frecuecas que hace que o todos los elemetos de la sere tega el msmo peso específco, y eso fluye a la hora de calcular la meda, por eso se llama meda poderada. Se defe como la suma de los productos de cada elemeto de la sere por su frecueca respectva, dvdda por el úmero de elemetos de la sere.

3 x = k = x dode es la frecueca o úmero de veces que se repte u valor. També puede ser la poderacó de cada valor x. Ejemplos:. Durate el mes de octubre de 98 los salaros recbdos por u obrero fuero: Salaro e pesos Frecueca e días Hallar el salaro medo durate ese mes. x x x x 4 = 4. U alumo obtee e tres exámees parcales las sguetes otas: 7, 5 y 3; e el exame fal cosgue u 6. Supoedo que esta ota fal tega doble valor que las parcales, cuál será su ota meda? (Resp. 5,4) 3. S la reta aual meda de los trabajadores del campo es de de pesos y la reta aual meda de los trabajadores de la costruccó e esa poblacó es de pesos, sería la reta aual meda para ambos grupos de pesos? Explca. S embargo, lo ormal es Estadístca es que los datos vega agrupados e clases o tervalos, o que osotros msmos hagamos esa agrupacó cuado el úmero de elemetos sea muy exteso, ya que e ese caso el cálculo de la meda por los procedmetos vstos para datos s agrupar sería muy laboroso. Ates de estudar los métodos más usuales para el cálculo de la meda co datos agrupados, vamos a ver alguas propedades de la meda artmétca que os ayudará a compreder mejor el cotedo de esos métodos. Propedades de la meda artmétca: Las propedades más mportates so. La suma algebraca de las desvacoes de u cojuto de úmeros respecto de su meda artmétca es cero.. La suma de los cuadrados de las desvacoes de u cojuto de úmeros co respecto a cualquer otro úmero es míma cuado ese otro úmero es precsamete la meda artmétca. 3. S supoemos, ates de calcularla, que la meda de u cojuto de úmeros es cualquer úmero A, resulta que la verdadera meda artmétca es: x = A + d dode A: meda supuesta

4 d : suma de las desvacoes respecto de A. : úmero de elemetos. 4. S A úmeros tee ua meda m, A úmeros ua meda m,..., A úmeros ua meda m, etoces la meda de todos ellos es: A m x = + A m A + A + + A + A m o sea, es la meda artmétca poderada de todas las medas. Ejemplo: E ua certa empresa de 80 empleados, 60 de ellos gaa pesos al mes y los 0 restates gaa pesos al mes, cada uo de ellos. Se pde: a) Determar el sueldo medo b) Sería gual la respuesta s los prmeros 60 empleados gaara u sueldo medo de pesos y los otros 0 u sueldo medo de pesos? c) Cometar s ese sueldo medo es o o represetatvo. Cálculo de la meda artmétca a partr de datos agrupados e clases. Hay dos métodos prcpalmete para calcular la meda de ua dstrbucó co datos agrupados: método drecto (o largo) y método abrevado (o corto). Método drecto Cosste e aplcar la fórmula ya vsta para el cálculo de la meda poderada, co la úca salvedad de que se toma como valores represetatvos de la varable los putos medos de cada tervalo, que se deota co x m. O sea: x m x = Ejemplo: Hallemos la meda artmétca por el método drecto de la sguete sere: (Resp: 3,76) Método abrevado Cosste e elegr u tervalo e el que se supoe que estará la meda (auque o sea así), y llamamos A al valor de la meda supuesta, que cocdrá co el cetro del tervalo elegdo. Etoces aplcamos la fórmula d x = A+

5 Sedo d las desvacoes de las marcas de clase co respecto a la meda supuesta A, y la frecueca de cada tervalo. Ejemplo: Realzar el msmo ateror para poder comparar mejor los procedmetos. Este método abrevado es más rápdo que el método drecto, pues las operacoes que hay que realzar so más secllas. Método clave Se dfereca fudametalmete del método abrevado e que e lugar de calcular las desvacoes d de cada marca de clase a la meda supuesta, smplemete se escrbe al lado de cada marca uos úmeros eteros d, que expresa el úmero de clases, más uo, que hay desde la marca cosderada a la marca que cocde co la meda supuesta. A estos úmeros se les asga sgo meos s está por debajo de la meda cosderada y sgo más s está por ecma. La fórmula que se utlza es la sguete: d x = A+ I dode I es u úmero gual a la ampltud o logtud de las clases o tervalos. Como ejemplo cosderar el msmo de los dos casos aterores. MEDIANA Ua vez dspuestos todos los valores que toma la varable e ua sere crecete o decrecete, el valor cetral de esa sere, s exste, es la medaa. Así pues, la medaa deja el msmo úmero de valores a su zquerda como a su derecha. Cuado o exste u valor cetral se puede defr como la meda artmétca de los valores medos. Para su cálculo dstguremos tres casos: a) Medaa de ua sere co datos o agrupados. b) Medaa de ua sere co datos agrupados por frecuecas y agrupados e tervalos. c) Medaa de ua sere co datos agrupados sólo por frecuecas, pero s agrupar e tervalos. Cálculo de la medaa co datos o agrupados Para calcular la medaa co datos o agrupados se ordea los elemetos e orde crecete o decrecete, y + la medaa es el valor que ocupa el lugar Ejemplos: Determar la medaa de la sere 5, 6, 9,, 5, 9, 3, 6, 7. Luego de la sere 5, 7, 0, 5, 0,, 4, 7. E los dos ejemplos aterores ocurría que la frecueca de cada elemeto era. Pero o sempre sucede así. Sea ahora la sere: 3, 4, 4, 4, 6, 8 dode el elemeto 4 tee ua frecueca 3. Cosderemos el tervalo que comprede cada elemeto desde 0,5 udades a loa zquerda hasta 0,5 udades a la derecha. E uestra sere, los tres elemetos 4 se dstrbuye etre 3,5 y 4,5. Los represetamos e el eje real de la sguete forma:

6 Vemos que el valor 4,6 deja a su zquerda tres elemetos (3, 4 y 4) y a su derecha otros 3 (4, 6 y 8), luego la medaa es 4,6. De la msma forma determa la medaa de 5, 6, 8, 8, 8, 8, 0,, 3. (Resp. 8,5) Cálculo de la medaa co datos agrupados Cuado los datos covee agruparlos por tervalos, debdo al elevado úmero de ellos, la medaa se calcula de la sguete forma:. Se calcula /.. A la vsta de las frecuecas acumuladas, se halla el tervalo que cotee a la medaa. 3. Se calcula la frecueca del tervalo que cotee a la medaa. 4. Se halla uo cualquera de los límtes exactos (el superor o el feror) del tervalo que cotee a la medaa. Sabedo que límtes exactos de u tervalo a b, se refere a los úmeros a-0,5 y b+0,5. 5. Se halla la frecueca de los valores que queda por debajo del tervalo que cotee a la medaa, o la frecueca de los valores que queda por ecma, y segú hayamos decdo hacer, calculamos la medaa por algua de estas dos fórmulas, respectvamete: M = I + I f M f ( ) M = L I f M f ( s ) sedo: M: Medaa l: Límte feror del tervalo de la medaa. L: Límte superor del tervalo de la medaa I: Ampltud del tervalo de la medaa. f M: Frecueca del tervalo de la medaa. f : Frecueca acumulada de los valores ferores al tervalo de la medaa. f s: Frecueca acumulada de los valores superores al tervalo de la medaa. : Número total de valores. Ejemplo : Clases Frecuecas Frecuecas Acumuladas Co los tres prmeros tervalos o clases, abarcamos 7 elemetos y co las cuatro prmeras abarcamos 9, luego está claro que la medaa se ecuetra e la cuarta clase, pues / = 0. Etoces l = 44,5 (límte feror de la clase medaa) I = 9 (ampltud de cada tervalo) f M = (frecueca de la clase medaa)

7 f = 7 (frecueca acumulada e el tervalo medatamete ateror al de la medaa) = 40 (úmero total de elemetos de la sere) Luego 9 M = 44,5 + (0 7) = 46,8 Ejercco: Determar la medaa de la sguete sere de valores, agrupado los datos por tervalos y por frecueca co ampltud 4 y como prmera clase la 0 4. Te presete para este caso que los límtes se hace cocdr co los extremos. (Resp. M = 3) Cálculo de la medaa co datos agrupados sólo por frecuecas Se puede decr que es u caso partcular del método ateror. El procedmeto es el sguete: Ua vez calculado el úmero alrededor del cual se ecuetra la medaa, se cosdera este úmero como cetro de u tervalo de ampltud ; a cotuacó se aplca la fórmula ateror para el cálculo co datos agrupados e tervalos. Ejemplo: = 89/ = 44,5 x f f a Por tato, la medaa es u valor próxmo a 5. M = 4,5+ (44,5 30) = 5,5 0 MODA La moda de ua sere de úmeros es el valor que se preseta co mayor frecueca; es decr, el que se repte u mayor úmero de veces. Es por tato, el valor comú. Por ejemplo, e la sere:, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, la moda es 5. E ua dstrbucó puede ocurrr que haya dos o más modas, etoces se habla de dstrbucó bmodal, trmodal, etc. Icluso puede o exstr la moda, como e la sere, 3, 4, 5, 7, 0. Cálculo de la moda co datos agrupados E el caso de ua dstrbucó de frecuecas co datos agrupados, s hcéramos ua gráfca o curva de frecuecas, la moda sería el valor (o valores) de la varable correspodete al máxmo (o máxmos) de la curva. La moda se puede calcular aplcado la sguete fórmula:

8 M o = l + ( ) I + dode: l: límte feror de la clase que cotee a la moda. (Clase Modal) : Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase cotgua feror. : Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase cotgua superor. I: Ampltud del tervalo de la clase. Ejemplo: Determemos la moda de la sguete dstrbucó de frecuecas: Clase Frecueca Mo = = 4,8 9 + Ejercco: Hallar las tres meddas de tedeca cetral, meda, medaa y moda, de la sguete tabla: Clases f a d f d Resp: 44,9; 44,5; 44,8 respectvamete. Cosderacoes fales E geeral, la meda artmétca es la medda más utlzada ya que se puede calcular co exacttud y se basa e el total de las observacoes. Se emplea preferetemete e dstrbucoes smétrcas y es el valor que preseta meores fluctuacoes al hacer varar la composcó de la muestra. Falmete, la meda artmétca

9 es especalmete útl cuado se precsa después calcular otros valores estadístcos, como desvacoes, coefcetes de correlacó, etc. La medaa es preferda cuado la dstrbucó de los datos es asmétrca, y cuado los valores extremos está ta alejados que dstorsoaría el sgfcado de la meda. També se calcula la medaa e aquellas dstrbucoes e las que exste valores s determar, por ejemplo, aquellas cuya prmera clase es del tpo meos que x, y la últma clase: más de y. E deftva, lo más mportate de esta medda es que o se ve afectada por los valores extremos. Tee, s embargo, como coveete que se presta meos a operacoes algebracas que la meda artmétca. La moda es ua medda que o suele teresar especalmete, a o ser que haya tal cocetracó de datos e la dstrbucó que u valor destaque claramete sobre todos los demás. Puede servr també para cuado queramos estmar de ua forma rápda, y o muy precsa, ua medda de tedeca cetral. La moda, al gual que la medaa, es u valor que o se ve afectado por los valores extremos de la dstrbucó y també es poco susceptble de efectuar co él operacoes algebracas. Fuete: Estadístca; Ferado García y Ferado Garzo, Edtoral McGraw-Hll; Madrd