TRATAMIENTO ESTADÍSTICO

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1 TRATAMIETO ESTADÍSTICO DESCRIPCIÓ DE LOS DATOS - Tipos de datos - Distribución de frecuencias - Representación de frecuencias DESCRIPCIÓ DE LOS DATOS - Medidas de posición - Medidas de dispersión ÚMEROS ÍDICES - Índices simples - Índices complejos - Cálculo de tasas de variación DEFIICIÓ DE ESTADÍSTICA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA IFERECIA ESTADÍSTICA (situación de incertidumbre) CÁLCULO DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: DESCRIPCIÓ DE U COJUTO DE SUCESOS YA ACAECIDOS (suceso = concreción de un fenómeno) Tipos de datos Población = conjunto de personas o cosas sobre las que se realiza una investigación Unidad estadística o elemento: Cada componente de la población - Simples ( constituidas por un solo objeto) - Compuestas (constituidas por más de un objeto) Tamaño de la población: º de elementos que constituyen la población - Finita: nº finito de elementos ( p. Ej; nº de hoteles de Madrid) - Infinita: nº infinito de elementos (p. Ej; temperatura) Caracteres Cualidades o rasgos comunes que presentan los elementos de una población. Cada uno de estos caracteres pueden presentar dos o más situaciones diferentes posibles, que reciben el nombre de modalidades o categorías - Caracteres cualitativos o atributos ( sexo) - Caracteres cuantitativos o variables (edad) o Variables discretas: nº finito de valores ( ej: nº de hijos) o Variables continuas: nº infinito de valores (ej: edades, tiempo, altura) 1

2 MÉTODO ESTADÍSTICO FEÓMEO COCRECIÓ DEL FEÓMEO aturaleza cuantitativa aturaleza cualitativa VARIABLE X, Y, Z DATO o VALOR X 1, X 2, X 3,...X n VARIABLE X, Y, Z MODALIDAD EJEMPLO: TIEMPO QUE UTILIZA PARA LLEGAR A TRABAJAR...Variable continua EDAD DE UA PERSOA...Variable continua PERIÓDICO QUE LEE...Atributo º DE CIGARROS QUE FUMA AL DÍA...Variable discreta CLASIFICAR U LOTE DE ACEPTABLA A DEFECTUOSO...Atributo Distribución de frecuencias Conjunto de valores que ha tomado una variable con su frecuencia correspondiente y el nº de veces que se repite. Distribuciones tipo I: reducido nº de observaciones y reducido nº de valores distintos (x 1, x 2,...x n ) Ej: nº hijos de 6 familias: 0,1,1,2,2, 3 Distribuciones tipo II: nº elevado de observaciones y reducido nº de valores distintos (x 1, n 1 ) (x 2, n 2 )...(x n, n n ) Ej : Empresa con 100 empleados. º de hijos º hijos Empleados valores variable nº repeticiones Distribuciones de tipo III: nº elevado de observaciones y nº de valores distintos de la variable grande Intervalos (L i 1 L i ) L i 1 = extremo inferior Determinar el nº de intervalos a considerar: Entre 5 y 20 intervalos Seleccionar los límites de cada intervalo Rango o recorrido de la variable (Re): mayor valor menor valor Amplitud (C i ) = L i L i 1 ) Recorrido (Re) = nº intervalos x amplitud (C i ) C i = Re / nº intervalos Ej : Preguntamos a 60 personas, el nº de desplazamientos que realizan al cabo de un mes a un centro comercial y se obtienen los siguientes resultados

3 Elaborar un atabla estadística con datos agrupados en 3 intervalos: Re = 8 1 = 7; Ci = 7 / 3 = 2,3 3 Intervalos º de personas ( 0 3) 30 (3 6) 22 ( 6 9) 8 Total 60 Los intervalos están abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha excepto el 1º intervalo que está cerrado por las dos. Marca de clase: Punto medio del intervalo X i = L i + L i-1 = 1 5, 4 5, TABLA DE DISTRIBUCIÓ DE FRECUECIAS Frecuencia absoluta º de veces que se repite cada valor de una variable (x j ) n 1 + n n i n n = (frecuencia total) Frecuencia relativa (f i ) Cociente entre frecuencia absoluta y nº total de datos f i = n i n 1 + n n i n n = = 1 Frecuencia absoluta acumulada ( i ) º de datos igual al considerado e inferiores a él, una vez ordenados de menor a mayor Frecuencia relativa acumulada (F j ) Cociente entre la frecuencia acumulada y el nº total de datos F j = i Ejemplo: Tabla de distribución de frecuencias tipo II Población: Personas que trabajan en un departamento Variable: Edad (años) Valores observados: 21, 22, 24, 22, 21, 24,23, 21, 24, 23 Edad Repetición Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa absoluta Absoluta acumulada Relativa Acumulada x i n i F i = n i i F i = i / ,3 0,2 0,2 0, REPRESETACIOES GRÁFICAS 0,3 0, REPRESETACIÓ FEÓMEOS CUALITATIVOS (Atributos) - Diagramas sectoriales o de pastel Divide un círculo en sectores según las modalidades del atributo. El área de cada sector es proporcional al nº de unidades que posee esa modalidad. - Diagramas de rectángulos o barras Representa tantos rectángulos como modalidades tenga el atributo. La altura de cada uno es igual a la frecuencia absoluta de cada modalidad. También se puede usar para la frecuencia relativa. - Cartogramas Representación de los datos en un mapa cuando se estudian los valores de una variable en el espacio (ciudades, provincia, regiones...). - Pictogramas Representa una figura alusiva al atributo cuyo tamaño se corresponde con la frecuencia del atributo 3

4 REPRESETACIÓ FEÓMEOS CUATITATIVOS DISTRIBUCIOES DISCRETAS o O AGRUPADAS - Diagrama de barras Abscisa: valor de la variable Ordenada: frecuencia absoluta o relativa - Diagrama en escalera Abscisa: valor variable Ordenada: frecuencia acumulada. También frecuencia relativa acumulada DISTRIBUCIOES AGRUPADAS o VARIABLES - Histogramas: Se levanta sobre cada intervalo un rectángulo, de área proporcional a la frecuencia absoluta de ese intervalo. Siempre intervalos de igual amplitud. - Polígono de frecuencias (no acumuladas): Se forma al unir los puntos medios de cada intervalo (marca de clase). Si la amplitud de los intervalos son desiguales, las alturas de los rectángulos son: d i = n i / c i d = densidad de frecuencia - Polígono acumulado o de frecuencias acumuladas: Representa las frecuencias acumuladas. En el extremo superior de cada intervalo se levanta una ordenada igual a la frecuencia absoluta correspondiente y se unen. P. Ej; 30 observaciones con valor igual o menor a 3. También se puede con (F i ) frecuencias relativas acumuladas. DESCRIPCIÓ DE LOS DATOS (ii) MEDIDAS DE POSICIÓ Las medidas de posición son promedios y pueden ser de tendencia central o no. Tendencia central - Media aritmética Suma de los valores de las variables dividido por el nº total de datos - x = Σ n i=1 x i n i Propiedades: La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a la media es 0. La media aritmética queda afectada por los cambios de origen La media aritmética queda afectada por los cambios de escala Ventajas: Sencilla de calcular Es única En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución Inconvenientes: Puede dar lugar a conclusiones falsas si la variable presenta valores anormalmente extremos. - Media Aritmética ponderada Cuando se asocia a los valores de la variable (x 1, x 2,...x n ) ciertos pesos ( w 1, w 2,... w n ) que dependen de la importancia de dichos valores. _ X = w 1 x 1 + w 2 x w n x n w 1 + w w n Ejemplo: De una empresa que opera en 4 provincias, se cono ce la siguiente información: Provincia Productividad º de empleados Por empleado Barcelona 0,75 50 Tarragona 0,60 90 Lérida 0, Gerona 0,85 42 Calcular la productividad media por empleado de la empresa: _ X = 0,75 x ,6 x ,9 x ,85 x 42 = 0,

5 - Media geométrica Es la raíz ésima del producto de los valores de la distribución G = X n 1. X n 2...X n n Ventajas: Es única En su cálculo intervienen todos los valores de la variable Inconvenientes: Cálculo complicado Gran influencia de los números pequeños En ocasiones queda indeterminada (algún valor 0, valor negativo puede dar lugar a un número imaginario) - Media armónica Es la inversa de la media aritmética de los valores recíprocos de la variable. Sirve para promediar variables expresadas en productividades, rendimientos. Unidades producidas / Unidad de producto. El valor 0 o próximo a él no vale H = / n i=1 UUn i Ventajas: Inconvenientes: Es única y a veces puede ser más representativa En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución Cálculo complicado o es aconsejable su empleo en distribuciones en que existan valores muy pequeños o está determinada en distribuciones con valores 0 RELACIÓ ETRE LOS TRES PROMEDIOS H G X H = armónica G = geométrica X = aritmética - Mediana Valor de la variable que, ordenada la distribución, de menor a mayor, deja a su izquierda el mismo nº de frecuencias (datos u observaciones)que a su derecha. Se usa para promedios de rentas, salarios, etc. Es aquel valor de x i correspondiente a la frecuencia cumulada / 2. Si son impares, el del centro. Si son pares hay 2 o se hace la media de los 2. x i Propiedades: Ventajas: Inconvenientes: La mediana se ve afectada por los cambios de origen y escala Fácil de calcular Sólo influyen en ella los valores centrales de la distribución. Se puede calcular aún desconociendo los valores extremos de la distribución, siempre que se tenga información de sus frecuencias. o intervienen todos los valores de la variable (cuando todos los valores son conocidos) Ejemplo 1. Calcular el valor mediano i = frecuencia cumulada Xi n i i /2 = 10; Me = 5 Tipo II 5

6 Ejemplo 2. Calcular el valor mediano L i-1 L i = intervalos en la frecuencia cumulada; Tipo III n i = frecuencia de intervalos L i-1 L i n i i (0-2) (2-4) (4-6) (6-8) (8-10) Me = L i-1 + /2 i-1. C i / 2 = 100/2 = 50 Me = = 5,43 n i 28 - Moda Es el valor de la variable que más veces se repite, y por tanto al que le corresponde la mayor frecuencia absoluta. o es única (unimodal, bimodal o multimodal). Para representaciones de tipo I y II. Ventajas: Sencillez Inconvenientes: o intervienen todos los valores de la distribución Ejemplo 1. Calcular el valor modal Xi n i Distribución bimodal: el mismo valor en dos observaciones Ejemplo 2: En el caso de distribuciones tipo III. Si los intervalos son de igual amplitud Mo = L i-1 + n i+1. Ci L i-1 L i n i n i-1 + n i+1 (0-25) 20 (25-50) 40 (50-75) 100 (75-100) 60 Mo = = Si los intervalos son de distinta amplitud. Considerar las densidades de frecuencia Mo = L i-1 + d i+1. Ci d i-1 + d i+1 d i = n i / c i L i-1 - L i n i c i d i (0-25) ,8 (25-50) ,6 (50-100) ,6 ( ) ,8 ( ) ,4 400 Intervalo modal Mo = ,6. 25 = 45,5 0,8 + 3,6 * En las distribuciones de frecuencias normal (acampanadas y simétricas con respecto a la media), la media aritmética la mediana y la moda coinciden 6

7 MEDIDAS DE POSICIÓ O CETRALES. CUATILES. Aquellos valores que dividen a la distribución en intervalos, de forma de cada uno de ellos tenga la misma frecuencia (comprendan el mismo número de valores). Es el valor que ocupa el lugar (r / k)* (nº total de datos) de la distribución, considerando la frecuencia acumulada. La fórmula es igual que la de la mediana pero en vez de / 2...r/k. Suele utilizarse para el cálculo de salarios, rentas, etc.. Los más útiles: Cuartiles: 3 valores de la distribución que la dividen en 4 partes iguales. k =4 r = 1, 2, 3 Deciles: 9 puntos que dividen a la distribución en 10 partes iguales. k = 10 r = 1, 2,...9 Percentiles: 99 puntos que dividen a la distribución en 100 partes iguales. k = 100 r = 1, 2,...99 Ejemplo: calcular los 3 cuartiles de la siguiente distribución de frecuencias. Xi n i i Q 1/4 = 10 /4 = 5 Q 2/4 = 20 2/4 = 10 Q 3/4 = 30 3/4 = 15 MEDIDAS DE DISPERSIÓ. Las medidas de dispersión sirven para medir el grado de esparcimiento de los datos de una distribución. Mide la representatividad de un promedio. ABSOLUTAS. Recorrido o rango. Varianza. Desviación típica. Recorrido intercuartílico. Desviación media. RELATIVAS. Coeficiente de apertura. Recorrido relativo. Coeficiente de variación de Pearson. Recorridos semiintercuartílico. Índice de dispersión respecto a la mediana. MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. Recorrido, rango o campo de variación. Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable. Re = Max x i (Valor máximo de observaciones) - Min x i (valor mínimo de observaciones) Es sencillo de calcular, pero no usa todos los valores de la distribución y puede dar lugar a conclusiones falsas. 7

8 Varianza. Indica la dispersión de los datos con respecto a la media. A cada observación se descuenta la media. Es la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los valores de la variable con respecto a su media aritmética. S 2 = Σ n i=1 (x i x - ) 2. n i = Σ n i=1 n i x 2 i - x -2 Mide el grado de representatividad de la media. A mayor varianza, mayor variabilidad y menor representatividad de la media. Lo más pequeña posible. Propiedades. Es siempre positiva o nula. o le afectan los cambios de origen (por ejemplo sumar una constante). X i, = x i + k S 2, = S 2 Le afectan los cambios de escala (si multiplico por una constante). X i, = k 2 S 2 Inconvenientes. Sus unidades de medida no coinciden con las del fenómeno de estudio (están al cuadrado). DESVIACIÓ TÍPICA o STÁDAR. Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Lo más pequeña posible. S = + S 2 Propiedades. Tiene la misma unidad que la variable y las mismas propiedades que la varianza. RECORRIDO ITERCUARTÍLICO. Diferencia entre el tercero y el primer cuartil. Ri = Q 3 Q 1 DESVIACIÓ ABSOLUTA MEDIA. Es la media aritmética de las desviaciones, en valor absoluto, de los valores de la variable respecto a la media. Dx - = x i x - n i / D ME = n i=1 x i - Me n i / mínima Ejemplo los gastos el transporte al día de 200 personas son: Xi n i _ S 2 = x = S = = 7, MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. Permiten establecer comparaciones entre distribuciones heterogéneas. Son adimensionales y no vienen afectadas por los cambios de escala de la variable. A menor coeficiente, mayor representatividad del promedio correspondiente. Coeficiente de apertura. Cociente entre el mayor y el menor valor de la variable. Ventajas. Fácil de calcular. C A = max (x i ) Min (x i ) Inconvenientes. Sólo tiene en cuenta los valores extremos. o puede aplicarse cuando el mínimo valor es 0. Queda afectado por los cambios de origen. 8

9 Recorrido relativo. Cociente entre recorrido de la variable y su media aritmética. Cuantas veces contiene el recorrido de la variable a la media. Interesa pequeño. Propiedades. Queda afectado por los cambios de origen. o puede usarse si la media es 0. Rr = Re x - Coeficiente de variación de Pearson. Cociente entre la desviación típica y la media. Cuanto más cercano a 0, la dispersión es más pequeña y más representativa es la media. Propiedades. Es adimensional. Tiene en cuenta todos los valores de la distribución. Se ve afectado por los cambios de origen. CV = S. 100 x - Recorrido semiintercuartílico. o está afectado por los cambios de origen. Rsi = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1 Índice de dispersión mediana. V ME = D ME = n i=1 x i - M e. n i Me Me. *El recorrido semiintercuartílico y el índice de dispersión mediana se deben aplicar cuando se utiliza la mediana como promedio. Ejemplo: las empresas pertenecientes a un determinado sector presenta de siguiente tamaño. Tamaño de la empresa º de empresas (0-2) 110 (2-4) 200 (4-6) 90 (6-8) 75 (8-10) 25 Cuál es el número medio de empleados por empresa?. Cuál es el tipo de empresa más frecuente?. Si sólo existían ayudas para el 50% de las empresas, y éstas se atendieran por empresas de mayor a menor tamaño, cuántos empleados tendría que tener una empresa para acceder a las ayudas?. Se supone que a cada empresa sólo le puede corresponder una ayuda. Es representativo el número medio de empleados por empresa?. Si el coeficiente de variación de Pearson de otros sector es 1,8 cuál de los dos sectores presenta menor variabilidad?. L i-1 L i n i x i x i n i X 2 in i i (0-2) (2-4) (4-6) (6-8) (8-10) =

10 El número medio de empleados por empresa es. _ x = n i=1x i n i = 1910 = 3, El tipo de empresa más frecuente es el valor modal; el intervalo modal es (2-4). n i = 200 C i = 2 Mo = L i-1 + n i+1. C i = 2,9 n i-1 + n i Para determinar el número de empleados que ha de tener una empresa para que estuviera incluido en el 50% de las que tienen ayuda, calculamos la mediana. / 2 = 250. El intervalo mediano es (2-4). Me = L i-1 + /2 i-1. C i = = 3,4 n i 200 Para ver si es representativo el número medio de empleados de la empresa, calculamos la desviación típica. S 2 = n i=1 n i x 2 i - x 2 = 9860 (3,82) 2 = 5, S = + S 2 = 5,1276 = 2,26 Para comparar con el otro sector calculamos el coeficiente de variación. CV = S = 2,26 = 0,59 x - 3,82 Presenta una menor variabilidad que el segundo sector considerado, ya que era de 1,8. ÚMEROS ÍDICES. ÚMERO ÍDICE. Medida estadística que pone en comparación una magnitud o variable en dos situaciones distintas, una de las cuales se considera base o referencia. Índices temporales: las situaciones las determina el tiempo Ejemplo IPC, IPRI ( precios industriales), IPI (producción industrial) Índices espaciales o territoriales: las situaciones las determina el área geográfica o territorio. Ejemplo. Paridades del poder adquisitivo. PPA ÍDICES SIMPLES. Hacen referencia a elementos individuales que no permiten su desagregación en variedades menores. Ventajas: permiten unir variables que tienen distintas unidades de medida: ejemplo, precio de distintos alimentos. I t j = X t j X 0 j X t j =Valor de la variable X en el periodo t, para el elemento i. X 0 j = Valor de la variable X en el periodo 0, para el elemento i. I t j = Índice en el periodo t del elemento i. Según el tipo de variable analizada existen tres tipos fundamentales de índices: Índices de precios (IPC, IPRI). Índice de cantidad (IPI). Índices de valor (índice de ventas, de comercio) 10

11 PROPIEDADES DE LOS ÚMEROS ÍDICES Existencia. Homogeneidad. Independencia de las unidades de medida. Identidad. Si coincide el valor inicial con el final. Si t = 0 I = 1 Reversibilidad. Si el origen y el final coincide. La inicial de uno y el final de otro. I 0 t = 1 / I t 0 Proporcionalidad. Si una variable se suma una constante, los índices recogen ese cambio. X it = X it + KX it I j = (1 + k)i j Ejemplo se dispone de la siguiente información de vehículos matriculados (anuario y de 1997) turismos motocicletas Calcular los números índices simples de cada modalidad, tomando como base el año turismos ,08 112,25 124,87 motocicletas ,28 68,36 61,53 Referencia = valor de 1994 / valor de 1993 ÍDICES COMPLEJOS. Indicador de la variación experimentada por un grupo de magnitudes simples Índices simples. Índice complejo. Agregación. El principal problema que resuelven los números índices es el de la heteromensurabilidad. Los factores a considerar para calcular un índice complejo son. Fórmula empleada según el tipo de agregación. Ponderación o peso que se debe dar a cada componente o índices simple. Ponderaciones I t = f ( I it, W i ) Fórmulas según el tipo de agregación. Media aritmética índices simples. _ I = I 1 + I I i + + I n = I=1 I i Media geométrica del índices simples. I G = n I 1. I 2. I i. I = n i=1 I i Media armónica de índices simples. I H = = 1/I 1 + 1/I /I i + + 1/I i=1 1/I i 11

12 Media agregativa de índices simples. Suma las observaciones en el momento I A = X 1t + X 2t +...+X it + + X t = i=1 X it X 10 + X X i0 + +X 0 i=1 X i0 Si se tiene en cuenta la importancia relativa de cada índice simple dentro del conjunto: Indices complejos ponderados. Ponderaciones: W 1, W 2,,,, W i,,,, W Índice media aritmética ponderada. I* = I 1 W 1 + I 2 W I i W i + +I n Wn = i=1 I i W i W 1 + W W i + + W n i=1 W i Índice media geométrica ponderado. I G * = iw i I 1 W 1... I i W i I W = i=1 W i i =1 I i W i Índice media armónica ponderado. I * H = W W i + + W = I=1 1/I 1 W /I i W i + +1/I I=1 W i W i / I i Índice media agregativa ponderado. I * A = X 1t W X it W i + +X t W = X 10 W 1 + +X i0 Wi+ +X 0 W I=1 I=1 X it W i X i0 W i Cálculo de tasas de variación de índices La variación de un índice entre 2 situaciones t y t, con t < t es: V t,t i = I t i I t I. 100 = [I t i - 1]. 100 I t i 12