MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

Transcripción

1 EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee la muestra o població. Para represetar esta operació usaremos la otació algebraica x, alguas veces será para ua muestra y otras para ua població. El procedimieto es el mismos, sólo cambia la otació. La fórmula para calcular la media aritmética de ua muestra es: xi x i Dode: x edia aritmética. xi Idica u valor específico. Letra griega sigma idica la operació de suma. x i Idica la suma de todas las x. Es el úmero total de valores e la muestra. La fórmula para calcular la media de ua població es: N xi µ i N Dode: µ edia poblacioal. xi Idica u valor específico. Letra griega sigma idica la operació de suma. x i Idica la suma de todas las x. N Es el úmero total de valores e població.

2 Ejemplo : Se tiee ua muestra de cico observacioes que represeta las edades de persoas que acude a u teléfoo público durate ua hora (0, 4,, 33, 3). Calcular la edad promedio Solució: x xi i x + x + x3 + x4 + x Dode: x 0, x 4, x 3, x 4 33, x 3 xi i x 34. años. Ejemplo : Los datos de la siguiete tabla, represeta los valores de la glucosa coteida e la sagre extraída a 0 iños e ayuas. Xi 3 4 Valor Xi Valor Calcular la media aritmética x 0 xi i Ejemplo3: Los hoorarios de cico médicos que ejerce e cierta área de la ciudad, reporta los siguietes valores: 0, 80, 00, 0 y 300 pesos. Calcular el valor promedio. x i xi Pesos.

3 EDIA PONDERADA. Ua empresa comercial paga a sus vededores, $ 6.0, $ 7.0 ó $ 8.0 (Dólares) por hora. Podría llegarse a la coclusió de que la media de los sueldos (por hora), es de $ 7.0, obteido al calcular ($ $ $ 8.0) / 3. Esto es cierto sólo si hay el mismo úmero de vededores que percibe $6.0, $7,0 $8.0. Si embargo supógase que 4 empleados gaa $6.0, 0 empleados se les paga $7.0 y empleados obtiee $8.0. Para ecotrar la media poderada, $ 6.0 se podera (multiplica) por 4, $7.0 se podera por 0 y $8.0 se podera por, se suma estos tres productos y se divide etre 6 (4+0 +) trabajadores. E geeral la media poderada de u cojuto de úmeros deotados por: x.x.x 3.x, co las poderacioes correspodietes a.. 3, por lo que la media se calcula e la siguiete forma. E forma simplificada: x x + x + + x x x x i i xi i i Solució al problema aterior: 4 x x x De acuerdo a la fórmula: 4(6.0) 0(7.0) (8.0) 83 x + + $ La media aritmética de ua muestra preseta la desvetaja de ser afectada de maera importate por la presecia de datos (xi) que sea muy grades o muy pequeños respecto a los restates datos de la muestra, por tal razó la media aritmética es ua medida de tedecia cetral poco cofiable. Existe otra medida de tedecia cetral que o tiee la desvetaja de ser afectada por los datos extremos de la població, esta es la mediaa.

4 EDIANA. La mediaa de ua muestra x, x, x 3...x, es el úmero que se ecuetra e el cetro o puto medio, ua vez que los datos ha sido ordeados de maera creciete. Propiedades de mediaa. ª.- La mediaa es úica. ª.- Es fácil de calcular. 3ª.- No es afectada por los valores extremos de la muestra (grades o pequeños). Para determiar la mediaa de la muestra x, x, x 3...x se tiee dos casos: Primer caso. Si el úmero de observacioes es impar. Se deberá elegir al térmio que divide a la muestra e dos partes iguales. Ejemplo: A cotiuació se muestra del úmero de miutos utilizados para realizar ua llamada e u teléfoo móvil; 7mi, mi, 4mi, 8mi y mi. Calcular el valor de la mediaa. Solució: Ordeado los valores de meor a mayor obteemos:, 4, 7, 8, mi. Para localizar la mediaa utilizamos la siguiete expresió: ediaa + Dode es el úmero de elemetos de la muestra. Por lo tato e uestro caso + 6 ediaa 3 Observado la muestra vemos que la posició 3 le correspode a 7mi, el cual es el valor de la mediaa.

5 Segudo caso. Si el úmero de observacioes es par Se elige dos valores cetrales y se calcula la media de estos dos valores. + ediaa Dode: Es el primer valor cetral. Es el segudo valor cetral. Ejemplo: La siguiete muestra cotiee los miutos que duro ua revisió médica e u hospital del gobiero 3, 9, 30,, 3, y 3 (e miutos). Cuál es la mediaa? Solució: Procedemos a ordearlos, recordado que la mediaa es el úmero que se ecuetra e el cetro o puto medio, ua vez que los datos ha sido ordeados de maera creciete., 9, 30, 3, 3 y 3. la mediaa se localiza etre los úmeros 30 y 3, por lo que: 30 y 3 + ediaa ediaa 3 ODA. Es el valor que más veces se repite e ua muestra o població, pero si existe dos valores que se repite igual úmero de veces, decimos que la muestra es bimodal y si so tres veces etoces es trimodal etc. Propiedades de la moda. ª.- No es afectada por los valores extremos. ª.- Puede utilizarse como medida cetral. 3ª.- Cuado o hay valores repetidos o existe oda.

6 EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (EN DATOS AGRUPADOS). Para datos agrupados estas medidas o se puede calcular exactamete, si embargo a partir de las tablas de distribució de frecuecia es posible efectuar ua estimació adecuada de las medidas de tedecia cetral. La media aritmética se puede calcular de la siguiete maera: (fi)(mi) (fi)(mi) x i i (fi) i Dode: x edia aritmética. Letra griega sigma idica la operació de suma. Es el úmero total de valores e la muestra. fi frecuecia de la clase i. mi marca de clase i. La mediaa se puede calcular de la siguiete maera: Caso impar: ediaa si es u úmero Lri Ac + + fa f Dode: La clase mediaa es aquella categoría que cotiee + al dato cuyo ídice es si el úmero de datos es impar y si el úmero de datos es par. Lri es el límite real iferior de la clase mediaa. Caso si es u úmero par: ediaa Ac + fa f Lri Ac es la amplitud de la clase mediaa. f es la frecuecia de la clase mediaa. fa es la frecuecia acumulada de las clases que se ecuetra ates de la clase mediaa.

7 La moda se puede calcular de la siguiete maera: f o Lri o + Ac f+ f Dode: La clase modal se ecuetra e la categoría dode fi es máxima. Lrio es el límite real iferior de la clase modal. Ac es la amplitud de la clase modal. fes la diferecia etre la frecuecia de la clase modal y la frecuecia de la clase cotigua aterior. f es la diferecia etre la frecuecia de la clase modal y la frecuecia de la clase cotigua posterior. Ejemplo resuelto. La siguiete tabla muestra los datos correspodietes al úmero de clietes que acudiero al CAFÉ INTERNET INN durate días. Determiar la media, la mediaa y la moda. edia aritmética. Tabla de distribució de frecuecias Clase Límites de clase Límites reales de clase Frecuecia Frecuecia relativa marca de clase frecuecia acumulada frecuecia relativa acumulada N Li Ls Lri Lrs fi fri mi fai frai x x (fi)(mi) i (7)() + ()(7) + ()() + ()(7) + (0)(3) + ()(37) x 4.clietes.

8 La mediaa. Como es el úmero total de valores de la muestra, etoces utilizaremos la fórmula para u úmero par: ediaa Ac + fa f Lri 0, e la frecuecia acumulada el veiteavo dato se ecuetra e la clase 3 y esta represeta la clase mediaa. ediaa Ac + fa f Lri ediaa (0 ) ediaa3.3 clietes. La moda. Como la moda se ecuetra e la categoría de mayor fi, e este caso será la clase 3 ya que es la de mayor fi o Lri o f + Ac f+ f 6 6 o ( ) + ( ) oda. clietes.