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1 Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 010 Semana 7: Lunes 3 viernes 7 de Mayo Información importante El proceso de apelación del primer certamen comienza esta semana. Los cuadernillos los tendrá el profesor de Complemento. Los alumnos que lo estimen conveniente, tienen hasta el Jueves 06 de Mayo para entregar el formulario de apelación visado por el profesor correspondiente. Toda la información oficial del proceso está disponible en el sitio web del curso. Se les solicita informar a los alumnos que existen medios de apoyo para sus estudios. En específico, están publicados los horarios de atención de todos los profesores que trabajan en el curso y que pueden atender sus consultas. Está funcionando en las dependencias del CIAC: Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias Básicas, apoyo a través de monitores; este organismo no depende de Matemática. Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos Clase : Límites infinitos. Límites en el infinito. El número e como límite. 1 Clase Aprendizajes esperados Calcula límites mediante teoremas (álgebra de límites, teorema de la compuesta, teorema del sandwich). Identifica y aplica límites trigonométricos fundamentales para calcular ites trigonométricos más generales. 1. Álgebra de límites. Sean b, c números reales, y f,g : A R! R funciones tales que los siguientes límites existen entonces: f(x) =L y g(x) =K MAT01 (Cálculo) 1

2 1. Múltiplo escalar: [bf(x)] = bl. Suma o diferencia: [f(x) ± g(x)] = L ± K 3. Producto: [f(x)g(x)] = LK f(x) 4. Cociente: g(x) = L,supuestoqueK 6= 0 K 5. Potencia: [f(x)] n = L n, para cualquier entero positivo n 6. Raíz: n f(x) = np L, para cualquier entero positivo n. Nota: Si n par entonces se debe tener L>0. Teorema 1.1 (Funciones que coinciden salvo en un punto). Sea I un intervalo abierto y c I un número real. Si f(x) =g(x) para todo x I {c} y existe el límite de g(x) cuando x tiende a c, entonces también existe el de f(x), y se tiene f(x) = g(x). Teorema 1. (Límite de una función compuesta). Si g (x) =a con g (x) 6= a en una vecindad perforada de b x!b y existe f(x) entonces f (g (x)) = f (x) x!b Observación 1.1. Muestre con un ejemplo que si g es constante el resultado no se cumple Ejemplo 1.1. Calculemos Sea g :[ p x , +1[! R, x! g (x) = p x + 1 y consideremos note que y g (x) 6= 1en] 1, 1[ {0} además f : R {1}!R x! f (x) = x 1 x 1 g (x) =1 x 1 1 x = = 1 1 x +1 entonces por el teorema p x +1 1 =f (g (x)) = f (x) = 1 Observación 1.. El Teorema anterior, puede ser usado con cambio de variable,en la forma u = g(x) entonces u! a, x! b y x!b f (g (x)) = u!a f (u). En el ejemplo, ponemos u = p x + 1 entonces u! 1, x! 0 entonces (note que x = u 1) p x +1 1 u 1 = u!1 u 1 = u!1 1 u +1 = 1 MAT01 (Cálculo)

3 1.3 Teorema del Sandwich. Teorema 1.3 (Teorema del Encaje o del Sandwich). Sean f,g,h funciones en R. Si h(x) apple f(x) apple g(x) para todo x en una vecindad de c sin (necesariamente) incluir a c, y entonces f(x) existe y es igual a L. h(x) =L = g(x) 1.4 Cálculo de Límites. Algunos ejercicios propuestos cos x = cos(a) Sugerencia: Demostrar que [cos(x) cos(a)] = 0, para esto observar que x + a x a x a 0 apple cos x cos a = sen sen apple sen apple x a = x a y aplicar el teorema del encaje o la definición de límite. p x +6 4 = 1 x!5 x 5 4 Sugerencia: Amplificar por p x Escribir numerador como (x 5). Simplificar. x sen(1/x) =0 Sugerencia: Usar que sandwich. 1 apple sen(1/x) apple 1 y multiplicar esta expresión por x, luego usar el teorema del Límites que involucren polinomios y funciones racionales. 1.5 Límites Trigonométricos. Para el cálculo de límites en los que se ven involucradas expresiones trigonométricas es común el uso de los límites trigonométricos fundamentales, que corresponden a: sen x 1 cos x =1 =0. Es de recalcar que, en ambos límites, x! 0. Observación 1.3. Se puede hacer un esbozo de la demostraci on utilizando: (cos(),sin()) (1,tan()) MAT01 (Cálculo) 3

4 Observando los sectores determinados por la figura, verificar que tan sen sen lo que permitirá demostrar (Sandwich) que = 1.!0 1 cos x Por otro lado, = 0 se obtiene aplificando por 1 + cos x. Ejercicios Propuestos sen 3x sen 5x = 3 5 sen (ax) Si sen (3bx) = 3, a 6= 0,b6= 0. Determine a/b. Respuesta: 9/4. sen(x x! /3 3 ) 1 cos(x) = p 1 3 Sugerencia: Hacer u = x y simplificar sen(u). Calcule el siguiente límite: /3, descomponer cos(u + /3) como resta de términos, amplificar por (1 + cos(u)) ( p p 1+senx 1 sen x)x sec. (x) 1 Sugerencia: Amplificar por ( p 1+senx + p 1 sen x). Respuesta: 1/4. Clase.1 Aprendizajes esperados Reconoce el concepto de límite infinito y el álgebra asociada. Calcula límites en el infinito. Encuentra asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, reconociendo su relación con el gráfico de la función correspondiente. Reconoce el número e y calcula límites relacionados. Identifica diferentes tipos de formas indeterminadas.. Límites infinitos Definición.1 (Valores de función que crecen sin límite). Sea f una función definida en una vecindad perforada de a. Sediráquefcrecesinlímitecuando x tiende a a, lo cual se escribe f(x) =+1 si 8 N>0, 9 >0:0< x a < ) f(x) >N Definición. (Valores de función que decrecen sin límite). Sea f una función definida en una vecindad perforada de a. Sediráquefdecrecesinlímitecuando x tiende a a, loqueseescribe f(x) = 1 si 8 N<0, 9 >0:0< x a < ) f(x) <N MAT01 (Cálculo) 4

5 Observación.1. En los dos casos presentados anteriormente es más común decir el límite de f(x) cuando x tiene a a es infinito positivo (más infinito) o infinito negativo (menos infinito). Sin embargo se debe dejar en claro que el límite no existe, pues los símbolos 1 y+1norepresentan a ningún número real y sólo expresan un tipo de comportamiento. Teorema.1. Si para a R y dos funciones f, g se tiene f(x) =0y g(x) =c, dondec 6= 0, entonces 1. Si c>0, yf(x)! 0 a través de valores positivos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = +1. Si c>0 y f(x)! 0 a través de valores negativos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = 1 3. Si c<0, yf(x)! 0 a través de valores positivos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = 1 4. Si c<0 y f(x)! 0 a través de valores negativos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = +1 Teorema.. Si f(x) =±1 y g(x) =c R, entonces [f(x)+g(x)] = ±1 Teorema.3. Si f(x) =±1 y g(x) =c R {0}, entonces: 1. Si c>0, f(x) g(x) =±1. Si c<0, f(x) g(x) = 1 Una aplicación de este tipo de límites es el cálculo de asíntotas: Definición.3. Una asíntota en el gráfico de una función es una recta tal que su distancia al gráfico de la función tiende a cero a medida que la recta se aleja del origen. Definición.4 (Asíntota vertical). La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: f(x) = f(x) = 1 f(x) =+1 f(x) = 1 Ejercicios Tipo Verificar a través de la definición que + 1/xr = 1. Sugerencia: Usar la desigualdad 1/x r >N y notar que =(1/N ) 1/r. Verificar que x x 1 = 1 y x + x 1 =+1. x + x + x!3 x = 1. Sugerencia: Factorizar el denominador, notar que el límite del numerador es 14 y x 3 que el denominador tiende a 0 por medio de valores negativos. MAT01 (Cálculo) 5

6 (x 3) p 4 x x! x = 1. Sugerencia: Factorizar el denominador y separar la expresión (x 3)/(x + ) 4 notando que tiende a 1/4 y la expresión restante a 1. Determine si la función f(x) =3/(4 verticales en y. x ) cuenta con asíntotas verticales. Respuesta: Se tienen asíntotas.3 Límites en el infinito Definición.5 (Límites en el infinito). Sea L un número real, severifica 1. f(x) =L, si 8 >0, 9 M>0:x>M) f(x) L < x!+1. f(x) =L, si 8 >0, 9M >0:x<M) f(x) L < x! 1 Definición.6 (Asíntota horizontal). La recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si se tiene alguna de las siguientes expresiones: 1. f(x) =L. f(x) =L x! 1 x!+1 Observación.. a 0 + a 1 x + a x a n x n b 0 + b 1 x + b x b m x m = 8 >< >: 0 si m>n a n /b n si m = n 1 si n>m^a n > 0 1 si n>m^a n < 0 Ejercicios Tipo 1 Verificar a través de la definición que x = 0. Sugerencia: Dado >0, usar la desigualdad 1 x M =1/. < y hacer x Verificar a través de la definición que 1+x. Sugerencia: Dado >0, usar la desigualdad x 1+x < y analizar la función cuadrática asociada. Calcular arctan(x) =. Notar que es asíntota horizontal. Basta recordar que x! p a x(x a) x =. Sugerencia: Amplificar por (p x(x a)+x) x 3/ p x +4x 4/3 + 3x 5x 3p x +x 1/ +1 = 0. Sugerencia: Amplificar por (1/(x )). tan(x) =1 Ejercicio.1. Definir los límites f (x) =±1 x!±1 MAT01 (Cálculo) 6

7 .4 Asíntotas oblicuas Una asíntota oblicua al gráfico de la función f (x) es una recta de ecuación y = mx + n (m, n R m 6= 0) tal que (f (x) (mx + n)) = 0 _ (f (x) (mx + n)) = 0 x!+1 x! 1 de esta forma, para verificar que cierta recta es una asíntota oblicua basta verificar que tal límite es cero. problema más interesante es: Dada una función determinar si posee una asíntota oblicua. Note que f (x) (mx + n) (f (x) (mx + n)) = 0 ) =0 x f (x) ) m n =0 x x f (x) ) = m x de esta forma si y = mx + n es una asíntota oblicua al gráfico de f (x) entonces m = f(x) x conocemos m podemos calcular n de la siguiente forma Ejercicio.. Determine todas las asíntotas de.5 El número e como límite (f (x) mx) =n f (x) = x x + p x + x +1 x x = e x!±1 x Observación.3. Presentar la equivalencia con u = 1/x. Observación.4. Mencionar su aparición en problemas de interés compuesto. Un. Note que si Ejercicios Propuestos Verificar que x 3x +1 = e 4 3x 5 4x 3 4x a x = e a x 3x+1 = e 6 x+5 x +1 = e x 3 x +sen x/ = 1 x +1.6 Observación: Formas Indeterminadas Los casos 0 0, 1 1, 1 1,11,0 0 son llamados formas indeterminadas y el límite puede o no existir. Para este tipo de casos, además de las herramientas actuales se presentará un nuevo método a medida que avance el curso. Ejercicios Tipo Identificar la forma indeterminada asociada a los siguientes límites y verificar que: x 7 + x +1 x 7 + x = 1 x 3 +1 x +1 = 1 MAT01 (Cálculo) 7