El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números."

Transcripción

1 Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2, es la sucesió de los úmeros pares positivos El primer elemeto de esta sucesió es 2, el segudo es 4, el quito es 0 y el elemeto que ocupa el lugar es 2 Vemos e este ejemplo que lo que hemos hecho es asociar a cada úmero atural, 2, 3, u úmero par 2, 4, 6, de la siguiete maera: Por lo tato, ua sucesió o es más que ua fució defiida sobre los úmeros aturales Depediedo del espacio e el cual tome valores esta fució tedremos sucesioes de distitos tipos: de úmeros reales, de úmeros complejos, de vectores e R, de fucioes, etc La defiició formal es la siguiete: Defiició 3 Si X es u cojuto, ua sucesió e X es ua fució f : N X Si f() = x, decimos que x es el -ésimo térmio de la sucesió Usualmete escribiremos (x ) = o {x, } para deotar esta sucesió y e alguos casos simplemete (x ) E geeral tomaremos X = R pero muchos de los resultados que veremos a cotiuació so válidos e otros cojutos E ocasioes cosideraremos sucesioes que comieza co el ídice cero e lugar de comezar co el uo: (x ) =0 o {x, 0} Tambié es posible cosiderar sucesioes doblemete ifiitas {x, Z} o sucesioes que comieza e el ídice p : {x, p} = {x +p, 0}

2 46 CAPÍTULO 3 SUCESIONES Defiició 32 Sea (x ) = ua sucesió e u espacio métrico (X, d) y x X Decimos que la sucesió (x ) = coverge a x, si para todo real positivo ɛ existe u etero positivo N = N(ɛ) tal que x B(x; ɛ), siempre que N Si (x ) = coverge a x escribimos x x cuado o lim x = x, decimos que x es el límite de la sucesió (x ) = y que la sucesió es covergete Ua sucesió que o es covergete, es divergete E R co la métrica usual, la defiició de covergecia puede reformularse de la siguiete maera: si x R, B(x, ɛ) = {y : y x < ɛ} de modo que x x cuado, si dado ɛ > 0 existe u etero positivo N = N(ɛ) tal que x x < ɛ siempre que N Ejemplos 3 x = Esta sucesió coverge a 0 e R: dado ɛ > 0 escogemos N = N(ɛ) tal que N < ɛ (esto es posible por la propiedad Arquimedeaa de N) Etoces teemos que para todo N, x x = 0 = N < ɛ Si embargo, si cosideramos esta sucesió e el cojuto de los reales positivos (0, + ) la sucesió o es covergete, ya que el límite o perteece al cojuto dode hemos defiido la sucesió Gráficamete (ver figura 3), la covergecia equivale a que, para cualquier ε > 0, a partir de u cierto ídice N, todos los miembros de la sucesió caiga detro de ua bada de acho 2ε cetrada e el valor del límite, que es cero e este caso ε 0 ε 2 3 N Figura 3: La sucesió / 2 x = e R Esta sucesió es divergete ya que para cualquier x R y cualquier ɛ > 0 fijo existe N N tal que N > x + ɛ y la codició de la defiició o se satisface

3 3 DEFINICIONES GENERALES 47 3 Cosideremos la sucesió x = + ( ) para N Hemos visto e el primer ejemplo que la sucesió ( ) coverge a 0 y por lo tato uestra idea ituitiva es que la sucesió x = + ( ) debe coverger a +0 = Veamos a partir de la defiició que esto es efectivamete cierto Sea ɛ > 0, queremos ver que existe N = N(ɛ) tal que si N, x < ɛ x = + ( ) = ( ) = Al igual que e el ejemplo, basta escoger N de modo que N teer x = N < ɛ, siempre que N < ɛ para + ε ε N Figura 32: La sucesió + ( ) La oció de covergecia de ua sucesió es ua de las ideas primordiales del Aálisis Matemático y será fudametal para lo que estudiaremos e este texto Es importate que sea compredida a cabalidad por el estudiate El próximo teorema os muestra que ua sucesió o puede teer más de u límite Teorema 3 Si (x ) es ua sucesió e (X, d) y coverge tato a x como a y, etoces x = y Demostració Supogamos x y, etoces d(x, y) = η > 0 (ver figura 33) y existe eteros positivos N y N 2 tales que > N d(x, x) < η/2, > N 2 d(x, y) < η/2 Tomemos N = máx(n, N 2 ), etoces si > N teemos, usado la propiedad triagular, que η = d(x, y) d(x, x ) + d(x, y) < η, ua cotradicció

4 48 CAPÍTULO 3 SUCESIONES η x y Figura 33: Defiició 33 Ua fució f : Y X es acotada si el recorrido f(y ) = {x X : existe y Y tal que f(y) = x} es u cojuto acotado, es decir, si para algú x X y R +, f(y ) B(x; ) E particular para ua fució real (X = R) podemos tomar x = 0 y etoces f es acotada sí y sólo sí existe R + tal que f(y) < para todo y Y Si Y = N la fució es ua sucesió y es acotada si existe > 0 tal que x < para todo N Teorema 32 Toda sucesió covergete es acotada Demostració Sea (x ) = ua sucesió covergete e (X, d) y sea x su límite Existe u etero positivo N tal que d(x, x ) <, si > N Defiimos = máx{, 2d(x, x ), 2d(x, x 2 ),, 2d(x, x N )} etoces {x, } B(x; ) de modo que (x ) = es acotada x j x x x 2 x x N+ N Figura 34: Toda sucesió covergete es acotada Teorema 33 Sea (x ) = ua sucesió e u espacio métrico (X, d), (i) (x ) = coverge a x X sí y sólo sí toda vecidad de x cotiee todos los térmios de (x ) = excepto u úmero fiito de ellos (ii) Si E X y x es u puto de acumulació de E, existe ua sucesió (x ) = e E para la cual x = lim x

5 3 DEFINICIONES GENERALES 49 Demostració (i) Sea V ua vecidad de x, etoces existe r R, r > 0, tal que B(x; r) V Para este r existe N = N(r) tal que si N, d(x, x ) < r; es decir, que para todo N, x B(x; r) Supogamos ahora que toda vecidad de x cotiee a todos los elemetos de la sucesió, excepto por u úmero fiito de ellos Dado ɛ > 0, cosideremos como vecidad a B(x; ɛ) Etoces existe N = N(ɛ) tal que si N, x B(x; ɛ), es decir d(x, x ) < ɛ y por lo tato la sucesió coverge a x (ii) Como x es puto de acumulació de E, para cada N existe x E tal que d(x, x) < / Veamos que (x ) = coverge a x: dado ɛ > 0 tomamos N de modo que Nɛ > Etoces, si N, d(x, x) < / /N < ɛ Ejercicios 3 Establezca la covergecia o divergecia de la sucesió (x ) N e R co la métrica usual: x = + ; x = ( ) + ; x = ; x = ; x = (a) De u valor de N tal que si > N, 2 4 > 0 6 (b) De u valor de N tal que si > N etoces x x < 0 00, dode x = 2 + y x es el límite de 2 esta sucesió 3 Muestre que ((x, y )) N coverge a (x, y) e R 2 co la métrica usual: (i) (x, y ) = (, ) co (x, y) = (0, ); (ii) (x, y ) = (, + ) co (x, y) = (0, ) (iii) (x, y ) = (2 +, + ( ) ) co (x, y) = (2, ) 2 4 Sea (X, d) u espacio métrico discreto Muestre que ua sucesió (x ) N coverge sí y sólo sí es costate a partir de algú ídice 0 5 Muestre que (x, y ) (x, y) e R 2 cuado sí y sólo sí x x e y y e R 6 La sucesió (x ) N coverge a x e (X, d) sí y sólo sí la sucesió (d(x, x)) N coverge a 0 e R 7 Si (x ) N e (y ) N so sucesioes e (X, d) tales que { N : x y } es fiito, etoces o bie ambas sucesioes coverge al mismo límite o bie ambas diverge 8 Si (x ) N es ua sucesió e (X, d), p N, e y = x +p etoces o bie ambas sucesioes coverge al mismo límite o bie ambas diverge 9 Si (x 2) y (x 2+) coverge al mismo límite x etoces (x ) coverge a x 0 Sea d y d 2 dos métricas equivaletes e el espacio X y sea (x ) ua sucesió e X Demuestre que x coverge a x X e la métrica d sí y sólo sí coverge al mismo puto e la métrica d 2

6 50 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 32 Sucesioes de Números Reales Cosideraremos ahora el caso particular X = R co la distacia usual d de los úmeros reales: si x, y R d(x, y) = x y E R teemos ua relació de orde y ua serie de operacioes que hemos estudiado e capítulos ateriores El primer teorema de esta secció os idica como se relacioa los límites co las operacioes de los úmeros reales Teorema 34 Supogamos que (x ) y (y ) so sucesioes de úmeros reales y x x, y y Etoces i) lim(x + y ) = x + y ii) Para c R, lim(cx ) = cx iii) lim(x y ) = xy iv) lim(x /y ) = x/y si y 0, y 0 para todo N Demostració i) Dado ɛ > 0, existe N y N 2 e N tales que N x x < ɛ 2, N 2 y y < ɛ 2 Tomado N = máx(n, N 2 ) teemos N (x + y ) (x + y) x x + y y < ɛ lo que muestra i) ii) Dado ɛ > 0 escogemos N N de modo que etoces iii) Teemos N x x < ɛ ( + c ), N cx cx = c x x < c ɛ + c < ɛ x y = x y xy x y + xy + xy + x y xy = (x x )(y y ) + xy + x y xy

7 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 5 Usado i) y ii) vemos que lim x y = lim(x x )(y y ) + x lim y + y lim x xy = lim(x x )(y y ) + xy Por lo tato basta ver que lim(x x )(y y ) = 0 Dado ɛ > 0 existe N y N 2 e N tales que y si máx(n, N 2 ) etoces N x x < ɛ N 2 y w < ɛ (x x)(y y) = x x y y < ɛ iv) Por iii) basta ver que lim(/y ) = /y si y 0, y 0 para todo N Sea ɛ > 0 fijo Como y 0 y está fijo, escogemos N 0 N tal que si N 0 etoces y y < y /2 Etoces, si N 0 la desigualdad y y + y y implica y y y y > y /2 Ahora escogemos N N 0 e N tal que si N y y < y 2 ɛ/2 Usado ambas desigualdades teemos 32 Límites ifiitos N y y = y y < 2 y y y y y 2 < ɛ Defiició 34 Sea (x ) = ua sucesió e R, decimos que esta sucesió tiee límite ifiito o tiede a ifiito, si dado cualquier a R existe N N tal que si N etoces x > a Escribimos x cuado o lim x = De maera similar decimos que la sucesió tiee límite meos ifiito o tiede a meos ifiito si dado cualquier a R existe N N tal que si N, etoces x < a Escribimos x cuado o lim x = Ejemplos 32 x = 2 Esta sucesió tiede a ifiito: como los térmios de la sucesió so positivos basta cosiderar a > 0 e la defiició E este caso basta tomar N a para obteer que N x > a

8 52 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 2 x = Veamos que esta sucesió tambié tiede (2 + ) /2 (2 ) /2 a ifiito x = (2 + ) /2 (2 ) /2 = (2 + )/2 + (2 ) /2 (2 + ) (2 ) = 2 ((2 + )/2 + (2 ) /2 ) 2 (2(2 )/2 ) = (2 ) /2 Dado a > 0 basta tomar N > a2 + 2 para obteer que > N > a (2 + ) /2 (2 ) /2 Resaltamos la diferecia etre x x y x E el primer caso x es u úmero y podemos medir la distacia etre x y x E cambio, o es u úmero Si embargo, podemos uificar las tres defiicioes de límite de la siguiete maera Defiició 35 Ua vecidad de e R es cualquier itervalo de la forma (a, ], dode a R Ua vecidad de es cualquier itervalo de la forma [, b), dode b R Teiedo e cueta el Teorema 33 podemos afirmar lo siguiete: si (x ) = es ua sucesió e R y x R, lim x = x sí y sólo sí cada vecidad de x cotiee a todos los putos x, excepto, quizás, para ua catidad fiita de ídices Las sucesioes que o tiee límite e el setido que acabamos de describir, se cooce como sucesioes oscilates Ejemplo 33 Sea x = ( ) Si es par, x = mietras que si es impar, x = ; pero i i puede ser límites de esta sucesió: supogamos que es límite, etoces a partir de u cierto etero N, todos los térmios de la sucesió debería estar e la vecidad B(; 0,2) : > N x B(; 0,2) Pero si > N es impar etoces x = / B(; 0,2), y la sucesió o coverge a De maera similar se muestra que tampoco coverge a Uo podría pesar que si (x ) = es ua sucesió covergete co límite x y b es u úmero real tal que x < b para todos los ídices N, etoces

9 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Figura 35: La sucesió ( ) tambié x < b Pero esto o es cierto: basta tomar x = / para todos los eteros positivos, x = y b = Co este ejemplo vemos que el resultado del próximo teorema es lo mejor que se puede esperar Teorema 35 Sea (x ) = ua sucesió covergete de úmeros reales co límite x Si b R es tal que x b para todo N, etoces x b Demostració Supogamos que x > b, etoces tomado h = x b 2 > 0 existe N h N tal que x B(x; h) para todo N h y esto implica x > x h = x 2 (x b) > b + (x b) > b 2 lo que cotradice la hipótesis Corolario 3 Sea (x ) = y (y ) = sucesioes covergetes de úmeros reales co límites x e y respectivamete Si x y para todo N, etoces x y Demostració Aplicamos el teorema aterior a la sucesió z = x y Esta sucesió tiee límite x y y como z 0 para todo, x y 0 Corolario 32 Si (x ) =, (y ) = y (z ) = so sucesioes de úmeros reales co y x z para todo y lim y = lim z = l etoces (x ) = es covergete y lim x = l Demostració Ejercicio Defiició 36 Sea (x ) = ua sucesió de úmeros reales Defiimos sup x = sup{x : N}, if x = if{x : N} Ejemplos 34 Para la sucesió x = ( ),, sup x =, if x = 2 Para la sucesió x =,, sup x =, if x = 0

10 54 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 322 Sucesioes Moótoas Defiició 37 Si x x + para todo N, decimos que la sucesió (x ) = es creciete y escribimos a Es útil cosiderar el crecimieto de la sucesió e setido amplio, permitiedo que térmios sucesivos sea iguales Si x < x + para todo N, decimos que la sucesió es estrictamete creciete y escribimos a Si x + x para todo N, decimos que la sucesió es decreciete, escribimos a, y si x + < x para todo, que es estrictamete decreciete y escribimos a Decimos además que cualquiera de estas sucesioes es moótoa Ejemplos 35 La sucesió x =,, es creciete 2 La sucesió,, es decreciete 3 La sucesió x = ( ),, o es moótoa Probaremos a cotiuació ua propiedad importate de las sucesioes moótoas: o puede ser oscilates Teorema 36 Toda sucesió moótoa e R tiee límite e R Ua sucesió moótoa e R coverge sí y sólo sí es acotada Demostració Cosideremos ua sucesió creciete (x ) = e R : x x 2 x 3 y sea x = sup{x : N} Veamos que x = lim x : Caso : x =, etoces x = para todo N y es fácil ver que lim x = Caso 2: x =, es decir (x ) = o está acotada superiormete Por lo tato, dado M > 0 existe N N tal que x N > M Pero como la sucesió es creciete se cumple que N x x N > M es decir, lim x = Caso 3: x R Dado ɛ > 0 existe N N tal que x N > x ɛ De uevo, como la sucesió es creciete N x ɛ < x N x x de modo que si N, d(x, x) < ɛ y cocluimos que lim x = x La demostració para sucesioes decrecietes es similar tomado x = if{x : N} Corolario 33 Si (x ) = es ua sucesió creciete e R, lim x = sup{x : N} Si (x ) = es ua sucesió decreciete e R, lim x = if{x : N}

11 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 55 Ejemplo 36 La sucesió a U ejemplo útil e importate es el de la sucesió x = a, para a R El comportamieto de esta sucesió cuado depede del valor de a Si a = 0, x = a = 0 y lim x = 0 2 Si a =, x = a = y lim x = 3 Si a =, la sucesió toma alteradamete los valores + y y es oscilate 4 Si a > la sucesió x = a es creciete: x x = a a = a (a ) > 0 Por el Corolario 33, lim x = sup x Veamos que la sucesió o está acotada Sea k = a > 0 y escribamos a = + k Usado el desarrollo biomial obteemos x = a = ( + k) = j=0 ( ) k j > + k j Como k > 0, la sucesió ( + k) = tampoco lo está (x ) = o está acotada y por lo tato 5 Si 0 < a < etoces < a Sea k > 0 tal que a = + k Etoces 0 < x = ( + k) < + k Es fácil ver que cuado, /( + k) 0, de modo que por el Corolario 32, x 0 6 Si a < etoces a = b, co b > y por (4) b Por lo tato la sucesió (b ) toma alteradamete valores positivos y egativos que so cada vez mas grades e valor absoluto, es decir la serie es oscilate y o es acotada Resumiedo teemos () a >, a (2) a =, a (3) < a <, a 0 (4) a =, a oscila y es acotada (5) a <, a oscila y o es acotada

12 56 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 323 El úmero e Proposició 3 El úmero e Para N sea ( a = + ), ( b = + ) +, etoces (a ) = es creciete, (b ) = es decreciete y ambas sucesioes coverge al mismo límite Este límite comú se deota por e y se cumple que 2 < e < 4 Demostració Necesitamos el siguiete resultado, coocido como la desigualdad de Beroulli (ver Ejercicio 44) E la parte (4) del ejemplo aterior demostramos u caso particular: Si x y k N etoces ( + x) k + kx Hay igualdad solo si k = ó x = 0 Haremos la demostració de la mootoía de las sucesioes por iducció Veamos que la sucesió (a ) = es creciete: queremos ver que ( + ) ( + ) + + Multiplicado y dividiedo el primer térmio por ( + ) esto es equivalete a y esto es + ( ) + + ( ) + ( ) = por lo tato queremos ver que + ( + ) + + ( ) + ( + 2) ( + ) 2 = ( ) + ( + ) 2 ( ( + ) 2 ) + ( + ) 2, y esto es cierto por la desigualdad de Beroulli, tomado x = (+) y k = + 2 Veamos que la sucesió (b ) = es decreciete Queremos mostrar que ( + ) + ( + ) +2, + es decir ( ) + + y esto equivale a ( ( + ) 2 ( + 2) ( ) ) ,

13 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 57 o sea ( ) ( + 2) + Por la desigualdad de Beroulli co k = + y x = (+2) teemos ya que ( ) ( + 2) ( + 2) > + + ( + ) 2 ( + 2) = > + 2 Hemos visto etoces que (a ) es creciete y (b ) es decreciete Además a < b y por mootoía de las sucesioes, para cualquier N teemos 2 = a 0 a < b b 0 = 4 es decir, las sucesioes está acotadas y como so moótoas, ambas coverge Supogamos que a a y b b, usado la mootoía de uevo y el Corolario 3 teemos ( + ) ( a b + ) + de aquí obteemos b a + Como esto es cierto para todo cocluimos que a = b Ejercicios 32 Si lim x = x etoces lim x = x, pero el recíproco es falso a meos que x = 0 2 Si x > 0, lim x / = 3 Demuestre que para cualquier x R, lim x! = 0 Deduzca que ((!) / ) o es acotada 4 Discuta el comportamieto cuado, de la sucesió a / k, dode k es u etero positivo fijo 5 Si s > 0 y s + Ks, dode K >, para todos los valores de, etoces s + 6 Si para todo, s + K s, dode 0 < K <, etoces s 0 La coclusió es válida si la hipótesis se satisface sólo para > N 7 Si lim x + x = h, co < h <, muestre que x 0 Si h > demuestre que (x ) o está acotada Si h = la sucesió puede ser covergete o divergete De ejemplos de sucesioes x para las cuales h = y (a) x, (b) x 5, (c) x 0

14 58 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 8 Si x > 0, N y x / h cuado demuestre que si h <, (x ) coverge a cero mietras que si h >, (x ) o está acotada Si h =, (x ) puede ser covergete o divergete De ejemplos de sucesioes s para las cuales h = y (a) s, (b) s 5, (c) s 0 9 Si x > 0, N y lim x + x = h demuestre que x / h cuado E cosecuecia, el método del problema 8 es más fuerte que el del problema 7 (Ayuda: Si h > 0 y 0 < ε < h, demuestre que para algú N N: x N (h ε) N < x < x N (h + ε) N si > N Luego use el problema 2 para mostrar que existe N N tal que, si > N, h ε < x / < h + ε) 0 Demuestre que si (a ) coverge a cero y (b ) está acotada, etoces (a b ) coverge a cero E cambio, si (a ) coverge a u úmero distito de cero, es posible que (a b ) o coverja Demuestre que sup + + = 2 3, if = 0 2 De u ejemplo de ua sucesió (x ) para la cual, si A es u cojuto fiito cualquiera de valores de la sucesió, if x < if A < sup A < sup x 3 Si (x ), (y ) so sucesioes acotadas y positivas de úmeros reales, demuestre que sup(x y ) sup x sup y, if(x y ) if x if y 4 Si x coverge a x e y coverge a y, etoces máx{x, y } coverge a máx{x, y} y mí{x, y } coverge a mí{x, y} 5 Si (x ) es ua sucesió acotada demuestre que sup x + + x sup x, if x + + x if x, y si x 0 etoces sup(x x 2 x ) / sup x, if(x x 2 x ) / if x 6 Sea (x ) ua sucesió moótoa Muestre que (x +x 2 + +x )/ es moótoa y crece o decrece segú x sea creciete o decreciete 7 Si (x ) es ua sucesió de úmeros reales, (y ) ua sucesió de reales positivos y (x /y ) es moótoa, etoces la sucesió defiida por z = (x + x x )/(y + y y ) es moótoa 8 Sea 0 < a < b < Defiimos x = a, x 2 = b, x +2 = (x + x + )/2 Es covergete la sucesió (x )? Si la respuesta es afirmativa, Cuál es el límite? 33 Límites superior e iferior de ua sucesió Defiició 38 Sea (x ) = ua sucesió e R Para cada k N defiimos α k = sup k x ; β k = if k x

15 33 LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR DE UNA SUCESIÓN 59 Vemos que la sucesió (α ) = es decreciete mietras que (β ) = es creciete Defiimos el límite superior de la sucesió (x ) =, lim x ó limsup x por lim x = lim k α k = lim k sup x, k y el límite iferior de la sucesió: lim x ó limif x por lim x = lim k β k = lim k if k x Ambos límites está siempre defiidos y so elemetos de R Por la mootoía de las sucesioes (α k ) y (β k ) teemos lim x = lim k lim x = lim k sup k x = if k if x = sup k k Además como β k α k para todo k se tiee que lim x lim x sup k x, if x k Ua forma equivalete de escribir ambas defiicioes es la siguiete: lim x = lim sup p lim x = lim x +p, if p x +p Teorema 37 Sea (x ) = ua sucesió e R y a, b R Etoces lim x = a sí y sólo sí se cumple las siguietes dos codicioes: a) Si α < a el cojuto { N : x > α} es ifiito b) Si β > a el cojuto { N : x > β} es fiito 2 lim x = b sí y sólo sí se cumple las siguietes dos codicioes: a) Si α < b el cojuto { N : x < α} es fiito b) Si β > b el cojuto { N : x < β} es ifiito Demostració Haremos solo el caso () co a fiito Sea α k = sup k x y a = lim α k Sea α < a, etoces α k > α para todo k Por la defiició de α k, para cada k existe k k tal que α k x k > α Por lo tato y este último cojuto es ifiito { N : x > α} { k : k N}

16 60 CAPÍTULO 3 SUCESIONES Sea ahora a < β Como α k a existe k 0 tal que α k0 < β y por lo tato si k 0, x α k0 < β Esto quiere decir que el cojuto { N : x > β} es fiito Supogamos ahora que se satisface las codicioes a) y b) Si < a <, dado β > a podemos escoger k 0 N tal que x β para todo k 0 Por lo tato α k α k0 β para todo k k 0 y limsup x = lim k α k β Como esto es cierto para todo β > a cocluimos que limsup x a Por otro lado, si α < a el cojuto { N : x > α} es ifiito y por lo tato α k > α y limsup x = lim α k α Como esto es válido para cualquier α < a cocluimos que limsup x a Teorema 38 Sea (x ) = ua sucesió e R Etoces lim x existe e R sí y sólo sí lim x = lim x E este caso lim x = lim x = lim x Demostració Supogamos que lim x = lim x = l Si l R etoces ( ) ( ) lim sup x +p = lim if x +p = l p p y dado ɛ > 0 existe u etero N tal que Por lo tato sup x +p l + ɛ para todo N, p if x +p l ɛ para todo N p l ɛ x l + ɛ para todo N + y de aquí cocluimos que x l cuado Si l = +, etoces a) del Teorema 37 dice que para cualquier α R, existe N N tal que x > α para todo > N, y por lo tato lim x = + De maera similar se trata el caso l = Supogamos ahora que lim x = l Si l R, dado ɛ > 0 existe N tal que Por lo tato l ɛ < x < l + ɛ para todo N l ɛ if x +p sup x +p l + ɛ para todo N p p y etoces ( ) ( ) l ɛ lim if x +p lim sup x +p l + ɛ p p Como esto es cierto para cualquier ɛ cocluimos lim x = lim x = l

17 33 LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR DE UNA SUCESIÓN 6 Si lim x = +, dado M R existe N N tal que si N etoces x > M Por lo tato if x +p M para N p y e cosecuecia lim x = lim if p x +p M Esto quiere decir que + = lim x lim x + De maera similar se muestra el resultado e el caso lim x = Defiició 39 Sea (x ) = ua sucesió e R U puto x R es u puto de acumulació de la sucesió si toda vecidad de x cotiee a ifiitos elemetos de la sucesió Es decir, si B = {x : N}, x es u puto de acumulació de la sucesió sí y sólo sí es puto de acumulació del cojuto B Teorema 39 Sea (x ) = ua sucesió e R y sea A el cojuto de putos de acumulació de esta sucesió Etoces i) lim x A y lim x A ii) lim x c lim x para todo c A Demostració Esto es cosecuecia imediata del Teorema 37 Corolario 34 Ua sucesió e R tiee límite e R sí y sólo sí tiee u solo puto de acumulació Ejercicios 33 Si x = ( ), muestre que limx =, limx = 2 Sea (x ) e (y ) sucesioes reales acotadas, etoces lim x + lim y lim (x + y ) lim x + lim y lim x + lim y lim (x + y ) lim x + lim y De ejemplos que muestre que estas desigualdades puede ser estrictas 3 Sea (x ) y (y ) sucesioes acotadas de úmeros reales positivos Demuestre que lim x lim y lim (x y ) lim x lim y lim (x y ) lim x lim y 4 Sea (s ) N ua sucesió de úmeros reales positivos Demuestre que lim s+ s lim s lim s lim s+ s 5 Demuestre que si x es ua sucesió acotada de úmeros reales, lim (x x +) 0 lim (x x +)

18 62 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 34 Sucesioes de Cauchy E lo que hemos estudiado hasta ahora, para poder determiar si ua sucesió x coverge es ecesario saber previamete el valor de su límite x, para así poder calcular la distacia del térmio -ésimo x al límite x: x x y aplicar la defiició 32 E muchas situacioes esto resulta icoveiete (y aú imposible), por la dificultad e determiar el valor del límite Sería sumamete útil e estos casos, dispoer de u criterio que permita determiar si ua sucesió coverge, si que sea ecesario determiar previamete el valor del límite, Esto es posible gracias al Criterio de Cauchy, que se basa e el cálculo de la distacia etre térmios de la sucesió, y que estudiamos a cotiuació Defiició 30 Ua sucesió (x ) = e u espacio métrico (X, d) es ua sucesió de Cauchy si para todo ɛ > 0 hay u etero N tal que d(x, x m ) < ɛ si N, m N Toda sucesió covergete e u espacio métrico es de Cauchy: si lim x = x y ɛ > 0 existe N N tal que d(x, x) < ɛ 2 para N Por lo tato, si N, m N se tiee El recíproco o siempre es cierto d(x, x m ) d(x, x) + d(x m, x) < ɛ Defiició 3 Sea (X, d) u espacio métrico Si toda sucesió de Cauchy (x ) = e X coverge a u puto x X, decimos que el espacio X es completo U ejemplo de u espacio métrico que o es completo es el de los racioales co la distacia usual Teorema 30 R es u espacio métrico completo Demostració Supoemos que para todo ɛ > 0 existe N N tal que si > N y m > N etoces x x m < ɛ Tomemos ɛ = y m = N +, obteiedo Por lo tato x x N+ < para todo > N x máx{ x,, x N, x N+ + } de dode cocluimos que (x ) = está acotada Sea β = lim x, teemos la siguiete propiedad: dado ɛ > 0 hay u N tal que x x m < ɛ si N y m N Por el Teorema 37, parte a existe M > N tal que β x M < ɛ Por la desigualdad triagular teemos que para > N x β x x M + x M β < 2ɛ de dode cocluimos que x coverge a β cuado

19 35 SUBSUCESIONES 63 Ejercicios 34 Demuestre que todo espacio métrico discreto es completo 2 Si (X, d) es completo y A X es cerrado, etoces (A, d A) es completo, dode d A es la restricció de la métrica d al cojuto A 3 E cualquier espacio métrico, ua sucesió de Cauchy es covergete sí y sólo sí tiee ua subsucesió covergete 4 Demuestre que (x, y ) es ua sucesió de Cauchy e R 2 sí y sólo sí (x ) e (y ) so sucesioes de Cauchy e R 35 Subsucesioes Defiició 32 Sea (x ) = ua sucesió e el cojuto X Si < 2 < 3 < es ua sucesió estrictamete creciete de úmeros aturales, decimos que la sucesió (x k ) k= es ua subsucesió de (x ) = Teorema 3 Sea (x ) = ua sucesió e (X, d), (x ) = coverge a x X sí y sólo sí toda subsucesió de (x ) = coverge a x Demostració Supogamos que x coverge a x y sea (x k ) k= ua subsucesió de (x ) = Dado ɛ > 0 etoces existe N N tal que si N, x B(x; ɛ) Para la subsucesió tomamos K N tal que K > N Etoces para todo k K se tiee x k B(x, ɛ) y x k x cuado k Por otro lado, si toda subsucesió de (x ) = coverge a x, basta cosiderar (x ) = como subsucesió de sí misma Teorema 32 Toda sucesió acotada e R tiee ua subsucesió covergete Demostració Sea E = {x, N}, el cojuto de los valores que toma la sucesió Por el Teorema 39, lim x es puto de acumulació de E y por el Teorema 33 (ii) existe ua subsucesió (x k ) k= que coverge a lim x Ejemplo 37 Tomemos x = ( ) para N Etoces x 2k =, x 2k = Por lo tato hay subsucesioes que coverge a cada uo de estos valores Teorema 33 Sea K R K es compacto sí y sólo sí toda sucesió e K tiee ua subsucesió que coverge a u puto de K

20 64 CAPÍTULO 3 SUCESIONES Demostració Supogamos que K es compacto y sea (x j ) j= ua sucesió e K Como este cojuto es compacto sabemos que es cerrado y acotado, y por lo tato, la sucesió (x j ) es acotada Si x j = (x j, x2 j,, x j ), cosideremos la sucesió (x j ) j= de las primeras coordeadas, que es ua sucesió acotada e R Por el Teorema 32 existe ua subsucesió covergete (x j i ) i= cuyo límite llamaremos x Si tomamos ahora la subsucesió de segudas coordeadas (x 2 j i ) i= co ídices iguales a los de la subsucesió covergete de primeras coordeadas que acabamos de hallar y usamos el mismo argumeto obteemos ua ueva subsucesió (x 2 j ik ) k= que coverge a u real x2 y además la subsucesió (x j ik ) k= coverge a x por el Teorema 3 Repetimos ahora este argumeto cosiderado todas las coordeadas ua por ua y termiamos co ua subsucesió de ídices (j h ) tal que todas las sucesioes de coordeadas tomadas sobre esta subsucesió de ídices so covergetes, lo cual quiere decir que x jh = (x j h, x 2 j h,, x j h ) x = (x, x 2,, x ) K Supogamos ahora que toda sucesió e K tiee ua subsucesió que coverge a u puto de K y sea E u subcojuto ifiito de K, etoces podemos ecotrar ua sucesió (x j ) j= e E tal que todos sus térmios so distitos Por hipótesis esta sucesió tiee ua subsucesió covergete El límite de esta subsucesió es u puto de acumulació de E y por el Teorema 24, K es compacto Ejercicios 35 Costruya ua sucesió divergete e R que tega ua subsucesió covergete 2 Muestre que toda sucesió real tiee ua subsucesió moótoa Ejercicios Complemetarios Las otacioes o, O y Estas otacioes fuero itroducidas por Ladau y resulta muy coveietes para cosiderar las propiedades de sucesioes de úmeros reales Sea (x ), (y ) sucesioes de úmeros reales La otació x = O() idica que la sucesió x es acotada, es decir, que existe M tal que x < M para todo N Si y 0, la otació x = O(y ) idica que existe M tal que x < Ky, para todo N a) Demuestre que (i) = O( 2 ), (ii) 2 = O( ), (iii) = O( 2 ) b) Supoga que x = O(y ), y = O(z ), demuestre que (i) x = O(b ), (iii) x + y = O(z ), (ii) x = O(z ), (iv) x 2 = O(y 2 )

21 35 SUBSUCESIONES 65 c) Supoga x = O(y ), demuestre que (x + +x )/ = O(y + +y /) y si además x 0 etoces (x x ) / = O((y y ) / ) Si x es ua sucesió de úmeros co x 0 cuado 0, escribimos x = o() Si y es ua sucesió estrictamete positiva y x /y = o(), escribimos x = o(y ) Si (x ), (y ) satisface x /y cuado escribimos x y d) Demuestre (i) 2 + = o(), (ii) ( ) 2 = O( 2 ), (iii) + 2 e) Demuestre las siguietes proposicioes (i) Si x = o() e y = O() etoces x y = o() (ii) Si x = o(y ) e y = O(z ) etoces x = o(z ) (iii) Si x = o(y ) e y z etoces x = o(z ) (iv) Si x y e y z etoces x z (v) Si x y e y = o() etoces x = o() f) Supoga que x y = o(), /y = O(), demuestre que x y De u ejemplo de sucesioes x, y para las cuales la relació x y = o() es cierta pero la relació x y es falsa g) Supoga que x y, y = O(), demuestre que x y = o() De u ejemplo de sucesioes x, y para las cuales la relació x y es cierta pero la relació x y = o() es falsa 2 Costrucció de los Números Reales por sucesioes de Cauchy a) Decimos que dos sucesioes de Cauchy (x ), (y ) de úmeros racioales so equivaletes si lim x y = 0, y e este caso usamos la otació (x ) (y ) Demuestre que esta es ua relació de equivalecia E cosecuecia podemos dividir el cojuto de las sucesioes de Cauchy racioales e clases de equivalecia: (x ) = {(y ) : (y ) es ua sucesió de Cauchy racioal y (y ) (x )} Los úmeros reales R so estas clases de equivalecia El cojuto Q de los úmeros racioales puede ser cosiderado como subcojuto de R idetificado cada úmero racioal q co la clase de equivalecia que correspode a la sucesió costate {q, q, q, }: {q, q, } b) Defiimos ahora las operacioes de suma y multiplicació etre úmeros reales Supogamos que x = (x ) e y = (y ) so dos úmeros reales, defiimos x + y = (x + y ), x y = (x y ) Verifique que ambas sucesioes (x +y ) y (x y ) so sucesioes racioales de Cauchy Verifique tambié que la defiició es cosistete, es decir, que o depede de los represetates de las clases de equivalecia que escojamos Fialmete, verifique que co estas operacioes los úmeros reales satisface los axiomas i) - ix) del Capítulo

22 66 CAPÍTULO 3 SUCESIONES c) Sea x = (x ) e y = (y ) dos úmeros reales, decimos que x < y si existe u racioal ε > 0 y N N tales que para todo N se tiee que x y ε, y decimos que x y si x < y ó x = y Verifique que la relació está bie defiida (o depede de los represetates escogidos e las clases de equivalecia) Por que o es suficiete pedir que x < y? Demuestre que esta es ua relació de orde (es reflexiva, atisimétrica y trasitiva) y satisface los axiomas x) - xii) del Capítulo d) Defiimos el valor absoluto de ua úmero real x = (x ) por x = ( x ) Demuestre que la desigualdad triagular es válida y e cosecuecia podemos defiir ua métrúmeros reales usado el valor absoluto de la diferecia etre ellos e) Pruebe que ua sucesió de úmeros reales es covergete sí y sólo sí es ua sucesió de Cauchy f) Fialmete demuestre que los úmeros reales satisface el axioma de completitud

Semana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II)

Semana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II) Semaa 0 [/24] 2 de mayo de 2007 Sadwich de sucesioes Semaa 0 [2/24] Límites y Orde. Teorema Sea u ) y w ) sucesioes covergetes a u y w, respectivamete. Si 0 tal que para 0 se cumple que etoces u w. u w

Más detalles

4. Sucesiones de números reales

4. Sucesiones de números reales 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,

Más detalles

Construcción de los números reales.

Construcción de los números reales. B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Series Infinitas

Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Series Infinitas Uiversidad Nacioal Autóoma de México Liceciatura e Ecoomía Cálculo Diferecial e Itegral Series Ifiitas El ifiito! Nigua cuestió ha comovido ta profudamete el espíritu del ser humao. David Hilbert Defiició

Más detalles

Más sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas.

Más sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas. Más sobre límites de sucesioes Sucesioes parciales. Sucesioes moótoas. E u artículo aterior habíamos hablado de las sucesioes de úmeros reales y del cocepto de límite de ua sucesió. Tambié, e otro artículo,

Más detalles

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x

Más detalles

Teoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...

Teoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia... covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto

Más detalles

Sucesiones. Liceo Nº 35 - IAVA

Sucesiones. Liceo Nº 35 - IAVA Liceo Nº 35 - IAVA Como ya lo hemos hablado e clase, este material NO sutituye el estudio e los libros recomedados NI es el teórico del curso, simplemete es u ordeamieto de alguos coceptos y teoremas que

Más detalles

Ayudantia 8 - MAT1116

Ayudantia 8 - MAT1116 Ayudatia 8 - MAT1116 14 de Septiembre del 2017 Defiició Puto Adherete: Sea X R, se dice que a es u puto adherete a X, si a = lím x co x X Defiició Clausura de u cojuto: Llamaremos clausura de u cojuto

Más detalles

Sucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Sucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica

Más detalles

Sucesiones. Límite de una

Sucesiones. Límite de una Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua

Más detalles

1. SUCESIONES Y SERIES

1. SUCESIONES Y SERIES 1. SUCESIONES Y SERIES Objetivo: El alumo aalizará sucesioes y las series para represetar fucioes por medio de series de potecias 1.1 Defiició se sucesió. Límite y covergecia de ua sucesió qué es ua sucesió?

Más detalles

Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc.

Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc. Sucesioes Sucesi o. Ua sucesió es u cojuto ifiito de úmeros ordeados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segudo, el tercero, etc. Los térmios de ua sucesió se desiga mediate a 1,

Más detalles

Funciones Exponencial y Logaritmo

Funciones Exponencial y Logaritmo . 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h

Más detalles

2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x

2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES.. problemas de ites y series. Pruebe, usado la defiició, que: x 3/ x 8 x = 4. Solució. Dado ɛ > 0 queremos que x 8 ( 4 x, sea meor que ɛ cuado x esté

Más detalles

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series. R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

Coordinación de Matemática II (MAT022)

Coordinación de Matemática II (MAT022) Coordiació de Matemática II (MAT0) Primer semestre de 03 Semaa 0: Lues 7 de Mayo Vieres 3 de Mayo CÁLCULO Coteidos Clase : Coordeadas paramétricas. Áreas e coordeadas paramétricas. Clase : Ejercicio y

Más detalles

) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen

) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen Criterio de Comparació Si a 0 y b 0. Si existe ua costate C > 0 tal que a Cb etoces la covergecia de b implica la covergecia de a. Ejemplo.- Sabemos que la serie coverge a, pero como (+), etoces la serie

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales. Series convergentes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas

Más detalles

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7 Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}

Más detalles

1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente

1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos

Más detalles

6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS

6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6... Sucesioes de úmeros reales 6.. SUCESIONES NUMÉRICAS Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier

Más detalles

3.2. Teoremas de Dini

3.2. Teoremas de Dini 3.2. TEOREMAS DE DINI 63 3.2. Teoremas de Dii Defiició 3.11. Sea X u espacio métrico y {f } ua sucesió e C(X). Decimos que la sucesió {f } es moótoa e si para todo x X se cumple f (x) f +1 (x), 1, o bie

Más detalles

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series) Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar

Más detalles

Medida de Probabilidad

Medida de Probabilidad Medida de Probabilidad Memo Garro Resume E este artículo etramos de lleo e el estudio del cocepto de medida de probabilidad. Para llegar a él seguiremos dos camios complemetarios: e primer térmio, partiremos

Más detalles

Capítulo 2. Series de números reales. 2.1 Convergencia de una serie de números reales.

Capítulo 2. Series de números reales. 2.1 Convergencia de una serie de números reales. Capítulo 2 Series de úmeros reales Defiició 2.0. Dada ua sucesió a, a 2, a 3,,, de úmeros reales, la sucesió S, S 2, S 3,, S, dode: S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S = a + a 2 + a 3 + + se dice

Más detalles

Tarea 1 y 2. Problema 1. Calcula el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos.

Tarea 1 y 2. Problema 1. Calcula el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos. Cálculo Tarea y Problema. Calcula el supremo y el ífimo de los siguietes cojutos. a) A = {x : 0 x }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. b) A = {x : 0 < x < }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. c) A

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. Un tipo importante de sucesiones son las llamadas sucesiones monótonas.

PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. Un tipo importante de sucesiones son las llamadas sucesiones monótonas. ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. U tipo importate de sucesioes so las llamadas sucesioes moótoas. Defiició.. a: Ua sucesió de úmeros reales ( ) = se llama moótoa creciete si +

Más detalles

Universidad Simón Bolıvar. Departamento de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluación No. 1 MA2115 Enero 2009

Universidad Simón Bolıvar. Departamento de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluación No. 1 MA2115 Enero 2009 Uiversidad Simó Bolıvar. Departameto de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluació No. MA25 Eero 2009 I. Evaluació Teórica.. Diga la defiició de ua sucesió covergete, la defiició de ua sucesió divergete

Más detalles

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E

Más detalles

Criterios de convergencia para series.

Criterios de convergencia para series. Criterios de covergecia para series. Para series e geeral, existe ua serie de criterios de covergecia:. Primer criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que m N, tal

Más detalles

Series alternadas Introducción

Series alternadas Introducción Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia

Más detalles

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias. TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar

Más detalles

bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a

bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a 1 Cojutos 1 Describa los elemetos de los siguietes cojutos A = { x x 1 = 0 } D = { x x 3 x + x = } B = { x x 1 = 0 } E = { x x + 8 = 9 } C = {x x + 8 = 9} F = { x x + 16x = 17 } Para los cojutos del ejercicio

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

No negatividad. Definición positiva. Propiedad multiplicativa. Desigualdad triangular. Identidad de indiscernibles. Desigualdad triangular

No negatividad. Definición positiva. Propiedad multiplicativa. Desigualdad triangular. Identidad de indiscernibles. Desigualdad triangular Repaso: Propiedades fudametales del Valor absoluto: x 0 x = 0 x = 0 xy = x y x + y x + y x = x x y = 0 x = y x y x z + z y x y x y No egatividad Defiició positiva Propiedad multiplicativa Desigualdad triagular

Más detalles

3.8. Ejercicios resueltos

3.8. Ejercicios resueltos 3.8 Ejercicios resueltos 101 3.8. Ejercicios resueltos 3.8.1 Ua sucesió a ) se dice que es cotractiva si existe 0

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la

Más detalles

Convergencia de variables aleatorias

Convergencia de variables aleatorias Capítulo Covergecia de variables aleatorias El objetivo del presete capítulo es estudiar alguos tipos de covergecia de variables aleatorias. Iiciaremos co la defiició de los distitos modos de covergecia...

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Convergencia absoluta y series alternantes

Convergencia absoluta y series alternantes Istituto Politécico Nacioal Escuela Superior de Cómputo Covergecia absoluta y series alterates Uidad de apredizaje: Cálculo aplicado Grupo: CM6 Autores: Morales López Laura Adrea Otiveros Salazar Ala Erique

Más detalles

1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE

1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE 1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE 1. Cocepto de límite 1.1 Defiició de etoro o vecidad: Si a es u úmero real (supógase que a está e el eje X), etoces, u etoro o vecidad de a de radio es u itervalo

Más detalles

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010 Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos:

Más detalles

Introducción básica a series

Introducción básica a series Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy

Más detalles

Sucesiones I Introducción

Sucesiones I Introducción Temas Qué es ua sucesió? Notacioes y coceptos relacioados. Maeras de presetar ua sucesió. Gráfico de sucesioes. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de sucesió. Coocer y maejar las diferetes maeras

Más detalles

Series alternadas. n n. Es decir sus términos son alternadamente positivos y negativos. Se analiza su comportamiento utilizando el siguiente teorema:

Series alternadas. n n. Es decir sus términos son alternadamente positivos y negativos. Se analiza su comportamiento utilizando el siguiente teorema: So series de la forma Series alteradas + ( ) a o ( ) a co a > = =. Es decir sus térmios so alteradamete positivos y egativos. Se aaliza su comportamieto utilizado el siguiete teorema: Teorema de Leibiz

Más detalles

Tema 2. Sucesiones de números reales

Tema 2. Sucesiones de números reales Tema 2. Sucesioes de úmeros reales 2.1.- Cocepto de sucesió y oció de covergecia. Álgebra de límites. Sucesioes parciales. 2.2.- Acotació y covergecia. Sucesioes moótoas de úmeros reales. 2.3.- Cálculo

Más detalles

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete

Más detalles

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N.

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N. Iducció matemática A meudo deseamos probar proposicioes de la forma N, p. Por ejemplo: 1 N, 1 + + 3 + + 1 + 1. N, + 4. 3 N, par implica par. Proposicioes y 3 se puede probar usado la técica de variable

Más detalles

AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.

AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES. E geeral, repetimos, o vamos a poder ecotrar la suma de ua serie covergete. Pero si su caracter, es decir si es covergete o o lo es.

Más detalles

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS

8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS ÍNDICE 8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 6 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE........................ 6 8.3. TEOREMAS Y EJEMPLOS......................... 63 8.4.

Más detalles

Serie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n

Serie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Serie de Potecias Deició 1. A ua serie de la forma a () dode a 1, a 2,..., a,... so costates y c R es jo, se le llama serie de potecias

Más detalles

Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n.

Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n. Sucesioes Tema 8.- Sucesioes y Límites Cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro: a, a, a 3,..., a Operacioes a =a, a, a 3,..., a b =b, b, b 3,..., b Suma Diferecia (a )+(b )=(a +b )= a +b, a

Más detalles

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:

Más detalles

Series de funciones en C z n z. f n (z) converge puntualmente en D C, entonces

Series de funciones en C z n z. f n (z) converge puntualmente en D C, entonces Series de fucioes e C. Defiició. Sea f : D C;, ua sucesió de fucioes. Sea S : D C la sucesió defiida por S (z) = f (z). La serie f (z) se dice covergete e z D si la sucesió {S (z)} es k= covergete e z

Más detalles

Criterios de Convergencia

Criterios de Convergencia Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series. Itroducció Criterios de Covergecia Sólo podremos calcular la suma de alguas series, e la mayoría os será imposible y os tedremos que coformar co saber si coverge

Más detalles

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias INTRODUCCIÓN A LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Se puede utilizar diferetes coceptos de covergecia para las sucesioes

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III

Más detalles

1. Serie de Potencias

1. Serie de Potencias . Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada

Más detalles

Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 1. Funciones de R en R n (Funciones Vectoriales)

Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 1. Funciones de R en R n (Funciones Vectoriales) Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R 1 Fucioes de R e R (Fucioes Vectoriales Llamaremos fució vectorial de variable real o simplemete fució vectorial, a aquellas co domiio e u subcojuto

Más detalles

2 Sucesiones de números reales

2 Sucesiones de números reales 2 Sucesioes de úmeros reales 2.. Sucesioes E el siguiete capítulo itroduciremos la oció de límite de ua fució real de variable real utilizado para ello la oció de sucesió. El propósito del presete capítulo

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Series de términos no negativos

Series de términos no negativos Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Itroducció Las sucesioes aparece de maera atural e muchos cálculos que respode a u esquema iterativo. Por ejemplo, al dividir 2 etre 3 obteemos 2 3 = 6 10 + 2 1, igualdad que

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a Págia. a) Es la sucesió de los úmeros impares:, 5, 7 b) Se suma al valor absoluto del úmero y se cambia de sigo: 7, 0, c) Se

Más detalles

Matemáticas Especiales. Sucesiones y Series. R. Rossignoli Universidad Nacional de La Plata

Matemáticas Especiales. Sucesiones y Series. R. Rossignoli Universidad Nacional de La Plata Matemáticas Especiales (Física Médica) Sucesioes y Series R. Rossigoli Uiversidad Nacioal de La Plata 5. Sucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros reales a, a,..., a,... () dode a está defiido para todo

Más detalles

CAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica.

CAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica. 5 CAPIULO 0 CONCEPOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Este capítulo proporcioa u pequeño resume acerca de coceptos básicos de álgebra y programació lieal que resulta fudametales para el bue etedimieto

Más detalles

Problemas de Sucesiones

Problemas de Sucesiones Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]

Más detalles

MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 8 Rodrigo Vargas

MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 8 Rodrigo Vargas PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMÁTICAS MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudatia 8 Rodrigo Vargas 1. Si Ω es u domiio e C. Demuestre que existe ua sucesió K } de subcojutos compactos

Más detalles

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile 12.4. Raíces de la uidad Igeiería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Itroducció al Álgebra 08-1 Importate: Visita regularmete http://www.dim.uchile.cl/~algebra.

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

Criterios de Convergencia

Criterios de Convergencia Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar

Más detalles

TEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

TEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García TEORÍA DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Figuras realizadas co Arturo de Pablo Martíez TEMA 3. Sucesioes y series 3. Sucesioes

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a a 8 + ( ); Y fialmete: a 7 8 + (7 ) 86 0 7 + 0. S 0 Págia 7 [ ( 7 + 9 5) ] 95. a) 6 : pero 0 : 6,6 o es PG b) 6 : ( ) : 6 :

Más detalles

2.2. Una versión elemental de la ley fuerte de los números grandes

2.2. Una versión elemental de la ley fuerte de los números grandes 34 CAÍTULO 2. LEY DE LOS NÚMEROS GRANDES Demostració. or el Teorema 2.0, vemos que basta probar que ( ) 2 2E (X,k E(X,k )) = 0. La esperaza e esta expresió se puede escribir como V ar(x,k ) + or la hipótesis

Más detalles

Análisis Matemático IV

Análisis Matemático IV Aálisis Matemático IV Relació 4. Ejercicios resueltos Ejercicio : Estudiar la covergecia putual y uiforme de las siguietes series fucioales e los cojutos que se idica (i) Σ x =! e x e [0, ] Primero, estudiamos

Más detalles

Series de potencias Introducción. Temas Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencias.

Series de potencias Introducción. Temas Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencias. Sesió 27 Series de potecias Temas Series de potecias. Itervalo y radio de covergecia de ua serie de potecias. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de serie de potecias. Determiar el itervalo y el

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

Algunos temas de Cálculo para el Grado en Ingeniería Informática

Algunos temas de Cálculo para el Grado en Ingeniería Informática Alguos temas de Cálculo para el Grado e Igeiería Iformática José Rodríguez Ruiz Departameto de Igeiería y Tecología de Computadores Uiversidad de Murcia v.0 (8 de eero de 07) Coteidos Itroducció V. Sucesioes..

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes

Más detalles

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,

Más detalles

S7: Series numéricas II

S7: Series numéricas II Dada la serie S = k= a k, si la suma es fiita diremos que es ua serie covergete y e caso cotrario ua serie divergete. A la siguiete sucesió de úmeros la llamaremos la sucesió de sus sumas parciales: S

Más detalles

Convergencia absoluta y series alternadas

Convergencia absoluta y series alternadas Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales

Más detalles

Sucesiones y Series Sucesiones

Sucesiones y Series Sucesiones Capítulo 3 Sucesioes y Series 3.1. Sucesioes E esta primera parte del capítulo os vamos a ocupar de las sucesioes, que so u objeto muy atural e ituitivo, pero que de todas maeras preseta particularidades

Más detalles

Desigualdad entre las medias Aritmética y Geométrica

Desigualdad entre las medias Aritmética y Geométrica Desigualdad etre las medias Aritmética y Geométrica Jorge Tipe Villaueva Dados reales positivos a 1, a,..., a, defiimos la media aritmética de a 1, a,..., a como el úmero a 1 + a +... + a y la media geométrica

Más detalles

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS SERIES DE POTENCIAS

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS SERIES DE POTENCIAS UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS Asigatura : Cálculo Numérico, MAT-23. Profesor : Emilio Cariaga L. Periodo : er. Semestre 205. SERIES DE POTENCIAS

Más detalles