9. Sucesiones y series de funciones

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1 9. Sucesioes y series de fucioes Aálisis de Vrible Rel Resume Estudiremos sucesioes y series de fucioes, y los coceptos de covergeci putul y covergeci uiforme de ests. Relcioremos estos co todos ls ocioes vists teriormete e el curso: cotiuidd, derivds e itegrles. Ídice 1. Covergeci putul Sucesioes de fucioes Defiició de covergeci putul Series de fucioes Deficiecis de l covergeci putul Covergeci uiforme Defiició de covergeci uiforme Covergeci uiforme y cotiuidd Covergeci uiforme e itegrció Covergeci uiforme y derivció Teorems de proximció globl Aproximció por fucioes esclods Aproximció por fucioes poligoles Aproximció por poliomios... 29

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3 1. Covergeci putul 1.1. Sucesioes de fucioes Qué es u sucesió de fucioes? Defiició 9.1. Se A Ä R. Supogmos que pr cd úmero turl está dd u fució f : A Ñ R. (I) L plicció fiñ f recibe el ombre de sucesió de fucioes (e A, si es ecesri l precisió), y se deot pf q. (II) L fució f socid l úmero turl recibe el ombre de térmio - ésimo de l sucesió. Obvimete, pr cd x P A, l sucesió de fucioes pf q defie u sucesió de úmeros reles pf pxqq. Pr lguos vlores de x P A, puede que est sucesió uméric se covergete, mietrs que pr otros es posible que o coverj. Obsérvese tmbié que llá dode exist, el límite de l sucesió pf pxqq o será fijo, sio que depederá del vlor de x P A. Esto justific l siguiete defiició: Defiició 9.2. Se pf q u sucesió de fucioes e A Ä R. (I) El cojuto C de los putos x P A tles que l sucesió uméric pf pxqq coverge se deomi cojuto (o cmpo, o domiio) de covergeci de l sucesió de fucioes pf q. (II) Si C?, l fució f : C Ñ R defiid por fpxq lím f pxq se le deomi fució límite de pf q Defiició de covergeci putul Qué es covergeci putul? Ls defiicioes teriores puede ser cosiderds desde otro puto de vist. Esto d orige l cocepto de covergeci putul. Defiició 9.3. Se pf q u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A Ä R, se S Ä A y f u fució defiid e S. (I) Si pr cd x P S, fpxq lím f pxq, se dice que l sucesió pf q coverge putulmete f e S, o que coverge puto puto f e S. (II) Cudo existe tl fució f, decimos que l sucesió pf q es covergete putulmete o covergete puto puto e S o que f es el límite putul de pf q e S. 1

4 (III) Cudo S A diremos secillmete que pf q coverge putulmete f, o que f es el límite putul de pf q, y lo deotremos f lím f o f Ñ f. Ejemplos. f pxq x, x P R. U secillo cálculo muestr que, fijdo u x P R culquier, se tiee lím f pxq lím x x lím 1 x 0 0. Esto os idic que l sucesió de fucioes pf q coverge putulmete e R l fució límite fpxq 0. f pxq x, x Pr0, 1s. Si tommos u x Pr0, 1q, se tiee que lím f pxq lím x 0. Esto o es sí si x 1. E efecto, lím f p1q lím 1 1. Por tto, l sucesió de fucioes pf q coverge putulmete l fució f defiid e r0, 1s por # 0, 0 x 1, fpxq 1, x 1. x f pxq, x Pr0, 8q. 1 ` x Si 0 x 1 se tiee Si 1 x, e cmbio, teemos lím f pxq lím x 1 ` x 0 1 ` 0 0. lím f pxq lím x 1 ` x lím Por último, pr x 1 obteemos lím f p1q lím 1 1 1{x ` ` ` E coclusió, l fució límite putul está defiid e r0, 8q por $ & 0, 0 x 1, fpxq 1{2, x 1, % 1, x 1. 2

5 f pxq x2 ` x, x P R. Culquier que se x P R, teemos que lím f pxq lím x 2 ` x lím x2 ` x x. E cosecueci, el límite putul de uestr sucesió de fucioes f pxq es e este cso l fució defiid e R por fpxq x. f pxq sep xq?. Ddo que pr culquier x P R se tiee que 1? f pxq 1?, está clro que lím f pxq 0, por lo que pf q coverge putulmete e R l fució fpxq 0. f pxq se x, x P R. Result evidete que est sucesió de fucioes coverge putulmete 0 e todos los x P Z. Meos trivil es probr que e los demás putos o coverge. E efecto, se x P R y supogmos que se x Ñ l P R. Etoces l lím se 2 x 2 lím se x cos x 2l lím cos x. De quí se deduce que o bie l 0, o bie lím cos x 1{2. No puede ser lím cos x 1{2, y que tedrímos 1 2 lím cos 2 x lím p2cos2 x 1q 1 2. Por tto, debe ser l 0, luego Como lím cos x lím? 1 se2 x 1. sep ` 1q x se x cos x ` cos x se x, qued lím cos x se x 0 y, sí, se x 0. Es decir, x P Z. 3

6 Aálisis de l defiició de covergeci putul Teiedo e cuet l defiició de sucesió covergete, está clro que el cocepto de sucesió de fucioes putulmete covergete se puede reescribir de l siguiete mer: Proposició 9.4. Se pf q u sucesió de fucioes e A Ä R, S Ä A,yf u fució defiid e S. So equivletes: (I) pf q coverge putulmete f e S. (II) Pr cd x P S y pr cd " 0 existe u 0 que 0 se verific f pxq fpxq ". P N tl que siempre De l mism mer, teiedo e cuet l equivleci etre los coceptos de sucesió covergete y sucesió de Cuchy, se estblece co fcilidd el resultdo siguiete: Proposició 9.5 (Criterio de Cuchy putul). Se pf q u sucesió de fucioes e A Ä R,yS Ä A. So equivletes: (I) pf q coverge putulmete e S. (II) Pr cd x P S y pr cd " 0 existe u 0 que m, 0 se verific f pxq f m pxq ". P N tl que siempre 1.3. Series de fucioes Qué es u serie de fucioes? De mer álog como se h defiido ls sucesioes de fucioes, tmbié podemos defiir ls series de fucioes. Defiició 9.6. (I) U serie de fucioes 8 1 f e A Ä R es u pr ordedo de sucesioes de fucioes ppf q, ps qq de fucioes e A, relciodos por l codició de que pr cd P N se tiee s f 1 ` f 2 ` `f. (II) Pr cd P N, el térmio -ésimo de l primer sucesió, f, recibe el ombre de térmio -ésimo de l serie. (III) El térmio -ésimo de l segud sucesió, s, recibe el ombre sum prcil -ésim de l serie. Tmbié podemos defiir pr ests el cocepto de covergeci putul, de mer álog lo que se hizo co sucesioes de fucioes. 4

7 Defiició 9.7. Decimos que u serie de fucioes coverge putulmete u fució f e u cojuto S si lo hce l sucesió de sus sums prciles. E tl cso, l fució f se deomi sum de l serie e el cojuto S. Ejemplo. 8ÿ x, x Pr0, 1s. 0 Ls sums prciles de est serie de fucioes so de l form s pxq ÿ x k 1 ` x ` x 2 ` x 3 ` `x k 0 # 1 x `1 1 x 0 x 1, ` 1, x 1.. Si 0 x 1, se tiee que s pxq Ñ1{p1 xq. Si x 1, e cmbio, se tiee s pxq Ñ8. Por tto l sum de l serie e r0, 1s o existe, pero sí e r0, 1q, y es l fució s: r0, 1q Ñ R, spxq 1{p1 xq Deficiecis de l covergeci putul Covergeci putul y su relció co cotiuidd, itegrles y derivds L relció de l covergeci putul co l cotiuidd, l derivbilidd o ls itegrles puede ser resumido de mer muy secill: Nd fucio como debe! Esto se evidecirá suficietemete e los ejemplos que sigue. Ejemplos. f pxq x, x Pr0, 1s. Y vimos que est sucesió de fucioes coverge putulmete l fució # 0, 0 x 1, fpxq 1, x 1. Obsérvese que ls fucioes f so tods cotius. (So, de hecho, derivbles.) Si embrgo, su límite putul f o es u fució cotiu. Así pues, el límite putul de u sucesió de fucioes cotius o tiee por qué ser cotiuo, y el límite putul de u sucesió de fucioes derivbles o tiee por qué ser derivble. 5

8 Se pr q u eumerció de los rcioles y # 1, x Ptr 1,r 2,...,r u, f pxq 0, resto. Pr cd P N, f es cotd y tiee solo putos de discotiuidd ( sber, r 1, r 2,...,r ); e cosecueci, f es loclmete itegrble. Vemos quié es el límite putul de est sucesió de fucioes. Si x R Q, f pxq 0 pr todo P N, sí que lím f pxq 0. Supogmos hor que x P Q. Como pr q es u eumerció de los rcioles, existirá u 0 P N tl que x r 0. Por tto, si 0, se d que x r 0 Ptr 1,r 2,...,r u, co lo que f pxq 1. E coclusió, lím f pxq 1. Resumiedo, el límite putul de pf q es l fució f : R Ñ R, dd por # 1, x P Q, fpxq 0, x R Q o, lo que es lo mismo, l fució peie de Dirichlet, que, como se sbe, o es itegrble e igú itervlo (o degeerdo). Vemos de est mer que el límite putul de u sucesió de fucioes itegrbles o tiee por qué ser itegrble. # 1, x m{!, m P Z, f pxq 0, e el resto. Este ejemplo sigue l mism líe que el terior, pero si hcer uso de u eumerció de los rcioles. Es obvio que ls fucioes pf q so loclmete itegrbles, y que e cd itervlo cerrdo y cotdo, f solo puede teer u úmero fiito de discotiuiddes ( sber, los putos del itervlo de l form m{!). Si x R Q, es obvio que x o se puede escribir e l form x m{!, sí que f pxq 0 pr todo P N y, por tto, lím f pxq 0. Si x P Q, e cmbio, se tedrá que x p{ 0, dode p P Z y 0 P N. Si 0, etoces el úmero 1!{ 0 es u etero, y teemos x 1 p p!, de dode f pxq 1 pr todo 0. Así, lím f pxq 1. Se lleg sí l coclusió de que el límite putul de l sucesió pf q es tmbié e este cso l fució peie de Dirichlet, que o es itegrble e igú itervlo. 6

9 f pxq xp1 x 2 q, x Pr0, 1s. Pr cd P N, f es u fució cotiu y por ello es itegrble. Hciedo el cmbio de vrible u 1 x 2, du 2xdx, obteemos que ª 1 0 f ª 1 0 ª 0 xp1 x 2 q dx u du u`1 1 2 ` 1ˇ 2 0 ª 1 0 u du 1 ` 1 Ñ 1 2. Por otro ldo, es fácil ver que pf pxqq coverge 0 pr todo x Pr0, 1s. Es decir, el límite putul de est sucesió de fucioes es l fució idéticmete ul fpxq 0, co lo que e este cso sí result ser itegrble. Si embrgo, teemos que ª 1 lím f 1 ª f. 0 Co esto se cocluye que, u e el cso e que el límite putul de u sucesió de fucioes itegrbles resulte ser itegrble, o tiee por qué cumplirse que el límite de ls itegrles se igul l itegrl del límite. 0 f pxq se x?, x P R. Como, pr todo x, es f pxq 1{?, está clro que est sucesió de fucioes coverge putulmete 0. Por otro ldo, culquier que se, l fució f es derivble. Su derivd es fpxq 1 cos x?? cos x. Y vimos que l sucesió pse xq coverge solo si x P Z, e cuyo cso coverge 0. Esto implic que l sucesió p cos x q coverge solo si x es u etero y e ese cso su límite es 1. De quí se deduce que l sucesió pf 1 pxqq o coverge pr igú vlor de x. Es decir: l covergeci putul de u sucesió de fucioes derivbles o implic l covergeci putul de sus derivds. 7

10 2. Covergeci uiforme 2.1. Defiició de covergeci uiforme Qué es covergeci uiforme? Los ejemplos teriores poe de mifiesto que el cocepto de covergeci putul es summete defectuoso. Afortudmete, existe u cocepto relciodo, u tipo más fuerte de covergeci, que tiee u comportmieto mucho mejor. Pr motivr l defiició, reescribmos l defiició tl como señl l Proposició 9.4. Defiició de covergeci putul Se pf q u sucesió de fucioes defiids e A Ä R, S Ä A, yf u fució defiid e S. Decimos que pf q coverge putulmete f e S si pr cd x P S y pr cd " 0 existe u 0 P N (depediete, quizá, de x) tl que siempre que 0 se verific f pxq fpxq ". Obsérvese que e l defiició terior el 0 P N prece depediedo, o solmete de " 0, sio tmbié de x P S. Es decir, si cogemos u x diferete, tmbié tedremos segurmete que escoger u 0 diferete. Podrí e lgú cso escogerse u 0 que deped solo de " y o deped del x elegido iicilmete, sio que sirv pr todos los x? A esto correspode el cocepto de covergeci uiforme. Defiició 9.8. Se pf q u sucesió de fucioes defiids e A Ä R, S Ä A,y f u fució defiid e S. Decimos que pf q coverge uiformemete f e S, o que f es el límite uiforme de pf q e S, si pr cd " 0 existe u 0 P N tl que siempre que 0 se verific f pxq fpxq " pr todo x P S. Si S A diremos secillmete que pf q coverge uiformemete f, o que f es el límite uiforme de pf q. Esto se deotrá veces f Ñ f. Relció etre covergeci putul y uiforme Observció. Evidetemete, si pf q coverge uiformemete f, etoces pf q coverge putulmete f. El recíproco o es cierto, lo que quedrá bie clro e ejemplos posteriores. Covergeci uiforme de series de fucioes El cocepto de covergeci uiforme de fucioes se extiede fácilmete series de fucioes. Defiició 9.9. U serie de fucioes 8 1 f se dice que coverge uiformemete u fució f e u cojuto S Ä R cudo l sucesió ps q de sus sums prciles s f 1 ` f 2 ` `f coverge uiformemete f e el cojuto S. 8

11 U criterio secuecil pr l covergeci uiforme Ates de estudir lguos ejemplos de covergeci uiforme (y o uiforme), vemos u técic muy secill que os permite probr co fcilidd que lgus sucesioes de fucioes o coverge uiformemete. Proposició Se pf q u sucesió de fucioes defiids e A Ä R, S Ä A,yf u fució defiid e S. So equivletes: (I) pf q coverge uiformemete f e S. (II) Pr tod sucesió px q e S, l sucesió pf px q fpx qq coverge 0. Demostrció. Supogmos que l sucesió pf q coverge uiformemete f e S. Ddo " 0, existe u 0 P N tl que si 0 etoces f pxq fpxq " culquier que se x P S. E prticulr, si px q es u sucesió e S, se tedrá f px q fpx q " si 0. Es decir, fpx q fpx qñ0. Recíprocmete, supogmos que pf q o coverge uiformemete f e S. Costruiremos u sucesió px q e S de form que f px q fpx q o coverj 0. Pr ello, costruiremos primero u subsucesió px i q, que luego completremos pr obteer tod l sucesió px q. Negdo l defiició de covergeci uiforme, obteemos: Existe u " 0 tl que pr todo 0 P N existe u 0 y u x P S de form que f pxq fpxq ". (1) Fijemos este " 0. Podemos refrser l proposició (1) de l mer siguiete: Pr todo P N existe u j y u x j P S de form que f j px j q fpx j q ". (2) Observmos que l sucesió de ídices pj q que prece e (2) o tiee por qué ser creciete, por lo que los f j o form e pricipio u subsucesió de pf q. Si embrgo, como j, result evidete que l sucesió pj q o está cotd superiormete, por lo que podremos extrer de ell u subsucesió pi q que sí que es estrictmete creciete. E cosecueci, los f i form u subsucesió de l sucesió de fucioes pf q. De est form, hemos costruido u sucesió estrictmete creciete de úmeros turles pi q y u sucesió px i q formd por elemetos de S, tles que f i px i q fpx i q ". Si completmos l defiició de u sucesió px q, fijdo el vlor de x pr los ídices que o so de l form i, es obvio que l sucesió pf px q fpx qq o coverge 0, y que tmpoco lo hce su subsucesió pf i px i q fpx i qq. 9

12 Ejemplos. f pxq x{, x P R. Se vio teriormete que est sucesió coverge putulmete fpxq 0, sí que de coverger uiformemete, debe hcerlo f pxq 0 tmbié. A cotiució veremos que este o es el cso. E efecto, se x. Etoces f px q fpx q 0 1. Por tto, f px q fpx q Ñ 1 0. Por l Proposició 9.10, est sucesió de fucioes o coverge uifomemete 0, y por tto o coverge uiformemete e R. Si embrgo, sí que coverge uiformemete e culquier itervlo cerrdo y cotdo. E efecto, se, b P R, b. Se " 0 y defimos K máxt, b u. Escojmos hor u 0 P N tl que K{ 0 ". (Obsérvese que este 0 depede de ", pero o de x.) Pr todo x Pr, bs y todo 0, se tiee que f pxq 0 x { K{ K{ 0 ", Por tto, pf q coverge uiformemete 0 e r, bs. f pxq x, x Pr0, 1s. Vimos que est sucesió de fucioes covergí putulmete l fució fpxq # 0, 0 x 1, 1, x 1, sí que este es el úico posible cdidto límite uiforme de pf q. Vemos cotiució que pf q tmpoco coverge uiformemete f. E efecto, se x 1{? 2. Etoces, pr todo P N se tiee que f px q fpx q 1{2 0 1{2. Por tto, pf px q fpx qq o coverge 0, y se cocluye que pf q o coverge uiformemete e r0, 1s. Por otro ldo, si 0 1, pf q sí coverge uiformemete e r0,s. E efecto, se " 0 y se 0 P N tl que 0 ". (Este 0 existe porque lím 0, y observmos que o depede de x: solo de ".) Si x Pr0,s y 0, etoces f pxq fpxq x 0 ". x f pxq, x Pr0, 8q. 1 ` x Se vio teriormete que est sucesió de fucioes coverge putulmete l fució $ & 0, 0 x 1, fpxq 1{2, x 1, % 1, x 1. 10

13 Est sucesió de fucioes o coverge uiformemete e R. De hecho, o lo hce i e r0, 1s, i e r1, 8q. Pr ver que o coverge uiformemete e r0, 1s, se x 1{? 2. Etoces f px q fpx q 1{2 1 ` 1{ , sí que pf px q fpx qq o coverge 0. Vemos hor que tmpoco coverge uiformemete e r1, 8q. Pr ello, defimos hor x? 2. Etoces f px q fpx q 2 1 ` Por tto, e este cso pf px q fpx qq tmpoco coverge 0. Por otro ldo, pf q coverge uiformemete e r0,s, si 0 1. E efecto, ddo u " 0, escojmos u 0 P N tl que 0 ". Etoces, si 0, pr todo x Pr0,s obteemos f pxq fpxq x 1 ` x 0 x 1 ` x x 0 ". Est sucesió de fucioes tmbié coverge uiformemete e culquier itervlo de l form r, 8q, dode 1. E efecto, se " 0. Como lím 1{ 0, podemos elegir u 0 P N tl que 1{ 0 ". Si x Pr, 8q y 0, se cumple que f pxq fpxq x 1 ` x ` x 1 x 1 1 ". 0 f pxq x2 ` x, x P R. Y sbemos que est sucesió de fucioes coverge putulmete l fució fpxq x. No lo hce uiformemete. Pr verlo, se x?. Etoces f px q fpx q `?? 1. De quí se sigue que f px q fpx q o coverge 0. El lector si dud o tedrá dificultd pr probr, de form similr como se hizo e el primer ejemplo, que sí coverge uiformemete sobre culquier itervlo cerrdo y cotdo. 11

14 f pxq sep xq?. Est sucesió coverge uiformemete 0 e todo R. E efecto, ddo " 0, si 0 P N es tl que 1{? 0 ", se tiee etoces pr todo x P R y todo 0 que f pxq 0 sep xq? 1? 1? 0 ". L orm uiforme Mostrremos hor u método que hce todví más secillo el juzgr si u sucesió de fucioes es uiformemete covergete o o, pues reduce este hecho l covergeci de u sucesió de úmeros reles. Defiició Se f u fució defiid e A Ä R. Llmmos orm uiforme de f l úmero (posiblemete ifiito) kfk 8 : supt fpxq x P A u. Relció etre l covergeci uiforme y l orm uiforme Obsérvese que l orm uiforme es u elemeto de l rect mplid: o tiee por qué ser u úmero rel, sio que puede vler tmbié 8. Pr el siguiete resultdo, doptremos el siguiete coveio: Defiició Se ps q u sucesió de elemetos de R. Diremos que ps q coverge l P R si existe 0 P N tl que s es fiito si 0 y l sucesió de úmeros reles ps q 0 coverge l. Proposició Se pf q u sucesió de fucioes defiids e A Ä R, yf u fució defiid e A. So equivletes: (I) pf q coverge f uiformemete. (II) L sucesió de l rect mplid pkf fk 8 q coverge 0. Demostrció. (I) ñ (II). Si pf q coverge uiformemete, ddo " 0, existirá u 0 P N tl que, si 0 y x P A, etoces f pxq fpxq "{2. Por tto, si 0, tedremos que kf fk 8 supt f pxq fpxq x P A u " 2 ". (Obsérvese que kf fk 8 es fiito si 0.) Por tto lím kf fk

15 (II) ñ (I). Supogmos hor que pkf fk 8 q coverge 0. Ddo " 0, existe u 0 P N tl que si 0 etoces kf fk 8 ". Por tto, pr todo 0 y todo x P A, se tedrá f pxq fpxq supt f ptq fptq t P A u kf fk 8 ". Hemos cocluido sí que pf q coverge uiformemete f. Ejemplos. f pxq x{, x P R. Sbemos que pf q coverge putulmete l fució fpxq 0. Por tto,! x kf fk 8 sup ) ˇ x P R 8, culquier que se P N. Por tto, l sucesió pkf fk 8 q o coverge 0 y, e cosecueci, l covergeci de pf q o es uiforme. f pxq x, x Pr0, 1s. El límite putul de est fució es, segú y se vio, # 0, 0 x 1, fpxq 1, x 1. E cosecueci, f pxq fpxq # x, 0 x 1, 0, x 1. Se sigue que kf fk 8 supt x 0 x 1 u 1 pr todo P N. De uevo teemos que l sucesió pkf fk 8 q o coverge 0. Así, l covergeci o es uiforme. x f pxq, x Pr0, 8q. 1 ` x El límite putul es e este cso l fució $ & 0, 0 x 1, fpxq 1{2, x 1, % 1, x 1. 13

16 Por tto, $ x &, 0 x 1, 1`x f pxq fpxq 0, x 1, % 1, x 1. 1`x Deducimos de quí que, pr todo, kf fk 8 "! x )! 1 máx sup ˇˇˇ 0 x 1, sup ˇˇˇ )* x 1 1 ` x 1 ` x "! máx sup 1 1 )! 1 ˇˇˇ 0 x 1, sup ˇˇˇ )* x 1 1 ` x 1 ` x 1 2. Así pues, l covergeci tmpoco e este cso result uiforme. f pxq x2 ` x, x P R. El límite putul, clculdo teriormete, er l fució f pxq x. Teemos que f pxq fpxq x 2 {, de dode kf fk 8 8pr todo. Se cocluye que pf q o coverge uiformemete. f pxq sep xq?. Est sucesió coverge putulmete hci f pxq 0. E este cso, obteemos! sep xq ) kf fk 8 sup? ˇˇˇ x P R? 1 Ñ 0. E cosecueci pf q coverge uiformemete 0. El Criterio de Cuchy Uiforme Teorem 9.14 (Criterio de Cuchy Uiforme). Se pf q u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A. So equivletes: (I) pf q coverge uiformemete. (II) Ddo " 0, existe u 0 P N tl que si m, 0 etoces f m pxq f pxq ", culquier que se x P A. (III) Ddo " 0, existe u 0 P N tl que si m, 0 etoces kf m f k 8 ". 14

17 Demostrció. (I) ñ (II). Supogmos que pf q coverge uiformemete f. Ddo " 0, existirá u 0 P N tl que si 0 etoces f pxq fpxq "{2 pr todo x P A. Por tto, si m, 0 y x P A, será f m pxq f pxq f m pxq fpxq ` fpxq f pxq " 2 ` " 2 ". (II) ñ (III). Ddo " 0, existe u 0 P N tl que si m, 0 y x P A, etoces f m pxq f pxq "{2. Se sigue de quí que kf m f k 8 supt f m pxq f pxq x P A u " 2 ". (III) ñ (I). Ddo u " 0, existe u 0 P N tl que kf m f k 8 "{2 si m, 0 y x P A. Se tiee etoces que pr todo x P A es f m pxq f pxq kf m f k 8 " 2. (3) si m, 0. Por tto, culquier que se x P A, l sucesió pf pxqq es de Cuchy y, e cosecueci, es covergete. Defimos l fució f : A Ñ R por fpxq lím f pxq pr todo x P A. Hciedo m Ñ8e (3), obteemos que pr todo x P A teemos f pxq fpxq " 2 " pr todo 0. E coclusió, l sucesió de fucioes pf q coverge uiformemete f. Criterio de Cuchy Uiforme pr series de fucioes Del Criterio de Cuchy Uiforme podemos extrer de form imedit u versió pr series de fucioes. Corolrio 9.15 (Criterio de Cuchy Uiforme pr series de fucioes). Se pf q u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A. So equivletes: (I) 8 1 f coverge uiformemete. (II) Pr cd " 0, existe u 0 P N tl que si m 0 etoces ÿ f k pxq " pr todo x P A. k m (III) Pr cd " 0, existe u 0 P N tl que si m 0 etoces ÿ ". k m f k 8 15

18 El Criterio M El Criterio de Cuchy Uiforme 9.15 os permite probr u codició suficiete pr l covergeci uiforme de u serie de fucioes, que se utiliz muy frecuetemete debido su secill comprobció. Teorem 9.16 (Criterio M, de Weierstrss). Se 8 1 f u serie de fucioes defiids e u cojuto A pr l que se puede ecotrr u serie uméric covergete 8 1 M de térmios o egtivos de mer que, culquier que se P N, se tiee f pxq M pr todo x P A. Etoces l serie 8 1 f coverge uiformemete e A y bsolutmete e cd puto de A. Demostrció. Se " 0. Como 8 1 M es covergete, existe u 0 P N tl que k m M k " si m 0. Por tto, culquier que se x P A, si m 0 se obtiee que ÿ f k pxq k m ÿ k m M k ". Se cocluye de est mer que l serie 8 k 1 f kpxq es siempre bsolutmete covergete. Además, si x P A y m 0, ÿ k m f k pxq ÿ f k pxq ". k m Se obtiee sí por el Criterio de Cuchy Uiforme 9.15 que l serie de fucioes 8 1 f es uiformemete covergete. Ejemplos. 8ÿ 1 x, x Pr 1, 1s. 2 Pr todo P N y todo x Pr 1, 1s se tiee que x { 2 1{ 2. Como l serie 8 1 p1{2 q es covergete, el Criterio M os dice que est serie de fucioes coverge bsolut y uiformemete e r 1, 1s. 8ÿ 0 x, x Pr 1, 1s.! Culesquier que se P N y x Pr 1, 1s, se cumple que x {! 1{!. Como 8 0p1{!q coverge ( e), l serie de fucioes que estmos estudido coverge bsolut y uiformemete e r 1, 1s. 16

19 8ÿ ` x 2, x P R. Si P N y x P R, teemos 1{p 2 ` x 2 q 1{ 2. Como 8 1 p1{2 q coverge, l serie de fucioes estudid coverge bsolut y uiformemete e todo R. U cosecueci del Criterio M Eligiedo M kf k 8 e el Criterio M 9.16, obteemos l siguiete cosecueci imedit: Corolrio Se 8 1 f u serie de fucioes e u cojuto A. Si se cumple l codició 8 1 kf k 8 8, l serie de fucioes 8 1 f coverge bsolut y uiformemete e A Covergeci uiforme y cotiuidd Cotiuidd del límite uiforme A difereci de lo que ocurrí co l covergeci putul, l covergeci uiforme sí se llev bie co l cotiuidd. Teorem 9.18 (de l Covergeci Uiforme, de Cuchy). Se pf q u sucesió de fucioes que coverge uiformemete e u cojuto A u fució f defiid e A. Si cd fució f es cotiu e c P A, etoces f tmbié es cotiu e c. Demostrció. Por hipótesis, ddo u " 0 existe u úmero turl 0 tl que si 0 etoces f pxq fpxq " pr todo x P A. Por l Desiguldd 3 Trigulr, se tiee fpxq fpcq fpxq f 0 pxq ` f 0 pxq f 0 pcq ` f 0 pcq fpcq " 3 ` f 0 pxq f 0 pcq ` " 3. Como f 0 es cotiu e c, existe u 0 tl que si x c y x P A etoces f 0 pxq f 0 pcq "{3. E cosecueci, si x c y x P A se tiee etoces que fpxq fpcq ". Esto estblece l cotiuidd de f e c. Obsérvese que el resultdo terior puede ser cosiderdo como lgo cerc de itercmbio de límites: L coclusió del eucido puede ser reescrit como lím lím f pxq lím lím f pxq. xñc xñc Es decir, mbos límites comut e est situció. El correspodiete resultdo pr series de fucioes puede estblecerse como sigue: 17

20 Corolrio Si u serie de fucioes 8 1 f coverge uiformemete hci l fució sum f e su domiio A y si cd térmio f es u fució cotiu e u puto c P A, etoces tmbié f es cotiu e c. E leguje de itercmbio de límites, l coclusió de este corolrio se puede escribir como 8ÿ 8ÿ lím f pxq lím f pxq, xñc xñc 1 es decir, que el límite comut co l sum o, lo que es lo mismo, el límite e c de l sum se puede clculr térmio térmio. U ejemplo muy otble El Teorem 9.18 (o más bie el Corolrio 9.19) os permite costruir u ejemplo verddermete sombroso. Ejemplo. Existe u fució f : R Ñ R que es cotiu e todos los putos, pero o es derivble e iguo. Pr ver esto, empecemos por defiir l fució 'pxq x e r 1, 1s, y extedmos l defiició de 'pxq todos los reles x, exigiedo que 1 'px ` 2q 'pxq pr todo x P R. Etoces, culesquier que se x e y, se tiee que E prticulr, ' es cotiu e todo R. Defimos 'pxq 'pyq x y. (4) fpxq 8ÿ 3 'p4 xq. (5) 4 0 Como p3{4q 'p4 xq p3{4q y l serie 8 0 p3{4q es covergete, el Criterio M 9.16 os dice que l serie de fucioes (5) coverge uiformemete e todo R. Por el Corolrio 9.19 se sigue que f es cotiu e todo R. Ahor fijemos u úmero rel x y u úmero turl m. Escribmos m m, dode el sigo se elige de form que o exist igú etero etre 4 m x y 4 m px ` mq. Esto se puede hcer, y que 4 m m 1{2. Obsérvese que, por l form que tiee ', esto implic que 'p4 m px ` mqq 'p4 m xq ' 4 m x 1 'p4 m xq

21 Defimos x m x ` m y se 'p4 x m q 'p4 xq. x m x Cudo m, 4 x m 4 x 4 m es u etero pr, sí que 0 m, l desiguldd (4) implic que 0. Cudo 'p4 x m q 'p4 xq x m x 4 x m 4 x x m x 4. Como m 'p4m x m q 'p4 m xq x m x 'p4m px ` mqq 'p4 m xq m m 4m, cocluimos que fpx m q fpxq x m x fpx ` mq fpxq m 8 0 p 3 4 q 'p4 px ` mqq 8 0 p 3 4 q 'p4 xq mÿ m 3 m m 1 ÿ 3 m m m 1 ÿ m 1 3m 1 3 3m ` 1. 2 Por tto, lím m fpx m q fpxq x m x 8. Cudo m Ñ8, se tiee m Ñ 0 y por tto x m Ñ x. Esto implic que f o es derivble e x. 19

22 Qué es u sucesió de fucioes moóto? Pr el siguiete resultdo, ecesitmos u cocepto más. Defiició Se pf q u sucesió de fucioes e A Ä R. (I) Decimos que pf q es creciete si f pxq f `1 pxq pr todo P N y todo x P A. (II) Decimos que pf q es decreciete si f pxq f `1 pxq pr todo P N y todo x P A. (III) Si pf q es creciete o decreciete, decimos que es moóto. El Teorem de Dii El Teorem 9.18 tiee u teorem csi recíproco. Si u sucesió de fucioes cotius tiee límite cotiuo, etoces l covergeci es uiforme, co tl de que pf q cumpl u codició diciol: ser moóto. Teorem 9.21 (de Dii). Se pf q u sucesió de fucioes cotius e u itervlo cerrdo y cotdo I. Supogmos que pf q coverge putulmete u fució cotiu f y que pf q es moóto. Etoces pf q coverge f uiformemete. Demostrció. Pr cd P N, defimos e I l fució g pxq f pxq fpxq. L sucesió pg q es decreciete y coverge putulmete 0. Teemos que probr que pg q coverge uiformemete 0 o, lo que es lo mismo, que l sucesió uméric pkg k 8 q coverge 0. Obsérvese e primer lugr que, como pg q es decreciete, se tiee que kg `1 k 8 supt g `1 pxq x P I u supt g pxq x P I u kg k 8, co lo que result que l sucesió pkg k 8 q es tmbié decreciete. Por otr prte, como ls fucioes g so cotius, el Teorem de Acotció de Weierstrss 5.47 os segur l existeci, pr cd P N, de u x P I tl que kg k 8 g px q. Por el Teorem de Bolzo-Weierstrss 4.20, l sucesió px q tiee u subsucesió px i q que coverge cierto elemeto c P I. Se " 0. Ddo que pg q coverge putulmete 0, existe u 1 P N tl que g 1 pcq "{2. Por otr prte, g 1 es cotiu, sí que existe u 0 tl que si x P I y x c etoces g 1 pxq g 1 pcq "{2. Como px i q coverge c, 20

23 podemos ecotrr u 2 1 tl que x i2 c y, por tto, g 1 px i2 q g 1 pcq "{2. Defimos 0 i 2, y obsérvese que 0 i Si 0, obteemos Ejemplo. kg k 8 kg 0 k 8 g 0 px 0 q g i2 px i2 q f pxq g 1 px i2 q g 1 px i2 q g 1 pcq ` g 1 pcq " 2 ` " 2 ". 1 1 `p ` 7qx 2 ` x 5, 1 x 2. Obvimete, ls fucioes f so tods ells cotius. Clrmete, l sucesió de fucioes pf q coverge putulmete 0 y demás es decreciete. Por el Teorem de Dii 9.21, obteemos que pf q coverge uiformemete 0. L versió del Teorem de Dii 9.21 pr series de fucioes es como sigue: Corolrio Se pf q u sucesió de fucioes cotius y o egtivs e u itervlo cerrdo y cotdo I. Supogmos que l sum de l serie de fucioes 8 1 f es u fució cotiu. Etoces, 8 1 f coverge uiformemete Covergeci uiforme e itegrció El Teorem de Osgood Teorem 9.23 (de Osgood). Se pf q u sucesió de fucioes itegrbles e u itervlo r, bs que coverge uiformemete e r, bs u fució f. Etoces f es itegrble e r, bs y se cumple lím ª b f Demostrció. Se " 0. Existe u 0 P N tl que si 0 etoces kf fk 8 "{p2pb qq. Pr todo x Pr, bs se tedrá f 0 pxq fpxq "{p2pb qq, es decir, f 0 pxq ª b f. " 2pb q fpxq f 0 pxq` " 2pb q. Como f 0 es cotd, esto implic que f es cotd tmbié. Además, como fpxq f 0 pxq`"{2pb q, se obtiee que ª b f ª b 21 f 0 ` " 2,

24 y como fpxq f 0 pxq "{2pb q, se deduce tmbié que Se ifiere sí que 0 ª b f ª b ª b f ˆª b f ª b f 0 " 2. f 0 ` " ˆª b f 0 " ". 2 2 Como " 0 es rbitrrio, se deduce que b f b f y e cosecueci f es itegrble. Filmete, utilizdo l Desiguldd de Mikowski 7.35, se obtiee que si 0 etoces ª b ª b ª b f f pf fq Por tto, lím b f b f. ª b f f kf fk 8 pb q " 2pb q pb q " 2 ". Etedido como u teorem sobre itercmbio de límites, lo que este teorem cocluye es que lím ª b f ª b lím f. Es decir, e est situció el límite comut co l itegrl. L versió del Teorem de Osgood 9.23 pr series de fucioes rez como sigue: Corolrio Se 8 1 f u serie de fucioes itegrbles que coverge uiformemete hci l fució sum f e u itervlo r, bs. Etoces l serie 8 b 1 f coverge y 8ÿ ª b ª b f f. 1 E térmios de itercmbio de límites, lo que se tiee es que 8ÿ ª b ª b 8ÿ f f, 1 o se: l sum comut co l itegrl. 22 1

25 2.4. Covergeci uiforme y derivció L covergeci uiforme fll co ls derivds... Nuestro deseo más imedito serí que se pudier obteer pr l covergeci uiforme y ls derivds lgú teorem e l líe de los teriores pr l cotiuidd y pr ls itegrles, es decir lgo sí como Si pf q es u sucesió de fucioes derivbles que coverge uiformemete u fució f, etoces f es derivble y l sucesió de fucioes pf 1 q coverge tmbié ( quizá, icluso, uiformemete?) l fució f 1. Lmetblemete, este progrm, que de form t optimist os hemos propuesto, fll estrepitosmete, como se ve e los ejemplos que sigue. Ejemplos. b f pxq x 2 ` 1, x Pr 1, 1s. Tods ls f so fucioes derivbles. Si embrgo l sucesió de fucioes pf q coverge uiformemete l fució fpxq x, que o es derivble e 0. E efecto, pr todo x Pr 1, 1s, se cumple f pxq fpxq Por tto, c f pxq 1? se x, x P R. x 2 ` 1 1 x b x 2 ` 1 ` x 0 kf fk 8 1? Ñ 0. 1? 1? 1. Segú y vimos est sucesió de fucioes coverge uiformemete 0, pero l sucesió de derivds f 1 pxq? cos x o coverge e igú puto. f pxq x {, x Pr0, 1s. Como kf k 8 1{ Ñ 0, est sucesió de fucioes coverge uiformemete 0. E este cso, l sucesió de derivds fpxq 1 x 1 sí coverge, pero lo hce l fució # 1, x 1, gpxq 0, 0 x 1. Como est últim fució o es cotiu, pero ls f 1 sí lo so, se cocluye que l sucesió pf 1 q o coverge uiformemete. 23

26 ... pero o fll del todo Como cbmos de ver, l relció de l covergeci uiforme co ls derivds dist de ser perfect. De l covergeci uiforme de pf q o se puede obteer l covergeci de pf 1 q. Si embrgo, sí vmos poder obteer u teorem e el setido cotrrio, es decir, e el que surge l covergeci de pf q prtir de l covergeci uiforme de pf 1 q. Auque o ecotremos este resultdo t stisfctorio como el que pretedímos hllr l pricipio, es suficiete e l myorí de los cso prácticos. Teorem 9.25 (de Weierstrss). Se pf q u sucesió de fucioes derivbles defiids e u itervlo r, bs. Supogmos que: (I) Existe u c Pr, bs tl que l sucesió pf pcqq coverge. (II) L sucesió de derivds pf 1 q coverge uiformemete e r, bs u fució g. Etoces l sucesió pf q coverge uiformemete e r, bs u fució f derivble e r, bs, y demás f 1 g. Demostrció. Ddos m, P N, pliquemos el Teorem del Vlor Medio 6.13 l difereci f m f. Pr todo x Pr, bs existirá u c x etre c y x tl que f m pxq f pxq f m pcq f pcq`px cqpf 1 mpc x q f 1 pc x qq. De quí se obtiee que kf m f k 8 f m pcq f pcq `pb qkf 1 m f 1 k 8. Como l sucesió pf pcq es de Cuchy y l sucesió de fucioes pf 1 q verific el Criterio de Cuchy Uiforme 9.14, se sigue de quí que l sucesió de fucioes pf q tmbié verific este mismo resultdo y, por tto, pf q coverge uiformemete. Se f el límite de pf q. Como tods ls f so cotius y l covergeci es uiforme, deducimos que f es cotiu. Se hor d Pr, bs y probemos l derivbilidd de f e d. Pr ello, volvmos plicr el Teorem del Vlor Medio 6.13 f m f. Pr cd x Pr, bs existe u d x etre x y d tl que pf m pxq f pxqq pf m pdq f pdqq px dqpf 1 mpd x q f 1 pd x qq. Por tto, si x d, se tiee f m pxq f m pdq x d fpxq f pdq x d f 1 mpd x q f 1 pd x q kf 1 m f 1 k 8. 24

27 Como pf 1 q coverge uiformemete, ddo " 0 existirá u 1 P N tl que, si m, 1 y x d, etoces kf 1 m f 1 k 8 "{3 y, por tto, f m pxq f m pdq x d fpxq f pdq x d " 3. Si se tom hor el límite co respecto m, se obtiee fpxq fpdq x d fpxq f pdq x d " 3 siempre que x d y 1. Por otr prte, como g lím f 1, existe u 0 1 tl que si 0 etoces f 1 pdq gpdq "{3. Como f 0 es derivble, existe u 0 tl que si 0 x d etoces f 0 pxq f 0 pdq x d Por tto, si 0 x d, etoces fpxq fpdq x d f 1 0 pdq " 3. gpdq fpxq fpdq x d ` f 0 pxq f 0 pdq x d ` f 1 0 pdq gpdq " 3 ` " 3 ` " 3 ". f 0 pxq f 0 pdq x d f 1 0 pdq Esto prueb que f 1 pdq gpdq. Como d es rbitrrio, se obtiee que f 1 g. L coclusió del Teorem 9.25 se puede escribir como plím f q 1 lím f 1. Ejemplo. f pxq p 1q. L sucesió de fucioes pf 1 q coverge uiformemete, pues todos sus térmios so l fució idéticmete ul. Si embrgo, l sucesió de fucioes pf q o coverge, i siquier putulmete. Esto poe de mifiesto que l suposició (I) o es superflu e el Teorem

28 Y pr series? Aquí está l versió del Teorem 9.25 pr series de fucioes: Corolrio Se 8 1 f u serie de fucioes derivbles defiids e u itervlo r, bs. Supogmos que: (I) Existe u c Pr, bs tl que l serie 8 1 f pcq coverge. (II) L serie de ls derivds 8 1 f 1 coverge uiformemete e r, bs u fució g. Etoces l serie 8 1 f coverge uiformemete e r, bs u fució f derivble e r, bs, y demás f 1 g. Escrit de otr form, l coclusió de este corolrio firm que ˆ 8ÿ 8ÿ f 1 f Teorems de proximció globl 3.1. Aproximció por fucioes esclods Y hemos visto teriormete que u fució, que cumpl cierts codicioes, puede ser proximd por su poliomio de Tylor. Pero est proximció es solo locl. Es decir, el poliomio permece cerc de l fució origil mietrs o os lejemos mucho del cetro del poliomio, pero cudo os lejmos mbs fucioes puede diferir bstte. Lo que os propoemos hor es dr teorems de proximció globl. Dicho de otr form, pretedemos proximr u fució cotiu rbitrri por otr co cierts propieddes grdbles, de form que ls dos fucioes esté muy cerc l u de l otr e todo el itervlo de defiició de l fució origil. Qué es u fució esclod? Ls primers fucioes que utilizremos pr relizr u proximció so ls llmds fucioes esclods. Ests so de u otble simplicidd, lo que hce que se muy mejbles, por ejemplo, l hor de clculr itegrles. Defiició U fució f : r, bs ÑR es u fució esclod si existe u prtició P t x 0 x 1 x 2 x b u tl que f es costte e el itervlo px k 1,x k q pr todo k 1, 2,...,. 26

29 U fució esclod Ejemplo. L fució f : r2, 4s ÑR, defiid por $ 0, 2 x 1, es esclod. 1, 1 x 0, & 1{2, 0 x 1{2, fpxq 3, 1{2 x 1, 2, 1 x 3, % 2, 3 x 4 Aproximció por fucioes esclods Teorem Se I u itervlo cerrdo y cotdo y se f : I Ñ R cotiu. Pr todo " 0 existe u fució esclod g : I Ñ R tl que fpxq gpxq " pr todo x P I. Demostrció. Como, por el Teorem de Heie, f es uiformemete cotiu, se deduce que existe u 0 tl que si x, y P I y x y etoces fpxq fpyq ". Supogmos que I r, bs y elijmos u úmero turl tl que pb q{. Cosideremos l prtició P t x 0 x 1 x b u que divide I e itervlos igules. Debido que cd itervlo de l prtició tiee logitud pb q{, l difereci etre dos vlores culesquier de f e rx k 1,x k s, k 1, 2,...,, es meor que ". Defimos e I l fució esclod # fpq, si x x 0, gpxq fpx k q, si x Ppx k 1,x k s, k 1, 2,..., Si x Ppx k 1,x k s, se tiee Si x, tmbié se tiee fpxq gpxq fpxq fpx k q ". fpxq gpxq fpq fpq 0 ". Corolrio Se I u itervlo cerrdo y cotdo y se f : I Ñ R cotiu. Existe u sucesió de fucioes esclods e I que coverge uiformemete f. 27

30 Demostrció. Por el Teorem 9.28, pr cd úmero turl existe u fució esclod f defiid e I tl que f pxq fpxq 1, pr todo x P I. Esto clrmete implic que kf fk 8 1{. E cosecueci, kf fk 8 Ñ 0, es decir, pf q coverge uiformemete f Aproximció por fucioes poligoles Qué es u fució poligol? Ls fucioes esclods so bstte simples, pero co ells proximmos uestr fució cotiu origil por otr que tiee lguos putos de discotiuidd. Existe otrs fucioes bstte secills tmbié, pero que sí so cotius. Defiició Se dice que u fució f : r, bs ÑR es poligol si existe u prtició P t x 0 x 1 x 2 x b u tl que l restricció de f rx k 1,x k s es u fució fí pr todo k 1, 2,...,. Ejemplo. L fució f : r2, 4s ÑR, defiid por es poligol. $ x ` 2, 2 x 1, p1 xq{2, 1 x 0, & p10x ` 1q{2, 0 x 1{2, fpxq 8 10x, 1{2 x 1, 2x 4, 1 x 3, % 2, 3 x 4 Aproximció por fucioes poligoles Tmbié co ests fucioes obteemos u bue teorem de proximció globl. Teorem Se I u itervlo cerrdo y cotdo y se f : I Ñ R cotiu. Pr todo " 0 existe u fució poligol g : I Ñ R tl que fpxq gpxq " pr todo x P I. 28

31 Demostrció. Supogmos que I r, bs. Como, por el Teorem de Heie, f es uiformemete cotiu e I, existe u 0 tl que si x, y P I y x y etoces fpxq fpyq ". Escojmos u P R tl que pb q{. Cosideremos l prtició P t x 0 x 1... x b u que divide I e itervlos igules. Si x, y Prx k 1,x k s, será x y pb q{ y por tto fpxq fpyq ". Defimos e I l fució poligol # fpq, si x x0, gpxq fpx k 1 q` fpx kq fpx k 1 q x k x k 1 px x k 1 q, si x Ppx k 1,x k s,k 1, 2,...,. Pr todo k 1, 2,...,ges u fució fí e rx k 1,fpx k qs. Además, se tiee gpx k 1 q fpx k 1 q y gpx k q fpx k q. Por tto, pr todo x Prx k 1,x k s, gpxq está etre fpx k 1 q y fpx k q. E cosecueci, si x, y Prx k 1.x k s, se tedrá fpxq gpxq máxt fpxq fpx k 1, fpxq fpx k q u ". Si x, está clro que fpxq gpxq 0 ". De form álog l Corolrio 9.29, se obtiee l cosecueci siguiete: Corolrio Se I u itervlo cerrdo y cotdo y se f : I Ñ R cotiu. Existe u sucesió de fucioes poligoles e I que coverge uiformemete f Aproximció por poliomios El Teorem de Aproximció de Weierstrss A veces result importte poder proximr u fució trvés de otr que se derivble, o icluso ifiits veces derivble, e todos los putos. Etre este tipo de fucioes, ls más secills si dud so ls fucioes poliómics. Teorem 9.33 (de Aproximció, de Weierstrss). Se I u itervlo cerrdo y cotdo y se f : I Ñ R cotiu. Pr todo " 0 existe u fució poliómic g : I Ñ R tl que fpxq gpxq " pr todo x P I. Demostrció. Admitiremos, si pérdid de geerlidd, que I r0, 1s. Tmbié podemos supoer que fp0q fp1q 0, y que si se demuestr el teorem e este cso, e el cso geerl e que I r, bs podremos cosiderr F pxq fpxq fp0q xpfp1q fp0qq, 0 x 1. 29

32 Aquí F p0q F p1q 0, y si el resultdo es cierto pr F, es decir, existe u fució poliómic G tl que F pxq Gpxq " pr todo x P I, defiiedo gpxq Gpxq`fp0q`xpfp1q fp0qq, 0 x 1, g será tmbié u fució poliómic y demás fpxq gpxq F pxq Gpxq " pr todo x P I. Supodremos tmbié que f vle 0 fuer de r0, 1s, co lo que f será uiformemete cotiu e todo R. Por tto, ddo " 0 existirá, 0 1, tl que si x y etoces fpxq fpyq "{2. Se M kfk 8 y escojmos u turl tl que 8M? p1 2q ". Defimos 'pxq cp1 x 2 q, dode c 1{ 1 p1 1 x2 q dx y, por tto, ª 1 1 ' 1. Vmos relizr u estimció de lo que vle c. Utilizdo l Desiguldd de Berouilli, ª 1 1 p1 x 2 q dx ª 1 p1 x 2 q dx 0 ª? 1{ 0 ª? 1{ 0 4 3? 1?, sí que deducimos que c?. Esto último y l defiició de ' implic que Defimos hor p1 x 2 q dx p1 x 2 q dx 'pxq? p1 2q si x 1. gpxq ª 1 1 fpx ` tq'ptq dt, 0 x 1. Por uestrs hipótesis sobre f, teiedo e cuet que fpx ` tq vle 0 cudo t está e r 1, xs o e r1 x, 1s y relizdo u cmbio de vrible, obteemos gpxq ª 1 x x fpx ` tq'ptq dt 30 ª 1 0 fpuq'pu xq du,

33 y l últim itegrl es u poliomio e x. Por otr prte, pr todo x Pr0, 1s, gpxq fpxq ª 1 1 ª 1 2M 1 ª pfpx ` tq fpxqq'ptq dt fpx ` tq fpxq 'ptq dt 1 'ptq dt ` " ª 2 4M? p1 2q ` " 2 " 2 ` " 2 ". ª 1 'ptq dt ` 2M 'ptq dt Corolrio Se I u itervlo cerrdo y cotdo y se f : I Ñ R cotiu. Existe u sucesió de fucioes poliómics e I que coverge uiformemete f. 31

34 Referecis [1] R. G. Brtle y D. R. Sherbert, Itroducció l Aálisis Mtemático de u vrible, Limus, México, [2] K. A. Ross, Elemetry lysis: The theory of clculus, Spriger, Berlí, [3] T. M. Apostol, Aálisis Mtemático (2. ed.). Reverté, Brcelo, [4] V. A. Zorich, Mthemticl Alysis I, Spriger-Verlg, Berlí,