SERIES DE NÚMEROS REALES: CRITERIOS DE CONVERGENCIA

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1 SERIES DE NÚMEROS REALES: CRITERIOS DE CONVERGENCIA Cipri Stig Zrgz Deprtmet de Mtemátics Diciembre de 2009 Ccepts Serie U serie de úmers reles es u pr rded (f g ; fa g) e el que f g es u sucesió de úmers reles y fa g es l sucesió de id pr: A = y A + = A N: L sucesió f g recibe el mbre de térmi geerl de l serie, mietrs que l sucesió fa g se llm sucesió de sums prciles de l serie. L serie (f g ; fa g) se represet pr P : Serie cvergete L serie P es cvergete cud l sucesió de sums prciles l se, e cuy cs, el límite de dich sucesió recibe el mbre de sum de l serie y se represet pr + P : +P := A Serie bslutmete cvergete L serie P es bslutmete cvergete, cud l serie P j j se cvergete. Prpiedd de ls series bslutmete cvergetes E dichs series se puede rerder sus térmis si que ell fecte i l cvergecii l sum de l serie. Series cmuttivmete cvergetes L serie P es cmuttivmete cvergete cud pr td biyecció : N! N, l serie P () es cvergete y tiee l mism sum que l serie P : Relcies etre ls tips de cvergeci () Td serie bslutmete cvergete es cvergete. (2) L cvergeci bslut y l cmuttiv equivle pr series de úmers reles.

2 Series de térmis culesquier Cdició ecesri de cvergeci Se P u serie de úmers reles cvergete. Etces f g! 0: Criteri geerl de cvergeci criteri de Cuchy Se P u serie de úmers reles. S equivletes: i) P es cvergete ii) 8" > 0, 9m 2 N : si m y h 2 N es rbitrri, etces j ::: + +h j < " Test de cmprció Se P y P b series de úmers reles. Supgms que j j b ; 8 2 N y que l serie P b es cvergete. Etces, P es cvergete y se veri c que + + b E prticulr, si P es u serie de úmers reles y P j j es cvergete, etces l serie P es cvergete y se tiee que + + j j Criteri de Guss Si pr l serie P l rzó de ds térmis csecutivs culesquier puede ser represetd e l frm + = dde y s csttes y u ctidd ctd, etces P cverge si > ó = y > diverge si < ó = y Series de térmis psitivs Criteri de cmprció pr ps l límite Se f g ; fb g R + : i) Supgms que! L 2 R + : Etces cvergete, b cvergete! 0 y P b es cvergete, etces P es cvergete. 2

3 i! + y P es cvergete, etces P b es cvergete Criteri de l ríz de Cuchy Se 0: i) Si p = L > ) P cverge p = L < ) P cverge Criteri de Kummer Se ; b 0: i) Si 9" > 0; y 9p 2 N : pr p se tiee que b b + + "; etces P es cvergete 9p 2 N tl que, pr p, se tiee b b y l serie P b es cvergete, etces l serie P tmpc cverge. Criteri del cciete de D Alembert Se > 0: i) Si + = L > ) P cverge + = L < ) P cverge Criteri de Rbe Se 0: i) Si + + = L > ) P cverge = L < ) P cverge Criteri de Bertrd Se 0: Si + > l < ) cverge diverge Criteri k de Prigsheim Se 0: i) Si k = L > 0 etces: P cverge, k > k = 0 y k > ) P cverge i k = + y k ) P cverge Criteri de cdesció 3

4 Se f g & c 0. Etces, cverge, 2 2 cverge Criteri Si f() k = L > 0 etces: P f cverge, k > Criteri (Cs prticulr del criteri de Prigsheim) Se = f 0; 8 2 N y tl que f es derivble e 0 c f (0) = f 0 (0) = 0: Supgms que f 2 C 2 (I) c 0 2 I: Etces, P f cverge. Criteri itegrl de McLuri-Cuchy Se f : [; +[! R u fució ctiu y decreciete y, pr cd 2 N se = f (). Etces, l serie P y l itegrl imprpi de Riem R + f () d tiee el mism crácter. Css prticulres: i) Series rmóics de Riem: k cverge, k > ii) Se k 2 N j. Etces: k jj cverge, < iii) Serie gemétric: e cuy cs x cverge, jxj < + x = x iv) Serie ritmétic-gemétric: Se P u serie ritmétic-gemétric (es decir, = [ + ( ) d] r dde d = + y r = + s l difereci y l rzó, respectivmete). Etces: + [ + ( ) d] r = r + rd ( r) 2 8r 2 ] ; [ v) Serie hipergemétric Se P u serie hipergemétric (es decir, + = A+B A+C cverge, C B A 0 c A; B; C 2 R). Se tiee que 4

5 e cuy cs + = C C B A Series de térmis culesquier Criteris de Dirichlet y de Abel Se f g ; fb g R : P jb + b j es cvergete. i) Criteri de Dirichlet Si l sucesió de sums prciles de P está ctd y fb g! 0, etces l serie P b es cvergete. ii) Criteri de Abel Si l serie P es cvergete, tmbié l es l serie P b : Criteri de Leiiz Si fx g & 0, l serie P ( ) + x es cvergete 5