UD Trigonometría Ejercicios Resueltos y Propuestos Col La Presentación

Transcripción

1 En este documento se da una relación de los tipos de ejercicios que nos podemos encontrar en el tema de Trigonometría de º de Bachillerato. En todo el documento se sigue el mismo esquema: Enunciado tipo Breve resumen teórico para su resolución Ejercicios resueltos. Transforma de grados a radianes y viceversa Para realizar este ejercicio: usamos reglas de tres con la identidad 80º = rad x 6º rad 6º a) 6º = x = = rad = rad 80º 80º 5 5 b) 7 rad 7 rad 80º 7 x rad = 7 x = 7 = 47. 4º = 47º 8' '' 77º 8' '' 7 80º rad rad. Calcular las razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante Del ºC al ºC: Si α, su correspondiente en el primer cuadrante es 80 α Del ºC al ºC: Si α, su correspondiente en el primer cuadrante es 80 α 60 Del 4ºC al ºC: Si α, su correspondiente en el primer cuadrante es α Observación: cuando hablamos de ángulo correspondiente a otro estamos refiriéndonos a aquel ángulo que en el primer cuadrante que tiene razones trigonométricas iguales salvo por el signo. Para la completa comprensión de estos ejemplos es necesario saber no sólo los ángulos correspondientes sino que además también hay que saber cómo se comportan las RT al cambiar de cuadrantes. Al aplicar las relaciones vistas en teoría hay que tener en cuenta los cambios de signo, para ello hemos de tener en cuenta la tabla anidada inferior RT C C C 4C Sen + + Cos + + Tg + + a) cos 40º = ( º C ) = cos ( 40º 80º ) = cos 60 = b) sec 0º = ( 4º C ) = = = = = cos 0º cos 60º 0º cos 0º ( ) c) tg = ( º C ) = tg = tg = Sabiendo el cuadrante de la circunferencia goniométrica y una única razón trigonométrica, calcular las restantes razones trigonométricas: Para hallar las restantes razones trigonométricas es necesario saber estas fórmulas: x x + = ; tg x = ; + tg x = sec x = ; sec x = ; co sec x = ; cotgx = x tgx Para decidir el signo según el cuadrante basta asociar al o el signo del eje OY y al coo el signo del eje OX los demás signos salen de productos de signos ya conocidos. a) Sabiendo cotg α = ; < α < calcular las restantes razones trigonométricas.

2 5 4 tgα = Como + tg α = + = = cos α = cos α 4 cos α 4 cos α cosα = cosα = ± cos α = ( º C ) α = cos α co sec α = 5 ( º C ) 4 5 α = α = ( º C) sec α = ( º C) cos α = ; α = ; tg α = ; co sec α = 5; sec α = ; Calcular en función de una razón trigonométrica conocida o parametrizada, el valor exacto de otra razón: Se trata de calcular razones trigonométricas de ángulos que vienen a ser combinaciones lineales de ángulos conocidos y ángulos de los cuales se nos dan sus razones trigonométricas. Para resolver este tipo de ejercicios nos serán útiles las siguientes fórmulas: cos cos cos coscos a) Calcula en función de h el valor de siendo 57 = h Para empezar calculamos el cos 57 puesto que nos puede salir después Si 57 = h cos 57 = 57 = h Ahora hemos de poner como combinación lineal de algún ángulo famoso y el que nos han dado sólo así, podremos calcular dicha RT en función de h ( ) ( ) = = 80cos cos80 = 0 h h = h 5. Mezcla de los puntos. Y. a) Calcula las razones trigonométricas de 75º + 6 ( 75) = ( ) = 0cos cos0 = + = 4 6 cos ( 75) = cos ( ) = cos 0cos = = ( 75) 6 tg ( 75) = = = = = cos ( 75) b) Calcula las razones trigonométricas de rad 6 = = cos cos = = cos = cos = cos cos + = + = tg = = cos + 6. Aplicación de las transformaciones SUMA PRODUCTO

3 ( α + β) + ( α β) = α β ( + ) ( ) = cos α β α β cosα β ( α + β) + ( α β) = α β ( + ) + ( ) = cos cos cos cos cos α β cos α β αcos β 80 4 cos cos 57 = = 40 7 = 40 7 = 40 7 a) ( ) ( ( )) x+ y 8 = x = x y y = = b) cos 95 8 = ( 8 cos 95) = = ( + ( 57) ) = ( 57) 7. Aplicación de las fórmulas con carácter general Quizá esto no sea necesariamente un tipo de ejercicio, pero al no poder ubicarlo de forma alguna he intentado hacer una breve recopilación de lo que podemos encontrar. Se trata de aplicar las fórmulas trigonométricas en función de la necesidad del ejercicio: a) De dos ángulos α y β se sabe que suman 60º. Qué será mayor la suma de sus os o la suma de sus coos? x b) Simplifica en aquellos valores donde tenga tido la expresión. + ) x = ( ) = cos Si sumo x Sabemos que ) = cos ( ) = cos 4) cos ) y ) + = x x ) = cos + Si me quedo con ) y 4) me queda x cos x = = = tg x x + cos cos 8. Demostración de igualdades trigonométricas Se trata siempre de probar que una igualdad en la que aparecen fórmulas trigonométricas es cierta. Hay una técnica que no falla, pero que a veces puede resultar demasiado larga. Se toma un miembro de la igualdad y se intenta dejar en función de una sola razón trigonométrica, hacemos igual con el otro miembro y antes de que nos demos cuenta ya empezamos a ver que son la misma cosa a) Demuestra donde tenga tido la expresión esta identidad + x x = tg + + x Conocemos la fórmula si yo elevo al cuadrado en ambos x x miembros, tengo = =. Con esto y los resultados del ejemplo justo anterior, empezamos a sustituir en la expresión original y me da como + x + cos ( + cos ) x resultado: = = = tg + + x cos + cos cos ( cos + ) 9. Ecuaciones Trigonométricas ) Usando las fórmulas trigonométricas estudiadas intentamos dejar todo lo que

4 aparezca en función de una única razón. ) Una vez tengamos toda la expresión con una única RT procedemos al cambio de variable t = RT. ) Resolvemos la ecuación en t. 4) Deshacemos el cambio de variable y a continuación comprobamos que todas las soluciones verifiquen la ecuación original. a) x = x = ( ) ( ) ( ) = x = x + = x + = + = 4 = 0 Una vez está toda pasada a la misma RT en este caso, procedemos a hacer el cambio de variable t = cosx, así nos queda = { x = arccos = 0º + 60k; k t = 4t t = 0 0º 60ºk; k t + = = x arccos = = 40º + 60ºk; k Ya sólo queda sustituir las tres soluciones en la ecuación original, si hacemos eso nos damos cuenta que sólo la 0º y la 40º verifican la ecuación original. Si x = 0º cos 0 0= 0= Correcto Si x = 0º cos0 0 = = Incorrecto Si x = 40º cos = = Correcto 0. Resolución de Triángulos (NO necesariamente rectángulos) Lo único que necesitamos para resolver este tipo de ejercicios son los teoremas del o y de coo. También decir que cuando hallemos los ángulos, no olvidamos de ángulos negativos y mayores de 80º. Aquí los tenéis: a) Resuelve el triángulo (halla los restantes valores desconocidos) a = 6cm; b = 5cm; c = 5cm; Este es el caso en el que desconocemos todos los ángulos y hemos de hallarlos. Aquí no queda más remedio que usar el teorema del coo, cualquiera de sus tres versiones. Usamos:, y despejamos el. 56 = cos A cos A = A = arccos = º Ahora calculamos el A: A = = Ahora uso el teorema del o para hallar los otros os: 6 5 = B = B = º B Ahora para sacar el otro ángulo no es necesario aplicar ninguno de los teoremas A + B+ C = 80º C = 80 A+ B anteriormente citados, usamos la fórmula: ( ) C = 80º ( A+ B ) = 80º ( º º ) = º Ahora ya si se quiere, se pueden pasar los ángulos a º ó a radianes. 4

5 . Problemas de Triángulos Los problemas de triángulos se tratarán en clase. Aquí tenéis un cuadro resumen con todas las fórmulas excepto los teoremas del o y del coo cos cos cos coscos cos ú cos ú ú cos ( α + β) + ( α β) = α β ( ) ( ) cos ( α + β) + ( α β) = α β ( + ) + ( ) = cos cos cos cos α + β α β = cosα β cos cos α β cos α β αcos β 5