MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 06-07

Transcripción

1 MATEMÁTICAS II Cónis en oorens olres Curso ) El omet Hlley esribe un orbit elíti e exentrii e 07 l longitu el eje myor e l órbit es, roximmente, 68 unies stronómis (un u, istni mei entre l Tierr y el Sol, es millones e mills) Hllr un euión en olres r l órbit Cuánto se er el omet Hlley l Sol? e 07, 6 8 u 80 u F C Tommos un refereni olr e tio y l euión e l óni serí e l form: e e osα e osα ; e 77 0 e 068 Luego, un euión en olres r l órbit es: 06 r 07 osα L istni mínim entre el omet Hlley y el Sol es el vlor e r mínimo, que se obtiene uno el enominor 07 osα es máximo, es eir, r osα : 06 r 07 u 07 ) D l euión e l hiérbol x y, hllr l euión olr e su rm ereh suonieno que l ireión el eje olr oinie on l ireión ositiv el eje e bsiss y que el olo está: ) en el foo ereho e l hiérbol b) en el foo izquiero e l hiérbol En el so ), hllr l euión olr e sus iretries y síntots x y, b + b + Por tnto, e, b, b ) L iretriz es l ret x L euión, en este so, es: e osα os α osα Uni Doente e Mtemátis /

2 MATEMÁTICAS II Cónis en oorens olres Curso b) L iretriz es l ret x + L euión que se ebe emler hor es: e osα os α osα Diretries en el so ): ir x` ( ) r osα r os ir` x` ( + ) r osα r osα Asíntots en el so ): Son rets que sn or O(0,0) en l refereni x y ó bien O(-, 0) (-, 0) en l x`y`, y b tienen e eniente ± ±, luego su euión es: y ` 0 ± ( x`+ ) Psno olres: / / rsen α ± ( r osα + ) r, r senα osα senα + osα ) D l rábol e euión y 6 x, hllr su euión olr suonieno que l ireión el eje olr oinie on l ireión ositiv el eje e bsiss y que el olo está en el foo e l rábol y 6x x ; e L euión eu es: e osα osα α ) Verifir que l euión r etermin un elise y hllr los semiejes y ls osα euiones olres e sus iretries osα, e os α Uni Doente e Mtemátis /

3 MATEMÁTICAS II Cónis en oorens olres Curso Por ser e <, se trt efetivmente e un elise; y, or l form e l euión, un foo está en el olo, l iretriz no ort l eje olr y l óni y el foo están en el mismo semilno reseto e l iretriz y` y e / e F x`, b x e e b L iretriz tiene e euión: x` r osα r osα L otr iretriz tiene e euión: ` + + r osα x r osα ) Verifir que l euión r etermin l rm ereh e un hiérbol y osα hllr ls euiones olres e sus iretries y síntots, e osα osα Por ser e >, se trt e un rm e un hiérbol A l vist e l euión, l óni y el foo están el mismo lo reseto e l iretriz y el eje olr no ort ih ret, luego, l situión es l siguiente: Así ues, se trt e l rm ereh e un hiérbol e e, e, b + b Ls euiones olres e ls iretries se hlln e form nálog omo se hizo en el roblem nterior, obteniénose: y y` r, r osα osα / Ls euiones e ls síntots reseto l sistem e F x refereni x, y (e origen el entro e l óni, y e x` b ejes los e l óni) son: y ± x x` x Los nuevos ejes son hor: y` y Uni Doente e Mtemátis /

4 MATEMÁTICAS II Cónis en oorens olres Curso Reseto estos nuevos ejes, ls euiones rtesins e ls síntots son, or tnto: y ` ± (x`+ ) Por onsiguiente, ls euiones olres e ests rets son: r senα ± (r osα ) ; es eir, oerno r uno e los signos se obtiene: 0-0 r, r senα - osα osα + senα 6) Un elise e exentrii e tiene un foo F en el origen (olo) y su iretriz orresoniente tiene e euión olr rosα 8 Sbieno que el eje olr es OX +, se ie: ) Hllr ls oorens el otro foo F b) L euión olr e l elise ) Dibujr l elise y y` De l euión e l iretriz: / r 8 x` 8 osα F` F x x` se eue que l iretriz está l ereh el foo F (olo); or tnto, el eje olr ort l ir` ir iretriz y l óni y el foo están en el mismo semilno (izquiero) reseto e l mism Debe usrse un euión el tio : r e osα ) Ls oorens olres el otro foo serán: F`(r, α π ) Hllemos : 8 e, luego 8 8 Por tnto, : F`(r, α π ) b) ) ( ) b e osα os α Uni Doente e Mtemátis /

5 MATEMÁTICAS II Cónis en oorens olres Curso Ejeriios rouestos ) Determinr ls ónis que se n en oorens olres meinte ls euiones siguientes: 6 0 ) r b) r ) r osα os α os α ) r e) r f) r osα osα osα ) Elise b) Prábol ) Un rm e un hiérbol ) Elise e) Un rm e un hiérbol f) Prábol ) D l euión e l hiérbol x y, hllr l euión olr e su rm izquier, suonieno que l ireión el eje olr oinie on l ireión ositiv el eje e bsiss y que el olo está: ) en el foo izquiero e l hiérbol; b) en el foo ereho ) r b) r + os α + osα ) Hllr en l elise π π 6,, 6, r los untos uyos rios olres son igules 6 osα ) Hllr en l hiérbolρ osα, π, 6, π los untos uyos rios olres son igules ) Hllr en l rábol r los untos : - osα ) uyos rios olres sen mínimos b) uyos rios olres sen igules l rámetro e l rábol π π ),π, b),,, Uni Doente e Mtemátis /