Asignatura: Matemática Fundamental [405036M-02] Taller 1 Lenguaje Simbólico y lógica proposicional

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1 Asignatura: Matemática Fundamental [405036M-02] Taller 1 Lenguaje Simbólico y lógica proposicional 1. Responda las siguientes preguntas: a) Qué es un lenguaje formal? b) Qué es lenguaje matemático? c) Qué es lenguaje simbólico? d) Qué es un argumento? e) Qué es una premisa? f ) Qué es una conjetura? g) Qué es un axioma? h) Qué es un teorema? Qué tipos de teoremas existen? i) Qué es lógica? j ) Cuál es el papel de la lógica en la humanidad? k) Qué es lógica proposicional? l) Qué es una proposición? 2. De dos ejemplos de frases que no sean proposiciones. Justifique. 3. Escriba un ejemplo de cada una de las proposiciones compuestas vistas en clase. 4. Respecto el condicional p q, escriba las múltiples formas en que se puede leer esta proposición. 5. Considera la proposicíon p q. Consulta sobre su: a) Recíproca b) Contrarecíproca c) Inversa 6. Escribe la recíproca, contrarecíproca e inversa de las siguientes proposiciones. a) Hoy hago la tarea si duermo bien. b) Si k es un número par entonces k 2 es un número par. 7. De un ejemplo de un enunciado en el cual dudes de su valor de verdad. Es esta una proposición? 8. Juan David siempre dice la verdad, y nos han contado lo siguiente: Me gusta Diana o Marcela pero no ambas. Además, si me gustara Diana, me gustaría también Marcela. Podemos concluir que a Juan David le gusta Diana? Justifique. 9. Simbolice los siguientes enunciados en el lenguaje de la lógica proposicional: a) Juan debe declarar y ser sincero, o no debe declarar. b) x es par o x es impar c) Si x = 5 entonces x 8 = 3. d) ab = 0 si y sólo si a = 0 o b = Simbolice los siguientes enunciados en el lenguaje de la lógica proposicional: a) Juan debe declarar renta o pagar la declaración de renta, y no debe estudiar economía. b) 2 es par o 3 es impar lo cual implica que 2 2 = 4. c) Si x = 5 entonces x 8 = 3.

2 d) ab = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0. e) Si 2 es un entero entonces o π es irracional o e no es un real, si y sólo si estudio matemática. f ) Hoy es domingo pero las matemáticas no me gustan. 11. Escriba las siguientes proposiciones en lenguaje natural, teniendo en cuenta lo que representa cada proposición: p: Hay que ir a dormir. q: = 25 r: 2 / {2, 4, 6} (a) (p q) r (b) r (( (p q)) p) (c) (p q) r (d) (p q) (q r) 12. Diga cuáles de las siguientes expresiones son fbf y cuáles no. Justifique su respuesta. Puede asumir que los paréntesis innecesarios se pueden eliminar. a) (p qr s) b) (p q r) (s r) c) ) p q( d) p q p q e) ((((p q) r) t) p) 13. Sean p, q, r, A, B y C letras proposicionales. Si v (p) = v (q) = v (r) = V y v (A) = v (B) = v (C) = F, determine el valor de verdad de los siguientes enunciados: a) p q b) B r c) (A C) ( A C) d) [p (q r)] [(p q) r] e) (A B) (q r) f ) {[( p q) ( A C)] [(p q) ( B C)]} g) [(p q) (q p)] h) (p A) A i) ( ( (p q))) j ) (p q) (r B) k) ((( r q) p) A) 14. Para las fórmulas del ejercicio anterior, determine si son tautologías, contradicciones o contingencias. 15. Sean p, q, r, s, A y B letras proposicionales. Si sabemos que v (p) = v (q) = V y v (r) = v (s) = F, pero no sabemos ni el valor de verdad de A ni el de B, para cuáles de los encunciados que hay a continuación se puede determinar su valor de verdad? a) p A b) (A r) c) (A A) d) A ( p r) e) A ( A r) f ) B [( B A) B] g) [A (q s)] [(A q) (A s)] h) (A B) (B A) i) ( p A) ( A s) j ) [A (B r)] [(A B) (A r)] 16. Muestre que la proposición (p q r) ( p (q r)) es una tautología. No use tablas de verdad. 17. Suponga que la siguiente afirmación es cierta Si Tremebunda gana el primer examen de Lógica, entonces gana el curso

3 Además suponga que la afirmación también es cierta. Tremebunda no gana el primer examen de Lógica De lo anterior, se puede conlcuir que la afirmación, Tremebunda no gana el curso, es cierta? Explique. 18. Es fácil ver que la siguiente fórmula (p p) (r q) es una tautología. Explique por qué. 19. Es fácil ver que la fórmula [(s t w) (p q)] (r r) es una tautología. Explique por qué. 20. Halle la recíproca y la contrarrecíproca de cada proposición y halle su valor de verdad. a) Si a < 0 y b < 0 entonces ab > 0 (a, b R) b) Si a > b y c < 0 entonces ac < bc (a, b, c R) c) Si v (p q) = F entonces v (p) v (q) d) Si n y m son números pares entonces nm es un número par. e) Si A B = entonces A = o B =. f ) Si A B entonces A B = A 21. Verifique que las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes. a) Ley conmutativa: p q q p b) Ley de Morgan: (p q) p q. c) p (q r) (p q) (p r) d) (p q) p q e) (p q) (p q) (q p) 22. Entre los problemas que se proponen en este taller, hay aquellos que involucran conceptos que no se han trabajado aún, por ejemplo el de conjunto o conjunto numérico y cuya notación no es clara para la mayoría de ustedes. La idea es que se haga un esfuerzo por entender todo lo involucrado en este taller. Este esfuerzo se verá reflejado en la compresión de estos conceptos cuando llegue el día de trabajarlos. Exitos en adelante.

4 Asignatura: Matemática Fundamental [405036M-02] Taller 2 Predicados 1. Responde las siguientes preguntas: a) Qué es un predicado? b) Qué son los cuantificadores? c) El conmutar los cuantificadores en un predicado cambia el sentido de la proposición? d) En qué se diferencias las proposiciones de los predicados y por qué los últimos son importantes? 2. Escriba simbólicamente los siguientes enunciados. Recuerda tener en cuenta el número de variables presentes en el enunciado, predicados y evitar la simplicidad al realizar la representación: a) No existen números que sean pares e impares a la vez. b) No todos los números enteros son primos. c) Todo números entero es par si es múltiplo de dos. d) No todas las personas son buenas y honestas. e) Todos los triángulos equiláteros también son isóseceles. f ) Cualquier número impar difiere de un par en una unidad. g) Existe un número entero que satisface x = 0. h) Todos los estudiantes de licenciatura requieren cursos fuerte en matemática. 3. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Justifique su respuesta. A continuación escriba su negación. a) ( x R) ( x 2 0 ) ( ) b) ( x R) x 2 = x c) ( y Z) (2y 4 = 6) d) ( y R) (ln y = 2) e) ( x Z) ( x 3 = 64 ) f ) ( x R) ( x > 7 ) 4. Los siguientes constituyen axiomas de los números reales expresados simbólicamente. Exprese en lenguaje ordinario lo que representa y escriba el enunciado negado. Tome como universo de discurso el conjunto de los números reales. a) x y(x + y = 0) b) x y(x + y = y) c) x y(x y = 1 x 0) d) x, y, z(x + (y + z) = (x + y) + z) 5. Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados,tomando como universo el conjunto de todas las palabras del español y considerando los siguientes predicados: a) G (árbol) b) G (borrador) c) G (grave) G (x) : x es palabra grave y T (x) : x lleva tilde

5 d) G (ecuación) e) T (tablero) f ) T (árbol) g) T (grave) h) G (aguda) i) x (G (x) T (x)) j ) x (G (x) T (x)) k) x (G (x) T (x)) 6. Escriba, en lenguaje natural, la negación de cada enunciado: a) Ningún pájaro es cuadrúpedo. b) Nadie puede ser a la vez militar y escritor. c) No hay grandes sabios que no sean amantes de la música. d) Solo un matemático disfruta del método axiomático. e) El resfriado común nunca es mortal. f ) Las mordeduras de serpiente a veces son mortales. g) No se dijo nada de importancia. h) Un niño senaló con el dedo al emperador. i) No todo lo que brilla es oro. j ) Hay matemáticos interesados en la filosofía. k) Nadie mediocre es un buen profesional. 7. Considere como universo el conjunto de los seres humanos y considere los siguientes predicados: a) M (x) : x es estudiante de Licenciatura en Matemáticas. b) L (x) : x debe aprender lógica clásica. Traduzca al lenguaje natural los siguientes enunciados: (a) x (M (x) L (x)) (b) x (M (x) L (x)) (c) x (M (x) L (x)) (d) x (M (x) L (x)) (e) x (M (x) L (x)) 8. Para cada uno de los siguientes enunciados, simbolícelos en lógica de primer orden, niéguelos y simbolice también dicha negación. a) Todos los estudiantes de matemáticas ganarán el curso de lógica. b) Algunos estudiantes de matemáticas han leído las notas de lógica. c) Algunos estudiantes de matemáticas no saben hallar la recíproca de una implicación. d) No todos los peces son ovíparos. e) Ningún hombre honesto vende sus ideales. f ) Hay filósofos interesados en las matemáticas. g) Existen políticos que venden sus ideales y son honestos. h) Nadie que guste de las matemáticas desprecia la filosofía.

6 9. Suponga que la siguiente frase es verdadera Todos los estudiantes de filosofía ganaron el segundo parcial de lógica Para cada una de las siguientes frases diga si es verdadera, falsa o si no es posible decidir su valor de verdad, a partir del supuesto anterior? a) Algunos estudiantes de filosofía no ganaron el segundo parcial de lógica. b) Algunos estudiantes de filosofía ganaron el segundo parcial de lógica. c) Ningún estudiante de filosofía perdió el segundo parcial de lógica. d) No todos los estudiantes de filosofía perdieron el segundo parcial de lógica. e) Algunos estudiantes de filosofía perdieron el segundo parcial de lógica. f ) Algunos estudiantes de filosofía no perdieron el segundo parcial de lógica. g) Todo aquel que perdió el segundo parcial de lógica no es estudiante de filosofía. h) Nadie que haya perdido el segundo parcial de lógica es estudiante de filosofía. 10. Considere la frase Algunos filósofos son amantes de las matemáticas Suponga que la frase anterior es falsa. Para cada una de las siguientes frases, diga si es verdadera, falsa o si no es posible determinar su valor de verdad. Explique claramente su respuesta. a) Algunos amantes de las matemáticas son filósofos. b) No todos los filósofos son amantes de las matemáticas. c) Todos los filósofos son amantes de las matemáticas. d) Ningún amante de las matemáticas es filósofo. 11. Si la frase Algunos estudiantes de Licenciatura ganaron el examen de lógica es verdadera, se puede conlcuir que la frase Algunos estudiantes de Licenciatura no ganaron el examen de lógica también es verdadera? Simbolícelas en lógica de primer orden y explique.