Los números racionales: Q

Transcripción

1 Los números racionales: Q Qué fracción del área total está coloreada en cada una de las figuras de al lado? (a) (b) Juan leyó 2/5 de las páginas de un libro el lunes, el martes estaba ocupado y sólo pudo leer la tercera parte que el lunes, y el miércoles, que tenía más tiempo, acabo el libro leyendo 140 páginas. Cuántas páginas tenía el libro?

2 Definición de número racional Una fracción es un cociente de dos números enteros, es decir, una expresión de la forma a b, con b 0. (También se escribe a/b). Interpretación: partes de un todo. El todo puede ser discreto o continuo. Ejemplo: 2/3 de a) un conjunto de 24 libros. b) una región rectangular del plano. Las fracciones 2/3, 4/6, 6/9,... representan la misma cantidad, es decir, son el mismo número racional. Esta es la definición usual de número racional: un número racional es un conjunto de fracciones equivalentes. El conjunto de números racionales se denota por Q.

3 Fracciones equivalentes. Suma y resta El concepto de fracciones equivalentes es uno de los más importantes de este tema. Se dice que las fracciones a/b y c/d son equivalentes si a d = b c (es decir, es decir, si c/a = d/b ). Una vez entendidos los conceptos de fracción y fracción equivalente, la suma y resta deberían ser inmediatas. a) No se pueden sumar (ni restar) fracciones con distinto denominador. b) Lo que hay que hacer es buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Ejemplo: = = 17 12

4 Fracciones impropias, números mixtos, división entera. La fracción 17/12 (y, en general, las fracciones a/b donde a b) a veces se llaman fracciones impropias y se pueden representar como números mixtos: = En general, si a = q b + r, la fracción a/b se puede representar también como q r b. Es importante tener presente que la idea de fracción impropia supone una generalización relevante desde el punto de vista conceptual: qué significa ocho séptimos de algo?

5 Multiplicación de fracciones Desde el punto de vista del algoritmo, multiplicar fracciones es más sencillo que sumarlas. Sin embargo, desde un punto de vista conceptual es mucho más complicado. Una buena posibilidad es generalizar desde los naturales, de la siguiente forma: 2 18 es el doble de es la tercera parte de 18, es decir, 18 3 Aparece aquí una relación fundamental entre las operaciones de multiplicar y dividir: multiplicar por 1 n es lo mismo que dividir por n

6 Multiplicación de fracciones Una vez que sabemos multiplicar 1/n por un entero, y entendemos que estamos dividiendo por n, podemos multiplicar 1/n por otra fracción: a) = 3 b) = Ahora la multiplicación de fracciones ya tiene significado : = = =

7 División de fracciones Primero, lo que creo que no es una buena alternativa.

8 División de fracciones Opción 1: Reducir a común denominador. Repartir cuartos entre cuartos ya es intuitivo. Opción 2 (para mi, la mejor): la división y la multiplicación son operaciones inversas o, lo que es lo mismo, dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso. Ya nos hemos encontrado antes la idea: multiplicar por 1/n es lo mismo que dividir por n. El inverso de un número racional a es un número b tal que a b = 1. Todo número racional distinto de cero tiene inverso. a) El inverso de un número natural n es 1/n. b) El inverso de un número racional p/q es q/p

9 División de fracciones Por tanto, 2 3 : 7 5 = = Por supuesto, una vez definida la operación, la forma de darle sentido es recurrir a problemas. Por ejemplo: Tenemos un barril de 25 l. de agua, y con él rellenamos botellas de 1/4 de litro. Cuántas botellas llenamos? Una vez asimiladas las operaciones, se pueden abordar problemas como éste: Una persona deja en herencia 2/3 de su capital a su único hijo, le deja a un tío lejano 2/5 partes de lo que le ha dejado al hijo, debe pagar a hacienda por impuestos 1/10 de la herencia, y dona el resto, euros, a una obra de beneficencia. Cuál era su capital?

10 Orden en Q El orden en Q se define igual que en los enteros: dados dos números racionales a y b, se dice que a < b si b a > 0. Propiedades de monotonía: a) Si a < b entonces a + c < b + c (para cualquier número racional c). b) Si a < b y c > 0, entonces a c < b c. c) Si a < b, entonces a > b. Por tanto, si a < b y c < 0, entonces a c > b c Ejercicio: Determinar los números racionales que verifican la desigualdad 2 3 x < 7 5

11 Orden en Q Los racionales son densos : en Q se pierde el concepto de siguiente. Observación: entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales. Pero no llenan toda la recta: Teorema: 2 no es un número racional.