Normas DIN. Bachillerato. Jorge Barrio Gómez de Agüero AUTOR. Ana Azpeitia, Delicado diseño, Guillermo Díez Celaya, Paco Guindel, Pablo Jurado

Transcripción

1 AUTOR Jorge Barrio Gómez de Agüero Normas DIN Bachillerato ILUSTRAIÓN Ana Azpeitia, Delicado diseño, Guillermo Díez elaya, Paco Guindel, Pablo Jurado OTOGRAÍAS AGE otostock, Jorge Barrio Gómez de Agüero, Instituto de Astrofísica de anarias (IA), rancisco J. J. Sanchez, y Archivo Oxford Página : igura.8. IA - Por cortesía de SHOTT

2 Óptica geométrica. ómo se ven las imágenes cuando nos miramos en un espejo plano? 2. Qué tipo de espejo se utiliza en algunos cruces de calles? Por qué? 3. Qué tipo de espejo se usa en los telescopios reflectores? Por qué? 4. Para qué sirven las lentes? Qué clase de lentes conoces? Qué es la distancia focal? Qué es lo que hacemos realmente cuando «enfocamos» el objetivo de una cámara? Representan lo mismo los aumentos microscópicos que los aumentos telescópicos? 7. uáles son los defectos más habituales de la visión ocular? 2 ÓPTIA

3 Introducción a la óptica geométrica IGURA.. La formación de sombras ratifica la idea de que la luz se propaga en línea recta. En la UNIDAD 0 del Libro de texto ya se comentó cómo el desarrollo de la óptica y de sus usos o aplicaciones discurrió prácticamente al margen de la discusión relativa a la naturaleza de la luz. Esto fue posible porque, en realidad, las leyes sobre las que se estructuró la óptica geométrica eran compartidas por los modelos ondulatorio y corpuscular. Estas leyes son: Ley de propagación rectilínea de la luz. ue establecida ya en la Antigüedad y tiene su base experimental en la formación de sombras de objetos a partir de focos luminosos puntuales. El tamaño de la sombra real, como puede observarse en la figura., es igual al que se obtendría prolongando geométricamente rectas que, partiendo del foco, pasen por los puntos de la silueta del objeto. Ley de independencia de los rayos luminosos. Establece que la acción de cada rayo es independiente de la de los demás, es decir, no guarda relación con el hecho de que los demás actúen simultáneamente o no actúen en absoluto. Esta ley tiene también su base experimental. Imaginemos que tomamos una foto de un objeto con un paisaje de fondo. A continuación, tapamos el objeto y volvemos a fotografiarlo. Esta segunda instantánea nos permite comprobar que, al tapar el objeto del primer plano, solo se han interceptado los rayos que proceden de él, sin que se vea afectado el resto, por lo que los demás rayos volverán a formar la imagen del paisaje tal y como se apreciaba en la primera fotografía (figura.2). IGURA.2. uente de las Arpías, escultura del Espinario (Aranjuez). Si interceptamos los rayos que provienen de un objeto, el resto de los rayos no se ven afectados; la imagen del paisaje de fondo sigue siendo la misma. Esto es lo que enuncia la ley de independencia de los rayos luminosos. (a) P (b) P IGURA.3. Ley de reciprocidad. O O Leyes de la reflexión y la refracción. ueron estudiadas con detalle en la UNIDAD 0 del Libro de texto. Ley de reciprocidad. Establece que la trayectoria de un rayo que, partiendo de, llega a un punto P por reflexión en O sería la misma que seguiría un rayo que partiera de P y se reflejara en dicho punto O. Este rayo, por consiguiente, pasaría por (figura.3). Lo mismo es válido en el caso de la refracción. En el estudio de la óptica geométrica hacemos uso de la aproximación del rayo. Debemos recordar, a este respecto, que el concepto de rayo es, en realidad, una construcción matemática que solo representa la dirección de propagación del flujo de energía radiante, de modo que el rayo es perpendicular a cada punto del frente de onda. Su dirección sería la de un fino haz de luz que hubiese atravesado una rendija cuyas dimensiones no fueran comparables con la longitud de onda de la luz; por ello, en óptica geométrica no consideraremos los posibles efectos debidos a la difracción. En cualquier caso, debemos tener claro que un rayo no es un haz (que físicamente sí existe), aunque en las demostraciones experimentales de laboratorio se trabaje con haces finos de luz para demostrar las leyes de la óptica.. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 3

4 .. De qué trata la óptica geométrica? IGURA.4. La imagen de detrás del espejo es virtual, es decir, no es posible que la recoja una pantalla situada hipotéticamente en esa posición. En esta unidad centraremos nuestro estudio en la óptica geométrica, es decir, en la formación de imágenes por reflexión y refracción. Nos ceñiremos, pues, a los sistemas ópticos más habituales para la formación de ese tipo de imágenes: los espejos (reflexión) y las lentes (refracción). En consecuencia, estructuraremos nuestra unidad de la siguiente manera: Óptica por reflexión. Imágenes en sistemas de espejos planos y en espejos esféricos (cóncavos o convexos). Óptica por refracción. Imágenes formadas a través de lentes delgadas de formas diversas. Por último, abordaremos algunas aplicaciones prácticas de la óptica geométrica, así como un sucinto estudio del sistema óptico por excelencia: el ojo humano. Antes de empezar, conviene tomar contacto con la terminología más básica que utilizaremos en nuestro recorrido por la óptica (figuras.5): Objeto. uente de la que proceden los rayos luminosos, ya sea por luz propia o reflejada. ada punto de la superficie del objeto será considerado como una fuente puntual de rayos divergentes. Imagen. igura formada por el conjunto de puntos donde convergen los rayos que provienen de las fuentes puntuales del objeto tras su interacción con el sistema óptico. La imagen puede ser de dos tipos: Imagen real. Es aquella que puede registrarse realmente al colocar en ese punto una pantalla o un registro fotográfico (por ejemplo la imagen obtenida detrás de una lente o delante de un espejo esférico). Imagen virtual. Es aquella que no puede registrarse en una pantalla o registro fotográfico (es el caso, por ejemplo, de la imagen en un espejo plano). onsideraremos en todos los casos que las superficies curvas son esféricas, ya se trate de espejos o de lentes. De este modo, es necesario definir estos otros conceptos: entro de curvatura. Es el centro geométrico de la esfera a la que corresponde la superficie del espejo o lente. Se representa mediante la letra. Tratándose de espejos planos, podemos considerar que el centro de curvatura se encuentra localizado en el infinito. Vértice, V. Es el punto de corte de la superficie esférica con el eje óptico. Radio de curvatura. Es la distancia que existe entre el centro de curvatura y el vértice. Eje óptico. Es el eje que une el objeto con el centro de curvatura de la lente o espejo,, y con el centro del sistema óptico (lente o espejo). objeto objeto eje óptico imagen V eje óptico V imagen r IGURA.5.a. Elementos ópticos (espejo). IGURA.5.b. Elementos ópticos (lente). 4 ÓPTIA

5 2 Óptica de la reflexión. Espejos planos y esféricos ómo se hacen los espejos? Un espejo puede consistir simplemente en una superficie metálica muy pulida. Sin embargo, tradicionalmente se han hecho con vidrio y un recubrimiento de plata. En tiempos más recientes, se ha conseguido fabricar espejos de una gran calidad utilizando un recubrimiento de aluminio por evaporación en vacío sobre superficies altamente pulidas. La ley de la reflexión de la luz estudiada en la unidad anterior nos permite comprender el modo en el que se ven las imágenes en los espejos. 2.. Espejos planos Supongamos un conjunto de rayos incidentes que provienen de un foco luminoso, O, y se reflejan especularmente en una superficie lisa por completo, como la de un espejo bien pulido. Al observador le parecerá que los rayos reflejados que le llegan provienen del foco O, al otro lado del espejo. Se dice, en este caso, que O constituye un foco virtual (su existencia no es real). Sin embargo, como puede verse en la figura.6, la distancia de O al espejo es la misma que hay de este a O, por lo que el foco virtual O es simétrico a O respecto del espejo. O foco real O' foco virtual IGURA.6. ormación de imágenes en un espejo plano. A B Esto tiene particular importancia a la hora de representar las imágenes reflejadas en un espejo plano; basta con prolongar por el otro lado del espejo líneas perpendiculares a la superficie desde cada punto de la imagen real hasta una distancia idéntica. Uniendo posteriormente los puntos «virtuales», habremos obtenido la imagen virtual reflejada en el espejo plano. Así, por ejemplo, haciendo uso de la ley de la reflexión y teniendo en cuenta las indicaciones comentadas, la imagen especular de la mano derecha es una mano izquierda. Igualmente, si te colocas frente a un espejo plano y alzas la mano derecha, en la imagen se alzará «la mano izquierda». Decimos, pues, que la imagen formada en un espejo plano presenta inversión lateral. En resumen: La imagen formada en un espejo plano es virtual (los rayos reflejados parecen provenir del punto imagen, pero no pasan realmente por dicho punto; solo lo hacen sus prolongaciones). La imagen formada en un espejo plano es del mismo tamaño que el objeto. La imagen formada presenta inversión lateral (izquierda-derecha). A T I V I D A D E S IGURA.7. Un láser de color rojo incide en un espejo situado en el techo de una habitación, tal y como muestra la figura.7. Razona en qué punto (o puntos) debemos situarnos para ver la luz roja.. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 5

6 2.2. Sistemas de espejos planos Existe, sin embargo, la posibilidad de combinar espejos planos para producir una imagen sin inversión lateral, por ejemplo situando dos espejos de este tipo de modo que formen un ángulo de 90 (figura.8). A A I 2 O I 2 O D D I 3 I I 3 I IGURA.8. B B IGURA.9. Podemos observar que la imagen I 3 no presenta inversión lateral: vuelve a ser una mano derecha. I 5 I 4 IGURA.0. I 2 I 3 I6 I7 I 3 45º I 2 O I O I Las imágenes I e I 2 se obtienen directamente a partir del objeto O, como hemos indicado; I es la imagen del objeto O a través del espejo, e I 2, la formada a través del espejo A. La imagen I 3 puede considerarse la proyección de I en el hipotético espejo AB o la de I 2 en el también hipotético espejo D. Sin embargo, en la figura.8 puede verse cómo se forma dicha imagen para el observador que mira hacia los espejos. Mire desde el ángulo que mire, para él los rayos parecen provenir de I 3, después de la doble reflexión que han sufrido los procedentes de O. Reparemos en un detalle importante: la imagen I 3, originada en un sistema de dos espejos planos que forman ángulo recto, no presenta inversión lateral. En otras palabras, la mano derecha O sigue apareciendo como tal mano derecha en la imagen I 3 ; no ocurre así en I ni en I 2 (figura.9). A T I V I D A D E S 2 Si los espejos planos producen inversión lateral, por qué no originan inversión vertical? 3 Una persona de,70 m de altura se coloca delante de un espejo plano a una distancia de 0,80 m. a) Qué tamaño tiene la imagen? b) uál debe ser la altura mínima del espejo para que la persona se vea de cuerpo entero? 4 omenta la formación de las siete imágenes del objeto O que aparecen cuando los dos espejos forman un ángulo de 45, como se indica en la figura.0. 5 uántas imágenes de O se obtendrán si los espejos planos forman 60? Localiza dichas imágenes. 6 omprueba que en los casos expuestos en las actividades 4 y 5 se cumplen las siguientes propiedades: Todos los puntos (tanto los del objeto como los de las imágenes) se encuentran en una circunferencia centrada en el punto de corte del sistema. El número de imágenes que se obtiene para ángulos divisores exactos de 360 responde a la expresión: N ÓPTIA

7 frentes incidentes IGURA.. frentes reflejados espejo 2.3. Espejos esféricos desde la aproximación paraxial En numerosas ocasiones, las fuentes luminosas están tan alejadas que podemos considerar planos los frentes de onda que nos llegan. En esas circunstancias, es posible hacer, utilizando espejos, que dichos frentes de onda se transformen en esféricos por reflexión y converjan en un punto, lo que da lugar a una imagen nítida y luminosa del objeto lejano (figura.). Este es, por ejemplo, el fundamento óptico de los telescopios reflectores. Los espejos o superficies que tienen la virtud de hacer converger en un punto los rayos reflejados en su superficie son los espejos paraboloides. Este tipo de superficie está presente en numerosos dispositivos, como los reflectores plateados de las linternas o los faros de coche, y no digamos ya las antenas parabólicas, que tanto se han popularizado en los paisajes urbanos. Sin embargo, la construcción de espejos paraboloides perfectos entraña una gran dificultad práctica que acaba encareciéndolos. Esta dificultad no se encuentra en los espejos esféricos, pues dos superficies esféricas iguales tienen la propiedad de mantener todos sus puntos en contacto aunque desplacemos una superficie sobre la otra, cosa que no ocurriría con las parabólicas. Este hecho permite pulir perfectamente y así obtener, de un modo sencillo, un espejo esférico de gran calidad. Los espejos esféricos, no obstante, presentan un problema óptico importante. No todos los rayos que se reflejan en su superficie convergen en el mismo punto (figura.2). Este problema se denomina aberración esférica. Sin embargo, los rayos próximos al eje óptico sí convergen en un punto, como puede observarse en la misma figura. esfera IGURA.2. Aberración esférica en un espejo esférico. parábola Y paraboloide esfera La razón de este hecho es que, en la zona central próxima al eje óptico, la esfera y el paraboloide son indistinguibles (figura.3). En consecuencia, si consideramos únicamente los rayos que inciden en esa región, todos convergerán en un punto. O IGURA.3. En la región paraxial, el paraboloide y la esfera son indistinguibles. X Se denomina rayos paraxiales a los rayos más próximos al eje óptico. En el caso de que los rayos provengan de una fuente O situada en el eje óptico, los rayos paraxiales formarán con este ángulos pequeños. Nosotros estudiaremos exclusivamente la formación de imágenes en espejos esféricos (que pueden ser cóncavos o convexos) desde esta aproximación paraxial, de modo que daremos por supuesto que la imagen de un objeto O se forma en un único punto, I.. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 7

8 riterio de signos DIN en sistemas ópticos Para el estudio de la formación de imágenes en sistemas ópticos esféricos (ya sean espejos o lentes), usaremos el criterio de signos DIN, que se basa en las siguientes normas: Los ángulos se escriben con letras griegas minúsculas. Las letras que hacen referencia a la imagen son las mismas que las del objeto, pero marcadas como «prima». Se considera que la luz incide sobre el sistema óptico por su izquierda, propagándose hacia la derecha, salvo que se indique lo contrario. El vértice V de la superficie esférica se toma como centro de un sistema de referencia cartesiano habitual. Se denomina espacio objeto al situado a la izquierda de dicho vértice, y espacio imagen, al que queda a la derecha. Se establecen con signo negativo todas las distancias situadas en el espacio objeto (a la izquierda de V) y con signo positivo las distancias correspondientes al espacio imagen (a la derecha de V). Igualmente, en el caso de las distancias perpendiculares al eje óptico, se consideran positivas las medidas por encima del mismo y negativas las que quedan por debajo. Los ángulos que forman los rayos con el eje óptico son positivos cuando al girar el rayo hacia el eje (por el camino más corto) su rotación resulta contraria a la de las agujas del reloj. En caso contrario, son negativos. Los ángulos de incidencia y refracción son positivos si, al girar cada uno de los rayos hacia la normal por el camino más corto, la rotación tiene lugar en sentido horario. Método algebraico para la localización de la imagen. órmula de los espejos O IGURA.4. I s î î r s P V l onsideremos un espejo cóncavo en el que se reflejan los rayos paraxiales que provienen del objeto O para converger en el punto I, donde se forma la imagen. En la figura.4, representa el centro de curvatura de la esfera, y P, el punto de incidencia del rayo con el espejo. omo puede deducirse de la ley de la reflexión, y puesto que el radio P es perpendicular a la superficie, los rayos incidente y reflejado forman con P el mismo ángulo i^. Veamos ahora dónde se formará la imagen si conocemos las características del espejo (su radio de curvatura) y sabemos dónde se halla el objeto O del que parten los rayos. Llamemos s a la distancia que hay desde el objeto O al vértice V, y s a la existente entre el punto imagen, I, y el mismo vértice. La distancia V es el radio de curvatura, r, del espejo. Según la figura.4 y teniendo en cuenta el criterio de signos expuesto anteriormente, en el que los ángulos, y son negativos, al igual que las distancias r, s y s, se obtiene: l l l tg () ; tg () ; tg () s r s Sin embargo, en la aproximación paraxial, los ángulos son muy pequeños, por lo que podemos considerar que la tangente es aproximadamente igual al ángulo. En consecuencia: l l l ; ; s r s Eliminando los signos en ambos miembros, obtenemos la relación entre los ángulos y las respectivas distancias: l l l ; r ; s s omo la suma de los ángulos del triángulo OPI debe ser 80 : 2i^ (80 ) 80 2i^. 8 ÓPTIA

9 De igual modo, considerando ahora el triángulo PI, tenemos que: i^ (80 ) 80 i^.2 Sustituyendo la expresión.2 en la., se establece la relación que hay entre los tres ángulos, que, a su vez, permite expresar la relación existente entre las distancias: 2() 2.3 onsiderando las expresiones deducidas a partir de la figura para cada ángulo: l l l s 2 s r s 2 s r.4 Esta expresión, conocida como ecuación o fórmula de los espejos, permite determinar el punto donde se formará la imagen si conocemos r y la posición del objeto. Un fenómeno especialmente interesante es el que tiene lugar cuando el objeto O es muy distante, de modo que /s 0. En estas ocasiones: s 2 r.5 Es decir, la imagen se forma en el foco,. En ese caso, la distancia s recibe el nombre de distancia focal, f. Esta distancia es, en esencia, la característica más importante de un espejo. Para un espejo esférico de radio r, la distancia focal es la mitad de dicho radio (figuras.5 y.6): f 2 r.6 IGURA.5. El foco en un espejo cóncavo esférico está delante del espejo. Observa que tanto en el dibujo como en la foto los rayos inciden por la parte cóncava del espejo. r r f 2 IGURA.6. El foco en un espejo convexo esférico está detrás del espejo. Observa que tanto en el dibujo como en la foto los rayos inciden por la parte convexa del espejo. r f 2 r Podemos, pues, expresar la ecuación de los espejos en su forma más conocida, es decir, en función de la distancia focal del espejo: s s f.7. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 9

10 O I V A pesar de que la fórmula.7 ha sido deducida a partir del ejemplo del espejo cóncavo y en las condiciones establecidas en la figura.4, su validez se extiende a todos los espejos esféricos, ya sean cóncavos o convexos. La única variación consiste en el criterio de signos de los valores de r y f; mientras que en un espejo cóncavo dichos valores tendrán signos negativos, en uno convexo serán positivos, como puede apreciarse en las figuras.7. En los dos casos, siempre que en la formación de imágenes intervenga un solo espejo, el signo del valor de s será negativo. () s r () s IGURA.7.a. Espejo cóncavo. O V I () s s () r () IGURA.7.b. Espejo convexo. A P L I A I Ó N Puede emplearse la ecuación de los espejos esféricos para describir el comportamiento de un espejo plano? Al igual que un fragmento de frente de onda esférico puede considerarse plano cuando está a gran distancia del foco emisor, cabe suponer que un espejo plano es un espejo esférico de radio infinito. Aplicando esta consideración a la ecuación de los espejos esféricos: s 2 s De aquí se deduce que: s s s s Esta expresión nos indica que el signo de s será siempre opuesto a s. Dado que el valor de s será siempre negativo, entonces el de s resultará positivo, situación que describe lo que sucede en un espejo plano: la imagen es virtual, es decir, se forma detrás del espejo, y de ahí el signo positivo de s. Por otra parte, la distancia de la imagen al espejo es la misma, en valor, que la del objeto al espejo. Así pues, la ecuación general es también aplicable a los espejos planos. Por otra parte, la distancia de la imagen al espejo es la misma que la del objeto al espejo. Por tanto, la ecuación es también aplicable a los espejos planos. A P L I A I Ó N ATIVIDADES 7 Explica en qué lado se forma la imagen en un espejo esférico cóncavo cuando: a) s < f. b) s f. c) s > f. 8 Un objeto se encuentra situado a 20 cm del vértice de un espejo esférico convexo de 25 cm de radio de curvatura. Determina la posición de la imagen. Un objeto situado a 8 cm de un espejo esférico cóncavo produce una imagen virtual a 0 cm de distancia por detrás del espejo. Determina: a) La distancia focal del espejo. Teniendo en cuenta el criterio de signos expuesto, y aplicando la ecuación de los espejos, tenemos: s s f 8 cm 0 cm f f 40 cm b) Su radio de curvatura. Según la definición de la distancia focal: r f r 80 cm 2 c) La localización y tipo de imagen si el objeto se aleja hasta 25 cm de distancia con respecto al espejo. Si el objeto se aleja 25 cm del espejo, podemos calcular la distancia a la que se formará la imagen, s, despejando de la ecuación de los espejos: s f s 66,6 cm s Se trata, pues, de una imagen virtual. 0 ÓPTIA

11 2.4. ormación de las imágenes en espejos esféricos: diagramas de rayos y aumento de la imagen h IGURA.8. Superespejos cósmicos: «el Grantecan» Si resulta difícil fabricar espejos de calidad de pequeño diámetro, imagínate lo que puede suponer pulir y fabricar espejos de gran diámetro, como los que se usan en los grandes telescopios operativos del mundo. Entre ellos, el GRANTEAN (Gran Telescopio de anarias) con sus 0,4 m de diámetro es, hoy por hoy, el de mayor abertura. Un espejo de tal diámetro y tamaño sufriría graves problemas de deformación por efecto del calor y de su propio peso. Para evitar dichos problemas, el espejo primario se ha construido con 36 segmentos hexagonales de,9 m cada uno, dotados de libertad de movimiento que permite los ajustes ópticos necesarios. En el caso del VLT (Very Large Telescope) de erro Paranal (hile), el uso combinado de los cuatro telescopios de 8,2 m existentes, equivaldría a uno de 6,4 m de abertura efectiva. IGURA.20. h' s î î' s' V Si tomamos en consideración las dimensiones del objeto que se refleja en el espejo podemos entender cómo son las imágenes que se producen en los distintos espejos y cuándo resultan aumentadas o disminuidas. Además es posible aplicar al problema un tratamiento gráfico muy sencillo, denominado diagrama de rayos, que nos permite averiguar cómo es la imagen formada del objeto. Para ello, consideremos una persona de altura h que se mira en un espejo esférico cóncavo de distancia focal f y de radio de curvatura r. El método del diagrama de rayos es el siguiente (figura.9): Rayo. Se traza desde la parte superior del objeto y transcurre paralelo al eje óptico. Al reflejarse según la ley de la reflexión, pasará por el foco. Rayo 2. Se traza desde la parte superior del objeto y pasa por el centro de curvatura. El rayo reflejado tiene exactamente la misma dirección que el incidente. Rayo 3. Se traza desde la parte superior del objeto y pasa por el foco. El rayo reflejado sale paralelo al eje óptico. Pues bien, estos tres rayos se cortan en un punto, P, que corresponde a la parte superior de la imagen formada, como puede verse en la figura.9. IGURA.9. rayo rayo 3 rayo 2 De ese modo, podemos observar gráficamente si la imagen es real o virtual, si está derecha o invertida y si resulta aumentada o disminuida. Se denomina aumento de la imagen a la relación existente entre el tamaño de la imagen, h, y el tamaño del objeto, h. Si observamos la figura.20, podremos apreciar que el rayo que proviene de la parte superior del objeto y se refleja en el vértice V pasa por el extremo superior de la imagen. Teniendo en cuenta el criterio de signos DIN, la ley de reflexión aplicada a la figura.20 se expresaría así: i i. omo puede comprobarse en la misma figura, utilizando la aproximación ^ paraxial (tg( i^) i ; tg i i ): h i i h s s Puesto que i = i, igualando ambas expresiones obtenemos el aumento de la imagen: aumento de la imagen h s.8 h s Un aumento negativo significa que la imagen está invertida, cosa que ocurrirá cuando s y s tengan el mismo signo (se encuentran del mismo lado del espejo). Si el aumento es, la imagen es de tamaño natural. P. Ó p t i c a g e o m é t r i c a

12 ómo se ven las imágenes en los espejos esféricos cóncavos? Lo estudiado en el apartado anterior nos permite analizar el modo en que se aprecian las imágenes en los espejos esféricos cóncavos. La secuencia de la figura.2 muestra, mediante diagramas de rayos, las distintas imágenes de un observador que, situado frente al espejo, se va aproximando a él. IGURA.2.a. uando la distancia a la que se encuentra el observador es mayor que el radio de curvatura (s >> r), la imagen es real, invertida y disminuida (s < s). IGURA.2.b. A medida que el observador se va acercando a, pero sin llegar a ese punto (s > r), su imagen sigue siendo real e invertida, aunque va aumentando, pero su tamaño sigue siendo menor que el natural (s < s). IGURA.2.c. uando el observador se encuentra exactamente en (s r), ve su imagen a tamaño natural, imagen que es real, pero invertida (s s). IGURA.2.d. Si el observador sigue acercándose, de modo que se sitúa entre y (f < s < r), su imagen, real e invertida, aparecerá ahora aumentada, y seguirá agrandándose hasta que el observador se sitúe en (s f), punto en el que su imagen, borrosa e irreconocible (s infinita), llenará la totalidad del espejo. IGURA.2.e. Por último, cuando s < f, la imagen pasa a ser virtual (se forma detrás del espejo) y aparece derecha y aumentada. Tan solo cuando el observador se pegue al espejo, verá su imagen del mismo tamaño y derecha. A T I V I D A D E S 9 Se desea formar una imagen invertida de 30 cm de altura sobre una pantalla que se encuentra a 4,2 m del vértice de un espejo esférico cóncavo. El objeto que produce la imagen mide 5 mm. Determina: a) La distancia respecto del espejo a la que debe colocarse el objeto. b) La distancia focal y el radio de curvatura del espejo. 2 ÓPTIA

13 ómo se ven las imágenes en los espejos esféricos convexos? A partir de la ecuación de los espejos (expresión.7), se deduce que: s f s omo puede verse en la figura.22, en un espejo convexo, f y r son positivos, mientras que s tendrá siempre signo negativo. En consecuencia, el signo de s será siempre positivo. Es decir, la imagen será siempre virtual (se forma «detrás» del espejo). Observemos, igualmente, que, sea cual sea la ubicación del observador (o del objeto de que se trate), su imagen siempre estará derecha y disminuida (figura.22). Podemos concluir que: La imagen formada en un espejo esférico convexo es siempre virtual, derecha y disminuida. IGURA.22. IGURA.23. Las imágenes en los espejos convexos aparecen derechas y disminuidas. Por otra parte, el campo de visión de estos espejos es más amplio, al diverger los rayos de su superficie. Este hecho tiene una gran utilidad práctica, por ejemplo en los espejos que a veces se encuentran en las intersecciones o cruces de calles, que permiten una amplia visión de las mismas (figura.23). Los espejos de retrovisor «panorámicos» de los coches también son de este tipo. Seguro que más de una vez te habrás divertido al contemplar tu nariz sobresaliendo del conjunto de tu cara conforme te acercas a una superficie reflectante convexa. Esto es debido a que tu nariz, más próxima al espejo, produce una imagen menos disminuida que el resto de tu cara, algo más alejada, lo que en conjunto produce esa imagen nariguda que tanta gracia nos hace. La tabla. resume esquemáticamente el análisis que hemos realizado. Tipo de espejo Plano Esférico cóncavo Esférico convexo r s > r s r r > s > f s f s < f TABLA.. Tipos de espejos e imágenes formadas según la situación del objeto. A T I V I D A D E S Situación del objeto ualquier posición Tipo de imagen formada Virtual, derecha, tamaño natural Real, invertida, disminuida Real, invertida, tamaño natural Real, invertida, aumentada No se forma imagen nítida Virtual, derecha, aumentada Virtual, derecha, disminuida 0 Un objeto de 0 cm de altura se sitúa a m de un espejo esférico convexo cuya distancia focal es de 3 m. Describe la imagen que se formará. Qué tipo de espejo necesitamos y con qué radio de curvatura si deseamos que un objeto situado a m de su vértice produzca una imagen derecha que tenga la mitad de su tamaño?. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 3

14 3 Óptica de la refracción. Lentes delgadas Hemos estudiado la formación de imágenes de un objeto por reflexión en distintos tipos de espejos. En los siguientes apartados vamos a analizar cómo se ven los objetos a través de superficies refractoras, entendiendo por tales aquellas que separan dos medios de distinto índice de refracción. En otras palabras, vamos a estudiar la formación de imágenes por refracción. Si entendemos el modo en que se forman las imágenes por refracción, podemos explicar también por qué un objeto recto (una pajita, un remo, etcétera), parcialmente sumergido en agua, se aprecia curvado (figura.24). Analizaremos, finalmente, la aplicación más extendida del fenómeno de formación de imágenes por refracción: la construcción de lentes para diversos fines (aumento de la imagen, corrección de problemas visuales, etcétera). 3.. ormación de imágenes por refracción en superficies esféricas IGURA.24. Efecto óptico de la refracción: la pajita parece curvarse en el líquido. onsideremos un objeto luminoso, O, situado en un medio de índice de refracción n a una distancia s del vértice V de una superficie refractora esférica convexa. Los rayos luminosos que proceden del objeto O son desviados al atravesar la superficie de separación de dos medios distintos. Si el segundo medio tiene un índice de refracción, n 2, mayor que n, los rayos que llegan a cualquier punto de la superficie serán desviados hacia una mayor aproximación a la normal a la superficie en ese punto (figura.25). medio P medio 2 î l r O V I IGURA.25. Refracción en una superficie esférica cuando n 2 > n. s s r onsideremos el rayo que incide en el punto P, a una altura l sobre el eje óptico. El radio de curvatura de la superficie refractora es r, y es el centro de curvatura. El punto de convergencia de los rayos, es decir, el lugar donde se forma la imagen, es I y está localizado a una distancia s del vértice de la superficie. Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a determinar dónde se formará la imagen si conocemos la posición del objeto, s, los índices de refracción de los medios y las características de la superficie de separación. Observemos para ello la disposición geométrica de la figura.25: los ángulos (), y son los que forman el rayo incidente, la normal en P (o radio de curvatura) y el rayo refractado, respectivamente, con el eje óptico. Nótese que el signo de () se debe exclusivamente a la aplicación a la figura del criterio DIN que empleamos en el texto. 4 ÓPTIA

15 Dos obras adelantadas a su tiempo Euclides y Descartes ya abordaron temas de la óptica moderna. El primero expuso la ley de la reflexión en su obra atóptrica (aproximadamente 300 a..). Descartes, por su parte, dedicó su obra La dióptrica (637) a la refracción. Teniendo en cuenta el criterio de signos y la aproximación paraxial, las tangentes de los ángulos equivalen prácticamente a los ángulos, de modo que: l l l () ; ; s s r Aplicando la ley de Snell, se cumple que: n sen i^ n 2 sen r^.9 que, teniendo en cuenta dicha aproximación, adoptará la forma: n i^ n 2 r^ En el triángulo OP, podemos observar cómo se relaciona el ángulo de incidencia i^ con () y. Vemos que en dicho triángulo: () (80 i^) 80 Es decir: ^ i ().0 Por otra parte, podemos determinar en el triángulo PI la relación existente entre el ángulo de refracción r^ y los ángulos y, de modo que: ^ r (80 ) 80 Y, por tanto: ^ r. Al sustituir los valores de i^ y r^ en la expresión de la ley de Snell desde la aproximación paraxial, obtenemos: n () )n 2 () Y con los valores deducidos para estos ángulos en función de las distancias, podemos escribir: n l l s r n 2 l l s r expresión de la que se deduce la ecuación del dioptrio esférico: n 2 n n 2 n.2 s s r Esta ecuación relaciona la distancia a la que se forma la imagen, s, con la distancia a la que se encuentra el objeto, s, y con las características de la superficie, r, así como con los índices de refracción de los dos medios. La ecuación, en aproximación paraxial, fue deducida en 84 por Gauss, por lo que también se conoce como aproximación gaussiana. En la deducción de esta expresión hemos considerado un caso muy determinado: aquel en el que la superficie esférica es convexa hacia el medio de índice n y en el que n < n 2. En estas condiciones, los rayos convergen para formar una imagen en el medio n 2. Dicha imagen es real, pues los rayos que convergen en ese punto son reales (transportan energía) y no resultan de la prolongación ficticia de otros. Sin embargo, no siempre serán estas las condiciones, aunque ello no afecte a la validez de la ecuación. Bastará con utilizar correctamente el criterio de signos utilizado en la presente unidad. dioptrio: superficie de separación de dos medios que tienen distinto índice de refracción. IGURA.26. Refracción en una superficie esférica.. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 5

16 Aumento de la imagen por refracción La imagen formada por refracción a través de una superficie puede resultar aumentada o disminuida, al igual que ocurría en el caso de los espejos. Se define el aumento lateral de la imagen como la relación existente entre la altura de la imagen formada, h, y la del objeto, h (figura.27). h î V r h' s s' IGURA.27. omo puede verse en la figura.27, y teniendo en cuenta la aproximación paraxial (que presupone que los ángulos de incidencia y refracción son pequeños): ( r^) h h ; ( i^ ) s s valores que, sustituidos en la ley de Snell, conducen a: n (i^ ) n 2 (r^) n h s n 2 h s De aquí se obtiene que el aumento de la imagen viene dado por la expresión: h n s h n.3 2s igualdad que permite deducir el aumento de la imagen en función de las distancias y los índices de refracción. Distancias focales en la óptica de la refracción V En los problemas de óptica de la refracción suelen definirse dos tipos de distancias focales. Imaginemos de nuevo la superficie esférica convexa que separa dos medios de índices n y n 2 y en donde n < n 2. Si el objeto está a una distancia muy lejana (s ), los rayos incidentes pueden considerarse paralelos (puesto que los frentes de onda serían planos). El punto, en el que convergen los rayos refractados, es denominado foco imagen, y s es, en este caso particular, igual a f, conocida como distancia focal imagen (figura.28). Dicha distancia puede obtenerse a partir de la ecuación del dioptrio esférico (expresión.2): IGURA.28. f De donde: n 2 n n 2 n f r n f 2 r.4 n2 n 6 ÓPTIA

17 De forma análoga, podemos establecer un foco objeto,, que es el punto desde el que deberían partir los rayos incidentes para que los rayos refractados salieran paralelos (figura.29). V f IGURA.29. Así, s, y la distancia s correspondiente es denominada distancia focal objeto, f. Dicha distancia se obtiene del siguiente modo: De donde: n 2 n n 2 n f r n f r.5 n2 n A ambas distancias focales se les aplica el mismo criterio de signos que a s y s, respectivamente, pues en realidad no son más que un caso particular de dichas distancias. Observa que, si dividimos las expresiones.4 y.5, obtenemos la relación que hay entre ambas distancias focales, que es igual a la existente entre los índices de refracción de los medios: f n.6 f n A T I V I D A D E S 2 Desde el interior de una pecera de forma esférica de 50 cm de diámetro, un pez observa los ojos de un gato que se encuentran a 20 cm de la superficie de la pecera. Describe la imagen que ve el pez (distancia a la que se produce, aumento y características de dicha imagen). Dato: n agua, Una superficie convexa separa dos medios de índices y,6, respectivamente. Si un objeto que se encuentra a 40 cm del vértice en el primer medio tiene su imagen en el segundo a 64 cm, cuál es el radio de curvatura de la superficie? 4 uáles serían las distancias focales objeto e imagen de la superficie de la actividad anterior? 5 Una varilla de vidrio de gran longitud tiene un extremo en forma de superficie semiesférica convexa con un radio de curvatura de 0 cm. Teniendo en cuenta que el índice de refracción del vidrio es,5, halla dónde se formará la imagen de un objeto puntual y describe el tipo de imagen en los siguientes casos: a) El objeto está situado sobre el eje, en el aire, a 30 cm de la superficie. b) El objeto está situado a 5 cm de la superficie. c) El objeto está muy alejado de la superficie. 2. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 7

18 3.2. Imágenes formadas por refracción en superficies planas La ecuación del dioptrio esférico puede aplicarse también cuando la superficie de separación de los dos medios es plana. Ese sería el caso, por ejemplo, de la superficie del agua de un estanque. Veamos qué imágenes de los objetos se aprecian en esta situación. Una superficie plana puede considerarse como si fuera una superficie esférica de radio infinito (r ). La ecuación del dioptrio esférico quedaría así: n 2 n 0 s s Por consiguiente, la distancia a la que se formará la imagen será: imagen del pez vista por el observador pez IGURA.30. Las imágenes de los objetos bajo el agua parecen hallarse a menor profundidad de lo que realmente están. s n s n Puesto que no hay índices de refracción negativos, y teniendo en cuenta el criterio de signos expuesto, el signo de s será el mismo que el de s, por lo que podemos afirmar que: La imagen de un objeto, visto a través de una superficie refractora plana, es virtual y se forma del lado del objeto (lado de incidencia). De la expresión anterior se desprende que, si el medio de incidencia de los rayos tiene un mayor índice de refracción que el de transmisión (n > n 2 ), veremos el objeto más próximo de lo que realmente está. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, cuando observamos un objeto que se encuentra dentro del agua (figura.30); da la sensación de que está a menor profundidad de la que realmente tiene. 2 A P L I A I Ó N Por qué un remo o un palo parcialmente sumergido en agua parece estar curvado? La razón es que la imagen que nosotros vemos del remo sumergido se forma a una profundidad menor que la real, que es la que sugeriría la dirección de la parte no sumergida del palo o remo. Si consideramos que el índice de refracción del agua (medio de incidencia) es,333 y el del aire (medio de transmisión) es, la distancia a la que se forma la imagen que nosotros vemos será: s s 0,75 s,3 33 Puesto que s representa en este caso la profundidad real del objeto, comprobamos que la imagen que nosotros vemos del remo se encuentra a 0,75 veces (3/4 partes) la profundidad real. Por esa razón, el remo parece estar curvado y a menor profundidad. Es, pues, un efecto de refracción. El signo de s es el mismo que el de s, lo cual indica que la imagen que vemos está en el agua y es virtual. A T I V I D A D E S 6 En algunas zonas del planeta aún existen pueblos que pescan peces sirviéndose de lanzas. Si una de estas personas desea atrapar una pieza, hacia dónde crees que tendría que apuntar? 7 A qué profundidad real estaría una piedra del fondo de un río si la vemos como si se hallase a 40 cm de distancia con respecto a la superficie? 8 ÓPTIA

19 3.3. Lentes delgadas Una de las aplicaciones prácticas más interesantes de la ecuación del dioptrio esférico es la fabricación de lentes para determinados usos, como telescopios refractores, gafas para la vista, lupas, objetivos de cámara, prismáticos, etcétera. Existen referencias de la existencia de lentes que datan de 500 años a.. Sabemos también que los griegos las fabricaban con fines bélicos (provocar incendios en sus acciones guerreras) o, simplemente, para encender hogueras. Así lo narra Aristófanes en su comedia Las nubes (423 a..). Hoy en día, el conocimiento de los principios ópticos de las lentes nos permite desarrollarlas según el fin concreto al que estén destinadas. Pero qué entendemos por lente y cómo podemos comprender su funcionamiento a partir de lo estudiado hasta ahora? Una lente es un sistema óptico formado por dos o más superficies refractoras, de las que al menos una está curvada. IGURA.3. uando las superficies refractoras son dos, la lente se denomina lente simple. Si, además, su grosor es despreciable en relación con las distancias s, s yr, recibe el nombre de lente delgada. Una primera clasificación de este tipo de lentes es la siguiente: Lentes convexas o convergentes, conocidas también como positivas. Son más gruesas en su parte central y hacen converger los rayos que las atraviesan (considerando siempre que el índice de refracción de la lente es mayor que el del medio que la rodea). Lentes cóncavas o divergentes, también conocidas como negativas. Son más delgadas en su parte central, lo que provoca la divergencia de los rayos que las atraviesan (teniendo en cuenta la misma consideración que en el caso anterior). A su vez, dependiendo de la forma de las dos superficies que la conforman, es tradicional subdividirlas como se aprecia en la tabla.2. Lentes convexas o convergentes Biconvexa Lentes cóncavas o divergentes Bicóncava Representación de lentes En algunos libros de texto es habitual encontrar el siguiente criterio para representar las lentes: Plano-convexa Plano-cóncava Lente convergente o convexa Lente divergente o cóncava Menisco-convexa Menisco-cóncava IGURA.32.a. IGURA.32.b. TABLA.2. Tipos de lentes.. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 9

20 Ecuación de las lentes delgadas La superficie o superficies curvas de la mayoría de las lentes es esférica. La razón no es que ópticamente trabajen mejor, sino la facilidad con que se pule una superficie esférica, lo que hace que, al igual que ocurría en el caso de los espejos, se puedan obtener superficies de gran calidad. En nuestros cálculos consideraremos únicamente este tipo de lentes, por lo que podremos aplicar lo estudiado acerca de la refracción en superficies esféricas. onsideremos una lente delgada biconvexa como la que se ilustra en la figura.33. Las superficies esféricas que la constituyen tienen radios de curvatura r y r 2, respectivamente. Supongamos que el índice de refracción de la lente es n (y considerémoslo > ) y que el medio que la rodea es el aire (consideremos n aire ). El hecho de suponer que la lente es delgada (de espesor casi cero) nos permite considerar las distancias no desde el vértice, sino desde el centro óptico de la lente, O. aire aire medio n P' P 2 O I r 2 r s' i s s IGURA.33. Desde el objeto P, que se halla a una distancia s del centro óptico, O, parten rayos luminosos que llegan a la superficie de radio r. Al alcanzar la interfase, sufren una primera refracción que hace que parezcan provenir del punto P, situado a una distancia s i de O. Por tanto, la imagen sería virtual y se formaría en dicho punto P. Aplicando la ecuación del dioptrio esférico a dicha superficie esférica, tendremos: n s i s n r Sin embargo, la imagen no llega a formarse en dicho punto, porque a continuación los rayos sufren una segunda refracción en la superficie de radio r 2, para converger finalmente en I, lugar donde se forma la imagen a una distancia s de O. Podemos suponer que, en esta segunda refracción, los rayos incidentes provienen de P y que el medio incidente es n, mientras que el medio al que se transmiten los rayos es el aire. Aplicando en estas condiciones la ecuación del dioptrio esférico, obtenemos: n s s i n r 2 El proceso completo de doble refracción a través de las dos superficies se obtiene sumando las ecuaciones correspondientes a cada superficie: s s (n ) r r 2.7 Esta ecuación es conocida como la ecuación del fabricante de lentes o fórmula de las lentes delgadas. on ella es posible conocer la distancia s en función de la distancia al objeto, s, del índice de refracción de la lente, n, y de las características constructivas de la misma (r y r 2 ). 20 ÓPTIA

21 foco objeto f Podemos expresar esta ecuación en función de la distancia focal de la lente. omo ya se comentó al hablar de las distancias focales en la refracción, una lente delgada presenta dos distancias focales: la distancia focal objeto, f, y la distancia focal imagen, f. La primera se obtiene haciendo s ; en ese caso, s f, obteniéndose: f (n ) r r La segunda distancia focal (imagen), se halla haciendo s ; y entonces s = f. 2 (n ) f r r.8 2 foco imagen Esta ecuación, referida a cualquiera de las dos distancias focales, se conoce como ecuación del fabricante de lentes en función de la distancia focal. omo puedes comprobar, las dos distancias focales tienen el mismo valor, independientemente del signo (que solo es indicativo de que ambas distancias focales se encuentran en los lados opuestos de la lente). Así pues: En las lentes, la distancia focal objeto y la distancia focal imagen valen lo mismo. f IGURA.34. En las lentes delgadas, las dos distancias focales (objeto e imagen) valen lo mismo. Potencia o dioptrías de una lente En el lenguaje popular se suele decir con frecuencia que se tienen «tantas dioptrías de miopía». Esas dioptrías miden, en realidad, la potencia de la lente que se debería usar para corregir el defecto de visión. Así pues, la dioptría es la unidad que mide la potencia de una lente. Se denomina potencia de una lente a la inversa de su distancia focal, f.uando f se mide en metros, la potencia viene dada en dioptrías: P f IGURA.35. El foco de la lente es el punto donde convergen los rayos, que discurrían paralelos antes de refractarse en la lente. IGURA.36. En el caso de las lentes divergentes, el foco es el punto de corte de las prolongaciones de los rayos divergentes. Es evidente, pues, que, comparando las dos expresiones de la ecuación del fabricante de lentes, se obtiene la siguiente igualdad: s s o bien: f s s f ecuación que se conoce como fórmula gaussiana de las lentes delgadas. Observa que esta última expresión es la misma que usamos como ecuación de los espejos. La única diferencia entre ambas estriba en el signo, como resultado del criterio que se emplea. No debemos olvidar, sin embargo, que el desarrollo que nos ha conducido a estas ecuaciones se basa en la suposición de que el medio circundante de la lente es el aire, cuyo índice de refracción hemos considerado igual a.. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 2

22 En el caso de que la lente se encuentre inmersa en cualquier otro medio de índice de refracción n, la ecuación de las lentes en función de la distancia focal sería idéntica a la deducida tomando como medio el aire, sin más que sustituir el índice de refracción absoluto de la lente, n, por su índice de refracción relativo al medio, n rel : (n rel ) f r r 2.9 donde n rel n/n, es decir, es igual al índice de refracción de la lente dividido entre el del medio. Esto significa que el comportamiento convergente o divergente de una lente depende del medio en el que se encuentre inmersa, o lo que es lo mismo, que una lente biconvexa se comporta como convergente cuando el medio circundante es el aire, pero lo hace como divergente si el medio circundante tiene un índice de refracción mayor que el vidrio de la lente. La razón de esto es que, en ese caso, (n rel ) < 0, y la distancia focal imagen, f, se forma en el lado de incidencia, por lo que la lente se comportaría como una lente divergente (figura.37). n medio < n lente n medio > n lente n medio > n lente n medio < n lente IGURA.37. Una lente convergente en el aire puede ser divergente cuando el medio circundante tiene mayor índice de refracción. La misma inversión se produce en el caso de una lente divergente en el aire. En la figura.38 puedes observar que la distancia focal depende del medio en el que está inmersa. IGURA.38. La misma lente inmersa en aire (fotografía de la izquierda) y (en la de la derecha) en agua. 22 ÓPTIA

23 IGURA.39. Si se contempla la imagen a través de las lentes, cuál dirías que es la convergente? Y la divergente? IGURA.40. h IGURA.4. rayo 3 rayo 2 s rayo rayo 3 rayo 2 O rayo O 3.4. ormación de imágenes en lentes delgadas. Diagramas de rayos para lentes Al igual que hicimos en el caso de los espejos, nos proponemos ahora analizar la visión a través de los distintos tipos de lentes. Vamos, pues, a responder a las siguientes preguntas: cómo vemos la imagen de un objeto a través de una lente?, en qué condiciones aparece invertida o derecha?, cuándo se observa aumentada o disminuida? Para determinar cómo y dónde se forma la imagen de un objeto, necesitamos conocer la distancia focal de la lente, la posición del objeto, s, y su tamaño. De ese modo, aplicaremos en estos casos la forma más simple de la ecuación de las lentes, la formulación gaussiana: s s f Existe un procedimiento complementario muy útil para analizar la formación de la imagen de un objeto visto a través de una lente. Se trata del método del diagrama de rayos, por el que se eligen tres rayos significativos, a los que se aplican los principios ópticos estudiados. Supongamos que deseamos formar la imagen de la persona representada en la figura.40; para ello, trazaremos, en cada caso, los tres siguientes rayos desde su parte superior e inferior: Rayo. Es paralelo al eje óptico y, tras ser refractado en la lente, pasa por el foco imagen de la misma. Rayo 2. Pasa por el centro óptico de la lente. Desde el punto de vista de las lentes delgadas, podemos considerar que no sufre desviación algunay, por tanto, atraviesa la lente en línea recta. Rayo 3. Pasa por el foco anterior a la lente, foco objeto, y, tras ser refractado en la lente, emerge paralelo al eje óptico. De este modo, el punto en el que se cortan dichos rayos (o sus prolongaciones) nos da la situación de la imagen y su tamaño. El aumento, al igual que ocurría en el caso de los espejos, viene determinado por la relación entre el tamaño de la imagen y el del objeto. Observando la figura.4, y utilizando la aproximación paraxial y el criterio de signos DIN: h ; h s s s h' Por lo que: aumento de la imagen h s h s.20 Puesto que el signo de s, en el caso de una lente, es siempre negativo, podemos concluir que: Si la imagen se forma en el lado de transmisión (s positiva), siempre será invertida. Si la imagen se forma en el lado de incidencia (s negativa), siempre será derecha. El aumento dependerá, en cada caso, de los valores de s y s.. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 23