1.1 CASO DE ESTUDIO: JUEGO DE CRAPS

Transcripción

1 . CASO DE ESTUDIO: JUEGO DE CRAPS El juego de Craps se practica dejando que un jugador lance dos dados hasta que gana o pierde, el jugador gana en el primer lanzamiento si tiene como total 7 u, pierde en el primer lanzamiento si tiene un total de, o, si el jugador obtiene cualquier otro total en su primer lanzamiento, ese total se denomina su punto. Continúa haciendo lanzamiento hasta que obtenga 7 o su punto. El jugador ganará si obtiene su punto y pierde si obtiene 7. Cuál es la probabilidad de ganar el juego?. Solución simulada. Cualquiera de los simuladores presentados en el Algoritmo Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. y Algoritmo Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. devuelve el valor total del lanzamiento de dos dados teniendo en cuenta la distribución de probabilidad del fenómeno,,, FUNCION Total _ Dos _ Dados INICIO u u Aleatorio Aleatorio ; ; x Entero 6u ; x Entero 6u ; total x x ; RETORNAR total FIN _ FUNCION _ Total _ Dos _ Dados ; Algoritmo Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. : Simulador del total del lanzamiento de dos dados De otro lado, al definir los vectores X,,, y 6 P,,,,,,,,,, correspondiente a los posibles valores del total y respectivas probabilidades asociadas, el Algoritmo Error! No hay

2 texto con el estilo especificado en el documento. es equivalente al Algoritmo Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. pero más eficiente.,,, FUNCION Total _ Dos _ Dados P, X INICIO u Aleatorio i 0; ; F ; MIENTRAS F u HACER INICIO ii; F F P i ; FIN _ MIENTRAS RETORNAR X i; FIN _ FUNCION _ Total _ Dos _ Dados Algoritmo Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. : Versión mejorada del simulador para el total de dos dados.. Utilizando la función anterior se construye el simulador principal, que queda como se muestra en el Algoritmo Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento..

3 INICIO t Total_Dos_Dados() t==7 t== Gana Gana 0 (t==) (t==) (t==) Punto t Salir 0 t Total_Dos_Dados() t==punto Gana t==7 Gana 0 Salir Salir Salir== Retornar(Gana) FIN Algoritmo Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. : Simulador para el juego de Craps.

4 P. Al correr el simulador puede observarse que Pˆ ( G) P( G), donde P G n la probabilidad de ganar el juego, es. Solución analítica. Definiendo los eventos: G: Ganar el juego. C: Ganar el juego en el primer intento. A: Ganar el juego después del primer intento. Entonces la probabilidad de ganar el juego está dada por la expresión P G PC A PC PA. A continuación se realiza un análisis detallado para el cálculo de cada una de estas probabilidades.. Primero deben calcularse las probabilidades asociadas con los totales del experimento aleatorio. Debe notarse que hay 6 6 posibles resultados igualmente probables que se muestran en la tabla que sigue. En esta tabla cada fila indica el resultado del dado uno mientras las columnas representan el resultado del dado dos Contando las celdas en la tabla pueden obtenerse las siguientes probabilidades de los totales: Total

5 P Total. La probabilidad P C es entonces PC P7 P (Obsérvese que P P P la probabilidad de perder en el primer intento es igual a ).. Para calcular la P A se definen los eventos: B : El puntaje del jugador es. B : El puntaje del jugador es 8. B : El puntaje del jugador es. B : El puntaje del jugador es 9. B : El puntaje del jugador es 6. B 6 : El puntaje del jugador es 0. Observe que de la tabla de probabilidades del total (dada previamente) es claro que, por ejemplo, P B. 6. Para calcular P A puede usarse un razonamiento como el que sigue. Puesto que solamente existen las opciones de ganar con el puntaje y perder obteniendo 7, se pueden calcular las probabilidades condicionales de ganar dado un puntaje es decir calcular P A B i con i,,,,, 6. Por ejemplo, cuando el puntaje es 9, hay formas de obtener ese total y 6 de alcanzar un 7, de esta manera, la probabilidad de que en el experimento se gane dado un puntaje 9 es P A B probabilidades condicionales En la tabla que sigue se resumen esas i 6 P A B i utilizando el teorema de la probabilidad total se concluye que PA PA Bi PB i 9 0 i

6 Finalmente, la PG PC A PC PA Lo que permite concluir que el juego es muy justo, la probabilidad de ganar es casi igual a la de perder!