Módulo III: Geometría Elmentos del triángulo Teorema de Pitágoras Ángulos en la circunferencia

Transcripción

1 Módulo III: Geometría Elmentos del triángulo Altura Bisectriz Simetral o mediatriz Transversal de gravedad Teorema de Pitágoras Ángulos en la circunferencia Ángulo del centro Ángulo inscrito Ángulo interior Ángulo exterior

2 ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO a) Altura: Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo al lado opuesto o a su prolongación. En un triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se intersectan en un punto llamado ortocentro. El ortocentro puede estar ubicado: - En el interior del triángulo en el caso de los triángulos acutángulos - En el exterior en el caso de los triángulos obtusángulos. - Coincidir con el vértice que une los catetos de un triángulo rectángulo.

3 b) Bisectriz: Es el lugar geométrico de todos los puntos que divide a un ángulo en dos ángulos de igual medida. El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita. c) Simetral: Es la recta que intersecta de manera perpendicular en el punto medio de los lados de un triángulo. Las tres simetrales se intersectan en un punto llamado circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

4 d) Transversal de gravedad: Son los segmentos de rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto de un triángulo. Las transversales de gravedad se intersectan en un punto llamado Baricentro o Centro de Gravedad. El baricentro divide a cada transversal de gravedad, de modo que el segmento unido al vértice mide el doble que el segmento unido al lado.

5 TEOREMA DE PITAGORAS En todo triángulo rectángulo la sume de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. Recuerde:

6 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA a) Ángulo del centro: Son los ángulos formados por semirectas que contienen radios de una circunferencia y cuyo vértice es el centro de la circunferencia. Propiedad: todo ángulo del centro tiene la misma medida que el arco de circunferencia que subtiende. m AOB = mab b) Ángulos inscritos: Son aquellos cuyos vértices son un punto de la circunferencia y los lados son cuerdas de ella. Propiedad: La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro siempre que a ambos se oponga el mismo arco. Por lo tanto es equivalente a la mitad del arco que subtiende.

7 m AOB = mab 2 c) Ángulos semiinscritos: Son aquellos ángulos cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados corresponden a una cuerda y una tangente. Propiedad: La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, si ambos subtienden el mismo arco. m ABC = mab 2 d) Ángulo interior en una circunferencia: Son aquellos ángulos cuyo vértice está en el interior de la circunferencia y cuyos lados son segmentos de cuerda de esta circunferencia. Propiedad: La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.

8 m α = mab + mcd 2 e) Ángulo exterior en una circunferencia: Es aquel cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia y cuyos lados son segmentos de rectas secantes a la circunferencia. Propiedad: La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes. m α = mab mcd 2

9 CUESTIONARIO 1) M es el punto medio de la arista del cubo que se muestra en la figura. Si la medida de la arista es 2, el área del Δ ABM es: Respuesta: d 2) Qué elemento secundario del triángulo se muestra en la figura? A) Transversal de gravedad B) Bisectriz C) Simetral D) Altura E) Mediana Respuesta: C

10 3) Cuál de los siguientes tríos de ángulos pueden ser las medidas de los ángulos interiores de un triángulo? A) 27º, 35º y 119º B) 65º, 85º y 30º C) 28º, 59º y 92º D) 75º, 75º y 40º E) Ninguna de las anteriores Respuesta: b 4) HI bisectriz del FHG; FHI=? A) 45 B) 20 C) 25 D) 10 E) Ninguna de las anteriores Respuesta: d 5) En el ABC, CD es altura, CBA=48º, entonces el valor del BCD es: A) 138 B) 90 C) 48 D) 42 E) Ninguna de las anteriores. Respuesta: d

11 6) CD es bisectriz del ACB; AE BC y CD=DB. Si CAE = 10, x =? A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 Respuesta: d 7) En la figura, PA y PB son secantes al ángulo APB = 30 y el ángulo AOB = 70, los ángulos y miden respectivamente: a) 35 y 35 b) 15 y 55 c) 50 y 20 d) 30 y 40 e) Falta información P D C O B A Respuesta: a

12 8) En la figura, DO // CA, AB es diámetro y O es el centro. El ángulo DOC =, determine el ángulo BOD. a) b) 90 - c) 2 d) e) 2 D B C O A Respuesta: d 9) En la figura siguiente, se tiene un semicírculo de centro O y <BAC = 20. El valor del < x es: a) 20 b) 35 c) 40 d) 55 e) 70º Respuesta: b

13 10) En la circunferencia de centro O, OC AB. Si = 50, entonces =? a) 170 b) 165 c) 160 d) 130 e) 120 C A O B Respuesta:c