LIBRO DE PRÁCTICAS DEL SEGUNDO SEMESTRE ESTADISTICA II CURSO 2009 CONTENIDO

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1 LIBRO DE PRÁCTICAS DEL SEGUNDO SEMESTRE ESTADISTICA II CURSO 009 CONTENIDO PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES... PRÁCTICA 0: ESTIMACIÓN PUNTUAL... 5 PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO... 9 PRÁCTICA : PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS... 5 PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPOTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA... 6 PRÁCTICA 4: MUESTREO DE POBLACIONES FINITAS... 3 PRÁCTICA 5: MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE PRÁCTICA 6: MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE SEGUNDA REVISIÓN

2 PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES EJERCICIO Sea X, X, X 3 y X 4 una MAS c/r de tamaño cuatro de X ~ F X ( x; μ ) con E ( X ) = μ desconocda y V( X ) σ <. =. De las sguentes estadístcas cuáles son estmadores nsesgados de μ? T = T = X + X + 3X T 3 = X + X + X 3 + X 4 4 T 4 = ( X + X 4 ) ( X + X ) + ( X X ) ( X ) 4 ( ) 4 4. Entre los estmadores nsesgados de μ hallados, cuál es el que tene la varanza más pequeña? Cuáles son las efcencas relatvas de los demás estmadores nsesgados con respecto al que tene la varanza más pequeña? EJERCICIO Sea X, X,..., X n una muestra aleatora smple con reposcón de una certa poblacón con meda μ y varanza σ.. Demostrar que = = T a X es un estmador nsesgado de μ para cualquer = conjunto de constantes conocdas tales que n = n a = = (=,,..., n). n. S a =, demostrar que V(T) se mnmza s a = n = = = n a = Sugerenca: observar que = n = = a n +, cuando = n = n a 3. Dada X, X, X 3, X 4 MAS c/r de X F x (x), se defne el estadístco: ( 0. X + 0. X X 0. X ) T = como estmador de μ. Analzar el ECM(T) Se defne otro estmador de μ, T* =, cualquera sea la muestra. Sabendo además que E(X ) = μ, comparar el ECM(T) y el ECM(T*). Cuál de los dos estmadores elegría Ud., T ó T*? =

3 PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES EJERCICIO 3 Sea X, X,..., X n MAS c/r de una varable aleatora X con densdad dada por: f ( ke x, θ ) = 0 θ x x θ x < θ Se pde:. Determnar k de modo que sea efectvamente una densdad.. Para el k hallado, calcular E(X) y V(X) 3. Hallar la funcón de densdad de Z= mín {X, X,..., X n } 4. Determnar E(Z) 5. Demostrar que θ * = Z es un estmador nsesgado de θ. n 6. Sabendo que V(Z) = n, comparar θ* con θ** = X n como estmadores de θ. EJERCICIO 4 Sea X U(0,b) con b > 0 y X, X,..., X n una MAS c/r de una varable aleatora X. Se proponen como estmadores de b: T = X n T = máx {X, X,..., X n } Se pde:. Comparar el ECM de T y T.. Encontrar la dstrbucón exacta de T. 3. Para n sufcentemente grande encontrar la dstrbucón aproxmada de T. 4. Comparar los resultados hallados en. y 3. EJERCICIO 5 (Canavos 8.7) Se muestrea una poblacón cuya dstrbucón es exponencal con una densdad dada por: x exp( ) x > 0 f(x,θ) = θ θ 0 x 0. Medante el uso de la cota de Cramer-Rao determnar la varanza del estmador nsesgado de varanza mínma de θ.. Deducr que el estmador efcente de θ es la meda muestral.

4 PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES EJERCICIO 6 Sea una MAS c/r de una varable aleatora X dscreta con funcón de cuantía dada por: ( θ) s x = ó x = p X ( x ) = θ s x = 0 donde θ [0,] es un parámetro desconocdo. Se consdera θ* = n n Y = con Y = 0 X X = 0 0 Se pde:. Mostrar que θ* es un estmador nsesgado para θ.. Mostrar que θ* es de mínma varanza. 3. Mostrar que θ* es asntótcamente efcente, asntótcamente normal y hallar su meda y su varanza asntótca. EJERCICIO 7 (Novales 9.8) Demostrar que la meda muestral es un estmador sufcente para el parámetro de la densdad exponencal. EJERCICIO 8 (Novales 9.9) Demostrar que la meda muestral es un estmador sufcente para el parámetro de la dstrbucón de Posson. EJERCICIO 9 N μ,σ Sean X ~ ( ) y X, X,..., X n MAS c/r de X Se pde:. Investgar la efcenca de X n como estmador de μ?. S σ = Es X n sufcente como estmador de μ? 3. Probar que ( X n ) 3 es sufcente como estmador de μ, mentras que ( X n ) no lo es. 4. S μ = 0 Es S sufcente como estmador de σ? 3

5 PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES EJERCICIO 0 (Novales 9.3) Utlce la desgualdad de Chebychev y la descomposcón del ECM en suma de varanza y sesgo al cuadrado para probar que s la varanza de un estmador asntótcamente nsesgado tende a cero al aumentar el tamaño muestral, dcho estmador es consstente. EJERCICIO Demostrar que X n calculado en base a X, X,..., X n, MAS c/r de X es consstente como estmador de E(X) s: a) X Bernoull (p). b) X F x (x) con μ y σ fntas EJERCICIO Dada X, X,..., X n MAS c/r de X F x (x) se defne: F ( a ) = * n Se pde: n n = Ι { X a } con a constante.. Qué se requere para que sea un estadístco? (a) F * n. Calcular su esperanza y varanza en funcón de p = P(X a) 4. Demostrar que dcho estadístco es consstente para estmar p = P(X a) 4

6 PRÁCTICA 0: ESTIMACIÓN PUNTUAL PRÁCTICA 0: ESTIMACIÓN PUNTUAL EJERCICIO Determnar los estmadores máxmo verosímles y los estmadores por el método de los momentos de los sguentes parámetros:. p en una dstrbucón B(x,n,p), con n conocdo y tamaño de muestra m. λ en una dstrbucón Posson(λ) 3. λ en una dstrbucón Exponencal de meda /λ 4. a en una U(a,) N μ,σ. 5. μ y σ en una ( ) EJERCICIO Una varable dscreta toma los valores 0, y con funcón de cuantía: p X (0,p) = p p X (,p) = p (-p) p X (,p) = (-p) sendo p, 0<p<, un parámetro desconocdo. Estmar p aplcando máxma verosmltud y el método de los momentos, a partr de una muestra de tamaño 00 en la que se ha presentado veces el 0, 53 veces el y 5 veces el. EJERCICIO 3 (Segunda Revsón 989) Se desea estmar el parámetro θ en base a una MAS c/r de tamaño 3. El espaco paramétrco es Θ = {0,,,3}. De la muestra se determnó que: P (X = x, X = x, X 3 = x 3 ) / 5 / 4 = / 3 / s s s s θ = 0 θ = θ = θ = 3 Determnar la estmacón máxmo verosíml de θ. Fundamentar. EJERCICIO 4 Sea X una varable aleatora con densdad dada por: x s 0 < x < θ θ f X ( x ) = con θ R x s θ x θ θ θ Se pde:. Hallar θmv para X de X (MAS de tamaño ).. Hallar θ MM. + 5

7 PRÁCTICA 0: ESTIMACIÓN PUNTUAL EJERCICIO 5 (Examen de Marzo de 995) Sea X ~ U(θ-/, θ+/) y sea X, X,..., X n una MAS c/r de tamaño n de la v.a. X. Sea T = máx {X, X,..., X n }. Se pde:. Hallar la dstrbucón en el muestreo de T t Rec(T).. Probar que: n E (T ) = θ + n + 3. Sea T* = T-/ un estmador de θ. Probar que T* es asntótcamente nsesgado. 4. Sea T ** el estmador de θ por el método de los momentos. Estudar la efcenca asntótca de T **. EJERCICIO 6 Sea X una varable aleatora tal que: p X θ ( x, θ) = 4 θ s s x =, x =, x =, x = x = 0 Una MAS c/r de X de tamaño n=50 arrojó estos resultados: Se pde: 0 observacones valeron - 0 observacones valeron - 0 observacones valeron 0 5 observacones valeron 5 observacones valeron. Hallar el campo de varacón de θ, es decr el espaco paramétrco, Θ.. Hallar θmv. 3. Para calcular el estmador de θ por el método de los momentos se presenta un problema con el momento de prmer orden. Cuál es ese problema y cómo podríamos calcular una estmacón de θ por el método de los momentos?. 4. Hallar con el procedmento propuesto en el punto anteror y para la muestra obtenda, la estmacón por el método de los momentos. 6

8 PRÁCTICA 0: ESTIMACIÓN PUNTUAL EJERCICIO 7 Sea X una varable aleatora con funcón de densdad: 3x 0 x a 3 f X ( x) = a 0 en otro caso Se pde:. Hallar la funcón de verosmltud L(a) para una MAS c/r de tamaño n de X y mostrar que L(a) es decrecente.. Probar que el estmador máxmo verosíml de a es a MV = máx {X, X,..., X n } 3. Determnar la funcón de densdad de a MV. 4. Demostrar que MV es sesgado. Hallar su sesgo y mostrar que su ECM es: a ECM( a ) = ( 3n + )( 3n + ) a 5. Hallar a MM y demostrar que es nsesgado. 6. Determnar a partr de qué valor de n se cumple que: ECM( a MV ) < ECM( a MM ) 7. S estuvéramos trabajando con una MAS c/r de tamaño n =00 qué estmador de los anterores elegríamos? Justfcar. EJERCICIO 8 (Novales 9.8) Utlzar el método de los momentos para obtener el estmador del parámetro θ en la funcón de densdad: θ θx s 0 < x < con 0 < θ < f ( x / θ) = 0 en otro caso EJERCICIO 9 (Segunda Revsón 998) Sea ~ N 0, σ y X, X,..., X n MAS c/r de X Se pde: 7 X ( ). Hallar el estmador de σ por el método de los momentos.. Demostrar que el estmador de σ por el método de máxma verosmltud concde con el de los momentos. 3. Hallar el sesgo y varanza del estmador obtendo (sugerenca: recordar que s X ~ se tene que V(X) = ). χ 4. Dado el estmador alternatvo para σ n, M = ( X X n ), obtener su error n = cuadrátco medo y compararlo con el del estmador estudado en las partes anterores.

9 PRÁCTICA 0: ESTIMACIÓN PUNTUAL EJERCICIO 0 (Novales 9.9) Sea X una varable aleatora que puede tomar k valores numércos: x, x,..., x k con probabldades: p, p,... p k, con k = p =. Esta es la dstrbucón multnomal. S se extrae una muestra de tamaño n, en la que se obtenen n valores de x, n valores de x,... n k valores de x k, con n, probar que el estmador de máxma n n nk verosmltud del vector p = ( p, p,... p k ) es p =,, L,. n n n EJERCICIO k = n = Sean X, Y varables aleatoras normales tales que X ~ N ( μ, ) y Y~ ( μ, ) σ N.. Probar que con muestras ndependentes con reposcón de tamaño n y n, el ns + ns estmador máxmo verosíml de la varanza común es: s = donde n + n s s y son las varanzas muestrales de la prmera y segunda muestra respectvamente. σ. Probar que s es sesgado y que ns + ns s* = es nsesgado para σ. n + n EJERCICIO (Segunda Revson 000) El nvel de las ventas mensuales de un refresco (X) puede modelarse adecuadamente por la funcón de densdad: ( x λ ) s x [ λ, 4λ] f λ = X ( x, ) 9λ λ R + 0 en otro caso donde λ es un parámetro que mde el gasto en publcdad del refresco (el cual se supone constante mes a mes). SE PIDE:. Hallar el estmador de λ por el método de los momentos para una MAS C/R de tamaño n.. El estmador obtendo, es nsesgado? Fundamentar. 3. Calcular el error cuadrátco medo del estmador. 8

10 PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO EJERCICIO Sea X ~ N( μ, 5) y X, X,..., X n una MAS c/r de tamaño 00 de X. Se pde:. Construr un ntervalo aleatoro que contenga a μ con un 0.95 de probabldad.. Elegda una muestra, resultó = 0. Determnar un ntervalo de confanza al 95% para μ. 3. Explcar el sgnfcado de este ntervalo de confanza. x n EJERCICIO En una eleccón los votantes deben elegr entre dos canddatos A y B. Un estudo recente reveló que 400 personas de un total de 500 selecconadas aleatoramente, tenen preferenca por el canddato A. a) Obtener un ntervalo de confanza al 99% para la verdadera proporcón de votantes a favor del canddato A. Con base en este resultado, podría usted afrmar que es probable que A gane la eleccón? Por qué? b) Supóngase que se seleccona aleatoramente una muestra de 5 personas con la msma proporcón muestral a favor del canddato A. Son los resultados dferentes a los del lteral a)? c) En este caso, son razonables las suposcones para los ntervalos de confanza aproxmados del 99%? EJERCICIO 3 El preco del refresco medano en restaurantes es una varable aleatora normal con desvío estándar gual a $. Una muestra de precos en 0 restaurantes arrojó los sguentes resultados: 30, 30, 30, 5, 35, 5, 35, 30, 40, 35, 40, 37, 8, 30, 30, 5, 8, 8, 30, 9. a) Construr un ntervalo para el parámetro preco promedo del refresco medano en restaurantes al 90% de confanza. b) S en realdad se desconoce el valor de σ, obtener nuevamente un ntervalo al 90% para dcho parámetro. Por qué este ntervalo tene mayor ampltud que el que se obtuvo en el punto anteror? 9

11 PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO EJERCICIO 4 En una nvestgacón de mercado sobre un nuevo producto se quere selecconar una MAS c/r de consumdores tal que s tomamos el porcentaje de consumdores que está a favor del producto como estmacón del verdadero porcentaje poblaconal no queremos "errar" por más de un % del valor verdadero con una "segurdad" del 95% El enuncado anteror puede nterpretarse de dos maneras: S el verdadero porcentaje poblaconal es 00p queremos que el valor nferdo para p esté en el ntervalo ( p-0.0, p+0.0) con una probabldad mayor o gual a S el verdadero porcentaje poblaconal es 00p queremos que el valor nferdo para p esté en el ntervalo ( p-0.0p, p+0.0p) con una probabldad mayor o gual a a) Utlzar la desgualdad de Tchebychev para determnar la relacón entre el tamaño de muestra (n) y el verdadero valor poblaconal (p) para ambas nterpretacones y comparar los resultados grafcando n como funcón de p en ambos casos. b) Observar el comportamento de n cuando p está cercano a 0 y a. Cómo camban los resultados s se utlza el TCL? EJERCICIO 5 (Canavos 8.4) Una tenda de donas se nteresa en estmar su volumen de ventas daras. Supóngase que el valor de la desvacón estándar es de $50. a) S el volumen de ventas se encuentra aproxmado por una dstrbucón normal, cuál debe ser el tamaño de la muestra para que con una probabldad de 0.95 la meda muestral se encuentre a no más de $0 del verdadero volumen de ventas promedo? b) S no es posble suponer que la dstrbucón es normal, obtener el tamaño necesaro de la muestra para la pregunta anteror. EJERCICIO 6 Se desea estmar el parámetro proporcón de fumadores entre los estudantes de una unversdad. A esos efectos se seleccona una MAS c/r de 400 alumnos. A la pregunta Es Ud. fumador?, 80 estudantes responden afrmatvamente y 30 por la negatva. Se pde: a) Construr un ntervalo de confanza al 95% para el parámetro a nvestgar. b) Construr un ntervalo de confanza al 95% para el total de fumadores entre los estudantes de la unversdad. c) Sabendo que la proporcón de fumadores nunca podría superar el 30%, calcular el tamaño de una MAS c/r para obtener una estmacón de dcho parámetro s la segurdad y la precsón deseadas son 95% y 3% respectvamente. 0

12 PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO EJERCICIO 7 Sea X una varable aleatora absolutamente contnua y X, X,...,X n una MAS c/r de X. Sabendo que (0 μ 30) es un ntervalo de confanza al 99% para μ = E(X). Se pde: a) A partr del ntervalo de confanza obtendo y sabendo que X se dstrbuye N(μ,σ ) y que n=5, deducr la estmacón puntual de μ y el valor de σ. b) Indcar en cada una de las afrmacones sguentes cuál es verdadera y cuál es falsa. En este últmo caso explcar cuál es el error. AFIRMACIÓN : S se extraen 00 muestras al azar, habrá 99 medas muestrales que pertenecerán a dcho ntervalo. AFIRMACIÓN : S se extraen muchas muestras, en el 99% de los casos las medas poblaconales pertenecerán al ntervalo de confanza. AFIRMACIÓN 3: De cada 00 ntervalos correspondentes a otras tantas muestras, promedalmente 99 de ellos contendrán a la meda poblaconal. EJERCICIO 8 (Canavos 8.34) Se espera tener una certa varacón aleatora nomnal en el espesor de las lámnas de plástco que una máquna produce. Para determnar cuándo la varacón en el espesor se encuentra dentro de certos límtes, cada día se selecconan en forma aleatora lámnas de plástco y se mde en mlímetros su espesor. Los datos que se obtuveron son los sguentes:.6,.9,.3,.8,.8,.7,.4,.,.3,.3,.5,.9. S se supone que el espesor es una varable aleatora dstrbuda normal, obtener los ntervalos de confanza estmados del 90, 95 y 99% para la varanza desconocda del espesor. S no es aceptable una varanza mayor de 0.9 mm exste alguna razón para preocuparse con base en esta evdenca? EJERCICIO 9 (Canavos 8.3) Certo metal se produce, por lo común, medante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleacón a la produccón del metal. Los fabrcantes se encuentran nteresados en estmar la verdadera dferenca entre las tensones de ruptura de los metales producdos por los dos procesos. Para cada metal se selecconan especímenes y cada uno de éstos se somete a una tensón hasta que se rompe. La sguente tabla muestra las tensones de ruptura de los especímenes en klogramos por centímetro cuadrado: Proceso estándar Proceso nuevo

13 PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO EJERCICIO 9 (contnuacón) S se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos dstrbucones normales e ndependentes con varanzas guales, obtener los ntervalos de confanza estmados del 90, 95 y 99% para μ E - μ N Con base en los resultados, se estaría nclnado a conclur que exste una dferenca real entre μ E y μ N? EJERCICIO 0 (Canavos 8.38) Una agenca estatal tene la responsabldad de vglar la caldad del agua para la cría de peces con fnes comercales. Esta agenca se encuentra nteresada en comparar la varacón de certa sustanca tóxca en dos estuaros cuyas aguas se encuentran contamnadas por desperdcos ndustrales provenentes de una zona ndustral cercana. En el prmer estuaro se selecconan muestras y en el segundo 8, las cuales se envaron a un laboratoro para su análss. Las medcones en ppm (partes por mllón) que se observaron en cada muestra se exponen en la tabla. S se supone que el muestreo se hzo sobre dos poblacones ndependentes dstrbudas normales, obtener un ntervalo de confanza estmado del 90% para el cocente de las dos varanzas no conocdas σ /σ. Con base en este resultado, se podría conclur que las dos varanzas son dferentes? Por qué? Nveles de una sustanca tóxca (ppm): Estuaro Estuaro EJERCICIO (Novales 0.9) Sean X e Y los mlgramos de ncotna por cgarrllo con fltro y sn fltro, de una determnada marca. Suponga que ambas cantdades sguen una dstrbucón Normal. Se analzaron 9 cgarrllos con fltro y sn fltro, con los resultados: X:.; 0.7; 0.9; 0.; 0.8; 0.3; 0.9; 0.4;.0 Y: 0.9;.6;.5; 0.5;.0;.9;.4;.;.3;.6;.; Estmar el cocente de varanzas, y construr un ntervalo de confanza del 98% para el msmo.

14 PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO EJERCICIO (Canavos 8.40) Se desea estudar el efecto de una nueva vacuna para la grpe. Una MAS con reposcón de 500 personas vacunadas revela que 50 de ellas se engrparon en el últmo nverno, mentras que en una MAS con reposcón de 000 personas no vacunadas se engrparon 400. Suponendo que las poblacones son ndependentes, construr un ntervalo de confanza al 95% para la dferenca entre las proporcones de personas que se engrpan de las dos poblacones. Qué dría sobre la efectvdad de la vacuna? EJERCICIO 3 (Examen) Una empresa de la ndustra manufacturera produce un tubo de magen para PC, cuya duracón en el tempo (X) tene la sguente dstrbucón de probabldad: α f X ( x ) = x 0 s en x α otro caso donde el parámetro α (α > 0) se mde en undades de tempo y se nterpreta como la duracón mínma garantzada por el fabrcante. Se pde:. Demostrar que el estmador máxmo verosíml de α es T = mín{x, X,..., X n }, a partr de una MAS c/r de X de tamaño n.. Se observó una MAS c/r de 0 tubos de magen de PC, venddos hace 0 años, de los cuales: 5 de ellos se romperon a los años 4 se romperon a los 3 años se romperon a los 4 años se romperon a los 5 años los restantes seguían funconando luego de 5 años. Hallar una estmacón de α a partr de la muestra observada 3. Hallar la dstrbucón en el muestreo de T (la funcón de densdad de T). 4. Determnar b (en funcón de α y n) tal que P(α < T < b) = A partr del ntervalo (α, b) hallado: 5.. Hallar un ntervalo aleatoro al 95% para α. 5.. Hallar un ntervalo de confanza al 95% para α Cuál es la dferenca conceptual entre los ntervalos hallados en 5. y 5.? 6. Estudar la consstenca de T como estmador de α. 3

15 PRÁCTICA : ESTIMACIÓN POR INTERVALO EJERCICIO 4 (Segundo Control 000) Para conocer la proporcón de mujeres adolescentes con hjos se realzó una encuesta a.05 mujeres de 4 a 9 años, medante muestreo sn reposcón. La precsón en la estmacón del parámetro es muy relevante, porque el objetvo de la nvestgacón consste en cuantfcar el número total de madres adolescentes para proporconarles ayuda económca. Un estadístco analza los resultados de la nvestgacón y proporcona los sguentes resultados: Estmacón puntual: 0, Intervalo de confanza: [0,0 0,4] Un segundo nvestgador revsa los datos aportados por el estadístco y concluye que los resultados están equvocados, por los sguentes motvos: a) En prmer lugar, las adolescentes con hjos en la muestra son, por lo que la estmacón correcta de p es 0,9. b) En segundo lugar, el nvel de confanza utlzado por el prmer estadístco parece excesvo, y propone en su lugar un 9%. c) En tercer lugar, al bajar el nvel de confanza se obtene un ntervalo de ampltud más reducda, lo cual es coherente con el prncpo de la mínma ampltud esperada para construr ntervalos de confanza. SE PIDE:. Cuál es el nvel de confanza utlzado por el prmer estadístco para construr el ntervalo [0,0 0,4]?. Calcular el ntervalo de confanza que propone el segundo nvestgador (aproxmar con 3 decmales). 3. Indcar s la afrmacón c) es correcta, fundamentando la respuesta. 4

16 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS PRÁCTICA : PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO Para los sguentes problemas de decsón, defnr el Error de tpo I y el Error de tpo II, y en funcón de ello proponer las hpótess nula y alternatva.. El gerente de una compañía de ómnbus debe decdr sobre la frecuenca dara entre dos localdades. Tradconalmente la compañía vaja 4 veces por día y algunas veces se llegan a agotar los boletos. El gerente está pensando en ncrementar la frecuenca a 6 vajes daros para lograr un mayor número de boletos venddos a costa de las compañías competdoras, pero con el resgo de vajar con muchos asentos vacíos en alguna de las frecuencas con la consguente pérdda de magen frente a sus clentes habtuales (prncpal preocupacón de la compañía). Cada ómnbus carga como máxmo 40 pasajeros. El número medo de pasajeros transportados hasta la fecha es 50 y se espera que con las nuevas frecuencas dcho número ascenderá a 0.. Un fabrcante de heladeras las pnta de color blanco o celeste en las proporcones del 60% y del 40% respectvamente. Últmamente se ha notado un aumento en la demanda del color celeste al punto que se han perddo algunas ventas por falta de stock y a la nversa, se nota un ncremento del stock de heladeras blancas. El gerente de produccón opna que rápdamente deberían alterarse las proporcones de heladeras que se pntan de blanco y celeste (por ej. 50% y 50%). El gerente de comercalzacón no está de acuerdo pues cree que la propensón a demandar el celeste es una moda pasajera. Para tomar la decsón se consultará con una muestra aleatora de clentes antguos sobre el color que habrán de elegr cuando decdan cambar de heladera. Elaborar la regla de decsón del punto de vsta del gerente de comercalzacón. EJERCICIO En una prueba se da un cuestonaro con 5 preguntas de respuesta VERDADERO o FALSO. Se quere probar que un estudante contesta al azar. Para ello se adopta la sguente regla de decsón: - S o más respuestas son correctas el estudante no está contestando al azar; - S menos de son correctas el estudante está contestando al azar. Se pde:. Plantear las hpótess a comprobar. (El peor error es decr que el estudante estudó, cuando realmente está advnando).. Con la regla de decsón adoptada, cuál es el nvel de sgnfcacón de la prueba? 5

17 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 3 Para realzar la sguente prueba: H 0 ) θ = θ 0 H ) θ = θ Se sabe que consderando la regón crítca RC: P ( Error tpo I) = 0.0 P ( Error tpo II) = 0.30 y que consderando la regón crítca RC: P (Error tpo I) = 0.30 P ( Error tpo II) = 0.0 Se pde:. Cuál de las regones crítcas utlzará para realzar la prueba? Fundamente.. Calcular la potenca de la prueba para la regón crítca elegda. EJERCICIO 4 (Novales 0.3) Un profesor recrmna sstemátcamente a un colega suyo por el nvel de exgenca, por lo que éste últmo le ofrece corregr por separado los msmos exámenes, que se acaban de celebrar, y comparar los porcentajes de alumnos que aprueban. Tras la correccón, el prmer profesor aprueba a 48 de los 400 alumnos mentras que el segundo aprueba a 4. a) Qué concluría usted a un nvel de sgnfcacón del 5%? b) Y al 0%? EJERCICIO 5 Sea X, X,..., X n una MAS c/r de una varable X Bernoull (p) elegda para probar H 0 ) p=0,49 contra H ) p=0,5. Usando la aproxmacón normal, determnar n para que la probabldad de ambos tpos de error no supere 0,0. EJERCICIO 6 En una poblacón normal con una meda desconocda y varanza gual a 5 se desea someter a prueba H 0 ) μ = 0 contra H ) μ = a partr de una muestra de tamaño n y con un nvel de sgnfcacón α.. Hallar la forma de la RC óptma.. Determnar dcha RC y el valor de n para que las probabldades de ambos tpos de error no superen

18 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 7 (Canavos 9.) Suponga que usted desea probar la hpótess H 0 ) θ = 5 contra la alternatva H ) θ = 8 por medo de un solo valor que se observa en una varable aleatora con densdad de probabldad dada por: f ( x exp( ) x, θ ) = θ θ 0 x > 0 x 0 S el tamaño máxmo del error de tpo I que puede tolerarse es de 0.5, cuál de las sguentes reglas de decsón es la mejor para escoger entre las dos hpótess? 7 Rechazar H 0 s X 9 Rechazar H 0 s X 0 Rechazar H 0 s X EJERCICIO 8 (Canavos 9.4 y 9.5) La cantdad promedo que se coloca en un recpente en un proceso de llenado se supone que es de 0 onzas. En forma peródca, se escogen al azar 5 recpentes y el contendo de cada uno de éstos se pesa. Se juzga al proceso como fuera de control cuando la meda muestral X n es menor o gual a 9.8 o mayor o gual a 0. onzas. Se supone que la cantdad que se vacía en cada recpente se encuentra aproxmada, en forma adecuada, por una dstrbucón normal con una desvacón estándar de 0.5 onzas. a) Enúncense las hpótess nula y alternatva que son propas para esta stuacón. b) Obtener la probabldad del error de tpo I. c) Obtener y grafcar la funcón de potenca para los sguentes valores medos de llenado: 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9, 0.0, 0., 0., 0.3, 0.4 y 0.5. d) Como una prueba alternatva, consdérese el rechazo de H 0 cuando X n 9.5 o cuando X n S el tamaño máxmo del error de tpo I es de 0.05, cuál de las dos pruebas es la mejor? e) Supóngase ahora que el tamaño de la muestra se aumenta a 36 recpentes. Dados los msmos tamaños del error de tpo I para las pruebas propuestas, obtener los nuevos valores crítcos y comparar las funcones de potenca de las dos pruebas. EJERCICIO 9 (Novales 0.5) Un analsta cree que la cotzacón peseta/dólar USA puede representarse por una dstrbucón N ( μ, 6), pero no está seguro de que haya descenddo en el últmo mes por debajo de su nvel medo, que cree que ha permanecdo estable en 8.5 ptas./dólar. Por tanto, se quere constatar H 0 ) µ = 8.5 frente a H ) µ < 8.5, y está dspuesto a rechazar la hpótess nula de establdad en el tpo de cambo, s obtene una meda muestral nferor a 80.5 ptas./dólar. (Suponer que dspone de una muestra con 5 observacones).

19 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCIO 9 (contnuacón) Se pde: a) Cuál es el nvel de sgnfcacón del contraste? b) Cuál es su funcón de potenca? Dbújela. c) Cuál debería ser la regón crítca para tener un nvel de sgnfcacón del 0%? d) Cuál sería la funcón de potenca en tal caso? Dbújela junto con la anteror. EJERCICIO 0 (Canavos 9.8) Sea X, X,..., X n, una muestra aleatora de tamaño n de una dstrbucón de Posson con parámetro λ desconocdo. Obtener la mejor regón crítca de tamaño α para probar: H 0 : λ = λ 0 H : λ = λ < λ 0 EJERCICIO (Novales 0.) Hallar la forma de la regón crítca óptma para el contraste de hpótess nula H 0 ) p = p 0, frente a H ) p = p, en una poblacón B(p). EJERCICIO (Canavos 9.) Un contratsta ordena un gran número de vgas de acero con longtud promedo de 5 metros. Se sabe que la longtud de una vga se encuentra normalmente dstrbuda con una desvacón estándar de 0.0 metros. Después de recbr el embarque, el contratsta seleccona 6 vgas al azar y mde sus longtudes. S la meda muestral tene un valor más pequeño que el esperado, se tomará la decsón de envar el embarque al fabrcante. a) S la probabldad de rechazar un embarque bueno es de 0.04, cuál debe ser el valor de la meda muestral para que el embarque sea regresado al fabrcante? b) S la longtud promedo real es de 4.98 metros, cuál es la potenca de la prueba en el ncso a)? EJERCICIO 3 (Canavos 9.6) En certo condado de Iowa, la cosecha promedo de maíz por acre fue de 00 toneladas por acre. Para un año dado en el que el clma fue partcularmente bueno, se selecconaron parcelas en forma aleatora y éstas arrojaron una cosecha promedo de 06 toneladas por acre, para la msma varedad de maíz. S la produccón por acre se modela en forma adecuada por una dstrbucón normal con una desvacón estándar de 8 toneladas por acre, exste alguna razón para creer que este año la produccón será mejor que la produccón promedo normal?. Empléese α = 0.0. Para este caso, cuál es el valor-p? EJERCICIO 4 (Múltple Opcón selecconada de la Segunda Revsón de 00). Dada la prueba de hpótess H 0 ) μ = μ 0 contra H ) μ μ 0 con nvel α = 0% en la que se obtene un valor p de 0.08, entonces la decsón a tomar es: a) No se rechaza H 0 ) porque el valor p es mayor a α/. b) Se rechaza H 0 ) porque el valor p es menor que α. c) No tenemos elementos para decdr porque no conocemos el valor de μ 0. d) Nnguna de las anterores. 8

20 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 4 (contnuacón). Dada la prueba de hpótess H 0 ) μ μ 0 contra H ) μ > μ 0 donde la regón crítca es {todas las muestras / x k } a) No se puede calcular el nvel de sgnfcacón de la prueba porque la hpótess nula es compuesta. b) El valor de la potenca no es únco porque la hpótess alternatva es compuesta. c) Para calcular el valor p se necesta el valor de k. d) Nnguna de las anterores. 3. En una prueba de hpótess en la cual H 0 ) μ = 5 contra H ) μ 5, cuál los sguentes valores para el tamaño de muestra (n) y el nvel de sgnfcacón (α) dará una probabldad de error II menor? a) n = 00 y α = 0.0. b) n = 00 y α = 0.0. c) n = 00 y α = d) Nnguna de las anterores. EJERCICIO 5 Una empresa está estudando comprar los derechos de dstrbucón de las camsetas de las "Tortllas Nunga". Las utldades mensuales provenentes de esta concesón están aproxmadamente modeladas por una dstrbucón normal con meda y varanza desconocdas. El problema que se presenta es la varabldad mensual de las utldades, dado que dcha varabldad es una medda del resgo que se asume en el negoco. La empresa, asesorada por un especalsta en nversones, decde no comprar s la desvacón típca de las utldades es de U$S 800 o más. Para decdr se toma una MAS c/r de meses, en los cuales se nvestgan las utldades en cada uno de ellos y se obtene que s x = 600 y x =.00. Se pde: (Fundamentando sus respuestas). Explcar sucntamente, por qué la desvacón típca es una medda del resgo que se asume.. Defnr el peor error que la empresa puede cometer y en base a éste realce una prueba de hpótess, con el fn de determnar s la empresa compra o no, los derechos de dstrbucón. Utlce un nvel de sgnfcacón del 5%. 3. Con los resultados utlzados en, construr un ntervalo de confanza para la varanza de las utldades de Tortllas Nunga. Mark Etng, técnco en comercalzacón de productos, en un nforme elevado a la gerenca, ndca que la marca "Tortllas Nunga ya no es tan popular como antes y sugere como alternatva que se compren los derechos de dstrbucón del fusl de asalto AK 74 de Pambo, ya que el estreno de "Pambo XXXII - En busca de su bsneto ha aumentado la populardad del personaje. La dstrbucón de las utldades mensuales se puede modelar adecuadamente. 9

21 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 5 (contnuacón) 4. por una normal de meda y varanza desconocda. Para tratar de resolver el problema se toma una muestra al azar de 0 meses donde se encuentra que: 0 = 0 x = = x = Construr un ntervalo de confanza para la varanza de las utldades al 95%. 5. Obsérvese que la estmacón del valor de la varanza del producto de Pambo es mayor que la de las Tortllas Nungas; por qué, para un 95% de confanza, el resgo que se asume, en la peor stuacón, es menor? EJERCICIO 6 (Canavos 9.30) Se cree que el promedo para el número de respuestas correctas para la prueba SAT para las mujeres es mayor que el de los hombres por más de dez puntos. Las muestras aleatoras para ambos sexos arrojaron los sguentes resultados: Mujeres: n = 5; X n = 480 Hombres: n = 00; X n = 460 y S x = 60. y S x = 5. a) S se muestrearon dos poblacones ndependentes normales, se encuentra la creenca apoyada por la evdenca muestral con α = 0.05? Cuál es el valorp? b) Supóngase que la verdadera dferenca es de 5 puntos. Cuál es la potenca de la prueba anteror? EJERCICIO 7 (Canavos 9.33) Se espera que dos operadores produzcan, en promedo, el msmo número de undades termnadas en el msmo tempo. Los sguentes datos son los números de undades termnadas para ambos trabajadores en una semana de trabajo: Operador : ; ; 8; 6; 3 Operador : 4; 8; 8; 7; 6 S se supone que el número de undades termnadas daramente por los dos trabajadores son varables aleatoras ndependentes dstrbudas normales con varanzas guales, se puede dscernr alguna dferenca entre las medas a un nvel α= 0.? EJERCICIO 8 (Canavos 9.46) Para el ejercco 7 (Canavos 9.33), puede apoyarse la opnón de que la varacón en el número de artículos termnados para el operador es menor que para el operador a un nvel α = 0.05? 0

22 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 9 (Examen Setembre 997) El jefe de personal de una empresa sospecha que los empleados de más edad perden más días de trabajo al año por enfermedad que los trabajadores jóvenes. Decde probar esta hpótess y elge al azar los regstros de 0 empleados de 40 años o más y de 0 empleados de menos de 40 años. Se sabe que ambas poblacones tenen una dstrbucón normal con la msma varanza. Los resultados son: 40 años o más Menos de 40 años Sean: μ = promedo anual de días perddos por enfermedad de trabajadores de 40 años o más. μ = promedo anual de días perddos por enfermedad de trabajadores de menos de 40 años. Se pde:. Establecer la hpótess nula y la alternatva para este problema, sabendo que el peor error es afrmar que los empleados de 40 años o más perden más días de trabajo por enfermedad que los empleados menores de 40 años cuando en realdad no es certo.. Proponer un estadístco apropado para la prueba. 3. Entre la curva normal y la dstrbucón t, cuál es la dstrbucón en el muestreo adecuada? Fundamente su respuesta. 4. Establecer la regla de decsón con un nvel de sgnfcacón del 5%. 5. Cuál debe ser la conclusón del jefe de personal? 6. Obtener el valor-p de esta prueba y explcar su sgnfcado. EJERCICIO 0 Una empresa que se dedca a comercalzar válvulas realza sus ventas en lotes de undades. Los compradores consderan aceptables lotes que no contengan más de un 0% de defectuosas. Como norma, cada venta se realza luego de analzar los lotes a través del porcentaje de defectuosas exstentes en una muestra de tamaño n. Solamente en el.5% de los casos la empresa está dspuesta a no vender lotes aceptables para los compradores. Al msmo tempo se tratará de mnmzar la probabldad de que el lote se venda cuando el porcentaje de válvulas defectuosas supere el 0%. Se pde:. Defnr el resgo del comprador y el del vendedor.. Plantear una prueba de hpótess adecuada para decdr s la empresa vende el lote. 3. Encontrar una regón crítca óptma para dcha prueba en base a una muestra de 600 válvulas con reposcón.

23 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 0 (contnuacón) 4. S un lote contene el 3% de válvulas defectuosas, cuál sería el resgo que correría un determnado comprador? (n = 600). 5. Calcular cuál debera ser el tamaño de la muestra para que la potenca de la prueba sea k = 0,95 para el msmo nvel de sgnfcacón. EJERCICIO Una empresa desea lanzar un nuevo producto al mercado pero no está segura qué canal de dstrbucón utlzar: almacenes mayorstas o mnorstas. La empresa optará por los mnorstas s más de la mtad de los consumdores potencales ( personas) conocen la marca del producto. Se pde:. Qué método estadístco sugerría utlzar? Fundamente su respuesta.. Qué nformacón necestaría sumnstrarle la empresa para que Ud. pueda trabajar? 3. Plantear la hpótess nula y la hpótess alternatva y la forma de la regón crítca. 4. S α = 0.05 n = 600 X 600=300/600. Qué canal de dstrbucón utlzaría la empresa? 5. Identfque el peor error que se puede cometer y su probabldad máxma. 6. Calcular la funcón de potenca para p = 0.7 e nterpretar el resultado obtendo. EJERCICIO Una empresa comercal recbe del fabrcante lotes de artículos guales que deben respetar determnadas normas: a) Cada artículo del lote se clasfca como bueno o defectuoso según cumpla o no con las normas preestablecdas. b) Un lote es aceptable s tene un porcentaje de artículos defectuosos que no supera el 0%. Para decdr acerca de la compra de un lote, el comprador elge una muestra (MAS c/r) de 600 artículos del lote y cuenta el número de defectuosos. S al selecconar la muestra encuentra 66 artículos defectuosos. Se pde:. Qué decsón tomaría la empresa comercal en base a una prueba de sgnfcacón para la proporcón de artículos defectuosos con un nvel de sgnfcacón del %?. Cuál sería el resgo del fabrcante? 3. S el verdadero porcentaje de artículos defectuosos en el lote fuera del 5%: 3.. Cuál sería el resgo de la empresa comercal al decdr en base a esta prueba? 3.. Calcular cuál debería ser el tamaño de la muestra para que el resgo de la empresa comercal fuera del 5%.

24 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 3 (Novales 0.4) Halle el contraste de razón de verosmltudes para el contraste de la hpótess nula: N μ,σ, H 0 ) μ = μ 0, frente a la alternatva compuesta H ) μ μ 0 en una poblacón ( ) con σ desconocda. Pruebe que este contraste concde con el contraste habtual basado en el estadístco de la t de Student. EJERCICIO 4 (Novales 0.5) Halle el contraste de razón de verosmltudes para el contraste de la hpótess nula: H 0 ) σ = σ0, frente a la alternatva compuesta H) σ σ 0 en una poblacón, con μ asmsmo desconocda. Pruebe que este contraste concde con el contraste habtual basado en el estadístco de la ch-cuadrado. EJERCICIO 5 (Examen 7/0/96) Las dferentes partes de este ejercco son ndependentes entre sí. PARTE I Es común que los vendedores cometan errores en las facturas, por ejemplo al escrbr los precos de los productos, las cantdades venddas y en las sumas. En una empresa se tene la polítca de sanconar a un vendedor s este produce más del 0 % de facturas con errores, porque pasado este límte se consdera que el vendedor trabaja "mal". Una muestra aleatora smple con reposc6n de 000 facturas del vendedor Juan contene 50 facturas con errores y su supervsor decdó sanconarlo. Plantear:. La hpótess nula y la hpótess alternatva consderando que el "peor error" que se puede cometer es decdr que el vendedor trabaja "mal" cuando en realdad trabaja ben.. Plantear el estadístco a utlzar y su dstrbucón en el muestreo. 3. Hallar la regón crítca s se utlza un nvel de sgnfcacón del %. 4. La decsón del supervsor es consstente con el resultado de la muestra? 5. S en realdad el vendedor confeccona el % de las facturas con error, cuál es la probabldad de error de tpo II? 3

25 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 5 (contnuacón) PARTE II Se desea estmar el consumo medo mensual de cerveza por persona en la poblacón montevdeana. Para ello se tomó una muestra de tamaño 000 personas (MAS c/r) en 985 y se obtuvo el sguente ntervalo de confanza al 95%: (.58;.8) ltros por persona por mes. Se pde:. Probar la hpótess nula de que el consumo promedo mensual per capta de cerveza en la poblacón de Montevdeo es.8 ltros contra la hpótess de que es dferente de.8 en 995. Utlce un nvel de sgnfcacón de %.. Probar la hpótess nula de que el consumo promedo mensual per capta de cerveza en la poblacón de Montevdeo es.8 ltros contra la hpótess alternatva de que es menor que.8 en 995 para un nvel de sgnfcacón del 0%. 3. En su opnón, a qué se debe que ambas pruebas conduzcan a decsones dferentes? EJERCICIO 6 (Segunda Revsón 000) En una nsttucón de salud la Dreccón Técnca controla peródcamente la cantdad de medcamentos que se consumen en la consulta en polclíncas. Se consdera razonable un consumo promedo de,5 medcamentos por consulta. S en un período el promedo excede de,5 entonces los médcos que más recetaron son sanconados con suspensón. En cada período la Dreccón Técnca seleccona al azar por MAS C/R 400 pacentes que consultaron en Polclíncas y analza el número de medcamentos que les fueron recetados en la últma consulta. La Dreccón Técnca adopta la sguente regla de decsón: s el promedo de medcamentos por consulta en la muestra es mayor que,6 entonces se asumrá que en la poblacón de pacentes de Polclíncas el promedo supera,5 y se procederá a sanconar con suspensón a los médcos más recetadores. Para la Dreccón Técnca el peor error consste en sanconar a los médcos cuando en realdad no debería hacerlo. SE PIDE:. Plantear las hpótess nula y alternatva apropadas para este problema.. Se conoce que la varanza del número de medcamentos recetados por consulta es,44. De acuerdo con la regla de decsón, cuál es el nvel de sgnfcacón de la prueba? 3. Cuál es la probabldad que con la regla establecda no se sancone a los médcos más recetadores s en realdad en el período analzado el promedo de recetas por consulta alcanza a,7? 4

26 PRÁCTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE SIGNIFICACIÓN DE PARÁMETROS EJERCICIO 6 (contnuacón) 4. Modfcar la regla de decsón (con el msmo tamaño de muestra) para que la probabldad de error de tpo I no supere,5%. 5. Con esta prueba, es posble realzar afrmacones acerca de una posble reduccón en el consumo promedo de medcamentos por consulta? Fundamentar la respuesta. EJERCICIO 7 (Segunda Revsón 00) Una prueba de matemátca de múltple opcón consta de 0 preguntas, con tres opcones de respuesta cada una, una sola correcta. Por cada respuesta correcta se obtenen 4 puntos y por cada respuesta equvocada. Es oblgatoro responder las 0 preguntas. El puntaje mínmo para aprobar la prueba es 6 puntos. Sean: X = puntaje de la prueba e Y = número de respuestas correctas.. Hallar la relacón entre X e Y. Hallar el mínmo del Rec(X) e nterpretar su sgnfcado.. Plantear una prueba de hpótess para el parámetro p = probabldad de contestar ben, sabendo que el peor error es que el estudante aprueba la prueba cuando en realdad está advnando. Se tene que ndcar: H 0 ), H ), la regón crítca y el nvel de sgnfcacón. 3. Plantear, sn calcular, la funcón de potenca de la prueba en funcón del parámetro defndo en el punto. 4. Un alumno estudoso tene probabldad constante e gual a 0.7 de responder correctamente a cada pregunta. Calcular la probabldad de que un alumno estudoso apruebe la prueba (aproxmar con 3 decmales). 5. S 300 alumnos rnden la prueba y todos ellos son estudosos y no pueden coparse, cuál es el número esperado de alumnos que aprobarán la prueba? Fundamente la respuesta. 5

27 PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPOTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA EJERCICIO (Canavos 0.) El número de nacmentos observados por mes en un hosptal fue: 6 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dc S α = 0.0, exste alguna razón para creer que el número de nacmentos no se encuentra dstrbudo en forma unforme durante todos los meses del año? Cuál es el valor-p? EJERCICIO (Segunda revsón de 998) La nformacón que a contnuacón se presenta es una tabulacón del número de goles por partdo (en los noventa mnutos de juego) que se regstraron en el mundal de fútbol de Franca ' 98. CANTIDAD DE GOLES NUMERO DE PARTIDOS Total 64. Con un nvel de sgnfcacón del 5%. el número de goles por partdo podría dstrburse Posson con parámetro λ? (El parámetro λ se determnará apropadamente).. El valor-p de la prueba es menor o mayor que 0.0? Fundamente su respuesta. EJERCICIO 3 Someter a prueba la hpótess de que los puntajes de una prueba se dstrbuyen aproxmadamente normal, con un nvel de sgnfcacón del % a partr de los datos obtendos de una muestra de 90 estudantes Puntaje Frecuenca Total 90

28 PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA EJERCICIO 4 (Canavos 0.6) Durante un período de 30 años se llevó a cabo un estudo médco para determnar, entre otras cosas, s los hábtos de fumador pueden nfluencar en el desarrollo de la enfermedad cardíaca. Durante este período, 60 hombres desarrollaron alguna enfermedad cardíaca. Estos hombres fueron clasfcados como fumadores agudos (más de dos cajas de cgarros al día), fumadores moderados (una a dos cajas al día), fumadores ocasonales (menos de una caja al día) o no fumadores. El número de hombres en cada categoría que desarrolló alguna enfermedad cardíaca es el sguente: Fumador Fumador Fumador No agudo Moderado Ocasonal fumador Total a) S se supone que al comenzo del estudo había una cantdad gual de hombres en cada una de las cuatro categorías, exste alguna razón a un nvel de α = 0.0 para creer que las proporcones en estas categorías no son las msmas? b) Cómo se podría prevenr al nvestgador médco del uso de la prueba de bondad de ajuste ch-cuadrado en esta stuacón? EJERCICIO 5 (Examen Febrero 999) Un odontólogo atende sus pacentes de lunes a vernes en jornadas de 6 horas. El odontólogo se queja, últmamente, de un crecente cansanco, debdo a que los jueves y vernes atende más pacentes que de lunes a mércoles. La probabldad de que un pacente que asste al dentsta durante certa semana, lo haga en cada uno de los días es la sguente: Día de la semana Día Nº Probabldad Lunes 0.6 Martes 0.6 Mércoles Jueves Vernes Por consejo de un estadístco, el odontólogo anunca a sus pacentes que a partr del mes sguente aumentará el horaro de atencón a 7 horas de lunes a mércoles, y lo reducrá a 5 horas los jueves y vernes. Transcurrdos dos meses de los cambos, se seleccona una semana al azar y se obtenen los sguentes resultados: Día de la semana Día Nº Pacentes atenddos Lunes 0 Martes 9 Mércoles 3 Jueves 4 4 Vernes 5 6 7

29 PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA EJERCICIO 5 (contnuacón) Se pde:. Plantear las hpótess nula y alternatva de los dos problemas sguentes:.. Se desea saber s la dstrbucón nueva de pacentes es unforme (dscreta)... Se desea saber s la dstrbucón nueva de pacentes no cambó.. Indcar en el caso de la prueba. el estadístco de la prueba y su dstrbucón aproxmada en el muestreo bajo H Decdr en la prueba. para un nvel de sgnfcacón del 5%. Trabajar con 3 dígtos. 4. Indcar qué sgnfca el concepto de Error Tpo II de la prueba de hpótess desarrollada. EJERCICIO 6 (Segunda Revsón 996) El gerente de produccón de una empresa asegura que la demanda total semanal del producto X se dstrbuye aleatoramente con funcón de densdad: f X x 7 x ( x ) = x 6 s x s x [ 0, ) [, ] en otro caso donde X se mde en Kg. de producto. Para verfcar la afrmacón del Gerente de Produccón, se tomó una MAS c/r de la demanda en 400 semanas con el sguente resultado: Demanda Número de semanas Se pde:. Para un nvel de sgnfcacón del 0% puede afrmarse que la demanda total semanal se dstrbuye según la afrmacón del gerente de produccón? (Realzar los cálculos con dos decmales).. Para un nvel de sgnfcacón del 0% y para la msma muestra, se somete a prueba la hpótess H 0 ) X ~ N ( μ 0, σ 0 ) con μ 0 y σ 0 dadas, y resulta que, de acuerdo con los resultados, no se rechaza dcha hpótess. Es este resultado coherente con el resultado del punto anteror? Fundamentar la respuesta. 8

30 PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA EJERCICIO 7 (Canavos 0.4) Se toma una muestra aleatora de 5 hombres casados y se les pregunta la edad que tenían cuando se casaron. Se obtenen los sguentes datos: 4, 9, 0,, 50, 3, 3,, 5, 7, 45, 7, 6, 6, 35, 9, 8, 30, 3, 3, 3, 33, 34, 38, 4. Úsese la estadístca de Kolmogorov-Smrnov para probar la hpótess nula de que la dstrbucón de las edades de los hombres cuando contrajeron sus prmeras nupcas es una dstrbucón gama con θ = y α = 6. Úsese α = (Sugerenca: para calcular las probabldades gama, véase una tabla de la funcón gama ncompleta determnada por 5.55). EJERCICIO 8 Se desea nvestgar s exste asocacón o ndependenca entre certas categorías de la PEA y la edad de dcha poblacón. A esos efectos se elgó una muestra aleatora de 000 personas actvas obtenéndose los sguentes resultados: EDAD CATEGORÍA DE LA PEA Menos de 5 Entre 5-60 Más de 60 Ocupados en ndustra manufacturera Ocupados en el comerco Ocupados en los servcos Desocupados Someter a prueba la hpótess de ndependenca entre la edad y la categoría de la PEA para un nvel de sgnfcacón α = 3%. EJERCICIO 9 (Segunda Revsón 997) Se efectuó una encuesta entre 483 amas de casa que compran habtualmente yogur para determnar s exste alguna relacón entre la marca que compran más frecuentemente y la característca prncpal que debe tener un "buen yogur". Las marcas de yogur que exsten en el mercado son: A, B, C, D y E. Las característcas de un "buen yogur" son: buen sabor, nutrtvo, barato, sn adtvos y caldad. Se quere saber s exste dependenca entre la marca de yogur comprada más frecuentemente y la característca prncpal que debe tener un "buen yogur". Con la nformacón obtenda en la encuesta se elaboraron los sguentes cuadros de valores observados y esperados. 9

31 PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA EJERCICIO 9 (contnuacón) Cuadro de valores observados Característca Sn Sabor Nutrtvo Barato prncpal adtvos Caldad Total Marca A Marca B Marca C Marca D Marca E Total Cuadro de valores esperados Se pde: Característca Sn Sabor Nutrtvo Barato prncpal adtvos Caldad Marca A α β γ Marca B Marca C Marca D Marca E Determnar los valores de α, β y γ de la tabla de valores esperados. (Aproxmar con un decmal).. Plantear las hpótess nula y alternatva para esta prueba. 3. Sabendo que el valor del estadístco Ch-cuadrado en la muestra es 40.45, qué decsón adoptaría para un nvel de sgnfcacón del 5%? 4. El valor-p será mayor, gual o menor que el 5%? Fundamente la respuesta. 30

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