2.3 Ecuaciones diferenciales lineales

Transcripción

1 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 45.3 Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma dx C a.x/y D g.x/; donde a 0.x/ 0 Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es de la forma Observación. En este caso g.x/ D 0. dx C a.x/y D 0; donde a 0.x/ 0 Ejemplo.3. Mostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales. xy 0 y D x.. y x 0 C yx D 3y. 3..y C / dx C.y x y x/ dy D 0. Ahora tenemos. a 0.x/ D x, a.x/ D & g.x/ D x. x es la variable independiente y la variable dependiente es y.. a 0.y/ D y, a.y/ D y & g.y/ D 3y. y es la variable independiente y la variable dependiente es x. 3. ealizando algunas operaciones.y C / dx C.y x y x/ dy D 0 ).y C / dx dy C y x y x D 0 ) ).y C / dx dy C y x x D y ).y C / dx dy C.y /x D y Vemos que a 0.y/ D y C, a.y/ D y & g.y/ D y. y es la variable independiente y la variable dependiente es x. Ejemplo.3. Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas. xy 0 y D 0.. y x 0 C yx D x C 5/y 0 C.x 5/y D 0. En estos casos tenemos. a 0.x/ D x, a.x/ D.. a 0.y/ D y, a.y/ D y. 3. a 0.x/ D x C 5, a.x/ D x 5.

2 46 Ecuaciones diferenciales.3. esolución de la ecuación diferencial lineal homogénea Para resolver la ecuación diferencial lineal homógenea de primer orden se presentan a continuación dos procedimientos. Primer procedimiento. La ecuación diferencial dx C a.x/y D 0 es separable. En efecto dx C a.x/y D 0 ) dx D a.x/y ) ) dy dx D a.x/ a 0.x/ y ) dy y D a.x/ a 0.x/ dx ) ) dy y D I donde p.x/ D a.x/ a 0.x/ y a 0.x/ 0 Integrando se obtiene dy y D ) ln y C C D C C ) ) ln y D C C ) y D e CC ) y D e e C ) ) y D Ce I donde C es arbitrario. Ejemplo.3.3 esolver la ED x dy dx C x3 y D 0; con x 0 Separando las variables Integrando dy y D x dy dx C x3 y D 0 ) x dy dx D x3 y ) dy y D x dx x dx ) ln y C C D x3 3 C C ) ) ln y D x3 3 C C ) y D e x3 3 CC ) y D e C e x3 3 ) ) y D Ce x3 3 Segundo procedimiento. Lo primero que se hace es normalizar la ecuación diferencial, es decir, dividimos la ecuación diferencial entre a 0.x/ 0 para obtener el coeficiente del término con mayor derivada igual a uno dx C a.x/y D 0 ) dy dx C a.x/ a 0.x/ y D 0 ) dy dx C p.x/y D 0 ) ) y 0 C py D 0 Como antes, denotamos p.x/ D a.x/ a 0.x/, con la restrición a 0.x/ 0. A continuación se hacen las siguientes consideraciones

3 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 47 a. Se define.x/ D e En este caso no usamos la constante de integración de la integral e para obtener una función.x/ lo más sencilla posible. Por el teorema Fundamental del Cálculo, al derivar obtenemos es decir d dx D d dx ( e ) D e d dx 0 D p D e p.x/ D p b. Por otro lado d dy.y/ D dx dx C y d dx D dy dy dx C yp D dx C py Igualdad que se escribe como.y/ 0 D.y 0 C py/ (.) Para resolver la ecuación diferencial y 0 C py D 0 a. Se multiplica la ecuación diferencial por la función.x/ D e b. Se aplica la igualdad anterior (.) c. Integrando se obtiene.y/ 0 dx D d. Por último se despeja la variable y.y 0 C py/ D 0.y/ 0 D 0 0 dx ) y D C ) e y D C C y D e ) y D Ce En este procedimiento la función.x/ se ha utilizado como factor para poder efectuar la integración y resolver la ecuación diferencial. Por esta razón se dice que.x/ es un factor integrante de la ecuación diferencial. Ejemplo.3.4 esolver la ED x dy dx C x3 y D 0, con x 0. Se normaliza la ED dividiendo entre x dy dx C x y D 0 Vemos que p.x/ D x. Se calcula un factor integrante.x/ D e ) D e x dx D e x3 3 Se multiplica por la ecuación diferencial y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/ e x3 3 y 0 C x y 0 D 0 ) e x3 3 y D 0 Al integrar se obtiene e x3 3 y D C ) y D Ce x 3 3 Observación. Es el mismo resultado que obtuvimos en el ejemplo 33

4 48 Ecuaciones diferenciales.3. esolución de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Se normaliza la ecuación diferencial dividiendo entre a 0.x/ dx C a.x/y D g.x/ ) dy dx C a.x/ a 0.x/ y D g.x/ a 0.x/ ) ) dy C p.x/y D f.x/ dx Se considera que p.x/ D a.x/ a 0.x/ & f.x/ D g.x/ a 0.x/ ; donde a 0.x/ 0.. Se calcula un factor integrante.x/.x/ D e 3. Se multiplica la ecuación diferencial por la función.x/.y 0 C py/ D f 4. Considerando que.y/ 0 D.y 0 C py/ [ver (.) en página (47/], se tiene.y/ 0 D f 5. Integrando.y/ 0 dx D f dx ) y C C D f dx C C 6. Despejando la variable y y D f dx C C Se ha obtenido así la expresión de la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea y D e e f.x/ dx C Ce Ejemplo.3.5 esolver la ED y 0 y D 5. En este caso la ecuación diferencial está normalizada. Se tiene que p.x/ D & f.x/ D 5. Se calcula un factor integrante.x/ D e D e. / dx D e x Se multiplica la ecuación diferencial por y se aplica la igualdad conocida (.) de la página 47 Integrando y despejando a y obtenemos.y 0 C py/ D f ).y/ 0 D f ).e x y/ 0 D e x 5.e x y/ 0 dx D e x 5 dx ) e x y C C D 5e x C C ) e x y D 5e x C C ) ) y D 5 C Ce x

5 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 49 Ejemplo.3.6 esolver la ED y 0 xy D 5x. Esta ecuación diferencial está normalizada. En este caso p.x/ D x & f.x/ D 5x. Se calcula un factor integrante.x/ D e D e. x/ dx D e x Se multiplica la ecuación diferencial por y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/.y/ 0 D f ) e x y 0 D e x 5x Integrando y despejando la y, obtenemos e x y 0 dx D e x 5xdx ) e x y C C D 5e x C C ) e x y D 5e x C C ) ) y D 5 C Ce x Ejemplo.3.7 esolver la ED xy 0 C y D 5x 3 ; donde x > 0. Se normaliza la ED dividiendo entre x y 0 C x y D 5x En este caso p.x/ D x y f.x/ D 5x. Se calcula un factor integrante.x/ D e D e x dx D e ln x D x Se multiplica la ED normalizada por y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/.y/ 0 D f ).xy/ 0 D 5x 3 Integrando y despejando y.xy/ 0 dx D 5x 3 dx ) xy C C D 5 4 x4 C C ) xy D 5 4 x4 C C ) ) y D 5 4 x3 C C x Ejemplo.3.8 esolver la ED.00 C t/y 0 C y D 7.00 C t/. Se normaliza la ED dividiendo entre 00 C t En este caso p.t/ D 00 C t & f.t/ D 7. y 0 C 00 C t y D 7

6 50 Ecuaciones diferenciales Se calcula un factor integrante.t/ D e p.t/ dt dt D e 00Ct D e ln.00ct/ D e ln.00ct/ D.00 C t/ Se multiplica la ED normalizada por y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/.y/ 0 D f ) Integrando y despejando y, obtenemos [.00 C t/ y ] 0 D 7.00 C t/ [ ].00 C t/ 0 y dt D 7.00 C t/ dt ).00 C t/ y C C D 7.00 C t/ 3 3 ( ) ( ) ).00 C t/ 7 y D.00 C t/ 3 C C ) 3 ) y D C t/ C C.00 C t/ C C ) Ejemplo.3.9 esolver la ecuación diferencial x y 0 C 3xy D sen x x. Se divide entre x para normalizar la ED Se calcula el factor integrante D y 0 C 3 x y D sen x x 3 (.3) 3 x dx D 3 ln x D ln x3 ).x/ D e D e ln x3 D x 3 Se multiplica la ED (.3) por.x/ D x 3 y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/ x 3 [ y 0 C 3 x y ] D x 3 sen x x 3 ) Œx 3 y 0 D sen x Integrando Œx 3 y 0 dx D sen x dx ) x 3 y C C D cos x C C ) x 3 y D cos x C C ) ) y D C cos x x 3 La cual es la solución general de la ecuación diferencial. Ejemplo.3.0 esolver la ecuación diferencial.cos x/y 0 C.sen x/y D x.sen x/ cos x. Dividiendo entre cos x para normalizar la ED y 0 C sen x x.sen x/ cos x y D cos x cos x ) y 0 C sen x y D x.sen x/ (.4) cos x

7 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 5 Calculando el factor integrante sen x D cos x dx D ln.cos x/ D ln.cos x/ ) ).x/ D e D e ln.cos x/ D.cos x/ D cos x Multiplicando la ED (.4) por.x/ y aplicando la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/ [ y 0 C sen x ] cos x cos x y D [ ] 0 x sen x ) cos x cos x y x sen x cos x D cos x D x sen x De donde [ ] 0 cos x y dx D Integrando por partes la integral del lado derecho Por lo tanto la solución general es x sen x dx y D x cos x C sen x C C cos x y D x cos x C sen x cos x C C cos x ) y D x cos x C sen x C C cos x Ejemplo.3. esolver la siguiente ED lineal x 0 C yx D y. En este caso la ED está normalizada. El factor integrante es p.y/ dy D y dy D y ).y/ D p.y/ dy e D e y Multiplicando la ED normalizada por.y/ D e y y aplicando la igualdad conocida [ 0 e y Œx 0 C yx D ye y ) e x] y D ye y Integrando e y x D ye y dy D ey C C Por lo tanto la solución general es x D C Ce y Ejemplo.3. esolver la siguiente ecuación diferencial dy dx D e y x. Considerando a y en función de x, esta ecuación diferencial ordinaria no es lineal; pero si consideramos a x en función de y, se tiene que.e y x/ dy dx D ) ey x D dx dy ) ) x 0 C x D e y (.5) Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal. Un factor integrante es p.y/ dy D dy D y ).y/ D e y

8 5 Ecuaciones diferenciales Entonces multiplicando la ED lineal (.5) por.y/, aplicando la igualdad conocida e integrando e y Œx 0 C x D e y e y ) Œe y x 0 D e y ) Œe y x 0 dy D e y dy ) ) e y x C C D ey C C ) e y x D ey C C La solución general de la ED es x D ey C Ce y Ejemplo.3.3 esolver el siguiente PVI y 0 xy D x 3 e x ; con la condición y.0/ D. Se tiene y 0 xy D x 3 e x (.6) Un factor integrante es D x dx D x ).x/ D e D e x Multiplicando (.6) por.x/, aplicando la igualdad conocida e integrando, se obtiene e x Œy 0 xy D x 3 e x e x ) Œe x y 0 D x 3 e x ) ) Œe x y 0 dx D x e x x dx Integrando por partes la integral del lado derecho x e x x dx D 4 x e x C e x x dx Entonces e x y C C D 4 x e x C Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es ( ) e x C C ) y D 4 ( 4 e x x C ) e x C C e x y D 4 ( x C ) e x C C e x Considerando la condición inicial y.0/ D D 4 0 C e 0 C C ) D 8 C C ) C D C 8 D 9 8 Por lo tanto, la solución del PVI es y D 4 ( x C ) e x C 9 8 ex

9 .4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 53 Ejercicios.3. Ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones en la página 458 esolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.. y 0 C 00y D 0.. x 0 0x D z 0 xz D xy 0 0y D t/s 0 C 4s D C 3t/A 0 C A D 0. ( ) 7. y 0 C.cot x/y D csc x; con y D. 8..x C 5/ dy C 0y D 0.x C 5/; con y.0/ D 0. dx 9..x C / dy C 3xy D 6x. dx 0. xy 0 C.x 3/y D 4x 4.. xy 0 D y C x.. y 0 cos x C y sen x D x y 0 C xy D x. 4..y /x 0 x D y.y /. 5. xe x y 0 C.x C /e x y D. 6. y dx C.3xy 4y 3 /dy D x C / dy D.x 3 xy C x/ dx; con y./ D. 8..y C /dx D. C xy/dy; con x./ D y 0 cos x C y sen x cos 3 x D 0; con y.0/ D. 0. Ly 0 C y D E sen wx; con y.0/ D 0, donde L,, E & w son constantes positivas..4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/y r ; con r 0; se denomina ecuación diferencial de Bernoulli. Es claro que si r D 0, entonces tenemos una ecuación diferencial lineal a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/y 0 ) a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/ También si r D, entonces tenemos una ecuación diferencial lineal a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/y ) a 0.x/y 0 C a.x/y f.x/y D 0 ) ) a 0.x/y 0 C Œa.x/ f.x/ y D 0 ) ) a 0.x/y 0 C h.x/y D 0 Ejemplo.4. Las siguientes ecuaciones diferenciales son de Bernoulli. y 0 C x y D x y ; donde r D.. y 0 xy D x 3 y 5 ; donde r D xy 0 C x 5 y D xy ; donde r D. 4. 5y 3 dx y. x C y x 4 / dy D 0.