En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.

Transcripción

1 2.2 Triángulos Oblicuángulos En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos. Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos importantes: En el aso 1 (LL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este caso existe siempre una solución única. En el caso 2 (L), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre encontramos una solución única. En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única. En el caso 4 (LL), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución. Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de Seno y Ley de osenos Ley de los senos ntes de definir la ley de Seno y oseno es importantísimo recordar que: Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRINGULOS RETÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. O sea:

2 Demostración de la Ley de los Senos Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera, como se muestra en la figura 13 Figura 13 Oblicuángulos b a c El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un triangulo rectángulo. Quedando como la Figura 14 b Figura 14 triángulos rectángulos omo el triangulo D es un triangulo rectángulo, se tiene que D c a El triangulo D también es un triangulo rectángulo; de ahí que on las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema de ecuaciones simultáneas. Utilizando el método de igualación, se tiene De la ecuación 1 De la ecuación 2 D=Sen*b D=sen*a Igualando ambas ecuaciones, se tiene: b Sen=a sen. La ecuación anterior se puede expresar:

3 Para la razón de c con Sen, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15 P figura 15 demostración Ley de senos b a omo el triangulo P es un triangulo rectángulo, se tiene que c on las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema de ecuaciones simultáneas. Utilizando el método de igualación, se tiene De la ecuación 1 De la ecuación 2 P=Sen*b P=sen*c Igualando ambas ecuaciones, se tiene: La ecuación anterior se puede expresar: Por último se conectan las igualdades 1 y 2

4 plicación de la ley de los Senos Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema: Se conoce dos ángulos y un lado (-L-) Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados. Ejemplo 8: ompletar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos: = 45º = 60º c= 20m Solución: Llevando los datos a la figura 16, se tiene: figura 16-ejemplo 8 omo se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos: Para hallar el angulo, = =75º Para hallar el lado a, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el lado c ya que se conoce el valor. O sea Reemplazando, Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.

5 Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-) Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución para solucionarlo se siguen los siguientes pasos: Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución. Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos dos con respecto a 180º. Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (-L-) Ejemplo 9: ompletar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos: = 67º c= 125cm a=100cm Solución: Llevando los datos a la figura 17 se tiene: Figura 17ejemplo 9 omo se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución. Se tienen los datos a Sen, a y c se puede despejar al ángulo. Reemplazando los valores conocidos, se tiene b 45 o c=20m a 60 o

6 Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que Sen= >1. Ejemplo 10: ompletar los datos del triángulo de la figura 18: figura 18 ejemplo 10 b a=10m Solución: 30o c=15 m Los datos que se tienen son: Sen, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores a y c. para despejar el ángulo., pued e tom ar dos v alores diferentes : ò..(p O R Q U E?)

7 hora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo. o n o n Ejemplo 11: l ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 60º. a. alcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones. b. alcular la altura del rascacielos. Solución Llevando los datos a la figura D figura 19-ejemplo E La distancia mas corta está en el lado del triángulo ; para hallar su longitud o distancia, se debe conocer, el valor de los ángulos, y. El ángulo, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º. El ángulo, es igual a =135º El ángulo, por la suma de los ángulos internos es igual: = =15º. Para hallar la distancia, se utiliza la ley de Senos:

8 L a d istan cia m as co rta en tre las az o teas es d e p ies Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado D. Si se analiza la gráfica se ve que entre vértices D, se forma un triangulo rectángulo con el lado D, como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (), es la hipotenusa del triangulo rectángulo. l tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura D. O sea la altura D, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (E). Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio ; por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a: Observación: L a altu ra d el rascacielo s es d e p ies. Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela olombiana de Ingeniería (EI) "Julio Garavito" Ley de los osenos Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados. En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:

9 Demostración de la Ley de los osenos para uno de sus lados La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el lado a. Para entender Ley de los osenos, se parte de un triángulo cualquiera, como se muestra en la figura 20. Figura 20-Ley de cosenos b a c El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un triangulo rectángulo. Quedando como la figura 21 la figura 21-ley de cosenos- b h a x D c c-x omo el triangulo D es un triangulo rectángulo, se tiene que El triangulo D también es un triangulo rectángulo; de ahí que Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas) Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación queda:

10 En el triangulo D se cumple que Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene plicación de la Ley de los osenos. La ley de osenos se aplica cuando: Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L--L) Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de osenos y para hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos. Ejemplo 12 Resolver el triangulo de la siguiente figura 22 Figura 22-ejemplo o 15 8 Solución a Para hallar el valor de a,

11 on los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de oseno o por la Ley de senos. Utilizando la ley de cosenos, Despejando coseno de, se tiene Para hallar el angulo, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos Se conoce los tres lados (L-L-L) Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de osenos; con un àngulo conocido, se puede utilizar la ley de Senos o osenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos. Ejemplo 13 Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m. Hallar el àngulo, utilizando la ley de osenos.

12 Para hallar el àngulo, se puede por la Ley de Senos o osenos. Utilizando la ley de cosenos, El ngulo se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo. Ejemplo 14 Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la distancia de hasta P es de 900m, la distancia de hasta Q es de 1700 m y el angulo PQ es de 50º. Solución Llevando los resultados a la figura 23 P Q figura 23 ejemplo 14, 900m 60 o 1700m De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo (figura 24). La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.

13 (figura 2.24-ejemplo 14). q=900m P a 60 o Q p= 1700m Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado a de la figura anterior. Ejemplo 15 Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, uál es la medida del ángulo que forman? Solución L a d is ta n c ia q u e s e p a ra lo s c ab o s u b ic ad o s e n lo s p u n to s P y Q e s d e m. Llevando los datos a la figura 25), se tiene: Figura 25-ejemplo 15? El lado c = El lado b =24 - omo el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas. - omo se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo que es el angulo que se forma entre ellos.

14 E l àngu lo q ue se form a entre los la do s b y c es de º