3.2 EL PRODUCTO ESCALAR Y LAS PROYECCIONES EN R 2

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1 34 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 ais sqare a=ais; ais([min(a([1,3])),ma(a([,4])),min(a([1,3])),ma(a([,4]))]) % hold off Una ez qe se haa escrito la fnción en n archio con nombre lincomb.m, dé el comando doc lincomb para tener na descripción de este archio con etensión m. Sean dos ectores de 3 1 qe no son paralelos. Sea w 5 5*(*rand(,1)1). Dé lincomb(,,w). Primero erá graficados, w. Oprima calqier tecla aparecerá la geometría de w escrita como na combinación lineal de. Repita para diferentes ectores w,. 3. EL PRODUCTO ESCALAR Y LAS PROYECCIONES EN R En la sección 1.6 se definió el prodcto escalar de dos ectores. Si 5 (a 1, b 1 ) (a, b ), entonces? 5 a 1 a 1 b 1 b (1) Ahora se erá la interpretación geométrica del prodcto escalar. DEFINICIÓN 1 Ánglo entre ectores Sean dos ectores diferentes de cero. Entonces el ánglo ϕ entre está definido como el ánglo no negatio más peqeño entre las representaciones de qe tienen el origen como pnto inicial. Si 5 α para algún escalar α, entonces ϕ 5 si α. ϕ 5 π si α,. Esta definición se ilstra en la figra Obsere qe ϕ siempre se pede elegir para qe sea n ánglo no negatio en el interalo [, π]. TEOREMA 1 Sea n ector. Entonces 5? () DEMOSTRACIÓN Sea 5 (a, b). Entonces 5 a 1 b? 5 (a, b)? (a, b) 5 a? a 1 b? b 5 a 1 b 5 Este ánglo estará en el interalo [, π].

2 3. El prodcto escalar las proecciones en R 35 Figra 3.11 Ánglo ϕ entre dos ectores a ) b ) c ) 5 5 d ) e ) TEOREMA Sean dos ectores diferentes de cero. Si ϕ es el ánglo entre ellos, entonces cos (3) DEMOSTRACIÓN La le de los cosenos (ea el problema.5.1, página 15) establece qe en el triánglo de la figra 3.1 c 5 a 1 b ab cos C B (a1, b1) c A a b C (a, b) ϕ Figra 3.1 Triánglo con lados a, b c Figra 3.13 Triánglo con lados,

3 36 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 Ahora se colocan las representaciones de con los pntos iniciales en el origen de manera qe 5 (a 1, b 1 ) 5 (a, b ) (ea la figra 3.13). Entonces de la le de los cosenos, 5 1 cos ϕ. Pero de () teorema 1 iii ), pág ( )? ( ) 5?? 1? 5? 1 Así, despés de restar 1 en ambos lados de la igaldad, se obtiene? 5 cos ϕ, el teorema qeda demostrado. Obseración. Haciendo so del teorema 1 se pede definir el prodcto escalar? como? 5 cos ϕ EJEMPLO 1 Cálclo del ánglo entre dos ectores Encentre el ánglo entre los ectores 5 i 1 3j 5 7i 1 j. Solción = = 11, = + 3 = 13 = ( 7) + 1 = 5. Así cos ϕ = = 11 = de manera qe 1 ϕ = cos ( ). 169 ( º) Nota. Como # ϕ # π, cos 1 (cos ϕ) 5 ϕ. DEFINICIÓN Vectores paralelos Dos ectores diferentes de cero son paralelos si el ánglo entre ellos es cero o π. Obsere qe los ectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opestas. EJEMPLO Dos ectores paralelos Demestre qe los ectores 5 (, 3) 5 (4, 6) son paralelos. Solción cos ϕ= = 8 18 = = 6 = 1 13( 13) 13 ( ) Por lo tanto, ϕ 5 π (de manera qe tienen direcciones opestas). Estos números, al igal qe otros en el libro, se obtieron con na calcladora. Al hacer este cálclo, asegúrese de qe s calcladora esté en modo de radianes.

4 3. El prodcto escalar las proecciones en R 37 TEOREMA 3 Si Z, entonces 5 α para algna constante α si sólo si son paralelos. DEMOSTRACIÓN La preba se deja como ejercicio (ea el problema 44). DEFINICIÓN 3 Vectores ortogonales Los ectores diferentes de cero son ortogonales (o perpendiclares) si el ánglo entre ellos es π/. EJEMPLO 3 Solción Dos ectores ortogonales Demestre qe los ectores 5 3i 1 4j 5 4i 1 3j son ortogonales.? 5 3? 44? 3 5. Esto implica qe cos ϕ 5 (? )/( ) 5 como ϕ está en el interalo [, π], ϕ 5 π/. TEOREMA 4 Los ectores diferentes de cero son ortogonales si sólo si? 5. DEMOSTRACIÓN Esta preba también se deja como ejercicio (ea el problema 45). Mchos problemas interesantes se refieren a la noción de la proección de n ector sobre otro. Antes de definir esto se demestra el sigiente teorema. TEOREMA 5 Sea n ector diferente de cero. Entonces para calqier otro ector el ector es ortogonal a. ( ) w DEMOSTRACIÓN ( ) ( )( ) w ( ) Los ectores, w se ilstran en la figra Figra 3.14 El ector w5 es ortogonal a 5w w 5 pro

5 38 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 DEFINICIÓN 4 Proección Sean dos ectores diferentes de cero. Entonces la proección de sobre es n ector denotado por pro, qe se define por pro (4) La componente de en la dirección de es, es n escalar. (5) Obsere qe / es n ector nitario en la dirección de. Obseración 1. De las figras del hecho de qe cos ϕ 5 (? ) ( ). Se encentra qe pro tienen: i. la misma dirección si?. ii. direcciones opestas si?,. Figra 3.15 a) pro tienen la misma dirección si?., b) pro tienen direcciones opestas si?, ϕ π pro ϕ, π ϕ.., ϕ pro a) b) Obseración. Se pede pensar en la pro como la -componente del ector. Obseración 3. Si son ortogonales, entonces? 5 de manera qe pro 5. Obseración 4. Una definición alternatia de la proección es: si son ectores diferentes de cero, entonces pro es el único ector con las sigientes propiedades: i. pro es paralelo a. ii. pro es ortogonal a. EJEMPLO 4 Cálclo de na proección Sean 5 i 1 3j 5 i 1 j. Calcle pro. Solción Pro 5 (? )/ 5 [5/( ) ] 5 (5/)i 1 (5/)j (ea la figra 3.16).

6 3. El prodcto escalar las proecciones en R 39 Figra 3.16 La proección de (, 3) sobre (1, 1) es 5 5 (, ) 1 1 EJEMPLO 5 Cálclo de na proección Sean 5 i 3j 5 i 1 j. Calcle pro. Solción En este caso (? )/ 5 1 ; así, pro 5 1 i 1 j (ea la figra 3.17). 51 Figra 3.17 La proección de i 3j 1 1 sobre i 1 j es i j 5 Problemas 3. A UTOEVALUACIÓN I. i? j 5. a) 1 b) ( 1) ( 1 ) c) d) i 1 j II. (3, 4)? (3, ) 5. a) (3 1 3)(4 1 ) 5 36 b) (3)(3) 1 (4)() 5 17 c) (3 3)( 4) 5 d) (3)(3) (4)() 5 1 III. El coseno del ánglo entre i 1 j e i j es. a) i 1 j b) c) d) 1 1 IV. Los ectores i 1j 3i 1 ( 1 )j son. a) Ni paralelos ni ortogonales b) Paralelos c) Ortogonales d) Idénticos

7 4 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 V. Pro w 5 a) w w b) w w c) w w w w d) w De los problemas 1 al 1 calcle el prodcto escalar de los dos ectores el coseno del ánglo entre ellos. 1. = i + j; = i j. = 3i; = 7j 3. = i3j; = i13j 4. = 5i; = 18j 5. = αi ; = βj; α, β reales 6. = 4ij; = 5i17j 7. = i + 5 j; = 5i + j 8. = i + 5j; = 5i j 9. = 3i + 4j; = i 7j 1. = 4i + 5j ; = 5i 4j 11. Demestre qe para calesqiera números reales α β, los ectores 5 αi 1 βj 5 βi αj son ortogonales. 1. Sean, w tres ectores arbitrarios. Epliqe por qé el prodcto?? w no está definido. De los problemas 13 al 19 determine si los ectores dados son ortogonales, paralelos o ningno de los dos. Despés esboce cada par. 13. = 3i + 5j; = 6i 1j 14. = i + 3j; = 6i 4j 15. = i3j; = 9i16j 16. = i + 3j; = 6i + 4j 17. = i + 3 j; = 6i + 4j i; 5 3j i 4j; 5 i 1 3j. Sean 5 3i 1 4j 5 i 1 αj. Determine α tal qe: a) son ortogonales. b) son paralelos. c) El ánglo entre es π/4. d) El ánglo entre es π/3. 1. Sean 5 i 1 7j 5 αi j. Determine α tal qe: a) son ortogonales. b) son paralelos. c) El ánglo entre es π/3. d) El ánglo entre es π/3.. En el problema demestre qe no eiste n alor de α para el qe tienen direcciones opestas. 3. En el problema 1 demestre qe no eiste alor de α para el qe tienen la misma dirección. En los problemas 4 al 37 calcle pro i; 5 i 1 j j; 5 i 1 j 6. 5 i 3j; 5 9i 1 6j 7. 5 i 1 j; 5 i j 8. 5 i 1 3j; 5 4i 1 j 9. 5 i j; 5 5i 1 7j 3. 5 i 1 j; 5 i 3j i 1 j; 5 i 1 3j i j; 5 i 1 3j αi 1 βj; 5 i 1 j; α β reales positios

8 3. El prodcto escalar las proecciones en R i 1 j; 5 αi 1 βj; α β reales positios i 1 j; 5 4i 6j αi βj; 5 i 1 j; α β reales positios con α. β αi βj; 5 i 1 j; α β reales positios con α, β 38. Sean 5 a 1 i 1 b 1 j 5 a i 1 b j. Establezca na condición sobre a 1, b 1, a b qe asegre qe pro tengan la misma dirección. 39. En el problema 38 establezca na condición qe asegre qe pro tengan direcciones opestas. 4. Sean P 5 (, 3), Q 5 (5, 7), R 5 (, 3) S 5 (1, ). Calcle pro P S Q R S S pro R S S P S Q. 41. Sean P 5 (1, 3), Q 5 (, 4), R 5 (6, ) S 5 (3, ). Calcle pro P S Q R S S pro R S S P S Q. 4. Prebe qe los ectores diferentes de cero son paralelos si sólo si 5 α para algna constante α. [Sgerencia: Demestre qe cos ϕ 5 ±1 si sólo si 5 α.] 43. Prebe qe son ortogonales si sólo si? Demestre qe el ector 5 ai 1 bj es ortogonal a la recta a 1 b 1 c Demestre qe el ector 5 bi 1 aj es paralelo a la recta a 1 b 1 c Un triánglo tiene értices (1, 3), (4, ) (3, 6). Encentre el coseno de cada ánglo. 47. Un triánglo tiene értices (a 1, b 1 ), (a, b ) (a 3, b 3 ). Encentre la fórmla para el coseno de cada ánglo. *48. La desigaldad de Cach-Schwarz establece qe para calesqiera números reales a 1, a, b 1 b ab 1 / 1/ a b k k k k k = k = k = Utilice el prodcto escalar para probar esta fórmla. Bajo qé circnstancias se pede sstitir la desigaldad por na igaldad? *49. Prebe qe la distancia más corta entre n pnto na recta se mide por na línea qe pasa por el pnto es perpendiclar a la recta. 5. Encentre la distancia entre P 5 (, 3) la recta qe pasa por los pntos Q 5 (1, 7) R 5 (3, 5). 51. Encentre la distancia entre (3, 7) la recta qe a a lo largo del ector 5 i 3j qe pasa por el origen. 5. Sea A na matriz de 3 tal qe cada colmna es n ector nitario qe las dos colmnas son ortogonales. Demestre qe A es inertible qe A 1 5 A t (A se conoce como matriz ortogonal). R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. c) II. b) III. b) IV. c) V. c)

9 4 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 MANEJO DE LA CALCULADORA Se pede obtener el prodcto pnto entre dos ectores tilizando el comando DOT. Se necesitan tener dos ectores de dimensiones compatibles en las posiciones 1 de la pila escribir el comando DOT segido de la tecla enter, esto si se qiere obtener el prodcto pnto entre los ectores 1 con magnitd 5 ánglo 3 radianes el ector con magnitd 3 ánglo 5 radianes [] 5 ALPHA 6 3 ENTER [] 3 ALPHA 6 5 ENTER ALPHA ALPHA D O T ENTER Si qeremos obtener el ector nitario asociado a 1 (magnitd 4 ánglo 3 radianes) podemos proceder como sige [] 5 ALPHA 6 3 ENTER ENTER ALPHA ALPHA A B S ENTER 1 / 3 Para calclar el operador pro U, si tenemos gardados ectores U V, por ejemplo [] 5 ALPHA 6 3 ENTER ' O ALPHA U ENTER STO K [] 3 ALPHA 6 5 ENTER ' O ALPHA V ENTER STO K ALPHA U ENTER ALPHA V ENTER ALPHA ALPHA D O T ENTER ALPHA V ENTER ENTER ALPHA ALPHA D O T ENTER 4 Z ALPHA V ENTER 3

10 3. El prodcto escalar las proecciones en R 43 En los problemas 53 al 57 tilice na calcladora para encontrar n ector nitario qe tenga la misma dirección qe el ector dado. 53. (.31,.816) 54. (91, 48) 55. (195, 738) 56. (5.361, ) 57. (19, 58116) De los problemas 58 al 61 tilice na calcladora para encontrar la proección de sobre esboce, pro (3.8, 5.19), 5(6.17, 11.56) (.169,.3556), 5 (.8171,.119) 6. 5 (573, 496), 5 (17171,9816) (37155, 4136), 5 (5516, 7385) MATLAB Para los pares de ectores de los problemas 4 a 3, erifiqe los ectores proección calclados con lápiz papel sando MATLAB (conslte la información de manejo de MAT- LAB anterior a los problemas de MATLAB 3.1). M. (Este problema sa el archio prjtn.m) El problema se refiere a la isalización de las proecciones. A continación se presenta la fnción prjtn.m. fnction prjtn(,) % PRJTN fncion proeccion. Grafica la proeccion del ector % en la direccion del ector % % : ector de 1 % : ector de 1 origen=[;]; P=('*)/('*)*; O=[origen,]; O=[origen,]; OP=[origen,P]; MP=[,P]; plot(o(1,:),o(,:),'b*',o(1,:),o(,:),'b*',... OP(1,:),OP(,:),' go',mp(1,:),mp(,:),':m') tet((1)/,()/,'\bf '); tet((1),(), 1 ) tet((1)/,()/,'\bf '); tet((1),(),'') tet(p(1)/,p()/,'\bf P'); tet(p(1),p(),'3')

11 44 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 a=ais; ais([min(a([1,3])) 1,ma(a([,4]))+1,min(a([1,3])) 1,ma(a([,4]))+1]) ais sqare grid on title('p es la proeccion de en ') label(' termina en 1, termina en, P termina en 3') Una ez qe se ha escrito la fnción en n archio con nombre prjtn dé el comando doc prjtn para tener na descripción de este archio con etensión m. Para los pares de ectores dados ensegida: a) Introdzca como matrices de 3 1 calcle p 5 proección de sobre. b) Dé el comando prjtn(, ) (este archio despliega en la pantalla de gráficas. Oprima calqier tecla bajará na perpendiclar del pnto terminal de hasta la recta determinada por. Oprima calqier tecla se indicará el ector proección). c) Mientras obsera las gráficas en la pantalla, erifiqe qe el ector p graficado sea el ector calclado en a). Localice el ector (paralelo a) p. Cál es la relación geométrica entre p? i. 5 [;1] 5 [3;] ii. 5 [;3] 5 [3;] iii. 5 [;1] 5 [1;] i. 5 [;3] 5 [1;]. Elija ss propios ectores (al menos tres pares). 3.3 VECTORES EN EL ESPACIO Se ha isto qe calqier pnto en el plano se pede representar como n par ordenado de números reales. De manera análoga, calqier pnto en el espacio se pede representar por na terna ordenada de números reales (a, b, c) (1) R 3 ORIGEN EJE X EJE Y EJE Z Los ectores de la forma (1) constiten el espacio 3. Para representar n pnto en el espacio, se comienza por elegir n pnto en 3. Se denomina a este pnto el origen, denotado por. Despés se dibjan tres rectas perpendiclares entre sí, a las qe se llama el eje, el eje el eje z. Dichos ejes se peden seleccionar de diferentes formas, pero la más común tiene los ejes horizontales el eje z ertical. Sobre cada eje se elige na dirección positia la distancia a lo largo de cada eje se mide como el número de nidades en esta dirección positia a partir del origen. Los dos sistemas básicos para dibjar estos ejes se describen en la figra Si los ejes se colocan como en la figra 3.18a, entonces el sistema se denomina sistema derecho; si se colocan como en la figra 3.18b, se trata de n sistema izqierdo. En las figras las flechas indican la dirección positia de los ejes. La razón para la elección de estos términos es la sigiente: en n sistema derecho, si coloca s mano derecha de manera qe el dedo índice señale en la dirección positia del eje mientras qe el medio apnta en la dirección positia del eje, entonces s plgar apntará en la dirección positia del eje z. Este concepto se ilstra en la figra 3.19.