ELABORACIÓN DE MATERIALES DIDACTICOS DE MATEMÁTICAS, FÍSICA Y QUÍMICA Y CIENCIAS NATURALES PARA ALUMNOS ACNES DE 1º Y 2º ES.O.

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1 LAS FRACCIONES Lorena González Grande Grupo de trabajo: 209 ELABORACIÓN DE MATERIALES DIDACTICOS DE MATEMÁTICAS, FÍSICA Y QUÍMICA Y CIENCIAS NATURALES PARA ALUMNOS ACNES DE 1º Y 2º ES.O. 1

2 ÍNDICE 1. Las fracciones y sus términos Representación de fracciones Lectura y escritura de fracciones Tipos de fracciones Fracciones equivalentes Fracción de un número Comparación de fracciones con el mismo numerador Comparación de fracciones con el mismo denominador Comparación de fracciones con distinto denominador Evaluación Bibliografía 28 2

3 1. LAS FRACCIONES Y SUS TÉRMINOS La fracción está formada por dos términos que son números naturales a y b colocado uno encima del otro y separados por una raya y llamados: numerador y denominador Una fracción también recibe el nombre de quebrado o número fraccionario Al número inferior (b) se le llama denominador e indica el número de partes iguales en que se divide la unidad. Al superior (a) se le llama numerador e indica el número de esas partes de la unidad que se toman o consideran. Es decir: la fracción se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales. Ejemplo: Por ejemplo, dividimos una tarta en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente fracción: Además debemos saber que las fracciones representan cantidades según el resultado que se obtenga al dividir el número del numerador entre el del denominador. Si una fracción tiene igual numerador y denominador, representa una unidad. Si una fracción tiene menor el numerador que el denominador, representara una cantidad menor que la unidad. Si la fracción tiene mayor el numerador que el denominador, representará una cantidad mayor que la unidad. Ejemplos: Para saber a cuantas unidades equivale esta fracción, dividimos 2 : 8 = 0,25 Por tanto esta fracción equivale a 0,25 unidades, es decir menos que una unidad. 3

4 Para saber a cuantas unidades equivale esta fracción, dividimos 5 : 5 = 1 Por tanto esta fracción equivale exactamente a 1 unidad. Para saber a cuantas unidades equivale esta fracción, dividimos 8 : 5 = 1,6 Por tanto esta fracción equivale a 1,6 unidades, es decir más que una unidad. EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. La fracción está formada por dos que son números naturales a y b colocado uno del otro y llamados: Una fracción se llama también o El número de abajo se llama e indica el número de partes iguales en que se la unidad. El número de arriba se llama e indica el número de esas partes de la unidad que se. La fracción se utiliza para representar las de un objeto que ha sido dividido en partes iguales. 2) Escribe en forma de fracción Tres días del mes de enero Siete preguntas de las 25 de un examen De 21 personas que hay en una reunión, 8 son menores de edad 5 días de una semana 7 meses de un año Ya he leído 124 páginas de las 320 que tiene un libro 23 minutos de una hora De los 200 km de un trayecto, hemos recorrido ya 125 km 3) Indica si las siguientes fracciones representan cantidades menores, iguales o mayores a la unidad Mayores que la unidad Menores que la unidad Iguales que la unidad 4

5 2. REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES Para representar fracciones, debemos elegir una unidad (círculo, cuadrado,.), dividirla en tantas partes como indique el denominador y marcar en esa unidad las partes que nos indique el numerador. Ejemplos: EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. El denominador indica el número de partes en que hay que la unidad. El numerador indica el número de partes que hay que de la unidad. 2) Completa las frases Hay partes rosas pintadas de un total de : la fracción es Hay partes verdes pintadas de un total de : la fracción es Hay partes azules pintadas de un total de : la fracción es Hay partes marrones pintadas de un total de : la fracción es El último dibujo representa la fracción: 3) Escribe la fracción que representa cada uno de los siguientes dibujos Celdas rojas Celdas azules Celdas verdes 5

6 4) Colorea la fracción que se indica en cada caso 5) Qué fracción representan los globos de cada color? Observa los dibujos y escribe. 6) Representa las siguientes fracciones, dividiendo estos rectángulos en las partes que sean necesarias

7 3. LECTURA Y ESCRITURA DE FRACCIONES Para leer fracciones, debemos leer primero el número que aparece en el numerador seguido del número que aparece en el denominador: Para el numerador se utiliza el nombre del número que lo representa (seis, cuatro, nueve, ) Para el denominador se debe seguir esta regla: Si el denominador es 2 o 3 medios si el denominador es 2 tercios si el denominador es 3 Si el denominador es de 4 a 10, según su número de orden (ordinal) que aparece, diciendo: cuartos si es un 4 quintos si es un 5 sextos si es un 6, y así sucesivamente (séptimos, octavos, novenos, décimos). Si el denominador es mayor que 10 se lee el número correspondiente y se añade la terminación avo. Por ejemplo: onceavo, doceavo. Ejemplos: EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. Para leer una fracción primero se lee el número del y después el número del Si el número del denominador es un 2, se leerá Si el número del denominador es un 3, se leerá Si el número del denominador es un 9, se leerá Si el número del denominador es un 12, se leerá 2) Escribe como se leen 7

8 3) Escribe la siguientes fracciones Tres quintos Cinco sextos Cuatro séptimos Seis catorceavos Un octavo Siete doceavos 4) Representa la fracción que se indica, y después escríbela con cifras Fracciones 5) Colorea y contesta: Cinco doceavos de la figura son de color rojo Cuatro doceavos son de color azul y el resto, verde Qué fracción de la figura es de color verde? 6) Completa esta tabla: 8

9 4. TIPOS DE FRACCIONES Las fracciones se clasifican según la cantidad que representen, como se explicaba en el apartado 1. Fracciones propias: son las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que la unidad. Fracciones impropias: son las fracciones cuyo numerador es igual o mayor que el denominador. Son iguales o mayores que la unidad. Fracciones mixtas o números mixtos: se obtienen a partir de las fracciones impropias (mayores que la unidad) y están formadas por: 1º) un número entero (que corresponde a la parte no decimal) 2º) la fracción propia correspondiente (menor que la unidad) que sobra. Ejemplo: ADEMÁS: A veces se escribe un signo + entre el número entero y la fracción propia Ejemplo: Cómo pasar de fracción impropia a mixta? Se divide el numerador entre el denominador, obteniéndose un cociente entero y un resto: el número entero que se escribe en primera posición es el cociente de la división de la fracción propia restante: el resto es el numerador y el denominador sigue siendo el denominador. Ejemplo: Dividimos el numerador entre el denominador: El cociente 3, será el primer número entero El resto 1, será el numerador de la fracción propia El divisor 5, sigue siendo el denominador. 9

10 Cómo pasar de fracción mixta a impropia? Para hallar el numerador de la fracción impropia, se multiplica el entero por el denominador y al resultado le sumamos el numerador de la fracción mixta. El denominador es el mismo que el de la fracción mixta. Ejemplo: EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. Las fracciones que representan una cantidad menor que la unidad se llaman fracciones Las fracciones que representan una cantidad mayor que la unidad se llaman fracciones Los números mixtos o fracciones, se obtienen a partir de las fracciones Para pasar una fracción impropia a fracción mixta, se el numerador entre el ; el de esta división será el número entero, y el será el numerador de la fracción propia restante. Para pasar una fracción mixta a fracción impropia, se el número entero por el, y el resultado se con el numerador de la fracción propia mixta. 2) Rodea con un círculo los números mayores que la unidad 3) Calcula los resultados de estas fracciones con resultado entero 4) Relaciona cada dibujo con su número mixto correspondiente 10

11 5) Indica si las siguientes fracciones son fracciones propias o impropias Fracciones propias Fracciones impropias 6) Expresa las siguientes fracciones impropias en forma de fracción mixta (o número mixto) 7) Expresa las siguientes fracciones mixtas en forma de fracción impropia 8) Colorea en cada caso la cantidad que representa cada número mixto. 11

12 5. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad o la misma cantidad Ejemplos: 1/3 = 2/6 = 3/9 (como puedes ver gráficamente). Por lo tanto, vemos que hay fracciones que aunque tengan distinto numerador y denominador, representan gráficamente la misma cantidad. A estas fracciones se les dice que son equivalentes. Cómo sabemos cuando dos fracciones son equivalentes? Para ello dividimos los numeradores entre los denominadores, si obtenemos en mismo resultado en esa división, es que son equivalentes Ejemplo anterior: Si hallas la expresión decimal de las fracciones anteriores da el mismo resultado: 0, ; por lo que se comprueba que son equivalentes Por lo tanto, vemos que hay fracciones que aunque tengan distinto numerador y denominador, tienen la misma expresión decimal, por lo representan la misma cantidad y son equivalentes. Propiedad fundamental: Dos fracciones son equivalentes si se verifica que el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del numerador de la segunda por el denominador de la primera (productos cruzados). Es decir: si al multiplicar en cruz obtenemos el mismo resultado. Ejemplo anterior: 12

13 Cómo obtener fracciones equivalentes? Las fracciones equivalentes se pueden obtener haciendo unas mismas operaciones determinadas en todos los miembros de esas fracciones. Se pueden obtener de dos formas: por amplificación y por simplificación Amplificación: Las obtenemos al multiplicar numerador y denominador por el mismo número. Ejemplos: Simplificación: Las obtenemos al dividir numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo: Este proceso se puede repetir tantas veces hasta no poder dividir más tanto en el numerador como en el denominador. Así llegamos a la llamada fracción irreducible. Ejemplos: 1/3 es la fracción irreducible 2/3 es la fracción irreducible 13

14 EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la parte de la unidad o la misma Para comprobar que dos fracciones son equivalentes debemos en cruz y comprobar que se obtienen los resultados; o hacer las entre los numeradores y denominadores y comprobar que se obtiene el Para obtener fracciones equivalentes debemos o por el mismo número tanto el numerador como el denominador Si multiplicamos el numerador y denominador por el mismo número obtenemos una fracción equivalente por Si dividimos el numerador y denominador por el mismo número obtenemos una fracción equivalente por, la última fracción obtenida se llama fracción 2) Estudia si son equivalentes o no las siguientes parejas de fracciones haciendo los productos cruzados 3) Completa estas fracciones para que sean equivalentes 4) Escribe tres fracciones equivalentes a las siguientes 5) Rodea con un círculo aquellas fracciones de la derecha que sean equivalentes a las de la izquierda 6) Obtén las fracciones irreducibles 7) Rodea las fracciones que sean irreducibles, y en caso de no serlo calcúlala 14

15 OTRA ACTIVIDAD (DIVIERTETE) Laberinto de fracciones Un maestro iba caminando por el pasillo del centro pensando cómo explicar a sus alumnos cuando una fracción está en su expresión más simple. Ayuda al maestro a llegar al salón, sabiendo que sólo puede pasar por fracciones que estén es su expresión más simple, y encuentra el mensaje que va a dar a sus alumnos. MENSAJE: N 15

16 6. LA FRACCIÓN DE UN NÚMERO (O CANTIDAD) Para calcular la fracción de una cantidad: Dividimos ésta cantidad por el denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. Ejemplo: Halla los 3/5 de : 5 = x 3 = 75 PRIMERO debemos saber que: Un tanto por ciento a% es equivalente una fracción del siguiente tipo Ejemplo: Para calcular el tanto por ciento (%) de una cantidad: Dividimos ésta cantidad por 100 y el resultado lo multiplicamos por el tanto. Ejemplo: Halla el 20 % de % = 1200 : 100 = x 20 = 240 Para calcular una cantidad, cuya fracción conocemos: Dividimos ésta cantidad por el numerador y el resultado lo multiplicamos por el denominador. Ejemplo: Hemos gastado 350 y esta cantidad representa los teníamos. Qué cantidad llevábamos? del total de dinero que 350 : 5 = x 7 =

17 EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. Para calcular la fracción de una cantidad, ésta cantidad por el y el resultado lo por el. Para calcular el tanto por ciento (%) de una cantidad, ésta cantidad por y el resultado lo por el. Para calcular una cantidad cuya fracción conocemos, ésta cantidad por el y el resultado lo por el. 2) Calcula: a) los 4/7 de 63 litros b) los 15/100 de 3000 euros c) los 3/8 de 72 kilogramos d) 3/5 de 100 euros 3) Tenía 200 palomas y he vendido los 4/5 de las palomas. Cuántas he vendido? Cuántas me quedan? 4) Tengo que poner 900 ladrillos en una pared. a) Hoy pondré 1/4 del total. Cuántos ladrillos son?. b) Si mañana pongo 2/9 de los que me faltan, cuántos ladrillos pondré?. c) Cuántos ladrillos faltaran por poner? 5) Completa los huecos después de hacer las operaciones necesarias En una bolsa había 400 canicas. Primero saqué 2/5 de las canicas, es decir, saqué canicas, y en la bolsa quedaron. Luego, de las que quedaban saqué 1/3, es decir, saqué canicas. Cuántas me quedan todavía? 6) En un DVD de 60 minutos de duración he grabado todas las canciones y videos que me han prestado, ocupando los 3/5 las canciones y 2/3 los videos. a) Cuántos minutos ocuparon las canciones? b) Cuántos minutos ocuparon los videos? c) Cuál era la duración total que gravé? d) Cuánto tiempo me queda para grabar? 7) Un padre decide repartir entre sus tres hijos. Al mayor decide darle las 2/5 partes; al siguiente los 3/7, y al menor el resto. Qué cantidad se llevó cada uno? 8) Tengo un campo de 8000 m 2. Si hemos sembrado 2/5 de mi campo de cereales y de estos, 3/4 son de trigo, qué superficie tengo sembrada de trigo? 17

18 7. COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON EL MISMO NUMERADOR PRIMERO debemos recordar que: El número del denominador representa el número de partes iguales en que se divide la unidad. El número del numerador indica el número de esas partes de la unidad que se toman o consideran. SEGUNDO debemos saber que: Comparar fracciones es identificar cuál de esas fracciones representa menor o mayor cantidad de una unidad. Por tanto: Si tenemos dos fracciones que tienen el mismo numerador, es porque se toman o consideran el mismo número de partes de esa unidad. Ahora debemos fijarnos en el denominador: Cuanto más grande sea el número que aparezca en el denominador, en más partes se habrá dividido esa unidad, por lo que cada uno de los trozos en los que quedó dividida serán más pequeños, y es por eso que la tener todas las fracciones el mismo numerador se cumplirá que: Es menor la fracción que tiene el denominador más grande. Es mayor la fracción que tiene el denominador más pequeño. Ejemplos: Observa en el dibujo la parte coloreada que representa el numerador Los numeradores son iguales: 5 = 5 Los denominadores son distintos: 12 > 5 Es menor la fracción con el denominador más grande Luego Son mayores las fracciones con el denominador más pequeño 18

19 EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. Comparar fracciones es saber identificar cuál de esas fracciones representa o cantidad de una. Si tenemos dos fracciones que tienen el mismo numerador, es porque se toman el mismo de esa unidad. Cuanto más sea el número que aparezca en el denominador, en más partes se habrá la unidad, por lo que cada uno de los trozos en los que quedó dividida serán más Las fracciones con el mismo numerador se cumplirá que: Es la fracción que tiene el denominador más grande. Es la fracción que tiene el denominador más pequeño. 2) Compara las siguientes fracciones (<(mayor que) y < (menor que):): 3) Ordenar de mayor a menor (ordenarlas según su denominador sea más pequeño para que la fracción sea mayor) 4) Escribe dos fracciones con el mismo numerador y que sean fracciones más pequeñas 19

20 8. COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR Relee el principio del apartado 7. Si tenemos dos fracciones que tienen el mismo denominador, es porque se divide las unidades de ambas fracciones en el mismo número de partes. Ahora debemos fijarnos en el numerador: Cuanto más grande sea el número que aparezca en el numerador, más partes se habrá tomado, por lo que como los trozos son iguales, si las fracciones tienen el mismo denominador se cumplirá que: Es menor la fracción que tiene el numerador más pequeño. Es mayor la fracción que tiene el numerador más grande. Ejemplos: Observa en el dibujo la parte coloreada que representa el numerador Los denominadores son iguales: 9 = 9 Los numeradores son distintos: 6 > 4 Es mayor la fracción con el numerador más grande Luego Son menores las fracciones con el numerador más pequeño EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. Si tenemos dos fracciones que tienen el mismo denominador, es porque se las unidades en el mismo de. Cuanto más sea el número que aparezca en el numerador, más partes se habrán de la unidad. Las fracciones con el mismo denominador se cumplirá que: Es la fracción que tiene el numerador más grande. Es la fracción que tiene el numerador más pequeño. 20

21 2) Compara las siguientes fracciones (<(mayor que) y < (menor que)) 3) Ordenar de menor a mayor (ordénalas según su numerador sea más pequeño para que la fracción sea menor) 4) Escribe dos fracciones con el mismo denominador y que sean fracciones más grandes 5) Escribe el signo < o > (fíjate primero en el término que tienen igual) 21

22 9. COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR En los dos apartados anteriores pudimos comparar fracciones en los casos en que o numerador o denominador fueran iguales; ahora nos centramos en aquellas fracciones que no tiene ni numerador ni denominadores iguales. Si tienen distinto numerador y distinto denominador tenemos que buscar dos Fracciones equivalentes con el mismo denominador y después comparar esas fracciones como se explicó en el apartado 8. Este proceso se llama reducción a común denominador Para obtener dos fracciones equivalentes con el mismo denominador existen dos métodos: productos cruzados y mínimo común múltiplo (m.c.m) a) Método de los productos cruzados: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por los denominadores de las demás fracciones que estamos comparando. Ejemplos: Además, si una vez que tengamos las fracciones con el mismo denominador se observa que ambas se pueden simplificar dividiendo por el mismo número, deben simplificarse Estas fracciones tienen distinto numerador entonces para poder compararlas hay que expresarlas con el mismo denominador. Si los dos términos de una fracción se multiplican por el mismo número la fracción resultante es equivalente. Por qué número multiplicamos cada fracción? La primera fracción la multiplicamos por el denominador de la segunda, y la segunda por el denominador de la primera. Vamos a multiplicar los dos términos de la primera fracción por 2 (denominador de la 2ª). Y vamos a multiplicar los dos términos de la segunda fracción por 7 (denominador de la 1ª). Ahora que las dos fracciones ya tienen el mismo denominador, podemos compararlas: La segunda fracción es mayor que la primera porque su numerador es mayor. 22

23 Vamos a multiplicar la primera fracción por 3 (denominador de la 2ª). Y vamos a multiplicar la segunda fracción por 8 (denominador de la 1ª) Por tanto si queremos ordenarlas de menor a mayor Con este método al final hemos dividido los denominadores entre 12 para obtener el denominador más pequeño. b) Método del mínimo común múltiplo: Consiste en escribir como denominador común el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores. Se actúa así: 1. Se simplifican las fracciones dadas, si se puede. 2. Se halla el m.c.m. de los denominadores. 3. Se coloca el m.c.m. como denominador común. 4. Para hallar cada numerador se divide el m.c.m. por su denominador y el cociente se multiplica por el numerador respectivo. Ejemplos: Reducir a común denominador y ordenar de mayor a menor: Como no podemos simplificar pasamos directamente al m.c.m. 4 = = 2 x 3 m.c.m =2 2 x 3 = 4 x 3 =12 (factores comunes y no comunes con el mayor exponente) Por tanto 23

24 Ordena de menor a mayor 8 = = 2 2 x 3 3 = 3 m.c.m = 2 3 x 3 = 8 x 3 = 24 (factores comunes y no comunes con el mayor exponente) Por tanto EJERCICIOS 1) Lee otra vez el párrafo anterior y completa los huecos que faltan. Si tienen distinto numerador y distinto denominador tenemos que buscar dos fracciones con el mismo. Este proceso se llama Para obtener dos fracciones equivalentes con el mismo denominador existen dos métodos: y El método de los productos cruzados consiste en: el y el de cada fracción por los de las demás fracciones que estamos comparando. Además, si una vez que tengamos las fracciones con el mismo denominador se observa que ambas se pueden dividiendo por el, deben simplificarse El método del mínimo común múltiplo consiste en: escribir como denominador común el de los denominadores. Se actúa así: 1. Se las fracciones dadas, si se puede. 2. Se halla el de los denominadores. 3. Se coloca el m.c.m como común. 4. Para hallar cada numerador se el m.c.m por su y el cociente se por el numerador respectivo. 2) Compara las siguientes fracciones (<(mayor que) y < (menor que)), usando el método de los productos cruzados 24

25 3) Ordenar de menor a mayor usando el método del m.c.m 4) Encierra con un círculo la fracción más grande de cada grupo 5) Encierra con un círculo la fracción más pequeña de cada grupo 6) Ordena de menor a mayor 7) Un estudiante ha acertado 4 preguntas de un total de 5 y otro 20 preguntas de un total de 25. Cuál de los dos tendrá mayor puntuación? 8) Hoy en la heladería se han partido estas cuatro barras iguales de helado Álvaro ha comprado tres octavos de la barra de fresa y cinco octavos de la de chocolate. De qué sabor ha comprado más? Yolanda compró dos sextos de la barra de menta y dos cuartos de la de limón. De qué sabor ha comprado menos? Luis ha comprado más helado de fresa que Álvaro, pero menos de una barra. qué fracciones de helado ha podido comprar? 9) Lucía, Jaime y Andrea han comprado dos chocolatinas cada uno. Cada chocolatina está dividida en 10 partes iguales. Lucía come siete décimos, Jaime diez décimos y Andrea doce décimos quién ha comido más? Y menos? quién ha comido más de una chocolatina? Y una? Y menos de una? 25

26 10. EVALUACIÓN 1) Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. Después contesta y rodea la fracción mayor de cada pareja 2) Escribe la fracción coloreada de cada figura y después escribe como se lee 3) Escribe con cifras Diez quinceavos Tres cuartos Doce octavos Cinco sextos Siete medios 4) Rodea con un círculo las fracciones que son fracciones impropias 5) Expresa las siguientes fracciones impropias en forma de fracción mixta (o número mixto) o al contrario (las fracciones mixtas en fracción impropia) 6) Calcula: de 75 = de 147 = 7) En un colegio de 602 alumnos, tres séptimos practican natación. Cuántos alumnos practican natación? 26

27 8) Contesta: Ana ha hecho un ramo con 24 flores. Un sexto son margaritas y dos tercios son rosas. Cuántas margaritas tiene el ramo? Y cuántas rosas? De un libro ya he leído 80 páginas, lo que supone las del total del libro, cuántas páginas tiene el libro en total? 9) Calcula y contesta: Cuántos gramos son tres cuartos de kilo? Cuántos gramos son dos kilos y cuarto? Cuántos minutos son cuatro horas y tres cuartos? 10) Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fracción irreducible 11) Ordena cada grupo de fracciones. Usa el signo correspondiente 12) Reduce a común denominador por el método de productos cruzados 13) Reduce a común denominador por el método del m.c.m 27

28 BIBLIOGRAFÍA 1. Libros de texto de 5º de Primaria de Matemáticas de editorial Santillana, y SM 2. Imágenes tomadas de Internet. 3. Consulta de libros de textos y documentos para elaborar ejercicios de Internet. 28