Triángulos. 1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores es 360

Transcripción

1 Triángulos Es un polígono formado por tres segmentos cuyos tres puntos de intersección no están en línea recta. Triángulo ABC A,B y C son vértices del triángulo α, β, γ s interiores. a, b y c, longitud de los lados. Clasificación de los triángulos: -Según sus lados: - Escaleno - Isósceles - Equilátero -Según sus ángulos: - Acutángulo (3 agudos) - Rectángulo (Un ángulo de 90º) - Obtusángulo (Un ángulo obtuso) Propiedades de los triángulos 1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es 180. En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores es En todo triángulo la suma de sus lados debe ser mayor que el tercero a + b > c, b + c > a a + c > b 4. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. = + = + = + Pedro Godoy G. Página 1

2 Característica de cada uno de los triángulos TRIÁNGULO ESCALENO 3 lados de distinta medida 3 ángulo interiores de distinta medida TRIÁNGULO ISOSCELES ABC CAB, ángulos basales congruentes o BCA se llama ángulo del vértice o AB se llama base o AC BC, lados congruentes TRIÁNGULO EQUILATERO Tres lados de igual medida Cada ángulo interior mide 60 Pedro Godoy G. Página

3 TRIÁNGULO ACUTANGULO Sus tres ángulos interiores son agudos, o sea, miden menos de 90 Sus lados son lados pueden ser iguales o distintos, es decir, un triángulo acutángulo puede ser, escaleno, isósceles, o equilátero. TRIÁNGULO RECTANGULO Uno de sus ángulos interiores mide 90 La suma de los otros dos ángulos siempre es 90 ( + = 90 ) Se cumple el teorema de Pitágoras a b c Si = = 45 se dice que triángulo es rectángulo isósceles. En todo triángulo rectángulo donde sus ángulos interiores son El lado opuesto al ángulo de 30 es igual a la mitad de la hipotenusa. BC AB TRIÁNGULO OBTUSANGULO Tiene un ángulo mayor de 90, o sea obtuso. Puede ser escaleno o isósceles. ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO Dado un triángulo cualquiera, en el es posible representar cada uno de los siguientes elementos, llamados secundarios Bisectriz Altura Simetral Transversal de gravedad Mediana Pedro Godoy G. Página 3

4 Bisectriz: Divide cada ángulo por la mitad Bisectriz de un triángulo AD bisectriz del α BD bisectriz del β CD bisectriz del γ Las tres bisectrices de un triángulo se interceptan en un mismo punto llamado INCENTRO. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo. Las bisectrices según el tipo de triángulo tiene particularidades que es conveniente estudiar. En el triángulo isósceles la bisectriz bajada desde el ángulo del vértice, es perpendi - cular a la base y cae en el punto medio del lado opuesto. Sin embargo, en el triángulo equilátero, cada una de las bisectrices es perpendicular en el punto medio del lado opuesto. En un triángulo cualquiera, las bisectrices solo dividen el ángulo por la mitad, nada más. Pedro Godoy G. Página 4

5 Altura: Es el segmento de la perpendicular bajada desde un vértice del triángulo al lado opuesto. CD BE AF h h b h c a Las tres alturas de un triángulo se intersectan en un mismo punto que se denomina ORTOCENTRO y es designado con la letra H. La altura bajada desde el ángulo del vértice de un triángulo isósceles, divide el ángulo por la mitad ( bisectriz) y además cae en el punto medio del lado opuesto. Las alturas en un triángulo equilátero, dividen cada ángulo por la mitad y caen en el punto medio del lado opuesto. Además el ortocentro coincide con el incentro. En un triángulo cualquiera, no hay propiedades especiales. En un triángulo obtusángulo el ortocentro cae fuera del triángulo, y en un triángulo rectángulo el ortocentro coincide con el ángulo recto. b h Obs: El área de un triángulo dado por A, da la posibilidad del área del triángulo se calcule utilizando cualquier altura con su correspondiente base. Pedro Godoy G. Página 5

6 A c h c ; b h A b ; A a h a Transversales de Gravedad Es el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.. CM = t c BF = t b AN = t a G se llama centro de gravedad (BARICENTRO) y es el punto donde concurren todas las transversales. AM = MB, BN = NC, CF = FA AG : GN = : 1, BG : GF = : 1, CG : GM = : 1 La transversal de gravedad bajada desde el ángulo del vértice en un triángulo isósceles es perpendicular al lado opuesto, y bisectriz del ángulo. En un triángulo equilátero las tres transversales son bisectrices y alturas TEOREMA DE LA TRANSVERSAL: Dado un triángulo rectángulo en C, la transversal bajada desde el ángulo recto a la hipotenusa, es igual, a la mitad de la hipotenusa. AD = BD = CD SIMETRALES Es la recta perpendicular en el punto medio de un trazo. Esto lleva a que todo triángulo contenga a tres simetrales. El punto de intersección de las simetrales se llama circuncentro (S), que corresponde al centro de la circunferencia circunscrita. Prop: El circuncentro equidista de los vértices del triángulo. Pedro Godoy G. Página 6

7 la simetral que pasa por el ángulo del vértice en un triángulo isósceles, corresponde a una bisectriz, transversal y altura Cada una de las simetrales de un triángulo equilátero corresponde a una bisectriz, transversal, y altura. MEDIANA La mediana, es el trazo que une entre ellos los puntos medios de cada lado. Cada mediana en paralela al lado opuesto Cada mediana divide al triángulo en cuatro pequeños triángulos congruentes, que equivalen a ¼ del triángulo mayor. Cada una de las medianas es igual a la mitad de su lado opuesto. son medianas DE, DF, EF DE AB, AC EF, DF BC Pedro Godoy G. Página 7

8 PROPIEDAD: El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS. El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro. La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro. Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER Propiedades de las bisectrices: Las bisectrices interior y exterior de un ángulo son perpendiculares En todo triángulo, la bisectriz interior de un ángulo divide al lado opuesto en dos segmentos aditivos proporcionales a los lados del ángulo. Pedro Godoy G. Página 8

9 La bisectriz de A divide al lado opuesto en los segmentos BM y MC. La paralela a la bisectriz de A, por C corta en D a la prolongación de lado AB. El triángulo ACD es isósceles, AC=AD. AB/AD = BM/MC AB/AC = BM/MC En todo triángulo, la bisectriz exterior de un ángulo determina en el lado opuesto dos segmentos sustractivos proporcionales a los lados del ángulo. La bisectriz exterior de A corta en N a la prolongación de lado BC. La paralela a ésta bisectriz por C corta en E al lado AB. El triángulo ACE es isósceles, AC=AE. AB/AE = NB/NC AB/AC = NB/NC Pedro Godoy G. Página 9

10 Incentro de un triángulo Es el punto donde concurren sus tres bisectrices. El incentro equidista de los tres lados del triángulo por lo que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Circunferencia ex inscrita: Se entiende la circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y, también a la prolongación de los otros dos. D, E y F son los puntos de tangencia Para encontrar el centro de esta circunferencia, se dibujan las bisectrices de los s exteriores, HCB y GBC. Teorema: 1) La distancia entre el vértice A y el punto de tangencia F, es igual al semiperímetro del triángulo ABC. Pedro Godoy G. Página 10

11 Circunferencia Inscrita: En un triángulo ABC cualquiera, es la circunferencia tangente interior a cada uno de los lados del triángulo. r : radio Para encontrar el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, debemos dibujar las tres bisectrices interiores. El radio R se encuentra en forma perpendicular desde el centro de la circunferencia hasta cada uno de los lados del triángulo en el punto de tangencia. Teorema: ) los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita determinan en los lados del triángulo los siguientes trazos. AE = AG = s a EB = FB = s b CG = CF = s c s : Semi perímetro. Pedro Godoy G. Página 11