3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)

Transcripción

1 3. Udd Artmétc Lógc (ALU) Abordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd Artmétc Lógc (ALU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros como u trm de bt, pr posterormete ver los lgortmos sobre dchs codfccoes, que permte mplemetr ls opercoes rtmétcs de form cosstete. Veremos que l seleccó de los esquems de codfccó est fuertemete vculd l efcec e l mplemetcó de su rtmétc. Se utlzr como bse el coocmeto dqurdo sobre lógc dgtl (compuests combcoes y secuecles). L de es poder troducr ls cosdercoes de dseño que permt mplemetr u ALU. Otrs cosdercoes de dseño so ls terfces que tee est udd. Est udd puede ser vst del puto de vst de sus terfces de etrd-sld como: Fgur.: Iterfces de l Udd Artmétc Lógc Ls señles de etrd so: ls líes de cotrol que determ l opercó mplemetr; ls líes de dtos de etrd correspodete los rgumetos de l opercó (regstros de etrd) Ls señles de sld so: ls líes de dtos dode se retor el resultdo de l opercó mplemetd (regstro de sld); los dcdores de estdo (o flgs), que dc l vldez e formcó dcol de l opercó (desbordmeto, crreo, sgo, zero, etc) Como veremos ls señles de flgs so crucles e l mplemetcó de struccoes de slto codcol. E este cptulo veremos e detlle los coceptos de crreo, desbordmeto y su depedec l codfccó cosderd. Defcó de OVERFLOW El desbordmeto ocurre cudo el resultdo de u opercó rtmétc mplemetd por l ALU ce fuer del rgo de codfccó defdo pr l sld.

2 3. Codfccó Eter Pr el cso de codfccó eter exste dsttos formtos los cules se descrbe cotucó. Represetcó Eter s Sgo Dd u plbr (o códgo) br,,..., l represetcó decml vee dd por: " A # Todos los bt de l plbr represet su mgtud, por sguete el rgo de codfccó e bt v de Represetcó sgo-mgtud Es l estrteg más secll pr represetr úmeros eteros correltvos tto postvos como egtvos. L covecó es que de u plbr de bt, el bt más sgfctvo (extremo zquerdo) represete el sgo y los resttes - bt represete l mgtud. El cso geerl el códgo,,..., codfc: A " " - - Est codfccó preset dos problems de dseño: L udd que mplemete opercoes dtvs debe llevr e cosdercó el bt de sgo de mbos rgumetos, y e térmos de ello, operr sus mgtudes. Es decr se ecest lógc de decodfccó y l mplemetcó de dos fucoes lógcs sobre ls mgtudes. Del puto de vst de l represettvdd umérc, pues exste dos codfccoes pr el vlor.

3 Represetcó Complemeto Dos Este esquem de codfccó permte muchs smplfccoes l vel del dseño de l ALU y bord decudmete el problem de l codfccó del. Al gul que l codfccó sgomgtud, el bt más sgfctvo represet el sgo, pero l represetcó de los bts resttes es dferete. Represetcó eteros postvos: Cudo el bt más sgfctvo es cero, l represetcó de los resttes - bt es equvlete l esquem sgo- mgtud. El rgo de codfccó es de - -. Represetcó eteros egtvos: Del msmo modo dc que se represet u úmero egtvo, pero l mgtud se defe como: el vlor etero s sgo de bt que se debe sumr l plbr, 3,..., pr geerr l codfccó eter s sgo de - (es decr..., plbr de -bt). El rgo de codfccó v desde -. ˆ.... ˆ..... U expresó lítc cosstete co ls defcoes vee dd por: A " " " " Fgur.: Rgo de represettvdd de l codfccó complemeto dos pr u plbr de 3 bt.

4 3. Opercoes Adtvs Codfccó eter s sgo L sum e est codfccó es l geerlzcó de l sum e bse l cul se lustr e el sguete dgrm. Fgur.3: Esquem de l mplemetcó de sum e codfccó eter s sgo El pso ductvo se debe l depedec del bt de crreo, y se derv de l propedd básc que lo que se mfest e u crreo l sguete bt de l represetcó. E el cso que ocurr u crreo e el bt más sgfctvo, mplc que dcho úmero escp del rgo de codfccó. Por cosguete estmos frete l escero de overflow. Se verá que este eveto de crreo o se terpret como overflow e otros esquems de codfccó. Codfccó eter complemeto dos Este esquem de codfccó fue dseñdo de tl form que l sum br ( cosstete co l codfccó eter s sgo) pued ser utlzd de mer cosstete, es decr o se eceste lmbrr lógc dcol pr mplemetr ls opercoes de sum y rest e l ALU. Est es l propedd que h trsformdo este formto e u estádr pr l represetcó eter. El sguete esquem, Fgur.4, muestr u represetcó crculr de l estrteg de codfccó e lustr, l msmo tempo, ls opercoes de substrccó, dcó y sus restrccoes e el ámbto de l represettvdd umérc. Icremetr e u udd se puede demostrr que equvle rotr l referec fvor de ls meclls del reloj. Co est covecó, se puede cremetr decudmete u úmero egtvo e todos los csos (cso crítco ps de de form cosstete) y úmeros postvo slvo pr el cso - - (.. ) pues ps l codfccó - (ver fgur). E este cso putul ocurre u desbordmeto (overflow), pues el vlor resultte o se puede represetr co -bts e este esquem de codfccó. De mer álog decremetr u umero mplc u rotcó e setdo cotrro, cotexto e el cul el cso crítco ocurre co - - (.. ). Ls dcoes y substrccoes e geerl se puede vsulzr como rotcoes e más de u udd, dode por cosguete, los esceros de rgumetos crítcos (overflow) umet.

5 Fgur.4: Represetcó crculr de los esquems de codfccó complemeto dos y vsulzcó de sus opercoes rtmétcs báscs (sum, rest) Codcoes de Overflow Del álss se derv que: l sumr dos úmeros complemeto dos de dstto sgo, el resultdo uc geer u overflow pues l mgtud del úmero resultte es estrctmete meor que l de cd uo de sus rgumetos, y por cosguete represetble. S embrgo, l sumr úmeros de gul sgo, el overflow se d cudo, como cosecuec de ests rotcoes, el resultdo correspode u umero de sgo cotrro l de sus rgumetos. Est codcó defe l lógc de cotrol que debe mplemetr l ALU pr detectr estos evetos. Correcttud del lgortmo de Sum E este puto demostrremos l correcttud del lgortmo de sum eter s sgo e el escero de represettvdd umérc complemeto dos, dstguedo decudmete los csos crítcos (overflow). (Vsto e cátedr) (Propuesto ) Demuestre l correcttud del lgortmo de sum eter s sgo, cudo mbos rgumetos so egtvos. e los esceros que correspod y especfque los csos de overflow Por lo tto se demuestr l correcttud de l rtmétc eter s sgo e el cso de codfccó complemeto dos slvo e los esceros de overflow. Este sólo ocurre l operr rgumetos del msmo sgo y se mfest, sí y solo sí, el resultdo de l opercó rtmétc es de sgo cotrro l de sus rgumetos. Esto se vsulz e los sguetes ejemplos:

6 Fgur.6: Sum de úmeros e complemeto dos Adcolmete veremos que el complemeto de u úmero se obtee co lógc elemetl, lo que mplc que sólo co l mplemetcó de l sum (e codfccó eter s sgo) se obtee ls opercoes de substrccó y dcó complemeto dos Negcó E el cotexto de l codfccó complemeto dos el complemeto de u úmero se obtee sguedo l sguete metodologí:. Determr el complemeto bt bt de l codfccó de l plbr.. A l plbr resultte se cremet e u udd (rtmétc eter s sgo). L correcttud se vo formlmete e cátedr, pero de form complemetr presetmos u rgumeto ltertvo. S (,,..., ) es l expresó bt bt de l plbr y su complemeto b. S otmos como el complemeto Booleo del bt se tee por defcó que: " " A " # " y " " B " # " L expresó de B es cosstete co los putos y, sólo s l cremetr e u udd o se produce overflow. Es decr es váldo slvo cudo codfc el vlor -, pues su complemeto Booleo es l plbr (...) que l cremetrl produce overflow. Esto tee setdo pues el

7 rgo de represettvdd umérco es smétrco, - - -, y se est trtdo de obteer el complemeto del vlor -. Obvdo tl cso, sólo bst probr que B es precsmete el complemeto de A, o equvletemete que B A ( ) ( ) ) ( " " " # # # B A B A B A De est form se tee u lgortmo muy secllo pr obteer el completo de u plbr br, utlzdo compuerts ot y u udd rtmétc trdcol. El sguete esquem muestr ls uddes elemetles que permte l mplemetcó de l dcó pr codfccó eter s sgo y complemeto dos. Fgur.7: Bloques fucoles pr mplemetcó de sum y rest

8 3.4 Multplccó Eter S Sgo Comezremos co el escero de multplccó eter s sgo, pr extrpolr l escero complemeto dos y termr dscutedo u mplemetcó más efcete de dcho lgortmo. E este cso, pese que el operdor es comuttvo, hce setdo del puto de vst de l mplemetcó, dstgur etre el multplcdo y el multplcdor. Este proceso pr efectos de u mplemetcó lgorítmc llev e cosdercó que:. L multplccó es u sum de productos prcles.. Los productos prcles se defe como. Cudo el bt de multplcdor es, el producto prcl socdo este es el multplcdo desplzdo e - poscoes l zquerd. Vee de l propedd que: N k N " # " Este producto prcl debe ser lmcedo e u plbr de l meos N(-) bt. 3. De l propedd dstrbutv de l multplccó respecto l sum, el resultdo totl correspode l sum de los productores prcles. 4. El producto de plbrs de N bt se d como resultdo e u plbr de N bt (Propuesto ) Demuestre que el resultdo de multplcr rgumetos de N bt sempre se puede represetr e u plbr de N bts Flujo de Ejecucó Secuecl El sguete esquem muestr u mplemetcó de l multplccó eter s sgo, utlzdo sumdores, lógc de cotrol, regstros y regstros de desplzmeto: k Fgur.8: Uddes que mplemet el lgortmo de multplccó eter s sgo.

9 Este esquem posee tres regstros M el multplcdo, Q el multplcdor y A es el regstro cumuldor dode se v lmcedo ls sums prcles. Speudo-Algortmo L udd de desplzmeto y cotrol v lzdo los bts del multplcdor, desde el meos sgfctvo l más sgfctvo, dode:. e el cso que el bt este ctvo, l udd de rtmétc sum l plbr M co A, retor el resultdo l cumuldor A y l señl de crry l celd C.. posterormete tto A como Q so desplzdos hc l derech, psdo el bt C l prte más sgfctv de A y el bt meos sgfctvo de A el más sgfctvo de B. De este proceso es fácl ver que l lzr los N bt del multplcdor, el resultdo de l opercó qued lmcedo e l plbr de N bt producto de l coctecó de los regstros A-Q. Dode el bt Q est socdo l térmo y el bt A - l térmo -. Ejemplo: El sguete esquem muestr l form e que so modfcdos los regstros A, Q y M, por l lgortmo recé pltedo, etp etp: Fgur.9: estdo de los regstros e l ejecucó de l opercó de multplccó E el sguete esquem se muestr el dgrm de flujo del lgortmo de multplccó mplemetdo:

10 Fgur.: Flujo grm del lgortmo de multplccó

11 3.5 Multplccó Codfccó Complemeto Dos U form drect de mplemetr l multplccó codfccó complemeto dos e N bt es psr l codfccó eter s sgo de sus mgtudes e N bt, plcr el lgortmo de multplccó eter s sgo que geer u plbr de N bt y depededo de los sgos de los rgumetos (lógc de codcó de sgo), utlzr l regl de egcó pr geerr u resultdo e u codfccó complemeto dos de N bt (Propuesto 3) Demostrr que est metodologí es cosstete y o se geer csos de overflow e l represetcó resultte de N bt. Algortmo de Booth Se h ecotrdo mers más efcetes de mplemetr est multplccó evtdo psr por ls etps de coversó etre esquems de codfccó tes mecods. U de ess metodologís es el Algortmo de Booth. Este lgortmo utlz l ls uddes fucoles y estructur presetes e l fgur.. Fgur.: Uddes que mplemet el lgortmo de multplccó complemeto dos.

12 Fgur.: Flujo grm del lgortmo de multplccó complemeto dos utlzdo el lgortmo de Booth Del puto de vst de opertor hy dos spectos que dstgue este lgortmo. Ls codcoes de opercó que volucr el bt Q - (clmete e ). (desplzmeto rtmétco) El vlor del bt A - demás de ser trsferdo l bt A - permece e el msmo estdo. Es decr el desplzmeto o geer cmbo de sgo e el cumuldor. Speudo-Algortmo L metodologí del lgortmo es l sguete. Del regstro Q, l udd de cotrol de desplzmeto lz los bts Q -Q -. Cudo el vlor de estos bts es o o se sum d l cumuldor A, s es se sum el regstro M l cumuldor A y s es se rest M l cumuldor A. Posterormete culquer de los evetos terores se desplz A, Q, Q - u bt l derech, co l cosdercó de desplzmeto rtmétco e el regstro A. Al ejecutr veces est metodologí el resultdo e codfccó complemeto dos de - bt qued e los regstros A-Q (ver flujo grm de l ejecucó Fgur.)

13 Observcoes: L udd rtmétc debe mplemetr tto sums como rests complemeto dos, problem y resuelto utlzdo esquems como el de l fgur.7. El úmero de sums y rest est socdo ls trscoes de ceros y uos, que se puede demostrr que result e u método más efcete, pues el úmero promedo de ests trscoes es meor que el úmero promedo de uos presetes e u plbr. Correcttud del Algortmo de Booth (No forml) Prtremos lzdo el cso dode Q, multplcdor, correspode l codfccó complemeto dos de u umero postvo, es decr Q -. S perdd de geerldd supogmos el sguete cso: ( ) ( 3 ) se puede demostrr utlzdo l regl de ls seres geométrcs que: M M () es decr e uestro cso que: m m k m k... () ( ) "( 4 ) M " M Por lo tto s el lgortmo v lzdo los bt del multplcdor de l expresó (), cudo ecuetre el prmer, trscó, se rest el vlor de el multplcdo co el desplzmeto correspodete ( e este cso) y l ecotrr el ultmo bt de l trm, es decr l trscó, le sum el vlor del multplcdo co el desplzmeto correspodete ( 4 desplzmetos e este cso). Est metodologí se geerlz pr culquer bloque de uos, y por cosguete pr culquer codfccó eter postv del multplcdor. Ejemplo M "( ) M "( 5 4 ) ( ) Los desplzmetos sobre M que mplc est metodologí so sobre u codfccó complemeto dos, resuelv los sguetes propuestos pr vldr l correcttud de estos (Propuestos 4) Ecuetre el método pr represetr u úmero complemeto dos de -bt e uo de bt. Muestre que es equvlete l defcó del desplzmeto rtmétco e el proceso de ñdr el bt más l zquerd de l plbr resultte. (Propuestos 5) Alce que sgfc u desplzmeto rtmétco l derech (coservdo el bt de sgo) y u desplzmeto smple l zquerd (sertdo u cero e el bt meos sgfctvo de l plbr) e u codfccó complemeto dos de -bt. E que csos esto correspode multplcr/ dvdr por, respectvmete? (Id. Ve seprdmete los csos de codfccó postv y egtv)

14 Flmete os qued lzr el cso e el cul el multplcdor es egtvo,.e. clmete Q -. S pedd de geerldd supogmos el multplcdo de l form. Q (... ) co u bloque de uos cosecutvos que lleg hst el bt Q k (es decr el prmer bt de zquerd derech dstto de uo es el bt k < -). Se tee que: Q " " "... de () se tee que k k " Q " " "... k k " " " " " k & k Por lo tto # ( ( $ ' ) ' k M (...) M % " k " " k k " Observdo l opercó resultte y socádol co l codfccó del multplcdor, esto correspode restr M desplzdo k veces, correspodete l etp k del lgortmo (dode se observ l últm trscó ), más l multplccó de M por u codfccó eter postv dode y probmos l cosstec de l regl de Booth. Por lo tto est metodologí es cosstete e el cso de u multplcdor egtvo. De est form se puede ver que el flujo grm Fgur., mplemet l multplccó complemeto dos de dos plbrs de -bt u plbr de -bt (Propuesto 7) Demuestre que durte l ejecucó del lgortmo de Booth, l sumr o rest el cotedo de M l cumuldor A o se geer l codcó de overflow, es decr, l represetcó resultte de AM o A-M es represetble por u úmero complemeto dos de -bt. Id: Re-vste el cso dode l sumr do plbrs de -bts o se geer l codcó de overflow (complemeto dos), y plque tl álss este problem. (Propuestos 8) Relce ls modfccoes l lgortmo de Booth pr mplemetr de mer cosstete multplccó eter s sgo de -bt -bt