Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas 1

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1 Tema Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 1 : Desarrolla y simplifica: b) 4 1 a) c) d) a) b) c) d) EJERCICIO a Opera y simplifica: 4 b Halla el cociente y el resto de esta división: a b Cociente 4 10 Resto 17 1 EJERCICIO a Opera y simplifica: b Halla el cociente y el resto de esta división: a b Cociente 7 16 Resto 5

2 Tema Polinomios y fracciones algebraicas EJERCICIO 4 : Calcula el cociente y el resto de cada división: 5 4 b) 5 1 : a) 1 : 1 a) Cociente 4 Resto 6 10 b) Aplicamos la regla de Ruffini: Cociente Resto 45 EJERCICIO 5 : Halla el cociente y el resto de cada división: 4 b) 4 6 : 1 a) 7 1 : a) Cociente 7 1 Resto 14 1 b) Aplicamos la regla de Ruffini: Cociente 4 Resto EJERCICIO 6 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea eacta: k Llamamos P() + k.

3 Tema Polinomios y fracciones algebraicas Para que la división sea eacta, ha de ser P() 0; es decir: P() 1 k 10 k 0 k 5 EJERCICIO 7 a) Halla el valor numérico de P() 6 para 1 b) Es divisible el polinomio anterior, P(), entre 1? a) P(1) b) Sí. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P() : ( 1) coincide con P(1). En este caso P(1) 0; por tanto, P() es divisible entre 1. EJERCICIO 8 : Dado el polinomio P() 4 8 1: a) Halla el cociente y el resto de la división: P : b) Cuánto vale P()? a) Aplicamos la regla de Ruffini: Cociente 4 Resto 5 b) Por el teorema del resto, sabemos que P() 5. EJERCICIO 9 a) Halla el valor numérico de P() 4 para 1. b) Es divisible el polinomio anterior, P(), entre 1? a) P(1) 0 b) Si. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P() ( 1) coincide con P(1). En este caso P(1) 0, por tanto, P() es divisible entre 1. EJERCICIO 10 : Opera y simplifica cada una de estas epresiones: a 1 b c 7 b : a b c b : EJERCICIO 11 : Opera y simplifica:

4 Tema Polinomios y fracciones algebraicas 4 a 5 9 b c b : 6 6 a b 4 c b : EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios: a) b) c) d) e) f) a) Sacamos factor común: 5 5 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar 5 5: Por tanto: b) Sacamos factor común: 4 4 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar 4 4: Por tanto: c) Sacamos factor común: 9 18 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar 9 18:

5 Tema Polinomios y fracciones algebraicas 5 Por tanto: d) Sacamos factor común: 6 6 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar 6 6: Por tanto: e) Sacamos factor común: 6 6 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar 6 6: Por tanto: f Usamos la regla de Ruffini: Luego: EJERCICIO 1 a Halla el cociente y el resto de la siguiente división: : 1 b Factoriza este polinomio: 4 4 a) Cociente 5 Resto

6 Tema Polinomios y fracciones algebraicas 6 b 4 4 El polinomio no tiene raíces reales. EJERCICIO 14 a Calcula y simplifica: 5 b Descompón en factores este polinomio: 16 6 a b Utilizamos la regla de Ruffini: Luego: EJERCICIO 15 : Factoriza los siguientes polinomios: a) 4 18 b) 4 c) 1 6 d) e) 5 4 e) a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a b (a b) (a b): ( ) ( ) b) Utilizamos la regla de Ruffini: El polinomio 1 no tiene raíces reales). c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado: Por tanto: d) Utilizamos la regla de Ruffini: e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación: 5 4

7 Tema Polinomios y fracciones algebraicas Por tanto: f) Utilizamos la regla de Ruffini: EJERCICIO 16 : Opera y simplifica: a 1 1 b a 1 1 b 1 1 a a 1 b 9 4 a b a b a b a b a b a b

8 Tema Polinomios y fracciones algebraicas 8 EJERCICIO 17 : Calcula y simplifica si es posible: a) b) : d) : 5 g) h) 5 a) Observa que 1, por tanto: m.c.m. 1,, 1 1 Así: e) i) b) : Factorizamos para simplificar: Así: Productos notables c) m.c.m.,, d) : : Factorizamos para simplificar: Luego: e) Como 15 5, se tiene que: m.c.m. 5, 5, Así: f) Factorizamos ambos polinomios: 5 5 c) f) j)

9 Tema Polinomios y fracciones algebraicas Luego: ya que: Por tanto: 6 g) Numerador Sacamos factor común y descomponemos en factores el polinomio de grado que nos queda: Así: Denominador Descomponemos aplicando Ruffini: es una epresión de º grado cuyas raíces se calculan resolviendo la ecuación: 7 1 0, que coincide con la del numerador. Así, finalmente, el denominador descompuesto en factores será: Simplificación de la fracción algebraica: h) En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable a b a b a b a la epresión 4 1. i) Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador: Numerador Sacamos factor común y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de º grado:

10 Tema Polinomios y fracciones algebraicas Así: Denominador Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de º grado: Así: Simplificación: Se obtiene dividiendo numerador y denominador entre el M.C.D. del ambos, que es j) En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable a b a b a b a la epresión 49, y finalmente dividimos numerador y denominador entre el M.C.D. de ambos, que es ( 7). 1 1 EJERCICIO 18 : Opera y simplifica: a) a) Observamos que tenemos el producto notable a b a b a b Así: 4 4 b) Calculamos el m.c.m., 4 4 que es. 4 4 Luego: EJERCICIO 19 : Calcula y simplifica: a) 1 b) b) : 15 5 a) m.c.m., 1, b) Efectuamos el cociente: Factorizamos para simplificar:

11 Tema Polinomios y fracciones algebraicas Producto notable 10 ( 5) 6 9 ( ), ya que las raíces de son: Raíz doble 15 5, ya que las raíces de 15 0 son: Así: