1 Fracciones y decimales

Transcripción

1 Friones y deimles Presentión de l unidd Los lumnos y ls lumns que llegn este urso lo hen on un grn ntidd de onoimientos sore los números, sus usos y su opertori: oneptos, proedimientos, destrezs, junto errores, frustriones y, so, un ierto urrimiento de volver un y otr vez ls misms oss. Con est unidd se pretende sentr y reforzr muhos de estos onoimientos, profundizr en lgunos y drles sentido prátio todos ellos. Y, si fuer posile, portr l lumndo onfinz y uen disposiión de ánimo pr ests tres. Ls friones, su signifido y su uso suele ser lgo rzonlemente prendido en este nivel. No sí su opertori, en l que siguen preiendo grn ntidd de defiienis. Comenzremos, de todos modos, revisndo el onepto de frión pr, poyándonos en él, onstruir el de número rionl. Reordremos el onepto de frión omo operdor. Los estudintes suelen lulr sin difiultd l frión de un ntidd, pero onviene insistir en el proeso inverso: lulr l ntidd totl, onoiendo l prte. Repsremos tmién los oneptos reltivos ls friones equivlentes y sus propieddes, segurndo l omprensión y el mnejo ágil de l reduión omún denomindor. Se sugiere quí lternr el álulo mentl en los sos senillos, on el álulo esrito undo se mnejn números grndes. El pso de frión deiml, y vievers, espeilmente el pso de deiml periódio frión, es uno de los ontenidos típios de este urso. Volveremos enontrrnos on él en l unidd (progresiones). L peuliridd (omo friones, omo deimles) de los números rionles, sí omo l existeni de irrionles, ompletn el trtmiento teório. Es muy importnte insistir y fomentr el álulo mentl, tnto on los números deimles omo on los frionrios, que tnto yud desrrollr l gilidd mentl y l onfinz. L myorí de los lumnos y ls lumns y hrán utilizdo un luldor, pero este es el momento en que deen onoerl en profundidd, empezndo por los usos más elementles, y vlorr su enorme potenil en el omplejo trtmiento de friones y números mixtos. Esquem de l unidd NÚMEROS RACIONALES pueden ser se pueden expresr NATURALES sirven pr CONTAR NUMERAR ENTEROS pueden ser ENTEROS NEGATIVOS Complementn los nturles. se opern El resultdo de SUMAR RESTAR MULTIPLICAR números enteros es otro número entero. FRACCIONARIOS sirven pr designr prtes de l unidd y tmién pr omplementr los números enteros, formndo el onjunto de los números rionles. se opern Como friones El resultdo de SUMAR RESTAR MULTIPLICAR DIVIDIR (slvo por 0) números rionles es otro número rionl. Como números deimles siempre que sen deimles extos o deimles periódios

2 Conoimientos mínimos Considermos que, omo mínimo, los estudintes deen prender lo siguiente: Mnejo diestro de ls friones: opertori y uso. Pso de friones deimles. Distinión de tipos de deimles. Expresión de un deiml exto omo frión. Resoluión de prolems ritmétios usndo ls friones omo operdores y ls operiones on friones. Conoimiento de l luldor y su utilizión de form senst (on oportunidd y efii). Complementos importntes Representión de números frionrios en l ret. Téni pr psr frión un número deiml periódio. Reonoimiento de números no rionles. Antiipión de tres Revisr el onoimiento de l prioridd de ls operiones y el uso del préntesis. Comprr expresiones muy senills vrindo l posiión del préntesis. Mostrr distintos tipos de luldors. Reordr los oneptos y proedimientos ásios de l divisiilidd. Repsr lguns ténis ásis pr el álulo mentl. Adptión urriulr En l prte de Reursos fotoopiles se ofree un dptión urriulr de est unidd del liro del lumndo, pr uy elorión se hn tenido en uent los onoimientos mínimos que quí se proponen. L letur iniil servirá pr ejeritr l omprensión letor y pr mostrr los dos spetos que justifin el estudio de ls mtemátis: el prátio y el inteletul. Los ontenidos, si se dptn esos mínimos exigiles, o ien no hn sufrido mio lguno o ien se hn modifido ligermente pr deurlos l posile nivel de los estudintes quienes v dirigido. Lo mismo e deir de los ejeriios prátios que se proponen. Si lgún ontenido super los mínimos exigiles, o ien se h suprimido o ien se h dptdo pr justrlo los requisitos exigidos. Finlmente, los ejeriios y prolems on los que finliz l unidd se hn reduido en ntidd y se hn modifido o jdo de nivel hst dptrse lo onvenido. Lo mismo e deir de l utoevluión. En l siguiente tl se reoge un relión de tividdes pr tender y trjr el prendizje oopertivo, el pensmiento omprensivo, el pensmiento rítio, l interdisiplinriedd, ls TIC, el emprendimiento y l resoluión de prolems. Uns están propuests en el liro del lumndo (L.A.), y quí se he refereni ells indindo l págin y l tividd, y otrs, omo se indi, se sugieren en est Propuest Didáti (P.D.). Un seleión de ests sugerenis están mrds en el liro del lumndo on un iono; quí se hn mrdo on (*). APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO Pág.. Atividd sugerid en est P.D. (*) Pág. 8. Desrrollo teório (*) Pág.. Atividd (*) Pág.. Atividdes de l págin (*) Pág. 8. Atividd (*) Pág.. Desrrollo teório (*) Pág.. Atividd (*) Pág. 0. Ejeriios resueltos (*) INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág.. Atividd sugerid en est P.D. Pág.. Atividd Infórmte (*) Pág. 0. Atividd sugerid en est P.D. Pág. 0. Atividd sugerid en est P.D. (*) Pág. 8. Pág.. Resuelve (*) Pág.. (*) (*) Todos los prolems propuestos en el L.A. están enudrdos en este prtdo. Aquí se señln lgunos que tienen espeil interés. Pág.. Pág. 8. Atividd (*) Pág.. Resuelve prolems (*) (*) Pág.. Reflexion sore l teorí (*) Pág.. Prolems + (*) Pág.. Atividd Lee, reflexion y dedue (*) Pág.. Entrénte resolviendo prolems (*)

3 Friones y deimles El sistem sexgesiml de los ilonios Pr entender ómo esriín los números en l ntigu Mesopotmi, sore tlills de rill, oserv l siguiente tl on lgunos ejemplos, en l que se muestrn los órdenes de uniddes sexgesimles: /60 / = 8 Uso de friones sexgesimles En l ntigu Mesopotmi esriín los números en el sistem sexgesiml. Y pr expresr prtes de l unidd usron friones sexgesimles: on denomindor igul un poteni de se 60. Así, pr expresr ponín 60, y pr, A pesr de que el sistem de numerión deiml se us en Oidente desde el siglo viii en los números enteros, pr expresr ls prtes de l unidd se reurrí ls friones sexgesimles. Por ejemplo, pr esriir, ponín ;,, que signifi = = 0, 60 + =, 60? =, Oserv que este sistem solo emple dos signos ( = 0 y = ). Con ellos se esriín los números del l. Y estos números, según l posiión en que se olon, multiplin su vlor por, por 60, por 60 o ien por /60, por /60 (sistem posiionl). Reproduión de l Puert de Ishtr, un de ls entrds l ntigu iudd de Biloni (Irk). Pso de friones sexgesimles form deiml Pr trduir form deiml un número expresdo en notión sexgesiml, st on operr omo semos. Oserv: N = ;, (form sexgesiml) N = + + = + + = + : + : 80 =, (Form deiml) Tlill de ontilidd mesopotámi dtd hi el 60. C. Uso de friones unitris Los egipios (siglo xvii. C.) utilizn ls friones unitris; es deir, ls que tienen por numerdor l unidd. Por ejemplo, pr expresr ponín +. Y ún en el siglo xiii, Fioni (Pis, Itli), unque onoí y mnej ls friones ordinris, seguí usndo ls unitris. Resuelve. Expres omo lo hrí un esri en el ntiguo Egipto.. Expres en form deiml el número que ves dejo, esrito por un mtemátio itlino del siglo xv: ;8,, Es ese lgún número signifitivo en mtemátis? Cuál?. Cómo esriirís en l tl de rri los números 80, / y,6?. Qué números ves en est tlill? Uso de los deimles No fue hst finles del siglo xvi undo se populrizó el uso de los deimles pr expresr prtes de l unidd. El frnés Viet y el flmeno Stevin fueron los priniples impulsores del mio. En el Oeliso de Lúxor (Tes, Egipto) preen representdos números egipios. 0 Al iniir l unidd Es interesnte que ls lumns y los lumnos onozn los distintos usos de los números frionrios y deimles en lguns de ls ntigus iviliziones y reflexionen sore l fuerz que tiene l ostumre y l trdiión pr impedir o difiultr el progreso. Un muestr de ello es l utilizión de números deimles, tn impresindiles en l soiedd tul, y que no se populrizó hst finles del siglo xvi. Se puede destr l vigeni del sistem sexgesiml, hereddo de l ivilizión ilóni de he más de tres mil ños, en l medid de ángulos y de tiempos. Cuestiones pr detetr ides previs Con los ejeriios propuestos en l págin, se pretende poo más que jugr on ls friones tl omo ls usn los egipios, los ilonios o un mtemátio de l Edd Medi, y ompror l enorme difiultd que suponí entones. Así se vlorrán mejor nuestros tules proedimientos pr operr on ls friones. TIC Se sugiere l siguiente tividd: Pedir los estudintes que, individulmente, usquen lgún detlle, dto, nédot que mplíe l informión de l págin sore el desrrollo histório de ls friones. Después, poner en omún, en grn grupo, lo enontrdo, ontrstndo y ompletndo l informión red. Los lumnos y ls lumns pueden usr y mplir informión respeto l uso de ls friones unitris lo lrgo de l histori y trduir friones ordinris unitris, y vievers. Interdisiplinriedd Se sugiere l siguiente tividd: ) Esrie tres situiones de l vid otidin en ls que ls friones resultn de utilidd. ) Esrie tres situiones o spetos reliondos on otrs mteris que estudis, distints ls mtemátis (geogrfí, histori, físi ) en que se utilien friones. Soluiones de Resuelve Respuest iert. Por ejemplo: = + + = ,... Se trt del número π /60 /60 Emprendimiento Se sugiere l siguiente tividd:.ª fil:..ª fil:,..ª fil:,00 6

4 Números rionles Atividdes pr repsr ls operiones on números enteros. Atividdes pr reforzr ls operiones on números enteros. Medir on números frionrios Medir es relionr dos mgnitudes del mismo tipo. Cundo deimos que el volumen de l Lun es /0 del volumen de l Tierr, estmos tomndo omo unidd el volumen de l Tierr. Y si deimos que l grvedd es /6 g, tommos omo unidd g, que es l grvedd en l superfiie de l Tierr. Por qué esos nomres Por qué Z pr designr el onjunto de los números enteros? En lemán, número se esrie zhl. Por qué Q pr designr el onjunto de los números rionles? En inglés, quotient signifi oiente : los rionles son el oiente de dos enteros. Números enteros. Verddero o flso? ) El número es nturl, entero y rionl. ) El número es entero, pero no nturl. Sí es rionl. ) El número es rionl, pero no entero. d) 8 es rionl, pero no entero. Los números nturles son, omo ses, 0,,,,, 0,, Hy infinitos. Al onjunto de todos ellos se le design por N. N = {0,,,,,, 0,, } Los números nturles sirven pr ontr los elementos de un onjunto. Tmién sirven pr ordenrlos:.º,.º,.º, Los números enteros son los nturles y sus opuestos (los enteros negtivos). El onjunto de los números enteros se design por Z. Z = {,,,,,, 0,,,,,, } Friones y números frionrios Los números enteros sirven pr ontr elementos, pero no son uenos pr expresr medids. Pr medir, suele ser neesrio frionr l unidd: l mitd, utro terers prtes, siete milésims Ests medids se expresn medinte friones: /, /, /000. Un frión es el oiente indido de dos números enteros. Diho oiente puede ser entero d6 =, = n, o frionrio d = 8+, = n. Si el numerdor es múltiplo del denomindor, l frión represent un número entero, y si no lo es, represent un número frionrio. A l unión de todos los números enteros y de todos los números frionrios se le llm onjunto de números rionles y se design por Q. Los números rionles son los que se pueden poner en form de frión. Los números rionles pueden ser representdos en l ret. 0 = + = Los números rionles (enteros y frionrios) se glomern en l ret de tl mner que, entre d dos de ellos, hy otros infinitos números rionles.. Diuj en tu uderno un ret omo l que quí te presentmos y sitú sore ell, de form proximd, los siguientes números:,, 0,, 6,, 0 6 Simplifi: Atividdes pr repsr l simplifiión de friones. Es evidente que < porque: >. Verddero o flso? ) > porque el primero es positivo y el segundo, negtivo. ) > porque el primero es myor que y el segundo, menor que. ) 8 > porque el primero es myor que y el segundo, menor que. Simplifiión de friones Si el numerdor y el denomindor de un frión se pueden dividir por un mismo número (distinto de y de ), l herlo diremos que hemos simplifido o reduido l frión. Por ejemplo: = ; 8 = = ; 000 = 6 00 Cundo un frión no se puede reduir más y su denomindor es positivo, diremos que es irreduile. Friones equivlentes Cd número rionl puede expresrse medinte muhs (infinits) friones: / = 6/0 = / = De hí l neesidd de estleer un riterio que permit reonoer uándo dos friones representn l mismo número rionl. Se die que dos friones son equivlentes undo, l simplifirse, dn lugr l mism frión irreduile, que tommos omo expresión hitul del orrespondiente número rionl. < Compr: 8 y son equivlentes, pues 8 = 8 : 6 = y : : 6 = : =. ) y ) y Comprión de friones ) y 0 d) y Dos friones on el mismo denomindor son muy fáiles de omprr oservndo sus numerdores. Pr omprr dos friones on distinto denomin- e) y 8 f ) y 6 dor, ls reduimos omún denomindor, es deir, usmos dos friones respetivmente equivlentes ells y que tengn el mismo denomindor. Ejeriio resuelto Comprr, y Tomremos omo denomindor omún el mín..m. (, 8, 6) = : = = = 8 Evidentemente: 8 < 8 < 0 8 : 8 = 6 = 6 = Por tnto: 8 : 6 = = = < < Compr mentlmente d prej de números: ) y ) 6 y 8 8 ) y 6 d) y 0. Orden de menor myor ests friones: 6 8 Sugerenis Se omienz hiendo un reve repso de los números nturles y enteros. Conviene reordr ls suesivs mpliiones del mpo numério, su nomenltur y l infinitud de estos onjuntos expresd por los puntos suspensivos y l representión en l ret numéri. Reordmos el onepto de frión omo oiente de dos números enteros, que puede ser entero o frionrio, y su utilidd pr expresr un medid undo es neesrio frionr l unidd. Ls friones positivs y negtivs y los números enteros expresdos omo frión nos onduen l onjunto de los números rionles, Q; on el que volvemos retomr l mpliión del mpo numério. Es interesnte que los lumnos y ls lumns ven l representión proximd de números frionrios en l ret, y que reflexionen sore l posiilidd de usr nuevos números de este tipo entre dos ulesquier por muy próximos que estén. En l omproión de l equivleni de friones, utilizremos el proedimiento de onvertirls en irreduiles y ompror l iguldd. De este modo se foment el háito de dr siempre el resultdo omo frión irreduile unque no se hy pedido expresmente. Pr l omprión de friones reurrimos l reduión omún denomindor, por lo neesrio que es este método en numeross pliiones. En tods ests uestiones (equivleni, simplifiión, omprión) dee potenirse el álulo mentl. Ampliión: Ejeriios 0 de ls págins y. Del fotoopile INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejeriio de Prti, fih A. Ejeriio de Prti, fih B. Soluiones de ) V ) V ) V d) F ,,, 0,6,,6 ) V ) V ) F 6 6 ) < ) < ) = d) < < < < 6 8 ANOTACIONES < Refuerzo y Ampliión Se reomiendn: Del uderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejeriios de l pág.. Ejeriios de ls págins 6 y. Ejeriios de l pág. 8.

5 Operiones on friones ) + ) ) + d) e) f ) Atividdes pr repsr l sum y l rest de friones. Atividdes pr reforzr l sum y l rest de friones. ) ) 8 ) d) ) 6 : ) 6 : 6 ) 6 : d) : 6 Sum y rest de friones Efetú ls siguientes operiones y simplifi los resultdos:. ) + ) 6 ) d) 6 : e) : 6 f ) : 6. ) d + n : ) d n d + n 6 8 Pr sumr (o restr) friones on el mismo denomindor, se sumn (o se restn) sus numerdores y se mntiene el denomindor. Pr sumr (o restr) friones on distinto denomindor, se empiez por trnsformrls en otrs equivlentes on el mismo denomindor. Por ejemplo: + = + 0 = + 0 = Produto de friones El produto de dos friones es otr frión uyo numerdor es el produto de sus numerdores y uyo denomindor es el produto de sus denomindores: = d d Por ejemplo: 8 = 8 = 6 = Coiente de friones L invers de un frión es porque = =. Por ejemplo, l invers de es, y l invers de es. El 0 no tiene invers. El oiente de dos friones es el produto de l primer por l invers de l segund: : = d = d d Por ejemplo: : = 6 = 0 ; 6 : = 6 = 6 = Atividdes pr reforzr ls operiones ominds on friones. d n. ) + d n. ) 6 + d n ( ) d n ) ( ) d 6 n d n d n ) 6 d n + 6 Atividdes pr repsr el onepto de frión omo operdor. Hll l prte del totl que orresponde d frión: ) de ) de de persons. ) de 00 edifiios. 0 Di en d so l ntidd totl: ) 0 es del totl. ) 00 es del totl. ) 0 es 0 del totl. Di en d so qué frión flt pr ompletr l unidd: ), y? ), y?? 6? ), y? d),, y? 6? 8? L frión omo operdor (frión de un ntidd) Pr hllr los de un ntidd, por ejemplo de 00, se l divide por (oteniéndose, sí, un quint prte) y el resultdo se multipli por. Es deir, se multipli l ntidd por 00 = 0 Pr hllr un frión de un ntidd C, se multipli C. Ejemplos Un rtero h de reprtir los /8 del totl de 00 rts. Cuánts rts le orresponden? 8 00 = 00 =, = rts le orresponden. 8 Bert es dueñ de /0 de un empres. Este ño le hn orrespondido 800 en el reprto de enefiios. Cuál h sido l gnni totl de l ompñí? Si por le orresponden 800, le orresponden 800 = Por tnto, l totl d0 n le orresponden 0 00 = A este resultdo se podrí her llegdo multiplindo l prte que le orresponde Bert (800 ) por l invers de su frión de l empres, = = 00 0 = Ls distints prtes (friones) de un todo sumn. Pr hllr l prte. Un ilist h reorrido los / de l etp de hoy, de 6 km. Cuántos kilómetros llev reorridos? 6. He sdo del no 00, que son los / de mis horros. A uánto sienden mis horros? de otr de un ntidd C, se multipli C. d d Ejemplo De un hereni de 0 000, Alerto posee /8; Bert, /, y Cludi, el resto. Cludi emple / de su prte en pgr deuds. Cuánto le qued? = 0 = es l frión de Cludi. 8 Como gst de lo que le to, le quedn de su frión: 0000 = = 000 le quedn. 8. De un ls on 0 litros de gu, orresponden / Brulio; /, Enrique, y el resto, Ruperto. Ruperto dedi /0 de su prte regr tomtes, y el resto, los frutles. Cuánt gu dedi Ruperto los frutles? Sugerenis Con freueni, los estudintes llegn este urso sin un dominio deudo de ls operiones on friones, en espeil si ests son omplejs y hy que plir l prioridd de ls operiones y el uso del préntesis. En el so de l sum y de l rest, insistiremos en el uso del mínimo omún denomindor. Pr el produto y el oiente, proponemos que se indiquen ls multipliiones que hy que efetur en el numerdor y en el denomindor, y que se intente simplifir los ftores omunes ntes de her el produto. El álulo de l prte que orresponde un frión, dividiendo l ntidd totl entre el denomindor y multiplindo por el numerdor, se omplement on el prolem inverso (lulr l ntidd totl undo se onoe l prte que orresponde un frión) y on el onepto de frión de otr frión omo el produto de ms tundo sore l ntidd totl. Estos oneptos, junto on l ide fundmentl de que l sum de ls prtes es igul, permitirán resolver l lumndo ejeriios de diferente grdo de difiultd. Refuerzo y Ampliión Se reomiendn: Del uderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejeriios de l pág.. Ejeriios de l pág.. Ampliión: Ejeriios 6 de ls págins y 0. Ejeriios 6 0 de l págin. Del fotoopile INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejeriios, y de Prti, fih A. Ampliión: Ejeriios 6, y 8 de Prti, fih A. Ejeriio de Prti, fih B. Aprendizje oopertivo Pr ests págins, y pr tods quells destinds reforzr l destrez opertiv, se sugiere l siguiente metodologí: El lumndo se distriuye en pequeños grupos (dos o tres por grupo). Resuelven un serie de expresiones individulmente y, después, ontrstn ls soluiones y los proesos. Si hy disrepnis, deen desurir los errores. Si no sen resolver ls duds o no se ponen de uerdo, turá el doente. Soluiones de ) 6/6 ) / ) / d) / e) / f ) / ) / ) / ) / ) ) 86/ 88 ) / Llev reorridos 0 km. 6 Mis horros sienden 00 euros. Ruperto dedi litros los frutles. 8

6 Números deimles Reuerd En ls luldors, en vez de l om deiml, se pone un punto., { } Reuerd Si en un luldor de pntll desriptiv, l efetur un operión on deimles otienes l soluión de form frionri, puedes psrlo deiml dndo l tel Ë. Reuerd En un número, el grupo de ifrs deimles que se repite un y otr vez se llm periodo. Se indi poniendo un ro sore ls ifrs orrespondientes:, 8 8,. Indi qué tipo de número deiml es d uno de los siguientes:, 8,, =,008,, π =,6 Los números deimles sirven, entre otrs oss, pr designr medids, pues on ellos se puede expresr ulquier vlor intermedio entre dos números enteros. Los números deimles se representn sore l ret numéri, de tl modo que on ellos podemos proximrnos muho (tnto omo quermos) ulquier de sus puntos: 6 0 6,,,,,,6,,8,,8,8,8,8,8,8,86,8,88,8, Siguiendo este proeso, el punto rojo puede designrse medinte un número deiml on tnt proximión omo quermos (,8 ). L expresión deiml de los números permite vlorrlos, omprrlos y operr on ellos de form muy ómod y efiz. Tipos de números deimles Vemos ls distints lses de números deimles que existen: Deiml exto es el que tiene un número limitdo de ifrs deimles. Por ejemplo:,; 0,; 8; 0,0 Deiml periódio es el que tiene infinits ifrs deimles que se repiten periódimente.,8888 = 8, periodo 0, = 0, 8, = 8, 0, 0 = 00, Estos se llmn periódios puros, porque en ellos el periodo empiez inmeditmente después de l om. Son periódios mixtos, porque ntes del periodo tienen otrs ifrs deimles. Deimles no extos ni periódios. Son números deimles que tienen infinits ifrs que no se repiten periódimente. Por ejemplo: =, π =,6. Orden de menor myor estos números:,,,,000. Esrie tres números omprendidos entre, y,. Ejemplo,0 0 0, se repite 0 A prtir de quí se repiten los oientes y los restos. Reuerd Números rionles son los que se pueden poner en form de frión.. Verddero o flso? ) = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, Como =, result que 0, =. ), =, ), =, =, d) 0, + 06, = Pso de frión deiml Pr otener l expresión deiml de un frión, se efetú l división del numerdor entre el denomindor. El oiente puede ser: Un número entero, undo el numerdor es múltiplo del denomindor. Por ejemplo: = 8; 0 = 6 Un deiml exto, si el denomindor de l frión simplifid solo tiene los ftores primos y (o lguno de ellos). Por ejemplo: = 0,; =,0; =, Oserv por qué esto es sí: = = = = 0 =, Si solo están los ftores y, siempre podremos ompletr un poteni de se 0 en el denomindor. Un deiml periódio, si el denomindor de l frión simplifid tiene lgún ftor primo distinto de y. Por ejemplo: = 6, ; 86 = 8, ; 8 = =,8 66 Por qué si el oiente no es exto, entones, on seguridd, es periódio? Rzonemos sore un ejemplo, :, uy división tienes en el mrgen. Puesto que l dividir por el resto solo puede ser,,,, o 6, en lgún momento tendrá que repetirse, y prtir de hí, se repetirá tod l seueni. Tod frión irreduile d lugr un número deiml: Deiml exto, si el denomindor solo tiene los ftores y. Deiml periódio, si el denomindor tiene ftores distintos y. Por tnto, unos y otros son números rionles. Sin emrgo, los deimles on infinits ifrs no periódis no son rionles.. Sin efetur l división, y tendiendo solo l denomindor de l frión simplifid, di si ls siguientes friones drán lugr deimles extos o deimles periódios: ) ) ) 0 d) Clul en tu uderno: ),, ) 6, ), +, +, 6 Sugerenis Comenzmos reordndo l representión gráfi de los números deimles en l ret numéri y ómo podemos proximrnos un punto tnto omo quermos medinte un número deiml. Lo hemos tomndo intervlos d vez más pequeños que, mplidos y divididos en diez prtes igules, determinn un nuev ifr deiml. Tmién se reuerdn los distintos tipos de deimles y l notión que se emple pr designrlos. En el pso de frión deiml enontrmos en l luldor un potente instrumento de investigión. Ls tels de división, el ftor onstnte en l división, y l de onversión de friones en deimles, permiten los estudintes oservr on filidd l regulridd de lgunos sos. En todos ellos deemos tener en uent ómo redonde l luldor pr evitr onfusiones sore el periodo. Algunos ejemplos pueden ser los siguientes. Pedir que dividn entre los diez primeros números nturles, pr que lleguen ser uál es el periodo de ulquier frión del tipo /, teniendo en uent l relión de on los múltiplos de. Otener el oiente de / y, prtir de hí, esriir l expresión deiml de / ulquier que se. Trjndo de modo nálogo, los estudintes deen llegr l onlusión de uáles son ls friones que dn lugr deimles extos o periódios, y que ulquier de ellos es un número rionl. Ls tividdes del finl de d págin son un muy uen yud pr fijr los oneptos y los proedimientos estudidos. Ampliión: Investigr los posiles periodos que se otienen l dividir entre 6. Generlizr pr /6 ulquier que se. Soluiones de, Deiml exto. 8, Deiml periódio puro. $, Deiml periódio puro. =,008 Deiml no exto ni periódio., Deiml exto., Deiml periódio mixto. π =,6 Deiml no exto ni periódio., <, < 000, <, Respuest iert. ) V ) V ) V d) V ) Periódio. ) Exto. ) Exto. d) Exto. 6 ) ) ) ANOTACIONES Refuerzo y Ampliión Del uderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejeriios, y de l pág..

7 Pso de deiml frión Oserv Al multiplir N por 0, se otiene otro número on l mism prte deiml. Oserv Al multiplir N por 000, se otiene otro número on l mism prte deiml. Ayud l rzonmiento: pso de deiml periódio puro frión.. Expres en form de frión: ) 6, ) 0,6 ),000 d), e) 0, f ), g) 0, h), 0 i) 0, 08 j), k), 00 l) 0, Amos de ver que si se efetú l división del numerdor entre el denomindor de un frión, el resultdo es un número deiml exto o periódio (puro o mixto). Ahor nos plntemos el prolem inverso: uál es l frión que orresponde un número deiml? De deiml exto frión Expresr en form de frión un número deiml exto es muy fáil, pues el denomindor es un poteni de se 0. Por ejemplo:, = = ;, = ; 0,00 = = De deiml periódio puro frión Vemos on dos ejemplos el proeso que onviene seguir. Periodo de un sol ifr: N =, =, 0N =, Al restr, despree l prte deiml: 0N =, 0N N = N = N = Comproión: / = { } Periodo on vris ifrs: N = 6, 0 = 6, N = 60, 00 Al restr, despree l prte deiml: 000N = 6, N N = N = 6 0 N = 6 0 Comproión: 6 0 / = {\ } Pr esriir un número periódio puro, N, en form de frión: Multiplimos N por un poteni de se 0 pr hllr otro número on l mism prte deiml. Al restr mos números, otenemos un número entero. Despejndo N, llegmos l frión usd.. Oservmos que 0, , = 0, =. Compruélo expresndo en form de frión d sumndo y efetundo l sum de friones.. Reliz los prtdos ) y ) de l tividd 6 de l págin nterior psndo, previmente, los deimles friones y operndo on ells. Ayud l rzonmiento: pso de deiml periódio mixto frión. Ejemplos de ómo expresr números deimles en form de frión.. Complet el proeso pr expresr omo frión el número ddo en d so: N = 6, ) 6, * 00N = 6, 000N = 6, N = 0, 066 ) 0, 06 * 000N =, N = 6, 666 De deiml periódio mixto frión Pongmos en form de frión N =,6 : N =,666 Multiplimos por 0 pr otener un deiml periódio puro. 0N =,666 Ahor, multiplimos por 00 pr otener otro on l mism prte deiml. 000N = 6,666 Al restr este l nterior, despree l prte deiml. Es deir, se otiene un número entero. 000N 0N = 6 0N = 8 N = 8 0 Comproión: 8 / 0 = { \«\«\«\«\} Otro ejemplo: N = 00, = 0,0 00N =, Se otiene un periódio puro N =, Otro, on l mism prte deiml N 00N = 00N = N = 00 Comproión: / 00 = { «««} Pr esriir un número periódio mixto, N, en form de frión: Multiplimos N dos vees por potenis de se 0 pr onseguir dos deimles periódios puros on el mismo periodo. Al restrlos, se otiene un número entero. Despejndo N, se otiene l frión usd. Deimles no periódios Los números deimles on infinits ifrs no periódis no se pueden poner en form de frión. Por tnto, no son rionles. Por ejemplo: 0, Aunque hy regulridd, no hy periodiidd. π =,68 Ls suesivs ifrs deimles de π no siguen ningun regulridd. Lo mismo le ourre y ls =,6 demás ríes no exts.. Expres omo frión los deimles siguientes: ) 6, ) 000, ),08 6. Cuáles de los siguientes números son rionles? Ponlos en form de frión: ), ), ) 0, d) 0, e) π =, f ),. Comprue, oteniendo ls friones orrespondientes, que 8, = 8,. 8 Sugerenis Los estudintes sen y que los números rionles son los que se pueden poner en form de frión y que ests dn lugr un número entero o un deiml exto o periódio. En ests págins ordmos el prolem inverso, usr l frión que orresponde un número deiml exto o periódio. En el so de los deimles extos, tendremos que usr un frión equivlente uyo denomindor se un poteni de se 0 y simplifir. El proeso es muy senillo. No ourre lo mismo en el so de los deimles periódios y, por ello, está expuesto on indiiones sufiientes pr que se omprend. Si se plin en un uen número de sos, el proedimiento lleg utomtizrse pero sin que se onviert en un reet misterios. Pueden ser de yud lguns tividdes previs l estudio del proedimiento estándr. Como por ejemplo: Dividir por los dígitos del l y oservr el periodo. De est form se ve que: , = y, por tnto,, 8 = + = Dividir por los números del 0 l 00 y oservr el periodo de dos ifrs pr llegr l onlusión de que: $ $, = + 0, = + = Pr los deimles periódios mixtos podemos utilizr un téni similr: $ $, $ 6, = 8, = + = 0 $ 6/ 6, = = 0 0 Conviene insistir en que todo este proeso solo es plile en el so de los deimles finitos o periódios, y reordr que los deimles on infinits ifrs no periódis no se pueden poner en form de frión. Refuerzo y Ampliión Se reomiendn: Del uderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejeriios 8 de l págins y. Del fotoopile INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejeriio de Prti, fih A. Ampliión: Ejeriios y de Prti, fih B. Soluiones de ) / ) 6/00 ) 0 00/0 000 d) / e) / f ) / g) / h) 000/ i ) 88/ j ) / k) 00/ l ) / = 08 + = = ) ) ) 6/00 = / ) / 000 ) 6/0 ) /00 ) 68/0 = 6/ 6 ) /00 ) No es rionl. ) 8/ = 66/ d) 8/0 = /6 e) No es rionl. f ) / 0 $ _ 8, 8 00N N= 8 N = ` $ 0 8, 8 000M 0M= 0 8 M = = 0 $ $ 8, =, 8 0

8 Ejeriios y prolems resueltos. Operiones on friones Clulr y simplifir. d n d n d n. Deimles periódios Compror que los números, y, se expresn medinte l mism frión. Hzlo tú. Con qué deimles extos podemos identifir los números, ; 8, y 000,?. Reprto on friones Tres migs gnn un premio que reprten de l siguiente form: Mrí le orresponden los / del totl; Móni, los / de lo que reiió Mrí, y Pul, el resto. Cd un don l sext prte un soiión. Si Móni otuvo 6 después de donr su prte, qué frión del totl reiió d un? Qué ntidd orresponde d un?. Grifos y friones Un grifo A llen un depósito de gu en hors, y otro grifo B, en hors. El depósito tiene un desgüe que lo ví en 6 hors estndo los grifos errdos. Si rimos los dos grifos y el desgüe, uánto tiempo trdrá el depósito en llenrse? Efetumos ls operiones pso pso teniendo en uent los préntesis y l prioridd de ls operiones. En d pso, simplifimos los resultdos priles. d n = = 6 = d n Expresmos, en form de frión: N =, 000N =, * Restmos miemro miemro: 00N =, 000N 00N =,, 00N = = Despejmos N N = = =, L prte del premio que le orresponde Mrí es /. A Móni le orresponde =, y Pul, el resto, que es: + m= Después de donr /6, d un reiirá los /6 de lo que le orresponde. Si Móni reie 6, que es = 0 = del totl, el premio reprtir es: = 6 L frión que reie Mrí es = del totl; l de Móni, ; y l de 6 Pul, =. 6 8 L ntidd que entregrán Mrí es 6 = ; l que reiirá Móni es 6, y l que orresponde Pul es 6 =. 8 Si el grifo A llen el depósito en h, en un hor llen / del mismo. El grifo B, en un hor, llen / del depósito. El desgüe ví en un hor /6 del depósito. Si rimos los tres l vez, en h llenn: / + / /6 = / del depósito Por tnto, el tiempo que trdn es: : = h =, h = h 0 min. Ejeriios y prolems Prti Friones y deimles. Simplifi ls friones siguientes: Agrup ls friones que sen equivlentes En d prtdo, redue omún denomindor y orden de menor myor: ),,,, ), 8,, ),,,, 8 6,. Expres omo sum de un número entero y un frión, igul que se he en el ejemplo: 8 = 6+ = 6 + = + ) 8 ) ) 6 d) e) 8. Expres omo número deiml ls siguientes friones: Determin, sin relizr l división, uáles son deimles extos y uáles deimles periódios.. Clsifi los siguientes números rionles en deimles extos o periódios (intent dr l respuest ntes de efetur l división): Esrie tres números que estén omprendidos entre d pr de deimles: ),6 y,8 ) 0,8 y ) 0,8 y 0, d) 0, y 0,6 e), y, f ), y,. Orden de menor myor en d prtdo: ),6;, 6 ;, ; 6, ),;, ;, ;, 0. Expres en form de frión. ), ) 0,00 ),0 d), e) 0, f ),. Expres omo frión. ) 0, ),0 ) 0,0 d), e), f ),0 Operiones on friones. Clul y simplifi mentlmente ls expresiones siguientes: ) + ) + ) d) e) : f ) g) h) : i). Clul mentlmente: ) de 60 ) de 00 ) de d) L mitd de. e) L terer prte de. f ) L mitd de l quint prte de 6.. Clul mentlmente el número que se pide en d so: ) Los dos terios de un número vlen. Cuál es el número? ) Los ino urtos de un número vlen. Cuál es el número? ) Los siete déimos de un ntidd son 0. Cuál es es ntidd?. Redue un frión. + ) ) ) Sugerenis En l págin de Ejeriios y prolems resueltos se muestrn estrtegis, sugerenis, pists y forms de pensr que les serán útiles los lumnos y ls lumns pr enfrentrse l resoluión de ls tividdes que se les proponen ontinuión o en ls págins finles de l unidd. Su fin último es que los estudintes sen pes de reproduir proedimientos similres d vez que se enuentren nte un situión prolemáti. Soluiones de Hzlo tú Los podemos identifir on 6; 8, y 0,0, respetivmente. Soluiones de Ejeriios y prolems 6 = ; = ; = ; = ; = ; = = = ),,,, = = 8 0 < < < < 0 8 ),,, 8 < < < ),,,,, < < < < < 6 8 ) + ) + ) + d) e) 8 = 06, ; =, ; = 8, ; =008, 6 00 > ;;;;? $ > ;;? = 08, ; = 0, ; = 0, Deimles extos,,, Deimles periódios, Deimles extos,, Deimles periódios,, 60 8 Respuest iert. $ ), < 6, <, 6 <, 6 0 ) 0 d) ) 0 d) ) 000 e) 0 8 = e) 00 $ ), <, <, <, 0 = ) = f ) ) = ) 0 0 f ) = = 6 ) / ) / ) /0 d) / e) / f ) / g) / h) / i ) ) 0 ) ) d) / e) / f ) / ) ) 8 ) 00 ) / ) / ) /

9 Ejeriios y prolems 6. Efetú y simplifi desomponiendo en ftores, omo en el ejemplo: = = = ) 0 ) 6 ) 8 6 d) 0 e) 8 f ) Redue ests expresiones un sol frión: ) 8 6 ) d + n d + n ) d+ n d + n d n d) d + n > d n+ H 0 8. Clul pso pso y, después, omprue el resultdo on l luldor utilizndo ls tels de frión y préntesis. ) + d + : n ) d n + ( ) 8 ) d + n: > d+ nh 6. Clul y omprue on l luldor. ) : d + n : d n ) d n d n 6 6 ) > d n d nh 8 0 d) > d n+ d nh: d n 0. Clul psndo previmente frión. ), +, ) 0, 0, ) 6,,0 d), + 6, e), + 6, f ) 6, + 8, Apli lo prendido. Llevo leído /8 de un liro de 88 págins. Cuánts págins me quedn pr r el liro?. Jun mide,60 m, ls /6 prtes de l ltur de su pdre. Cuánto mide el pdre de Jun?. De los 8 lumnos de un lse, / hn prodo todo, de los ules /8 otuvieron soresliente de medi. Cuántos lumnos sron soresliente? Cuántos suspendieron lgun signtur?. Juli gstó / de su dinero en liros y / en disos. Si le hn sordo 6, uánto tení?. Un mezl de 600 g de ereles está ompuest por / de trigo, / de ven y el resto de rroz. ) Qué prte de rroz tiene l mezl? ) Qué ntidd hy de d erel? 6. De los 00 liros de un iliote, /6 son de poesí; 80, de novel, y el resto, de histori. Qué frión representn los liros de histori?. De un idón de eite se s primero l mitd, y después, l quint prte de lo que qued. Si en el idón ún hy litros, uál es su pidd? 8. En un fruterí, los /6 del importe de ls vents de un dí orresponden ls fruts, y el resto, ls verdurs. De lo reuddo por ls fruts, los /8 son de ls nrnjs, y ese dí fueron 0. Cuánto se reudó en totl? Qué prte orrespondió ls verdurs? Resuelve prolems. De un uent nri, retirmos primero los /8 y, después, los /0 de lo que qued. Si el sldo tul es 8, uánto hí l prinipio? 0. De un depósito de eite, se ví l mitd; después, l mitd de lo que qued; luego, los / del resto. Si quedn 6 l, uántos hí l prinipio?. Compro plzos un iilet que vle 0. Pgo el primer mes los /; el segundo, los / de lo que me qued por pgr, y luego,. ) Cuánto he pgdo d vez? ) Qué prte del preio me qued por pgr?. Se dquieren 0 kg de iruels pr her mermeld. Al deshuesrls, su peso se redue en /. Lo que qued se uee on un ntidd igul de zur, perdiéndose en l oión / de su peso. Cuántos kilos de mermeld se otienen?. Un mpo retngulr de 0 m de lrgo se pone l vent en dos prels rzón de 0 el metro udrdo. L primer prel, que supone los / del mpo, sle por Cuánto mide l nhur del mpo?. Dos griultores, pdre e hijo, trdn hors en rr un mpo. Si lo he solo el pdre trd 6 hors. Cuánto trdrá el hijo en herlo solo?. Un grifo llen un depósito de gu en hors. Si demás del grifo se re el desgüe, entones el tiempo de llendo es 6 hors. Cuánto trd el desgüe en vir el depósito, estndo el grifo errdo? Prolems + 6. Un grupo de migos h ido omer un pizzerí y hn elegido tres tipos de pizz, A, B y C. Cd uno h tomdo / de A, / de B y / de C; hn pedido en totl pizzs y, omo es lógio, no h sordo ningun enter. ) H tomdo d uno más de un pizz, o menos? Cuántos migos son? ) Cuánts pizzs de d tipo hn enrgdo? H sordo lgo? ) Contest ls misms pregunts si huiese sido 0 el número de pizzs pedido.. En un reet pr her mermeld de higos se lee: ñdir 00 g de zúr y 00 g de gu por d kilo de higos. Tres migs, A, B y C, on un puesto en el merdo, elorron ests ntiddes: A otes de /8 kg y de / kg B otes de / kg y de /8 kg C otes de / kg y de / kg ) Cuál de ls tres prepró más ntidd? ) Si un person pide / kg, uál es l form de entregrle l ntidd más próxim? ) Si el gu se evpor durnte l oión, uál es l proporión de zúr que tiene l mermeld? Reflexion sore l teorí 8. Cuáles de los siguientes números no son rionles? Pon en form de frión los que se posile: ) 0,08 ) ), d) π e),0 f ) 0,. ) Expres en form deiml el vlor de: ) Esrie el resultdo en form de frión. 0. Bus utro números frionrios omprendidos entre / y /. Cuántos hy?. Divide por vrios números menores que 0 y oserv los resultdos. Qué puede ourrir undo dividimos por? Puedes predeir ls ifrs deimles de los oientes 0 : ; : y :? L prte deiml del oiente : es 6666 Cuál será l prte deiml de ( + ) : y de ( + ) :?. Verddero o flso? Expli y pon ejemplos. ) Hy números deimles que no son rionles. ) El oiente de dos números deimles extos es siempre un deiml exto. ) Al sumr dos números deimles periódios puros se otiene siempre un deiml periódio puro. d) Todos los números enteros se pueden expresr en form de frión.. Cuál de ests friones es equivlente /? + +. Siendo que > > > 0, ompr estos pres de friones y di uál es l menor en d so: ) y ) y ) y. Divide por los números del l 0 y not los resultdos. ) Cuántos deimles distintos pueden slir? ) Tiene eso que ver on el heho de que estemos dividiendo entre? ) Puedes predeir el resultdo de : y de 0 :? Soluiones de Ejeriios y prolems 6 ) / ) / ) / d) / e) / f ) ) / ) ) /8 d) / 8 ) ) /8 ) / ) 6/ ) 0 ) / d) 0 ) /6 ) /6 ) / d) / e) f ) 0 Me quedn 80 págins pr terminr el liro. El pdre de Jun mide, m. Soresliente, lumnos. Suspendieron lgun signtur,. Tení euros. ) / ) 80 g de trigo, 6 g de ven y 0 g de rroz. 6 /0 son liros de histori. L pidd del idón es, litros. 8 Se reudron 8 euros en verdurs y 88 euros en totl. Al prinipio hí 006 euros. 0 Al prinipio hí 0 litros. ) 0, 6 y. ) / del preio. Se otienen kg de mermeld. El terreno tiene un nhur de 00 m. El hijo trdrá hors. Trd hors. 6 ) / de pizz, más de un pizz. Son migos. ) 8 de A, de B y de C. H sordo / de A y / de C. ) Cd uno h tomdo / de pizz, más de un. Son 8 migos. Hn enrgdo de A, 6 de B y de C. H sordo / de C. ) L mig A. ) Dos otes de / y uno de /. ) / 8,6 % 8 ) 8/000 ) No es rionl. ) No es rionl. d) No es rionl. e) 66/0 f ) / ) 0,... = 0, ) / 0 Respuest iert. Hy infinitos. Cundo dividimos entre podemos otener un número exto o un deiml periódio puro de periodo o de periodo 6. 0 : No tiene ifrs deimles. : Periódio puro de periodo. : Periódio puro de periodo 6. ( + ) : No tiene prte deiml. ( + ) : Periódio puro de periodo. ) V ) F ) V d) V y son equivlentes. ) < ) ) Se otienen 0 deimles distintos. < ) < $ 0 $ ) Sí. ) = 0, ; =6,

10 Tller de mtemátis Infórmte Un niño llmdo Guss He poo más de dos siglos, un mestro lemán que querí pz y trnquilidd en su lse propuso sus lumnos de ños que lulrn l sum de los números l 00. A Crl Friedrih Guss se le ourrió que: + 00 = + = + 8 = = 0 + = 0 Evidentemente, l sum er 0 0 = 00. Al pore mestro le duró poo l trnquilidd. Lee, reflexion y dedue Un lío on otr sum Ls mtemátis son pur lógi y siempre exts. Sin emrgo, vees pree que llegn ontrdiiones. Oserv, por ejemplo, est sum de infinitos sumndos: S = Podemos interpretrl de dos forms: S = ( ) + ( ) + ( ) + = = 0 sorpres S = + ( + ) + ( + ) + = = Y por si te pree poo lío, podemos todví enredrlo más: S = ( ) = = S Es deir, S = S. Por tnto, S = supersorpres Dónde está l trmp? Será que l tomr infinitos sumndos se pierde el mino de l lógi? Tú qué opins? Utiliz tu ingenio Un uestión de oms Poniendo un om en el lugr deudo, l siguiente expresión es iert: ino por utro veinte más uno, veintidós Podrís lrr l uestión? Crl Friedrih Guss (-8). Con Newton y Arquímedes form el trío de mtemátios más relevntes de l histori. Su or tuvo un influjo permnente en el desrrollo posterior de l ieni mtemáti. prenderemprender Entrénte resolviendo prolems Un joyero onsigue un rej de 0 en l ompr de 6 rohes igules, uyo preio, según el tálogo, es de 8, d unidd. A uánto dee vender d uno si dese otener un gnni totl de 00? Mrt ompr tres torts, y Betriz, dos. Cundo vn merendr, se les une su mig Veróni, que no tre torts. A l hor de omprtir gstos, Veróni le to poner. Cómo se reprtirán esos Mrt y Betriz? Autoevluión Resoluiones de estos ejeriios.. Efetú y simplifi el resultdo. > m m : H. Clul el resultdo de est sum psndo, previmente, d deiml frión: 8, + 0, ,. Esrie, en d so, tres números omprendidos entre los dos ddos: ) y ),, y 8 0. Clsifi en deimles extos o periódios sin her l división Dos js on mnzns se ponen l vent,0 el kilo. L primer, que supone los / del totl, se vende por 0. Cuántos kilos de mnzns hí en d j? Un grupo de migos entr en un feterí. Todos piden fé, y l quint prte de ellos pide, demás, un ollo. Un fé uest 0,8, y un ollo,,0. Pr pgr, entregn l mrero. Hn dejdo propin? Si es sí, de uánto h sido? Un henddo ontrt un sirviente por un sueldo nul de one moneds de oro y un llo. A los utro meses, el sirviente se despide, reiiendo el llo y un moned. Cuál er el vlor del llo? 6. Entre los usurios de un polideportivo, l quint prte tiene más de 60 ños, y dos de d tres están entre los y los 60 ños. ) Qué frión de los usurios tiene ños o menos? ) Si el número de usurios es, uántos hy de d grupo de edd?. Compro un iilet que pgré en tres plzos. En el primero, pgo los /0 del totl; en el segundo, / de lo que me qued por pgr, y pr el terero, solo tengo que pgr. Cuál es el preio de l iilet? 8. Verddero o flso? ) Tods ls friones son números rionles. ) Todos los números rionles son frionrios. ) Los números enteros se pueden expresr en form de frión. d) Un frión siempre equivle un número deiml periódio. e) Un número deiml periódio es un número rionl. Infórmte Un niño llmdo Guss L fmos nédot de l sum de Guss es un uen liiente pr que los estudintes usquen informión sore uno de los mtemátios más importnte de todos los tiempos. Hy más de 00 versiones sore este heho pulids en iogrfís, liros de texto y enilopedis, y unque l form de nrrrl no es idénti, tods tiene un mismo origen: un iogrfí de Guss, pulid un ño después de su muerte por W. Srtorius, profesor de l universidd de Götingen, en l que nuestro mtemátio desrrolló su tividd démi. Lee, reflexion y dedue Un lío on otr sum El desfío lógio que plnte l sum de infinitos sumndos S = + +, que suele llmrse serie de Grndi, se mnifiest l ompror que ls mnipuliones que relizmos on ell no nos dien uál es su sum. Llegmos dos onlusiones ontrditoris sin más que mir l oloión de los préntesis. Esto es onseueni de que en ls series infinits puede ourrir ulquier os. Si el doente lo onsider deudo, puede proponer los estudintes el álulo de ls sums priles (l sum de los dos primeros términos, l sum de los tres primeros, y sí suesivmente) pr que oserven si ess sums priles tienden hi un número fijo, que serí l sum de l serie. En so ontrio l serie no tiene sum. Utiliz tu ingenio Entrénte resolviendo prolems Soluiones Dee vender d rohe 0. pr Mrt y pr Betriz. Hn dejdo un propin de 0 éntimos. El vlor del llo er de moneds. Soluiones de l utoevluión 6/, Respuest iert. Extos: 8/0 y /. Periódios: / y 8/. En l primer j hí 0 kg, y en l segund, 8 kg. 6 ) / ) Más de 60 ños: 0. Entre y 60 ños: 0. Menos de ños: 0. L iilet ost 0 euros. 8 ) V ) F ) V d) F e) V ANOTACIONES Un uestión de oms Soluiones,0 + =