Regla de Cramer. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? la regla de Cramer,

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Montserrat Sandoval Quintana
hace 7 años
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1 Semana 2 2 Empecemos! Como recodarás en el 7mo semestre estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) con tres incógnitas, los cuales se resolvieron empleando los métodos analíticos: sustitución, igualación y reducción. En esta ocasión para resolver dichos sistemas utilizaremos la regla de Cramer, que se basa en el cálculo de determinantes. Qué sabes de...? 1. Los SEL que no tienen ninguna solución se conocen como: a) Compatibles determinados. b) Compatibles indeterminados. c) Incompatibles. 2. Si el SEL tiene más de una solución se denomina: a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible. 3. Si dos SEL tienen la misma solución, se conocen como: a) Iguales. b) Compatibles determinados. c) Equivalentes. 164

2 Semana 2 El reto es... Los estudiantes del IRFA organizaron un evento deportivo y recreativo a fin de recoger fondos para arreglar los talleres. Para ello vendieron 110 helados en tres presentaciones: vasitos, barquillas y tinas. Recolectaron Bs y los precios de cada helado eran: Bs. 7 el vasito, Bs. 8 la barquilla y Bs. 10 la tina. Si se sabe que entre barquillas y tinajas se compraron el 20% más que de vasitos, qué cantidad de helados se compraron de cada uno? En este momento estás en condiciones de resolver el problema por los métodos ya estudiados. Hazlo! Esperamos que al finalizar la lectura de este material puedas solucionar los SEL usando el método de Cramer. Vamos al grano Determinantes Dada una matriz cuadrada A se llama determinante de A, abreviado: det (A), al número real que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Por ejemplo, en una matriz de orden 2, su determinante se expresa así: a det (A) = 11 a = - 21 Ejemplos: Producto Producto de la diagonal de la diagonal principal secundaria Hallar el determinante de las siguientes matrices: / 4-10 a) b) 4 c) Recuerda que debes multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarlos al producto de la diagonal secundaria. a) (-3) 6 - (-5) 3 = = - 3 b) = 0-3 = -3 4 c) 4 (-30) -12 (-10) = = 0 Determinante de orden 3 Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al número que se obtiene así: 165

3 Semana 2 det (A) = a 13 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 33 + a 23 a 31 + a 13 a 32 - a 23 a 32 - a 32 - a 33 - a 13 a 31 Observa que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes. La idea no es que memorices esa expresión. Hay una manera sencilla de encontrar el determinante de una matriz de orden 3, empleando la regla de Sarrus (en honor al matemático francés Pierre Sarrus), de la siguiente forma: Se escriben a la derecha de la matriz las dos primeras columnas. Se realiza el producto de los elementos que contiene cada flecha. Los productos de la diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +; la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo -. Finalmente realizamos la suma algebraica de los productos resultantes. A través de un ejercicio se ejemplifica la regla: Halla el determinante de la matriz B = Se repiten las dos primeras columnas a continuación de la tercera. Diagonal secundaria y paralelas Diagonal principal y paralelas det (B)= (-1) (-4) 3 - (-1) (-4) 11 Suma algebraica de los productos de la diagonal principal. Suma algebraica de los productos de la diagonal secundaria. det (B) = = = 427 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales 166 Sea un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas de la forma:

4 Semana a a 1n = b a a 2n = b 2 (1) a m1 +a m2 +a m3 + +a mn =b m Los números reales a ij se denominan coeficientes, los x i se llaman incógnitas y b j se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2, se suelen designar simplemente por x e y en vez de y ; y, en el caso de tres, x, y, z, en lugar de,, y, pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo siguiente: a 13 a 1n a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n = b 1 b 2 b 3 a m1 a m2 a m3 a mn b m Matrix de Coeficientes Matrix de incógnitas Matriz de términos independientes Al usar tus conocimientos sobre la multiplicación de matrices, advertirás que el producto de la matriz A y la matriz X de las incógnitas, se corresponde con el miembro izquierdo del sistema de ecuaciones (1). La regla de Cramer (en honor a su inventor, Gabriel Cramer) es aplicable a sistemas en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Expresamos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y se halla el determinante de la matriz A de coeficientes. 167

5 Semana 2 Sea el determinante de la matriz de coeficientes: a 13 a 1n a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a m1 a m2 a m3 a mn Y cada uno de los determinantes 1, 2, 3..., n se forma a partir del determinante del sistema, sustituyendo la columna de la incógnita que se está hallando por la columna de las constantes (matriz de términos independientes). El valor de cada incógnita se calcula dividiendo el 1, 2, 3..., n entre el determinante. La solución del sistema de ecuaciones lineales, utilizando la regla de Cramer viene dada por: x = 1 y = 2 z = Es importante recordar que un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene una única solución, que es justamente la anterior. Concretemos esta regla a través de la situación propuesta al inicio, considerando las siguientes incógnitas: x: cantidad de helados de vasitos; y: cantidad de barquillas; z: cantidad de helados en tinajas. Al plantear el sistema de ecuaciones, obtenemos: 3 x+y+z=132 x+y+z=132 x+y+z=132 7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038 y+z=1.2x -1.2x+y+z=0-12x+10y+10z=0 Multiplicamos por 10 la última ecuación para eliminar el punto y ordenamos el sistema. Expresamos el último sistema de ecuaciones en forma matricial; esto es: x y z = Se halla el determinante de la matriz de coeficientes A: Aplicando Sarrus:

6 Semana 2 det (A)= (-12) (-12) = = = -44 Como el determinante es distinto de cero se puede aplicar la regla de Cramer. Hallamos el determinante asociado a cada una de las incógnitas. En la matriz del sistema A, sustituimos la primera columna de las x por la columna de términos independientes, pues x es la primera incógnita; así: Observa que la primera columna ha sido sustituida por la columna de términos independientes. Aplicamos Sarrus para obtener el determinante. x = = = La solución de x, será x= x = = 60 helados de vasito. -44 Hallamos el determinante asociado a la incógnita: Se ha sustituido la columna de las y en el determinante del sistema por la columna de términos independientes y = (-12) (-12) = = = La solución de y, será y= y = = 51 barquillas. -44 Hallamos el determinante asociado a la incógnita. En la matriz del sistema, sustituimos la tercera columna por la columna de términos independientes; así:

7 Semana 2 z = (-12) (-12) 8 = = = -924 La solución de z, será z= z -924 = = 21 tinas -44 Para saber más Para reforzar la resolución de problemas de un sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, puedes observar el video que se muestra en la siguiente dirección web: Aplica tus saberes 1. Halla el determinante de las siguientes matrices: a) -6 4 b) ,6 c) d) / Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas: a) 3x-2y+z=-1 b) x+y+z=6 c) 3x+y+z=1 2x+y-z=2 x-y+2z=5 2x+2y+z=5 x-3y+z=0 x+y-z=0 x-y+z= Una empresa de computadoras ofreció servicio técnico: revisión, mantenimiento y reparación (incluye costo de materiales y mano de obra) a tres departamentos de una escuela: Control de estudio y evaluación, Pedagogía y Sala telemática. En Control de estudio y evaluación se tienen dos computadoras: una recibió revisión y mantenimiento mientras la otra sólo mantenimiento (limpieza). En la sala telemática se revisaron 4 computadoras, se hizo mantenimiento a 3, por un costo de 720 Bs. A la computadora del departamento de Pedagogía se le hicieron los tres servicios (R, M, R) por un costo de 520 Bs. En total la escuela hizo un gasto de 1520 Bs. Cuánto es el costo de cada uno de los servicios? Comprobemos y demostremos que Discute en el CCA con tus compañeros los problemas mostrados en Aplica tus saberes. 170 La tierra es suficiente para todos pero no para la voracidad de los consumidores. Gandhi

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