Si somos rigurosos previamente a esta definición debemos discutir en que condiciones existen q y r, y cuando ello ocurre cuantos q y cuantos r hay.

Transcripción

1 Álgebr I Pr_volver Meú DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD EN (N,,.,<) Frete l imposibilidd de relizr l divisió exct e todos los csos detro de l estructur de los turles defiiremos l divisió eter que segurmete como todos sospechmos u bue defiició puede ser: r b q bq r = r < b Si somos rigurosos previmete est defiició debemos discutir e que codicioes existe q y r, y cudo ello ocurre cutos q y cutos r hy. N, b N H) b 0 ) qr, N/ = bq r y r< b T) ) q y r so ui cos Dem: Cosidermos H= { x N / bx } Itetremos demostrr que H tiee máximo y que este es el q de l tesis. Pr ello utilizremos el pricipio de bue ordeció. i) H N por l propi defiició de H. ii) H φ pues: 0. b = 0 0 H iii) H cotdo superiormete. Efectivmete culquier turl myor o igul que b superior de H. es cot De i) ii) y iii) utilizdo bue ordeció o más precismete su cosecueci imedit podemos firmr que existe el máximo de H l que deomimos levosmete q. q H bq bq N como bq N Llmdo r=-bq teemos que =bqr. Nos flt demostrr que r<b. Hgámoslo. q = máx H q H como q N b(q ) > bq b > = bq r b > r Probemos hor l uicidd. Supoemos que existe q y r N / = bq r y r < b Si q q ; por ejemplo q> q q q > 0q q (pues estmos co turles) b(q- q ) b (recordemos que b>0 por ser u turl o ulo). 65

2 Prof. Diel Siberio. Por otr prte = bq r bq ( q ) r r = 0 r = bq ( q ) r bq ( q ) b r b = bq r q. Lo cul cotrdice l suposició, Por lo tto q = Si q bq r = q = bq r = bq r r = r = bq r Por lo tto q y r so úicos. Defiició Ejercicios: Ddos y b turles, b 0 relizr l divisió eter de etre b es ecotrr q y r turles tles que: i) =bqr ii) r<b Lo cul represetmos esquemáticmete b r q E cso de que r=0 decimos que b divide o que es múltiplo de b Aotmos b/ ó = b. Podemos idepedizr l defiició de divisor o de múltiplo de l defiició de divisió eter. b/ q N tlque = bq ) Cosidermos RN : * N * ; xry x/ y. Probr que R es u relció de orde mplio (u relció que cumple idétic tisimétric y trsitiv ) Probr: x / x / ± b (Si u úmero divide otros dos divide su sum y su rest) x / b 3) Idem. x / x / c ( Si u úmero divide divide todos sus múltiplos) c N 4) Idem. x / x / b x / λ µ b (Si u úmero divide otros dos λµ, N divide culquier combició liel) 5) Probr: x / x / b b x / r r q 6) Probr: x / y x y y 0 (Los divisores de u turl o ulo so meores o igules que el turl ddo) 66

3 Álgebr I Ejercicios: ) Completr de tods ls forms posibles: i) 9 ii) <00 iii) 60 iv) 7 > q q ) Hllr turl sbiedo que: 37 q q 3) Hllr tods ls posibles ters de turles (b,c) tles que: b 7 5 c b c Not Siedo u úmero turl otmos d() l cojuto de todos sus divisores { } d ( ) = x N; x/ Así por ejemplo: { } d( 6) = 36,,, d( 0) = N * Defiiremos l máximo comú divisor de dos turles y b como el máximo de los divisores comues; o se como el máximo del cojuto d() d(. Pr dr est defiició probemos previmete que dicho máximo existe. N, b N mxd d b b ( ) ( ) 0 Dem: Observemos que d ( ) db ( ) es u cojuto de turles; es pues rzoble pesr e utilizr el pricipio bue ordeció. Pr ello debemos probr: i) d ( ) db ( ) N Lo cul es imedito pues por defiició d ( ) Nydb ( ) N ii) d ( ) db ( ) d ( ) db ( ) d ( ) db ( ) iii) d ( ) db ( ) cotdo superiormete. Como por hipótesis y b o so simultemete ulos, supogmos por ej que 0 x d( ) d( x d( ) x / como 0 x es cot superior de d ( ) db ( ) De i) ii) y iii) plicdo el pricipio de bue ordeció estmos e codicioes de firmr que máx d() d(. 67

4 Prof. Diel Siberio. Defiició Ddos dos turles y b o simultáemete ulos. Llmmos máximo comú divisor de y b l máx d ( ) db ( ). Aotmos D(.; sí por ejemplo D(0,5)=5 D(0,=b si b 0 r b d ( ) db ( ) = db ( ) dr ( ) q Dem: Debemos probr que: i) x d ( ) db ( ) x db ( ) dr ( ) ii) x d( d( r) x d( ) d( x d( ) x / i) x d( ) d( x / bq = r x d( r) como x d( x d( x / b x / bq x d( d( r) x ii) d( x/ b x/ bq x d( d( r) x/ bq r = x d( ) x d( ) d( x d() r x/ r COROLARIO r b Db (, ) = Dbr (,) q L demostrció es u cosecueci imedit del teorem terior. Obs etoces D(44,50)=D(50,44) etoces D(50,44)=D(44,6) etoces D(44,6)=D(6,) 7 6 etoces D(6,)=D(,0)= 0 3 Por lo tto D(44,50)=.L plicció sucesiv del último corolrio os permitió clculr el máximo comú divisor de 44 y 50; itetemos geerlizr este procedimieto. 68

5 Álgebr I Algoritmo de Euclides Cosidermos b, N > b>0. Pr hllr D( relizmos l divisió r b q Db (, ) = Dbr (, ) Si r = 0 D(, = D(,) b0 = b Si r 0 relizmos l divisio b r D( b, r) = D( r, r) r q Si r = 0 D(, = D(, b r) = D( r,) 0 = r Si r 0 relizmos l divisio r r D( r, r) = D( r, r3) r q 3 3 Si r3 = 0 D( = D( b, r) = D( r, r) = D( r, 0) = r Si r El proceso cotiu hst ecotrr u resto ulo. No existirá lgú cso e dode esto o ocurre? (o se que el proceso se ifiito). Apretemete o pues: b> r > r > r3 >... Probémoslo ms rigurosmete. Cosidermos H el cojuto de los restos obteidos medite este proceso de divisioes sucesivs; demostremos que H tiee míimo y que este es 0. H N H (r H) r = mí H SI r 0 relizmos l divisio r r r H y r < r = mih Absurdo r q Por lo tto r = 0 y e cosecueci este mecismo de divisioes sucesivs os coduce e todos los csos u resto ulo siedo el último resto o ulo ( r ) el máximo comú divisor buscdo. Suele utilizrse el siguiete esquem: q q q3... q b r r... r r D(= r r r r... Así por ejemplo pr clculr D(44,00) Etoces D(44,00)=

6 Prof. Diel Siberio. Not Si e el lgoritmo terior utilizmos sucesivmete el teorem e lugr del corolrio teemos: d ( ) db ( ) = db ( ) dr ( ) = dr ( ) dr ( ) =... = dr ( ) d( 0 ) = dr ( ) como r = Db (, ) d () db ( ) = dddb (( (, )) El cojuto de los divisores comues y b es el cojuto de los divisores de su máximo comú divisor. E otrs plbrs: x / x / D( x / b Db (, ) = D i) D / D / b ii) Si x / x / b x / D Dem ( ) Prtimos de l hipótesis que D=D(=máx d ( ) db ( ) D d ( ) db ( ) D d( ) D / D d( D / b e l ot imedit terior. Quedrí por demostrr l codició ii); pero ello y fué probdo Ahor debemos demostrr que D=máx d ( ) i) Por hipótesis D D d / ( ) D d( ) d( D / b D d( i) D d( ) d( ( ) db ( ) ii) D x x d( ) d( ii) x d() d() b x / x / b etoces por hipotesis x / D x D como D 0 De i) y ii) deducimos que D = mxd( ) d( = D( Not: El teorem recié demostrdo os brid u codició ecesri y suficiete pr que D se máximo comú divisor de y b.y como tl podrí sustituir l defiició dd de máximo comú divisor. Es ms lguos utores tom l proposició del teorem imedito terior como defiició; o ecesitdo de est mer el <.Por este motivo etre otros es l opció que se tom e Z y e poliomios. Vemos hor lgus otrs propieddes del máximo comú divisor. Lem b x r q rx x N * bx q Dem: r b bq r x bxq rx = = q r < b; como x> 0 rx< bx Etoces x dividido bx d cociete q y resto rx. 70

7 Álgebr I Db (, ) = D Dxbx (, ) = Dx x N * Dem q q... q b r... r r Etoces r r... 0 q q... q x bx r x... r x r x rx rx... 0 Por lo tto D(x,bx)= r x = D(, x Corolrio x / x / b D b, Db (, ) = D = x x D x Dem: D b D D x x x x b x x D x D b D x D D x D D, =, (, ) = = = = x Defiició Cosidermos y b dos úmeros turles. Decimos que y b so primos etre sí Db (, ) = Obs: y b so primos etre si el es su úico divisor comú = D Db (, ) = D b = Db D (, b ) = Dem: ( ) (, ) = / / = D Db D D D b b = Db MCD( D, Db ) = D MCD(, b ) = ( ) D(, b ) = D( D, Db ) = D D( = D Not: Este último teorem os permite muchs veces cortr sesiblemete los tteos ; vemos u ejemplo. Hllr dos turles y b sbiedo que b=9900 y D(=30 Db (, )= = Sustituyedo teemos : 30 30b = 9900 b = b = 30b obsérvese que es mucho más cómodo tter dos úmeros cuyo producto se y se primos etre sí ; que dos úmeros cuyo producto se 9900 y su máximo comú divisor 30. 7

8 Prof. Diel Siberio. b =30 b=30b Not: Yedo otr situció. Sbemos que si u úmero divide otro divide culquier de sus multiplos; si c/b etoces c/b. Es cierto el recíproco? Si u úmero divide u producto divide ecesrimete uo de los fctores? de Euclides c / b Dc (,) c / b = Dem: D(c)=! Dbcb (, ) = b c / b c / cb por hipótesis por defiició c / D(b, c c / b c /... Dc (, ) = Dc (, ) =... = Dc (, ) = c / Puede demostrrse por iducció complet; crgo del lector. Míimo comú múltiplo Siedo N * otmos m() l cojuto de sus múltiplos o ulos; más precismete: m () = ; N* { } Precerí rzoble defiir míimo comú múltiplo de y b como el mí m ello teemos que demostrr previmete que dicho míimo existe. ( ) mb ( ). Pr b, N* mim ( ) mb ( ) Dem i) m( ) m( N por defiicio ii) m( ) m( pues b m( ) m( Etoces por P.B.O. mi m( ) m( Defiició Llmmos míimo comú múltiplo de y b (otmos m( ) b, N*. mb (, ) = mim () mb ( ) Veremos cotiució u teorem que os vicul el míimo comú múltiplo co el máximo comu divisor. 7

9 Álgebr I m(.d(=b co b, N* Dem: Itetremos escribir m ( ) mb ( ) de form que pued hllrse su míimo; pr ello buscmos u codició ecesri y suficiete pr que x m ( ) mb ( ). x m k N x k Si x m m b ( ) *; = ( ) ( ) k = hb x m( h N*; x= hb = D Por otr prte si D(=D b = Db co D(, b ) = Sustituyedo teemos kd = hdb k = hb etoces / hb como D(, b ) = por Euclides / h t N*; h = t Además x=hb x = t b como b = Db x = t b D Probmos etoces que: x m( ) m( x= t b D. Demostremos hor que tmbié es cierto el recíproco. x = = t b x m( x N; x t b D x m( ) m( x = tb x m( ) Por lo tto: x N * tl que x = t b D x m( ) m( De mbs proposicioes subryds podemos firmr que: { } m ( ) mb ( ) = x N; x= tbd ; t N* El míimo del cojuto se d pr t= Etoces: mb (, )= bd co D=D( multiplicdo mbos miembros por D teemos m(d(=b Ejercicios Probr: ) Db (, ) = Db (. ) = p ) Db (, ) = D (, b ) = 3) Db (, ) = D ( bb, ) = 4) Db (, ) = D ( bb, ) = 5) Db (, ) = D D (, b ) = D 6) mb (, ) = m mxbx (, ) = mx ( x N*) 7) Si x / x / b m b m, mb (, ) = m = x x x 8) mb (, ) = m m (, b ) = m 73

10 Prof. Diel Siberio. Números primos y compuestos Defiició N demomimos compuesto ; 0 Decimos que es primo d ( ) = {, }. Si o es primo lo Obs: Como todos los turles o ulos cept y si mismos como divisores podemos decir que u úmero es primo si y solo si cept dos divisores. Medite est defiició los úmeros turles qued clsificdos e primos,compuestos, 0 y. Porqué 0 y o so i primos i compuestos? Porqué los turles distitos de 0 y de que o so primos se llm compuestos y o simplemete o primos? El meor de los divisores de u úmero compuesto distito de es primo. Dem: Cosidermos N *; d = mi( d( ) {} ) Debemos probr que d es primo. Obsérvese que d existe pues d ( ) {} es u cojuto de turles o vcío. Itetremos u demostrció por bsurdo; supoemos que d o es primo, como o es i 0 i etoces es compuesto ceptdo etoces u divisor distito de y de d.. Pero d / d yd d d < d d N*, d, d d tlqued / d comod / d / d d( ) {} Ecotrmos pues u elemeto del cojuto meor que el míimo lo que geer el bs. El cojuto de los úmeros primos o tiee máximo Dem: Se H el cojuto de todos los úmeros primos; queremos probr que H o tiee máximo. Lo cul hremos por bsurdo. Supoemos e cosecueci que existe M=máxH. Cosidermos hor P= M ( el producto de todos los úmeros primos más ) P>M=máxH P H como demás P 0y P P es compuesto Aplicdo hor el teorem imedito terior d = mi[ d( P) {} ] es primo; pero por l defiició dd de P, este dividido culquier úmero primo d resto. Geerádose sí l cotrdicció buscd. Euclides pr primos p / b p primo p /. p / b 74

11 Álgebr I Dem: p/b. Si p/ el teorem está demostrdo. Si p / D(p)= pues p es primo; como por hipótesis p/b plicdo Euclides teemos que p / p primo... p / i pr lgú i de Demostrció por I.C. crgo del lector. Defiició Cosidermos u úmero compuesto. Si = pp... p copi primo decimos que dmite u descomposició e producto de fctores primos (D.P.F.P.) N ; compuesto ) dmite u D. P. F. P: ) Dich D. P. F. P. es uic Dem ): ( ) es compuesto p = mi d( ) {} siedo p primo = p d Si d es primo etoces pd es D.P.F.P. de Si d es compuesto p = mi d( d) {} siedo p primo d = pd = p p d ( ) Si d es primo etoces ppd es l D.P.F.P. de Si d es compuesto El proceso cotiu hst que llegmos u cociete d primo; si este mecismo de divisioes sucesivs es siempre fiito os segurrimos de l existeci de l D.F. Probemos etoces que siempre llegmos u d primo. Se H el cojuto de los d i, H N, H ( d H) d = mih d primo pues si si d fuese compuesto p = mi( d( d ) {} ) co p primo d = p d d H y demás d < d = mih lo cul es cotrdictorio; e cosecueci es proceso descrito es fiito y os coduce e todos los csos l D.F. de. Dem ) Uicidd. = p p... p co p primo i de p p... p i = q q... q co q primo i de m q q... q m i m Queremos demostrr que = m y p = q ide. Iguldo os qued i i 75

12 Prof. Diel Siberio. p p...p = q q...q m p q / q / p q p...q...p m como p primo p comoq primoq / p / q k j pr lgú jde m pr lgú k de p = q q j q = p p k Etoces p = q simplificdo teemos p... p = q... q m Reiterdo el rzomieto p = q, p3 = q3,..., p = q (si m) Si >m después de simplificr os qued q q... qm = q = q =... = qm = lo que cotrdecí que q i es primo; por lo tto =m. Ejercicios: α α α ) Si = p p... p co p primo i β β β Probr: x/ x = pp... p co0 βi αi ide α α α β β β ) Si = p p... p y b = p p... p co p primo i γ γ γ Probr: Db (, ) = p p... p siedoγ i = mi{ αi, β i} δ δ δ mb (, ) = pp... p siedoδi = mx{ αi, β i} 3)Utilizdo l D.P.F.P de u úmero escribir todos sus divisores; describir u método práctico pr obteer todos sus divisores. 4) Deducir u fórmul que permit clculr l ctidd de divisores de u úmero ddo. α α α 5) Probr que si = p p... p co pi primo los divisores de so los sumdos que se obtiee l desrrollr el producto: α α 0 α P= ( p p... p )( p p... p )...( p p... p ) 0 0 6) Utilizdo 5) probr que el úmero de divisores de ( ν( )) es: ν( ) = ( α )( α )...( α ) y que l sum de tods ells ( S ) es: S p = p α α α p p.... p p Ejercicios (Reprtido del curso presecil) I) Completr de tods ls forms posibles los siguietes esquems de divisioes eters i) 9 ii) <00 iii) 60 iv) 7 > q q II) E l divisió b, r es el myor posible y b=34 Hllr b y r. r 6 76

13 Álgebr I III) Hllr sbiedo que 37 q q IV) Hllr y b sbiedo que: 5, b, b=40 q q-8 V) Hllr tods ls ters posibles de turles (b,c) tles que: b y 7 5 c b c VI) Completr los siguietes esquems de lgoritmo de Euclides VII) Hllr dos turles y b sbiedo que b=360 y D(=30 VIII) Hllr dos turles y b sbiedo que b=9900 y D(=30 b IX) Hllr y b turles sbiedo que: -b=48, = 88 D( m( X) Hllr los turles y b sbiedo que: m (. D( = 9000, = 90 y demás b<00 D( XI) Ídem: sbiedo que ( m D) 69. b = 9, = siedo m = m( y D = D(. 4mD 48 XII) Ídem. sbiedo que: D b b, ) = 36, = 9 siedo D = D( ( XIII) Ídem. sbiedo que: b = 6399 m( = 460 b D XIV) Ídem sbiedo que: m ( = 504, > b y b 0 XV) Se sbe que: 8b = 9, i) Probr que: = 9 y b = 9 = 3 4b 9 ii) Si demás D ( = 9, b, =b35. Clculr y b. 7 q 77

14 Prof. Diel Siberio. XVI) Sbiedo que: D ( b, c) = 3D( c) y m ( c) = m( b, c) i) Probr que: = y b = ii) Demostrr que: ( )( b 9 = 6 iii) Si D ( = clculr: D ( b, c) y D ( c). XVII) Determir u úmero turl compuesto de los fctores primos,5 y 7 sbiedo que 5 tiee 8 divisores ms que, 7 tiee divisores ms que y 8 tiee 8 divisores ms que. b c x x XVIII) Hllr x = 3 5 sbiedo que tiee 30 divisores meos que x, 3 tiee 35 divisores x meos que x y 5 tiee 4 divisores meos que x. XIX) Determir el úmero ms pequeño que dmite 5 divisores. XX) i) Probr que si m tiee u úmero impr de divisores etoces N ; = m (o se que m es u cudrdo perfecto. ii) Hllr m N sbiedo que tiee 9 divisores y que m = 39 p ; p es primo. 3 XXI) Determir tods ls ters de úmeros turles (, b, c) que verific: D ( = 3.5, 4 5 m( b, c) = y. c = XXII) Hllr N p ; = p q. q co p y q primos p q sbiedo que e úmero de divisores de es p.q. 3 XXIII) i) Hllr b y N sbiedo que:, D(, b) =, b = y b = β ii) Se α α β N =. y N ' = b.5 Hllr N y N sbiedo que 5N tiee 0 divisores ms N' N que y que tiee dos divisores. N' 4 iii) Hllr todos los turles h sbiedo que: h 4h = 7 D( h 4,7) = y m ( h,70) = N' XXIV) i) Qué codició debe cumplir los úmeros turles pr que teg divisores y D ( 5) = 5? ii) Hllr pr que cumpl demás que l sum de sus divisores es = iii) Pr el vlor de hlldo e ii) probr que: XXV) Probr : = D ( b, ( ) b ) = N b y D ( = XXVI) i) Hllr sbiedo que: D ( 75) = 5 y m ( 75) = 50 ii) Pr hlldo probr que: = 99 78

15 Álgebr I XXVII) Se reliz ls divisioes eters de u turl etre dos turles cosecutivos p y p Demostrr que l codició ecesri y suficiete pr que los cocietes se igules es que el cociete de l primer divisió se meor o igul que el resto de l primer divisió XXVIII) Se b y c úmeros turles tles que: D ( =.3, m( b, c) =.3.7 y m ( c) = i) Probr:.7 / c, 7 / b, 7 / c, 5 / y 3 / b. ii) Si demás se sbe que: ν ( ) = 30, ν ( = 48 y ν ( c) = 36. Hllr b y c. 3 XXIX) b y c so tres úmeros turles que cumple: D ( =.3, D( b, c) = m( b, c) =.3.5.7, 5 / b, ν ( = 3 y ν ( c) = 9. Determir b y c justificdo el procedimieto. XXX) i) Probr: D ( b, m( ) = D( ii) Hllr dos turles y b pr que: m ( = 630 y b = 3 XXXI) i) Se sbe que D ( = D( c, d), m( = m( c, d), 7 4 c. d =.3.5 y ν ( ) = 7 Hllr y b. ii) Hllr tods ls prejs (c,d) sbiedo demás que c = 5 79

16 Prof. Diel Siberio. DIVISIBILIDAD EN (Z,,, ) Itroducció Pretedemos e est secció exteder vrios de los coceptos vistos bjo este mismo título e l estructur de los turles hor los eteros. Así como tmbié itroducir otros uevos estrechmete viculdos (Cogruecis, clses residules, ecucioes diofátics, etc.) Por lo dicho prece rzoble comezr por defiir divisió eter etre úmeros eteros. U posibilidd puede ser tomr textulmete l defiició vist pr los turles. O se: b r q que: = bq r r < b Pero tl opció os hrí perder l uicidd del cociete y del resto, y co est defiició 4 3 pero tmbié 4 3 Como otrs ifiits posibiliddes. 4-5 Este icoveiete lo podemos subsr exigiedo que el resto o se egtivo. E otrs plbrs uestro proyecto de defiició es: b = bq r (Estmos supoiedo que b Z ) r q 0 r < b Ates de sumir tl proyecto como defiició debemos demostrr el siguiete: H ) b Z b > 0 T ) ) q, r Z ; = bq r 0 r < b ) q y r so úicos Dem): Cosidermos M = { m N ; m = bx co x Z} Itetremos probr que M tiee míimo y que dicho míimo es el resto que dmos buscdo. Como M es u cojuto de turles, pr demostrr que tiee míimo es ms que rzoble pesr e bue ordeció. Co tl objetivo debemos verificr que: i) M N Lo cul es cierto por l defiició dd del cojuto M. ii) M Pr demostrr est proposició discutiremos dos csos. Si 0 Tomdo x=0 teemos que m = bx = b0 = M Si <0 > 0 como b>0 plicdo Arquímedes teemos que N ; b > b < Llmdo x = etoces xb< bx N bx M Aplicdo bue ordeció de i) mí M l que deomimos levosmete r. ii) 80

17 Álgebr I Probemos que es el r de l tesis. r = mim r M r N q Z ; r = bq = bq r Flt demostrr 0 r < b. Como r N r 0 ; por lo tto lo que os flt probr es que r < b lo que hremos por bsurdo. Supogmos que r b bq b b bq = (b )q (b )q N k = (b )q M Pero k < r = bq = mim Lo cul es cotrdictorio. Por lo tto r < b. L demostrció de l uicidd qued crgo del lector. Tmbié puede demostrrse l existeci utilizdo l divisió eter etre turles, discutiedo si 0 ó si <0. Defiició Not: Se, b Z ; b > 0 Relizr l divisió eter de etre b es ecotrr q, r Z tl que: = bq r 0 r < b Puede defiirse l divisió eter pr culquier etero b o ulo ( o solmete pr los positivos ) sustituyedo l segud codició por: 0 r < b E cso de que r=0 l divisió se dice exct ó tmbié que es divisible etre b, ó que b divide ó que es múltiplo de b. (Aotmos b/ ó = b ) Idepedizdo l defiició de divisores (múltiplos) de l divisió eter teemos: b/ ( b ) q Z ; = bq El lector hbrá observdo que o solmete utilizmos l mism otció sio tmbié l mism defiició que e turles. De mer álog se demuestr que: = x / x / b x / α βb α, β Z E ( N,,, ) vimos que: / b b / = b Ocurrirá lo mismo e ( Z,,, )? b Z / b b / = b Dem. () ( ) / b b / h Z ; b = h b =. h / b k Z ; = bk = b. k b / como b Z, b N = = ( ± ).b b / b = ± b b = ( ± ). / b = b 8

18 Prof. Diel Siberio. Defiició * b Z Decimos que y b so socidos / b b / Como cosecueci del teorem terior los socidos de so úicmete el propio y su opuesto. E los turles el úico socido de es el propio. Máximo comú divisor míimo comú múltiplo Ates de comezr co el trtmieto de los tems del título ecesitmos por rzoes técics recordr lguos coceptos de estructurs lgebrics, ms precismete referidos los illos. Defiició Cosidermos: ( A,, ) u illo comuttivo y co elemeto uidd e I A ; I Decimos que I es u idel e (A,, ) ) x x ).x I I x, x I x I, A Ej: El cojuto de los eteros pres es u idel de Z. El cojuto de los impres, es u idel de Z? Not: Bridr otro ejemplo de idel e Z. Fácilmete el lector comprobrá que siedo ( A,, ) u illo comuttivo y co uidd, se cumple ) {} 0 y A so ideles e ( A,, ) culesquier que se el illo de refereci. Por ese motivo podemos deomirlos ideles triviles e A. ) Si x I x I Siedo I u idel e ( A,, ) 3) Todo idel cotiee l O. 4) Si I I = A 5) Se: { } j I u fmili de ideles e A I I j es u idel e A 6) Cosidermos {,,..., } S = u subcojuto fiito de A. Deomimos I(S) l p cojuto formdo por tods ls combicioes lieles que puede relizrse co los elemetos de S. O se: I(S) p = x A ; x = α i i= i co α i A 8

19 Álgebr I Probr que I(S) es u idel e A l que llmremos idel geerdo por S. Si u idel está geerdo por u cojuto uitrio decimos que es pricipl. Así por ejemplo el idel de los pres es pricipl pues está geerdo por {}. Si u idel est geerdo por {} otmos I() e lugr de I ({} ) co el fi de simplificr l otció. E ( Z,,, ) todo idel es pricipl. Ms precismete: I u idel e Z I = { 0} ó I=I(c) siedo c=mí I Z Dem. Si I = {} 0 Se cumple l tesis. Si I {} 0 Comecemos por demostrr que existe el míimo de I Z pr lo cul es ms que previsible que utilizremos el pricipio de bue ordeció. ) I Z N I Z Z N I Z N ) I Z Como I {} 0 I ; 0 Además I es u idel I Por otr prte l ser 0 ó es positivo. E cosecueci ó I Z De ) y ) por el P.B.O. podemos firmr que mi I Z l que deomimos c. Probemos hor que M = I(c), pr lo cul demostrremos: i) x I(c) x I ii) x I x I(c) i) x I(c) x =.c co Z. Como c= mi I Z c I que es u idel c I Z ii) x I debemos probr que x I(c) o se que etre c demostrdo que el resto es ulo. x = c. Pr ello relizmos l divisió de x x r c q x = cq r 0 r < c Si r 0 r = x cq Z Por otr prte como x I, cq I (por i) ) e I es u idel r I Por lo tto r I Z pero r < c = mi I Z Lo cul es cotrdictorio. Etoces r = 0 x = cq x I(c) 83

20 Prof. Diel Siberio. Not E ( N,,, ) defiimos D( = mx d() d( Y luego demostrmos D ( = D i) D / ii) x N ; x / x / b x / D E otrs plbrs defiimos el máximo comú divisor como el máximo de los divisores comues y luego demostrmos que dich proposició es equivlete decir que el máximo comú divisor es u divisor comú que es dividido por culquier otro divisor comú. D / b Obsérvese que l proposició tomd como defiició os oblig trbjr e u estructur orded (pr poder hblr de máximo de u cojuto). E cmbio lo segud proposició solmete hce refereci divisibilidd. E ( Z,,, ) os es posible e pricipio cosiderr culquier de ls dos proposicioes como posibles defiicioes de máximo comú divisor. Optremos por l segud pr llr el cmio cudo el tem se trtdo e poliomios; y que hí o dispodremos de u relció de orde que os permit hblr de máximo de u cojuto. Por lo dicho psmos l siguiete teorem. b Z i) D / D Z ; b 0 ii) x Z ; D / b x / x / b x / D Dem. Cosidermos I( (el idel geerdo por {, b} ) I( = { x Z; x = p sb co p, s Z} Como e Z todo idel es pricipl I ( = I(d) co d = mi I( Z Itetemos demostrr que d es el D de l tesis. Pr lo cul debemos probr: i) d / d / b ii) x Z ; x / x / b x / d i) I( = I(d) (bst tomr p= y s=0 ) = d d / Aálogmete se demuestr que d / b ii) d I(d) = I( p, s Z tl que d = p sb Por otr prte x Z ; x / x / b x / p sb x / d Defiició Cosidermos b Z ; b 0 Decimos que D es máximo comú divisor de y b si y solo si: i) D / D / b ii) x Z ; x / x / b x / D 84

21 Álgebr I El teorem imedito terior os segur l existeci de u máximo comú divisor etre dos eteros o simultáemete ulos. Pero d os dice cerc de cutos máximos cept. Si D Z es máximo comú divisor de y b D / x Z ; D / b x / () x / b x / D () Si D Z es máximo comú divisor de y b D' / x Z ; D' / b x / (3) x / b x / D' (4) De () y (4) se deduce que D / D' Y prtir de () y (3) D' / D Por lo tto si y b dmite dos máximos comú divisor D y D estos so socidos. Es muy secillo de probr que : D es M.C.D de D' socido D y b D' es M.C.D. de y b E cosecueci dos eteros o simultáemete ulos cept dos máximos comú divisor socidos etre sí. Así por ejemplo los M.C.D. de 6 y -9 so 3 y 3. Not: Si b Z ; b 0 probmos que tiee dos y solo dos M.C.D. D y D socidos etre sí. Además por el teorem visto imeditmete tes de l defiició de M.C.D. I( = I(D) D I( p, s Z ; D = p sb. Como D = D, D tmbié es C.L. de y de b. E defiitiv podemos firmr que los máximos comú divisor de dos eteros y b siempre puede escribirse como combició liel de y b. Así como dimos u defiició de M.C.D. idepediete de l relció < itetremos hcer lo propio respecto l m.c.m. Nuestro proyecto es: m es m.c.m. de y b ) m = m = b ) x Z ; x = x = b x = m Por lo dicho vmos l siguiete teorem. H) * b Z T) m Z tl que i) m = m = b ii) x Z ; x = x = b x = m 85

22 Prof. Diel Siberio. Dem. Cosidermos H = x Z ; x = x = b Es imedito verificr que H es u idel e Z. Por lo tto H es pricipl; e otrs plbrs m Z ; H = I(m) Probemos hor que m cumple ls proposicioes i) y ii) de l tesis. Defiició i) m I(m) = H m = m = b ii) x Z ; x = x = b x H = I(m) x = m Se y b dos eteros o ulos. Decimos que m ( m Z) es míimo comú múltiplo de y b si y solo si cumple: i) ii) = m = m b x Z ; x = x = b x = m Ddos dos eteros y b o ulos el teorem imedito terior os segur l existeci de l meos u míimo comú múltiplo. Nd os dice cerc de cutos hy. Probr que si y b so dos eteros o ulos cept dos y solo dos m.c.m. y que demás so socidos etre si. Defiició ) b Z decimos que y b so primos etre si es M.C.D. de y b. ) p Z p 0, p decimos que p es primo d(p) = {,, p, p } de Euclides Dem. c /.b y c primos etre si c / b Como y c so primos etre si es M.C.D. de y c p, s Z ; = p sc multiplicdo mbos miembros por b teemos que: b = pb sbc Por hipótesis c/b y por defiició c/c ; etoces c / pb scb y como pbsbc=b c / b Corolrio y b primos etre si ).b / c / c b / c p Z p primo ) p / p / b p / b Demostrció crgo del lector. 86

23 Álgebr I Ejercicios Demostrr: b - r q D es M.C.D. de b y r D es M.C.D. de y b - Que el procedimieto idetificdo e divisibilidd e ( N,,, ) como lgoritmo de Euclides tmbié es válido e ( Z,,, ) 3- D = mx d() d( D es M.C.D. de y b. Es cierto el recíproco? Ocurre lgo similr co el m.c.m.? 4- D es M.C.D de y b Dx es M.C.D. de x y bx 5- D es M.C.D. de y b x / x / b 6- D es M.C.D. de y b D x es M.C.D. de b y x x = D' b = Db' ' y b' primos etre si 7- D es M.C.D. de y b 8- m es m.c.m. de y b D es M.C.D. de D es M.C.D. de m es m.c.m. de m es m.c.m. de y b y b y b y b 9- Si D es M.C.D. de,b y m es m.c.m. de b m.d =. b 0- Todo etero compuesto puede expresrse como el producto de ) (± por fctores primos positivos. Est expresió es úic slvo el orde e que los fctores se cosidere. (sic. Álgebr moder- Birkhoff Mc. Le) 87

24 Prof. Diel Siberio. ANOTACIONES 5Iicio 88