Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

Transcripción

1 Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son: Ldos, ángulos y vérties. Los segmentos, y son los ldos. Los puntos, y son los vérties., y son los ángulos Δ internos. Un triángulo se design por el símolo Δ, y pr nomrrlo se utilizn ls tres letrs de sus vérties. 4.2 lsifiión de triángulos Los triángulos se lsifin según l mgnitud de sus ldos y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LDOS EQUILÁTERO ISÓSELES ESLENO Los tres ldos tienen igul Dos de sus ldos son igules y Los tres ldos son de mgnitud. el otro desigul. diferente longitud. 34

2 Geometrí y Trigonometrí Triángulos SEGÚN SUS ÁNGULOS OLIUÁNGULOS RETÁNGULO UTÁNGULO OTUSÁNGULO Uno de sus ángulos internos es Es el que tiene sus tres ángulos Es el que tiene un ángulo un ángulo reto (90º). internos gudos. interno otuso. 4.3 Rets y puntos notles del triángulo Los puntos notles de un triángulo son los puntos de interseión de ls rets notles, llmds: ltur, Medin, Meditriz y isetriz. RET NOTLE ltur Medin Meditriz isetriz PUNTO NOTLE Ortoentro rientro o grvientro irunentro Inentro 35

3 Unidd uno Geometrí y Trigonometrí LTUR MEDIN rientro ortoentro L ltur es un líne perpendiulr que v de un vértie l ldo opuesto. El punto donde se ruz l prolongión de ls tres lturs se llm ortoentro. L medin es l líne que une el punto medio de un ldo on el vértie opuesto. El punto donde se ruzn ls tres medins se llm rientro o grvientro. MEDITRIZ ISETRIZ irunentro inentro L meditriz es un líne perpendiulr un segmento que ps por su punto medio. El punto donde se ruzn ls tres meditries se llm irunentro y está l mism distni de los tres vérties. L isetriz es l líne que divide un ángulo por l mitd. El punto donde se ruzn ls isetries de los ángulos se llm inentro. 36

4 Geometrí y Trigonometrí Triángulos EJERIIO 4-1 INSTRUIONES.- Relion ls olumns esriiendo dentro del préntesis el número que orrespond l respuest orret. 1) Polígono de tres ldos. ( ) irunentro 2) Triángulo que tiene todos sus ldos diferentes. ( ) Equilátero 3) Es l líne que une el punto medio de un ldo on el vértie ( ) Otusángulo opuesto. 4) Punto donde se ruz l prolongión de ls tres lturs. ( ) Esleno 5) Es un líne perpendiulr un segmento que ps por su punto ( ) Inentro medio. 6) Los triángulos se lsifin según sus: ( ) Vérties 7) Triángulo que tiene dos ldos igules y uno diferente. ( ) Triángulo 8) Punto donde se ruzn ls tres medins. ( ) ltur 9) Es l líne que divide un ángulo por l mitd. ( ) Meditriz 10) Triángulo que tiene tres ldos igules. ( ) Isóseles 11) Triángulo que tiene un ángulo otuso. ( ) Ldos y ángulos 12) Punto donde se ruzn ls isetries. ( ) rientro 13) Nomre del triángulo que sus tres ángulos son gudos. ( ) Medin 14) Es un líne perpendiulr que v de un vértie l ldo opuesto. ( ) Ortoentro 15) Nomre del triángulo que tiene un ángulo reto. ( ) utángulo 16) Punto donde se ruzn ls tres meditries. ( ) isetriz ( ) Retángulo 37

5 Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4.4 Teorems importntes sore triángulos TEOREM 1: Los ángulos interiores de un triángulo sumn 180º l d e HIPÓTESIS TESIS DEMOSTRIÓN, y son los ángulos + + = 180º Se l l prlel que ps por. interiores del triángulo. d + + e = 180º Por formr un ángulo llno. = d Por ser lternos internos entre prlels. = e Por ser lternos internos entre prlels. + + = 180º Por sustituión. TEOREM 2: Un ángulo externo de un triángulo es igul l sum de los ángulos internos no dyentes él. n m p s HIPÓTESIS s ángulo externo. m y n ángulos internos no dyentes s TESIS s = m + n m + n + p = 180º p + s = 180º m + n + p = p + s Porque m + n = s m + n + p p = m + n = p DEMOSTRIÓN Por el Teorem 1 de triángulos. Por ser dyentes. Por l propiedd trnsitiv. Porque un iguldd no se lter si los dos miemros se les rest l mism ntidd. p + s p 38

6 Geometrí y Trigonometrí Triángulos TEOREM 3: L sum de los ángulos exteriores de ulquier triángulo vle utro ángulos retos (360º). y z x HIPÓTESIS TESIS, y x + y + z = 180º ángulos interiores. x, y y z ángulos exteriores. + x = 180º + y = 180º DEMOSTRIÓN + z = 180º x + y + z = + + = 180º x + y + z + 180º = 540º x + y + z = 540º 180 º Por ser ángulos dyentes y formr ángulos olineles o llnos. 540º Dos o más igulddes pueden sumrse miemro miemro. Por ser ángulos interiores de un triángulo. Sustituyendo. x + y + z = 360º 4.5 El Teorem de Pitágors En un triángulo retángulo, el ldo opuesto l ángulo reto se llm hipotenus; mientrs que los otros ldos se llmn tetos. Pitágors oserv que pr todos los triángulos retángulos, los udrdos onstruidos sore los tetos, l sumr sus áres, se otiene un vlor igul l áre del udrdo onstruido sore l hipotenus. Hipotenus De uerdo l Teorem de Pitágors se estlee que: En todo teto triángulo retángulo, el udrdo de l longitud de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de ls longitudes de los tetos. 39

7 Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 2 = + Ejemplos. FÓRMULS PR DETERMINR L LONGITUD DE LOS TETOS HIPOTENUS TETO TETO 2 = + = = = + = = Enuentr el vlor del ldo que flt en d uno de los siguientes triángulos. 1) = 16 omo el dto usdo es l hipotenus, plimos l fórmul: = + Sustituyendo los vlores, tenemos: = 34 = (34 ) + ( 16) = = 1412 =

8 Geometrí y Trigonometrí Triángulos 2) omo se desonoe el teto plimos l fórmul: = 39 = Sustituyendo los vlores, tenemos: = 15 = ( 39 ) ( 15 ) = = 1296 = 36 3) omo se desonoe el teto plimos l fórmul: = 58 =96 = Sustituyendo los vlores, tenemos: = ( 96) ( 58) = = 5852 =

9 Unidd uno Geometrí y Trigonometrí EJERIIO 4-2 INSTRUIONES.- Enuentr el vlor del ldo que flt en d uno de los siguientes triángulos retángulos. 1) 2) = 5 =3 =12 =4 3) 4) =10 =20 =6 =16 5) 6) = 8 =2.82 =5.29 =