Guía 2: Puntos, rectas y circunferencias notables en el triángulo. Teorema de Pitágoras. Ternas Pitagóricas

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1 Guía 2: Puntos, rectas y circunferencias notables en el triángulo. Teorema de Pitágoras. Ternas Pitagóricas duardo Sarabia 27 de enero de 2011 Puntos, rectas y circunferencias notables en el triángulo. ado el, definimos: 1. Mediatriz: recta perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio. La mediatriz, es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los extremos del segmento. G M es el punto medio de (M = M), y dado cualquier punto G sobre la mediatriz, se tiene que G equidista de y, es decir, G = G. M Teorema 1 Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes. 1

2 emostración: Sean l a y l b las mediatrices de los lados y. Se tiene que l a y l b se intersectan en O (de lo contrario y serían paralelas y no se tendría el ). omo O está en l a se tiene que O = O, de igual forma O se encuentra en l b por tanto O = O. omo O = O se puede concluir que O se encuentra en la mediatriz de. O : ircuncentro r : radio de la circunferencia circunscrita. (circunradio). r = O = O = O La intersección de las tres mediatrices del triángulo, el circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. 2. eviana: segmento que une un vértice del triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. r O 3. ltura: segmento perpendicular a un lado del triángulo trazado desde el vértice opuesto. n la figura, es altura del triángulo respecto al lado es altura del triángulo respecto al lado es altura del triángulo respecto al lado Teorema 2 Las alturas de un triángulo son concurrentes.

3 emostración: ado el, trazamos por cada vértice la recta que es paralela al lado opuesto y sea, el determinado por dichas rectas. omo, y son paralelogramos, se tiene que = = por tanto es punto medios de, de forma análoga se muestra que y son puntos medios de y respectivamente. sí las alturas del son las mediatrices del por tanto son concurrentes. Luego, la intersección de las tres alturas del, es el ortocentro L. L 4. Mediana: segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. n la figura, y son los puntos medios de los lados, y respectivamente.

4 Teorema 3 Las medianas de un triángulo son concurrentes. emostración: Sean y las medianas de y respectivamente, y G supunto de corte. Sean H e I los puntos medios de G y G respectivamente. Por la semejanza entre el GHI y el G se tiene que HI = HG G = 1 2 H G I es decir, HI = 2. omo =, se tiene que HI es un paralelogramo. 2 Luego, HG = G por ser H y I diagonales del paralelogramo y cortarse en el punto medio. sí, G = 2G, lo que quiere decir que una mediana corta a la otra a razón de 2 : 1. Igualmente, la mediana cortara a en un punto G tal que G = 2G. Por lo anterior podemos concluir que G = G, es decir, las tres medianas concurren. l punto de intersección de las tres medianas G, llamado baricentro o centro de gravedad, divide a cada mediana en dos segmentos tales que uno es el doble del otro. l ser, y medianas, se cumplen las siguientes relaciones: =, = y = G = 2G,G = 1 3,G = 2 3 G = 2G,G = 1 3,G = 2 3 G = 2G,G = 1 3,G = isectriz Interior: semirrecta que biseca un ángulo interior del triángulo. n la figura, es bisectriz, por tanto =. ada punto P de la bisectriz equidista de cada lado del ángulo, es decir, si Q y R son los pies de la perpendicular de P sobre y entonces PQ = PR. Q α α R P

5 Recíprocamente, un punto P dentro del de un que cumpla que PQ = PR, con Q y R pies de las perpendiculares de P sobre los lados y es necesariamente un punto sobre la bisectriz interna en. Teorema 4 Las bisectrices internas de un triángulo son concurrentes. emostración: Sea I el punto de corte de b b y b c, bisectices interiores a y respectivamente (el punto I existe ya que de lo contrario + = 180 ). Sean X,Y y Z los pies de las perpendiculares de I sobre los lados, y respectivamente. Por ser I punto de b b y b c se tiene que IX = IZ y IX = IY. n conclusión IX = IZ, por tanto I está sobre b a. r I l punto de intercección de las bisectrices interiores de un triángulo, el incentro, equidista de los lados del triangulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. I es el incentro. r el radio de la circunferencia inscrita. I = isectriz xterior: semirrecta que biseca un ángulo exterior del triángulo. es bisectriz exterior. l punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior, el excentro, es un punto exterior al triángulo que equidista de los lados y es el centro de una circunferencia exinscritas al triángulo. ada triángulo tiene 3 excentros y 3 circunferencias exinscritas. α α

6 es el excentro relativo a. r c es el radio de la circunferencia exinscrita relativa al lado c (xinradio). = 2, r c = Triángulo Órtico (Triángulo Pedal): es el triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas de un triángulo dado. a) Si es acutángulo, G es el triángulo pedal de O es el ortocentro de y el incentro de G, y son excentros de G O G I b) Si es obtusángulo, I es el triángulo pedal de es el ortocentro de el incentro de I, y son excentros de I

7 8. Triángulo Mediano: es el triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados de un triángulo. n, y son los puntos medios de los lados, y respectivamente. l triángulo mediano es el. Los segmentos I,G y H son mediatrices de y alturas del triángulo mediano ( ), por tanto el cicuncentro de coincide con el ortocentro de. H G O I 9. Recta de uler: recta que contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro del triángulo. n la figura, L es ortocentro, G es baricentro y O es circuncentro. LG = 2GO Recta de uler L G O a) La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto. b) n todo triángulo isósceles, la recta de uler es perpendicular a la base y contiene al incentro y un excentro.

8 c) n todo triángulo equilátero, el ortocentro, el baricentro, el circuncentro, el incentro coinciden. ualquier recta que pase por ese punto, representa una recta de uler. 10. ircunferencia de uler (ircunferencia de los nueve puntos): circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados de un triángulo, por los pies de las alturas y por los puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el ortocentro. H,J,I puntos medios de los lados L Ortocentro K L I,,G pies de alturas H,K,M puntos medios de L,L,L M J G Teorema de Pitágoras. Ternas Pitagóricas ado el triángulo rectángulo en b β α h a α n H c m β Se cumplen las siguientes relaciones métricas: 1. l cuadrado de la longitud de un cateto, es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y su proyección sobre dicha hipotenusa. a 2 = c m, b 2 = c n 2. l cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, es igual al producto de longitudes de los segmentos parciales que determina dicho lado. h 2 = m n

9 3. Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. c 2 = a 2 +b 2 4. l producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura respecto a ella. a b = c h 5. La suma de los inversos de los cuadrados de las longitudes de los catetos, es igual al inverso del cuadrado de la longitud de la altura. 1 a b 2 = 1 h 2 Ternas pitagóricas s el conjunto de ternas (a,b,c) con a,b,c naturales, tales que cumplen el teorema de pitágoras. jemplos: (3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),...,(4961,6480,8161),... n general, todas son de la forma (2pq,p 2 q 2,p 2 +q 2 ) con p,q primos entre si, p > q y p o q par. Por ejemplo, la terna (12,5,13) de p = 3 y q = 2. Problemas Resueltos Problema 1 emostrar que en todo, acutángulo, de ortocentro L y circuncentro O, L = O Solución: Prolongando el radio O hasta,se tiene en el H anglel = 90 H, por otro lado, = 2 H y = = 2 H. sí, en se tiene que O = 90 H, por tanto L = O. H L O Problema 2 Sea el acutángulo, de ortocentro L. Sean los puntos P,Q y los puntos de corte de las prolongaciones de las alturas respecto a los vértices, y respectivamente con la circunferencia circunscrita. emuestre que L es incentro del P Q.

10 Solución: Por ser la suma de ángulos internos de un triángulo 180, se tiene que L = L. sí, los arcos P = 2 L y = 2 L. Luego, Q = 2 = L L P QP = P 2 = L, Q por lo que podemos concluir que QL es bisectriz del QP. n forma análoga, se demuestra que PL y L bisecan a los ángulos PQ y QP respectivamente. n consecuencia L es incentro del PQ. Problema 3 ado el, y H altura. Se trazan HR y HQ. Muestre que el perímetro del triángulo pedal del es 2RQ. Solución: Sea MNH, el triángulo pedal, su perímetro es MH + MN + HN. omo, y son excentros del MNH se tiene que M y N son bisectrices de los ángulos exteriores en M y N respectivamente. Prolongando HR y HQ hasta cortar a la recta MN en y. R M H N Q n el MH, isósceles (MR es altura y bisectriz),m = MH,R = RH. n el HN, isósceles (NQ es altura y bisectriz), N = HN,HQ = Q. n el N, por el teorema de la base media, = 2RQ. sí, M +MN +N = 2RQ, por tanto MH +MN +HN = 2RQ. Problema 4 ado un triángulo con inradio r y semiperímetro s, demostrar que el área del triángulo es s r.

11 Solución: Sea el con incentro I. n el I,sealabase = aysualturar.portanto, I = a r. Por un razonamiento análogo, 2 I = b r 2 y I = c r 2. Luego = I + I + I = a r 2 +b r 2 +c r 2 = s r. Problema 5 Sea el con circunradio R y ortocentro H. emuestre que H 2 = 4R 2 a 2 c G I b a Solución:omo 1 espuntomedio,utilizandoel teorema de pitágoras se tiene que O 2 1+ a2 4 = R2. Simplificando la expresión y despejando tenemos 4O 2 1 = 4R 2 a 2 perocomoh = 2O 1 (porser la distancia del ortocentro a un vértice el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a ). Por tanto, H 2 = 4R 2 a 2. a Problema propuesto H O 1 R Problemas Propuestos Problema 6 n un la mediana m a = satisface m a > a. Muestre que 2 es agudo. Problema 7 Sea el isósceles con =. Una recta por corta al circuncírculo del triángulo y a la recta en los puntos y respectivamente. Muestre que los circuncírculos de los triángulos y son tangentes a los lados y respectivamente Problema 8 ada la figura, demuestre que b a = 4 x 1 x+1 a x b

12 Problema 9 uatro pelotas identicas se colocan en el piso formando un cuadrado con las cuatro. Una quinta pelota se coloca sobre las otras cuatro de tal forma que toca a todas ellas. Si el diámetro de una pelota es 25, a qué distancia del suelo, se encuentra el centro de la quinta pelota? Problema 10 emuestre que la distancia desde un vértice en un triángulo al punto de tangencia del incírculo con uno de los lados adyacentes es la diferencia entre el semiperímetro del triángulo y el lado opuesto. Problema 11 Sea el con H,G y O ortocentro, baricentro y circuncentro. Sea N el circuncentro del triángulo medial. emuestre que si cualesquiera dos de los siguientes puntos H,G,O o N son iguales, el triángulo es equilátero. Problema 12 emostrar que en todo triángulo, la distancia del Ortocentro a un vértice, es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto. Problema 13 emostrar que en todo triángulo, el ortocentro, baricentro y circuncentro, son colineales Referencias [1] Rincón G, Un recorrido por la Geometría. Universidad ntonio Nariñoolimpiadas olombianas de Matemáticas. [2] ulajich R., Gómez J.., Geometría. uadernos de Olímpiadas. [3] Gallegos. Geometría. Teoría y Práctica. [4] allester., Geometría. NM.