DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE

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1 DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE ESPECIALISTA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS U de A INTRODUCCIÓN En el desrrollo de l geometrí se ostumr determinr l uiión de los puntos notles del triángulo por métodos sintétios nlítios o dinámios. Los métodos sintétios orresponden proedimientos onstrutivos los ules onllevn onsigo l inextitud propi de los instrumentos y l impreisión propi de l perii del diujnte siendo netmente intuitivos. Los métodos nlítios por su prte rrojn dtos extos pero requieren de l uiión en el plno rtesino de los vérties del triángulo y l posterior determinión de prámetros omo puntos medios pendientes euiones de rets y puntos de interseión lves pr estleer l uiión de los puntos notles todo hiendo uso de l geometrí nlíti requiriendo de grn desempeño mtemátio y álulos diversos. En los métodos nlítios difíilmente se prte de onoer ls longitudes del triángulo. Los métodos dinámios son los más versátiles porque onjugn los dos nteriores y permiten un exelente visulizión prtir de l mnipulión de softwre redo pr tl fin en ellos se puede prtir de onoer l longitud de los ldos y determinr on extitud l uiión de los puntos notles pero requiere de eso un ordendor y perii en el mnejo del softwre. Con el presente doumento se pretende divulgr otr mner de determinr l uiión de los puntos notles del triángulo prtir del onoimiento de l longitud de los ldos. Este método permite medinte fórmuls lgeris 1 her álulos extos pr estleer l uiión de d punto notle sin requerir del uso del ordendor ni del uso de onstruiones geométris. CONSIDERACIONES INICIALES En todo triángulo ABC on ldos opuesto l vértie A opuesto l vértie B y opuesto l vértie C se puede determinr l uiión de los puntos notles BARICENTRO INCENTRO CIRCUNCENTRO y ORTOCENTRO en términos de los ldos del triángulo undo éstos son onoidos. Pr determinr l uiión del punto notle se estlee omo punto de refereni el vértie B del triángulo y se determinn l distni orrespondiente l medid del segmento que v desde el punto notle hst el ldo o su prolongión y es 1 L determinión de ls fórmuls divulgds en este doumento hen prte de esrito más extenso el ul está en preprión por prte del utor.

2 perpendiulr éste y l distni orrespondiente l medid del segmento sore l líne que ontiene que v desde el vértie B hst el pie de l perpendiulr on lo ul ls oordends del punto notle será Los vlores de se onsidern positivos hi l dereh de B y se onsidern negtivos hi l izquierd de B. Los vlores de se onsidern positivos hi rri de BC y se onsidern negtivos hi jo de BC. DETERMINACIÓN DEL BARICENTRO O GRAVICENTRO DE UN TRIÁNGULO. Definiiones ásis: Medin de un triángulo: es el segmento de ret que une el punto medio de un ldo de un triángulo on el vértie opuesto. En un triángulo se pueden trzr tres medins un por d vértie del triángulo ls ules se ortn en un punto denomindo BARICENTRO o GRAVICENTRO. El rientro o grvientro es el entroide o entro de grvedd del triángulo. L uiión del rientro en términos de los ldos del triángulo orresponde : 3 G d e G 6 4 6

3 Pr el triángulo de ldos DETERMINACIÓN DEL CIRCUNCENTRO DE UN TRIÁNGULO. Definiiones ásis: Meditriz de un segmento: es l ret que ps por el punto medio de un segmento y es perpendiulr éste. En un triángulo se pueden trzr tres meditries un por d ldo del triángulo ls ules se ortn en un punto denomindo CIRCUNCENTRO. El irunentro es el entro de un irunfereni irunsrit que ps por los vérties del triángulo. L uiión del irunentro en términos de los ldos del triángulo orresponde : 4 C e d C

4 Pr el triángulo de ldos DETERMINACIÓN DEL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO. Definiiones ásis: Altur de un triángulo: es el segmento de ret que v desde un vértie de un triángulo hst el ldo opuesto o su prolongión y es perpendiulr éste. En un triángulo se pueden trzr tres lturs un por d vértie del triángulo uyos segmentos o sus prolongiones se ortn en un punto denomindo ORTOCENTRO. L uiión del ortoentro en términos de los ldos del triángulo orresponde : 4 O e d O

5 Pr el triángulo de ldos DETERMINACIÓN DEL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO. Definiiones ásis: Bisetriz de un ángulo: es l ret que divide un ángulo en otros dos ángulos ongruentes entre sí. En un triángulo se pueden trzr tres isetries un por d ángulo del triángulo ls ules se ortn en un punto denomindo INCENTRO. El inentro es el entro de un irunfereni insrit que es tngente los ldos del triángulo. L uiión del inentro en términos de los ldos del triángulo orresponde : I d e I 4

6 Pr el triángulo de ldos PUNTOS NOTABLES Y RECTA DE EULER Al uir onjuntmente los puntos notles de ulquier triángulo se oserv que el ortoentro el rientro y el irunentro están linedos. L líne que ontiene éstos puntos notles reie el nomre de RECTA DE EULER. Puede tmién oservrse que l distni entre el ortoentro y el rientro es igul l dole de l distni entre el rientro y el irunentro. Pr el triángulo de ldos

7 L fórmul pr determinr l distni entre el ortoentro y el irunentro en términos de los ldos del triángulo es: [ ] Así pr los vlores ddos de y que L fórmul pr determinr l distni entre el rientro y el irunentro en términos de los ldos del triángulo es: [ ] Así pr los vlores ddos de y que EJERCICIO Determine l uiión de los puntos notles irunentro rientro ortoentro e inentro y lule l distni entre el ortoentro y el irunentro pr el triángulo de ldos Culquier omentrio sore el doumento en divulgión envirlo l orreo eletrónio

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