Geometría. 5. Seas ABCD un cuadrilátero convexo, donde. 6. El triángulo ABC es rectángulo en A. Sea M el

Transcripción

1 Cuadrilátero inscrito e inscriptible 1. En un cuadrilátero inscriptible CD, =C=a y CD=b. Si D=a+b, calcule la m CD. ) 5º ) 60º C) 90º D) 10º E) 105º. Dado un triángulo equilátero C de centroide G, se ubica un punto P en la región interior diferente de G. Por P se trazan segmentos paralelos a los lados del triángulo, cuyos extremos están contenidos en los lados del triángulo C. os puntos medios de dichos segmentos son vértices de un triángulo ) equilátero. ) isósceles. C) rectángulo. D) escaleno. E) obtusángulo. 3. a circunferencia ex-inscrita a un triángulo C, relativa al lado, determina el punto de tangencia en la prolongación de C. Se traza F perpendicular a O, siendo O el centro de la circunferencia, tal que la m F=m C=θ. Calcule el valor de θ. ) 45º ) 5º C) 60º D) º E) 53º 4. En un rectángulo CD, E pertenece a C. Si el cuadrilátero ED es circunscriptible y los radios de las circunferencias inscritas al cuadrilátero ED y al triángulo CDE miden 3 y 1, respectivamente, halle E. ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 8 5. Seas CD un cuadrilátero convexo, donde =C=CD, además, C no es igual a D y E es el punto de intersección de las diagonales. Calcule E / DE si m D+m DC=10º. ) 0,5 ) 1 C) 1,5 D) E) 6. El triángulo C es rectángulo en. Sea el punto medio de C. Se elige D en C de manera que D=. Sea P el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas a C y a DC. Si la m CP=0º, calcule la medida del ángulo C. ) 0º ) 60º C) 35º D) 40º E) 50º. os puntos E y F se ubican en el lado C del cuadrilátero convexo CD (con E entre F y ). Si se cumple que m E=m CDF, la m EF=m FDE y la m CD=80º, calcule la m D. ) 80º ) 90º C) 100º D) 40º E) 50º 8. En un triángulo rectángulo C, recto en, se traza la altura H. En, H y H se ubican tres de los vértices del rombo NP, respectivamente. nálogamente, en H, C y CH se ubican tres de los vértices del rombo TRS. Indique que punto notable del triángulo C es la intersección de las rectas NP y TR. ) baricentro ) incentro C) ortocentro D) excentro E) circuncentro 1

2 Puntos notables I ) 5 ) 5 C) Si G es el baricentro de la región C, además, D) 4 5 E) 6 CG=4, m GC=90º y =, calcule 14. El triángulo C es escaleno. Se ubica sobre m CG C el punto P, tal que las regiones P y PC ) 8º ) 16º C) 3º tienen perímetro igual a 4. Calcule EP si D) 45º E) 30º m C=53º. (E: excentro relativo a C). 10. Del gráfico, G es el baricentro del triángulo y R=1. Calcule C si CD es cuadrado. ) ) 3 C) 3 D) 4 E) Si en un triángulo C, =C=5 y CE=6, calcule m C. (I: incentro del C, E: ex - - centro relativo a C). ) 30º ) 3º C) 36º D) 3º E) 53º 1. En un triángulo C de ex-centro E, relativo a C, E intercepta a C en P. Calcule m I 1 EI si I 1 e I son los incentros de los triángulos PE y PCE, y m C=80º. ) 5º ) 30º C) 35º D) 40º E) 45º. Se tiene un triángulo C, recto en. a m C=53º, =6 y la circunferencia ex - G R - inscrita relativa a C es tangente a dicho lado en el punto T (E: centro de dicha circunferencia). Calcule EG si G es el baricentro de la región T. C D ) 8 ) 1 C) 16 D) 0 E) Halle el valor de verdad de las proposiciones. I. Si dos triángulos tienen el mismo incentro y son isoperimétricos, entonces, son congruentes. II. Si en un triángulo el incentro y el baricentro coinciden, entonces, el triángulo será isósceles. III. Si dos triángulos inscritos en una circunferencia tienen un mismo baricentro, entonces, son congruentes. ) VVV ) VFV C) VVF D) FVF E) VFF 16. Del gráfico, O: centro del cuadrado CD y E=E. Halle x. C E 50º O x D ) 40º ) 45º C) 50º D) 60º E) 0º

3 Puntos notables II 1. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El baricentro siempre se ubica en la región interior de un triángulo. II. El circuncentro de un triángulo puede coincidir con su ortocentro. III. En un triángulo rectángulo su ortocentro se ubica en el punto medio del lado mayor. ) VVV ) VFV C) VVF D) FVF E) FFF 18. En una circunferencia se traza el diámetro PQ y la cuerda CD PQ. Se ubica el punto en el menor arco PC, de modo que D PQ={}. Calcule el ex-radio relativo a C del triángulo C si Q= y la m PQ = ( mc ). ) 1 ) 3 C) D) 6 E) 19. Dado un triángulo, cuántos puntos existen en el plano que equidisten de las rectas que contienen a sus lados? ) 1 ) C) 3 D) 4 E) infinitos 0. Si en un triángulo C se trazan las cevianas interiores P y CQ, las cuales se intersecan en R, tal que el cuadrilátero QPR es inscriptible, además, la m RP=m RC, qué punto notable es R para el triángulo C? ) incentro ) ortocentro C) baricentro D) circuncentro E) excentro 1. En un triángulo, el mayor lado mide 10 y la menor mediana mide 5. Calcule la distancia del ortocentro al circuncentro. Geometría ) 10/3 ) 3 C),5 D) 5 E). Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. El ortocentro y el circuncentro de un triángulo isósceles pueden estar en la región exterior al triángulo. II. En ningún triángulo el radio de una circunferencia ex - inscrita puede ser igual al semiperímetro de dicha región triangular. III. En un triángulo rectángulo, el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro son colineales. ) VVV ) FFF C) VFF D) FVF E) VFV 3. Del gráfico mostrado, H y O son ortocentro y circucentro, respectivamente. Si H=6, calcule N+N. ) 4 ) 3 C) 5 θ D) 6 E) 3,5 3 H N O 4. Sea recta de Euler. Calcule R. ) a 14 ) a C) a D) a E) a θ θ R a θ 90º+θ C

4 Proporcionalidad de segmentos 5. Del gráfico, D y son puntos de tangencia. Calcule la m. ) 45º ) 16º C) 30º D) 3º E) 53º D 30º 6. Del gráfico, y son puntos de tangencia, además, =(). Calcule x. Geometría ) 3 ) 5/3 C) 5/ D) 3/ E) 5 9. En un triángulo rectángulo C, recto en, se traza la altura H y luego las perpendiculares H y HN ( y N en y C) y en el triángulo CHN se traza la altura NP. Si E es la intersección de P y HN, calcule E / EP. ) 1/ ) 1 C) D) 3 E) 30. Se tiene un triángulo C cuya m C = 1 º y m C=45º. Halle la medida del ángulo determinado por la recta de Euler de dicho triángulo y el lado C. x ) 30º ) 3º C) 45º D) 53º E) 60º ) 8º ) 15º C) 53º/ D) 3º/ E) 16º. Se tiene un romboide CD. Sobre C y CD se ubica y, tal que C, y D son concurrentes, =1 y C=CD=. Calcule C. ) 36/ ) 41/8 C) 4/19 D) 49/4 E) 49/8 8. Según el gráfico, P EQ = 3 E y Q=C. Calcule EN. E α N 31. En un rombo CD, =5 y C=. Se ubica sobre C el punto, tal que m D=3(m ). Calcule. ) 5/6 ) 10/49 C) 5/1 D) 5/49 E) 1/49 3. Se tiene un triángulo C, donde =C. Se ubica sobre y C los puntos y N, y se forma el cuadrado NPQ de centro O (PQ C). Si la prolongación de O interseca a C en, =3 y C=1, calcule C. ) ) 4 C) 8 α P Q C 4 1 D) E) 14

5 Semejanza de triángulos 33. os lados de un triángulo C miden =8, C=10 y C=1. Calcule la longitud de la paralela al lado C trazada por el incentro de C. ), ) 3,6 C) 5,4 D) 6 E) Sobre el lado de un triángulo C, se ubica el punto P, a partir del cual se traza PH perpendicular a C. Calcule PH si P=10, C=48 y el circunradio mide 5. ), ) 9,6 C) 5,6 D) 4,8 E) En un romboide CD, se tiene que P, Q y R son puntos medios de los lados C, CD y D, respectivamente. Q y R intersecan a P en los puntos G y H. Halle GH si P=10 cm. ) ) 6 C) En un trapecio rectángulo CD, se tiene que m =60º, m C=m D=90º y C=CD. En C se ubica el punto F y se traza F perpendicular a D y FN perpendicular a. Calcule FN si F= 3 ) 3 ) 6 C) 6 3. En un triángulo C, los ángulos en y satisfacen 3m C+m C=180º. Si =8 y C=4, calcule C. ) ) 6 C) En un triángulo C, se traza la ceviana interior, en C se ubica el punto N. Si N== y C=(NC), calcule la m N. ) 100º ) 80º C) 10º D) 90º E) 5º 39. Dado un triángulo isósceles C (=C), la circunferencia C inscrita es tangente al lado en P. Por P se traza P ortogonal a C ( en C ). Si la altura CH mide 10, entonces, cuál es el valor de P? ) ) 6 C) En un triángulo C, la circunferencia inscrita es tangente a, C y C en, N y Q, respectivamente, la altura trazada desde es h. Calcule la distancia de Q a N si la m C es 60º. ) h/ ) h/3 C) 3h/5 D) h/3 E) h/4 GEOETRÍ 01 - D C - D 1 - C 1 - D 5 - D E C - C C D 03 - C 0 - C E 19 - D E 31 - C 35 - E 39 - C 04 - C E D 3 - C 36 - E 40-5