Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Transcripción

1 Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x) = g(x) donde a n (x), a n 1 (x),, a 0 (x) y g(x) son funciones que sólo dependen de la variable independiente x Si en la ecuación anterior la función g(x) = 0 decimos que la ecuación es homogénea En caso contario se dice que la ecuación es completa Ejemplo 1 La ecuación dy + (3x 2 y x 2 )dx = 0 es lineal de primer orden, ya que puede expresarse de la forma y + 3x 2 y = x 2 Las ecuaciones diferenciales lineales poseen una propiedad básica que facilita enormemente la construcción de técnicas para su resolución, como nos muestra el siguiente teorema Teorema 1 Solución General de la ecuación lineal completa Si y P (x) es una solución particular de la ecuación lineal completa a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 0 (x)y = g(x) e y H (x) es la solución general de ecuación homogénea asociada entonces es la solución general de la ecuación completa a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 0 (x)y = 0 y(x) = y H (x) + y P (x) El teorema anterior nos dice que podemos dividir el proceso de resolución de una ecuación lineal completa en dos tareas: determinar la solución general de la ecuación homogénea asociada y encontrar una solución particular de la ecuación completa 1 Ecuaciones lineales de primer orden Son de la forma a(x)y + b(x)y = g(x) Solución general de la homogénea: Las ecuaciones lineales homogéneas de primer orden a(x)y + b(x)y = 0 son siempre ecuaciones de variables separables, cuya resolución ya ha sido estudiada en el tema anterior 1

2 Para hallar una solución particular de la completa se puede seguir el método de variación de la constante que consiste en buscar la solución particular de la completa de la misma forma que la solución general de la homogénea, pero reemplazando la constante por una función En concreto: Método de variación de la constante: (1 o ) Supongamos que y H = y H (x; c) es la solución general de la ecuación homogénea asociada a(x)y + b(x)y = 0 Entonces, reemplazamos la constante c por una función c(x) y buscamos una solución particular de la ecuación completa de esa forma: Si y H = y H (x; c) = Buscamos y P = y H (x; c(x)) (2 o ) Determinamos c (x) sustituyendo y P = y H (x; c(x)) y su derivada en la ecuación completa (3 o ) Integramos para obtener c(x) y la sustituimos en y P Ejemplo 2 Resolver la ecuacion diferencial 1 x dy dx 2y x = x cos(x) 2 Solución general de la homogénea: 1 x dy dx 2y x = x dy dx = 2y x ; dy 2 2y = 1 x dx; 1 2 ln(y) = ln(x) + ln(k); ln(y1/2 ) = ln(kx) y 1/2 = kx; y H (x) = k 2 x 2 = [llamamos c = k 2 ] = cx 2 Buscamos una solución de la forma y = c(x)x 2 así que imponemos que verifique la ecuación completa: 1 x (c (x)x 2 + 2xc(x)) 2c(x)x2 x 2 = x cos(x) c (x)x + 2c(x) 2c(x) = x cos(x); c (x) = cos(x); c(x) = sen(x) Por lo tanto: y P (x) = x 2 sen(x) y(x) = y H (x) + y P (x) = cx 2 + x 2 sen(x) Ejemplo 3 Hallar la solución particular de la ecuación diferencial dy dx + 3y + 2 = 3x que pasa x por el punto (1, 1) Solución general de la homogénea: dy dx + 3y x = 0; dy dx = 3y dy 3 x ; y = dx; ln y = 3 ln x + ln k; x ln y = ln(x 3 ) + ln k; y H (x) = cx 3 Buscamos una solución de la forma y = c(x)x 3 así que imponemos que verifique la ecuación completa: c (x)x 3 3c(x)x x c(x)x = 3x; c (x) x 3 3c(x) x 4 + 3c(x) x = 3x;

3 c (x) = 3x 2; c (x) = 3x 4 2x 3 ; c(x) = 3x5 x 3 5 x4 ( ) 2 3x 5 Por lo tanto y P (x) = 5 x4 1 2 x = 3x2 3 5 x 2 y(x) = y H (x) + y P (x) = c x 3 + 3x2 5 x 2 Solución particular de la completa que pasa por el punto (1, 1): Como y(1) = 1 = 1 = c = c = 9 10 Por lo tanto, la solución buscada es: y(x) = 9 10x 3 + 3x2 5 x 2 2 Ecuaciones lineales de segundo orden Son de la forma a(x)y + b(x)y + c(x)y = g(x) En virtud del Teorema 1, la solución general de la ecuacion anterior se obtiene como suma de la solución general de la homogénea y una solución particular de la completa Para hallar la solución general de la ecuación homogénea necesitamos el concepto de Sistema Fundamental de Soluciones Se llama Sistema Fundamental de Soluciones (SF) de la ecuación homogénea a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 a cualquier par de soluciones de la misma, y 1 (x) e y 2 (x), que no son múltiplos la una de la otra Ejemplo 4 Comprobar que las funciones {e x ; x 2 + 2x + 2} son un sistema fundamental de la ecuación diferencial xy (x + 2)y + 2y = 0 Es evidente que no son múltiplos una de la otra Veamos ahora que ambas satisfacen la ecuación diferencial: Denotemos f(x) = e x Entonces f (x) = f (x) = e x Sustituyendo en la ecuación: xe x (x + 2)e x + 2e x = xe x xe x 2e x + 2e x = 0 Denotemos g(x) = x 2 + 2x + 2 Entonces g (x) = 2x + 2 y g (x) = 2 Sustituyendo en la ecuación: 2x (x + 2)(2x + 2) + 2(x 2 + 2x + 2) = 2x 2x 2 2x 4x 4 + 2x 2 + 4x + 4 = 0 El siguiente resultado nos muestra cómo encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden homogénea a partir de un sistema fundamental de soluciones

4 Teorema 2 Si {y 1 (x), y 2 (x)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 entonces la solución general de dicha ecuación es donde C 1, C 2 son constantes arbitrarias y H (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) Ejemplo 5 Comprobar que y H (x) = C 1 e x +C 2 (x 2 +2x+2) es la solución general de la ecuación diferencial xy (x + 2)y + 2y = 0 (ver Ejemplo 4) Por tanto, resolver una ecuación homogénea de segundo orden se reduce a encontrar un sistema fundamental de soluciones de la misma En general, puede ser difícil encontrar un sistema fundamental de soluciones de una ecuación arbitraria, pero en el caso particular de las ecuaciones de coeficientes constantes esta tarea resulta sencilla 21 Ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes Una ecuación lineal de segundo orden de coeficientes constantes es una ecuación de la forma ay + by + cy = g(x) con a, b, c R Solución general de la homogénea: Se llama ecuación característica de la ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes ay + by + cy = 0 a la ecuación az 2 + bz + c = 0 que se obtiene reemplazando y por z 0 = 1, y por z 1 = z e y por z 2 Ejemplo 6 Dada la ecuación diferencial y + 5y + 6y = 0, su ecuación característica es z 2 + 5z + 6 = 0 Teorema 3 Sean m 1 y m 2 las dos raíces en C de la ecuación característica az 2 + bz + c = 0 de la EDO homogénea ay + by + cy = 0 Entonces: Caso 1: m 1, m 2 R: a) Si m 1 m 2 = {e m 1x, e m 2x } es un SF de la EDO homogénea b) Si m 1 = m 2 = m = {e mx, xe mx } es un SF de la EDO homogénea Caso 2: m 1, m 2 C \ R: Entonces, {e αx cos(βx), e αx sen(βx)} es un SF de la EDO homogénea, siendo m 1 = α+βi y m 2 = α βi Ejemplo 7 Las soluciones de la ecuación característica z 2 +5z+6 = 0 de la ecuación diferencial y + 5y + 6y = 0 del Ejemplo 6 son m 1 = 2 y m 2 = 3, ambas reales y distintas, por lo que {e 2x ; e 3x } es un SF de la ecuación

5 Como consecuencia de los Teoremas 2 y 3, obtenemos el siguiente corolario que nos proporciona la forma de encontrar la solución general de la ecuación homogénea de segundo orden de coeficientes constantes Corolario 1 Sean m 1 y m 2 las dos raíces en C de la ecuación característica az 2 + bz + c = 0 de la EDO ay + by + cy = 0 Entonces, la solución general, y H (x), de dicha ecuación es: (a) Si m 1 m 2 R = y H (x) = C 1 e m 1x + C 2 e m 2x (b) Si m 1 = m 2 = m R = y H (x) = C 1 e mx + C 2 xe mx (c) Si m 1, m 2 C \ R con m 1 = α + iβ y m 2 = α iβ = y H (x) = C 1 e αx cos(βx) + C 2 e αx sen(βx) siendo en todos los casos C 1 y C 2 constantes arbitrarias Ejemplo 8 En virtud del corolario anterior, la solución general de la ecuación diferencial que aparece en los Ejemplos 6 y 7 es y(x) = C 1 e 2x + C 2 e 3x Ejemplo 9 Hallar la solución general de la ecuación y 2y + y = 0 Su ecuación característica es z 2 2z + 1 = 0, cuya solución es m = 1 (solución doble) Por lo tanto, {e x ; xe x } es un SF de la ecuación y su solución general es y(x) = C 1 e x + C 2 xe x Ejemplo 10 Hallar la solución general de la ecuación y + 4y + 6y = 0 Su ecuación característica es z 2 + 4z + 6 = 0, cuyas soluciones son m 1 = 2 + 2i y m 2 = 2 2i Por lo tanto, {e 2x cos( 2x); e 2x sen( 2x)} es un SF de la ecuación y su solución general es y(x) = C 1 e 2x cos( 2x) + C2 2x sen( 2x) Para encontrar una solución particular de la ecuación lineal completa ay + by + cy = g(x) utilizaremos el Método de los coeficientes indeterminados que consiste en buscar dicha solución de la misma forma que tenga la función g(x), pero con unos coeficientes que habremos de determinar Método de los coeficientes indeterminados Denotemos por y P a la solución particular de la ecuación ay +by +cy = g(x) que queremos determinar Entonces: Si g(x) = P n (x) (polinomio de grado n), entonces buscamos y P = A n x n + A n1 x n A 0 Si g(x) = e mx, entonces buscamos y P = Ae mx Si g(x) = sen (rx) o bien g(x) = cos (rx), entonces buscamos y P = A cos (rx)+b sen (rx) En el caso en que g(x) sea la suma de dos funciones de los tipos anteriores, buscaremos y P como la suma de las correspondientes soluciones particulares mostradas anteriormente En el caso en que g(x) sea el producto de dos funciones de los tipos anteriores, procederemos a buscar y P del siguiente modo: Si g(x) = e mx sen (rx) o bien g(x) = e mx cos (rx), entonces buscamos y P = e mx (A cos (rx)+ B sen (rx))

6 Si g(x) = P n (x)e mx, entonces buscamos y P = (A n x n + A n1 x n A 0 )e mx Si g(x) = p(x) sen (rx) o bien g(x) = p(x) cos (rx), entonces buscamos y P = (A n x n + + A 0 ) cos (rx) + (B n x n + + B 0 ) sen (rx) NOTA: El método anterior funciona salvo cuando la solucion particular y P buscada sea a su vez solución de la ecuación homogénea asociada En tal caso, ésta debe buscarse multiplicada por x k donde k es el menor natural que hace que x k y P ya no sea solución de la ecuación homogénea asociada Ejemplo 11 Hallar la solución general de la ecuación y 2y 3y = 3x 2 5 Solución general de la homogénea: y 2y 3y = 0 La ecuación característica es z 2 2z 3 = 0, cuyas soluciones son m 1 = 1, m 2 = 3, por lo que {e 3x, e x } es un SF y la solución buscada es y H (x) = C 1 e 3x + C 2 e x Como g(x) es un polinomio de segundo grado, buscamos y P = A 0 + A 1 x + A 2 x 2, donde A 0, A 1 y A 2 son constantes a determinar y P = A 1 + 2A 2 x; y P = 2A 2 Imponemos ahora que y P, y P e y P diferencial: verifiquen la ecuación 2A 2 2A 1 4A 2 x 3A 0 3A 1 x 3A 2 x 2 = 3x 2 5 Agrupando términos en el primer miembro: 3A 2 x 2 + ( 4A 2 3A 1 )x + (2A 2 2A 1 3A 0 ) = 3x 2 5 Y ahora, igualando los coeficientes de los términos del mismo grado: 3A 2 = 3 4A 2 3A 1 = 0 2A 2 2A 1 3A 0 = 5 de donde A 0 = 1/9, A 1 = 4/3, A 2 = 1 e y P (x) = x x2 y(x) = C 1 e 3x + C 2 e x x x2 Ejemplo 12 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y 3y = x 2 e x Solución general de la homogénea: y 3y = 0 La ecuación característica es z 2 3 = 0, cuyas soluciones son m 1 = 3 y m 2 = 3 por lo que {e 3x, e 3x } es un SF y la solución buscada es y H (x) = C 1 e 3x + C 2 e 3x Como g(x) es suma de un polinomio de segundo grado y una exponencial, buscamos y P = a + bx + cx 2 + de x, donde a, b, c y d son constantes a determinar y = b + 2cx + de x ; y = 2c + de x Sustituyendo en la ecuación diferencial: Igualando ahora coeficientes: 2c + de x 3a 3bx 3cx 2 3de x = x 2 e x

7 3c = 1 3b = 0 2c 3a = 0 2d = 1 de donde a = 2/9, b = 0, c = 1/3, d = 1/2 e y P (x) = x ex y(x) = C 1 e 3x + C 2 e 3x x ex Ejemplo 13 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y 4y + 4y = x sen(x) Solución general de la homogénea: y 4y + 4y = 0 La ecuación característica es z 2 4z + 4 = 0, cuya solución es m = 2 (doble) por lo que {e 2x, xe 2x } es un SF y la solución buscada es y H (x) = C 1 e 2x + C 2 xe 2x Como g(x) es producto de un polinomio de primer grado y una trigonométrica, buscamos y P = (a + bx) cos(x) + (c + dx) sen(x), donde a, b, c y d son constantes a determinar y (x) = (b + c + dx) cos(x) (d a bx) sen(x) y (x) = (2d a bx) cos(x) + ( 2b c dx) sen(x) Sustituyendo en la ecuación diferencial y agrupando términos: (4a 2b+3c 4d) sen(x)+(3d+4b)x sen(x)+(3a 4b 4c+2d) cos(x)+(3b 4d)x cos(x) = x sen(x) Igualando ahora coeficientes: 4a 2b + 3c 4d = 0 3d + 4b = 1 3a 4b 4c + 2d = 0 3b 4d = 0 de donde( a = 22/125, b = 4/25, c = 4/125, d = 3/25 e 22 y P (x) = ) ( 4 25 x cos(x) ) 25 x sen(x) ( 22 y(x) = C 1 e 2x + C 2 xe 2x ) 25 x cos(x) + ( ) 25 x sen(x) Ejemplo 14 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y 4y = e 2x Solución general de la homogénea: y 4y = 0 La ecuación característica es z 2 4 = 0, cuyas soluciones son m 1 = 2 y m 2 = 2 por lo que {e 2x, e 2x } es un SF y la solución buscada es y H (x) = C 1 e 2x + C 2 xe 2x No podemos buscar la solución particular de la forma y P = Ae 2x ya que entonces también sería solución de la ecuación homogénea (para C 1 = A, C 2 = 0), por lo que buscamos y P = Axe 2x (de esta forma ya no es solución de la homogénea) y (x) = Ae 2x + 2Axe 2x ; y (x) = 2Ae 2x + 2Ae 2x + 4Axe 2x = 4Ae 2x + 4Axe 2x Sustituímos ahora en la ecuación diferencial: 4Ae 2x + 4Axe 2x 4Ax 2x = e 2x Igualando coeficientes, 4A = 1 de donde A = 1/4 La solución particular es y P (x) = 1 4 xe2x y(x) = C 1 e 2x + C 2 xe 2x xe2x