Sumando miembro a miembro estas dos igualdades, obtenemos: (5.3) Lo que demuestra que la (5.3) es también solución de la ecuación de Bessel.

Transcripción

1 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior arte V Fucioes de essel Ig. Ramó Abascal rofesor Titular de Aálisis de Señales y Sistemas y Teoría de los Circuitos II e la UTN, Facultad Regioal Avellaeda ueos Aires, Argetia 6

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3 . 5.) ) ) ) ) ) Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. Fucioes de essel. 5. Ecuació diferecial de essel: Segú se vio e la Tercera arte que ua ecuació diferecial de segudo orde, co coeficietes variables respode a la fórmula geeral La ecuació a ) y" a). α ). y' β ). y.) y" y' ν Ecuació de y essel 5.) que se cooce como Ecuació Diferecial de essel, y e la que ν es u úmero real o egativo, costituye u caso particular etre las ecuacioes difereciales de segudo orde. Comparado etre si las ecuacioes.) y 5.), surge a primera vista las siguietes relacioes: y a α ), β ) ν Solució de la Ecuació de essel: Cualquier fució y ) que satisfaga la ecuació 5.) será ua solució particular de la Ecuació de essel. Además, si y ) e y ) so ambas solucioes de aquella, etoces tambié lo so A y y y ), dode A y so dos costates arbitrarias: A y" ) A y' ) A y" ) y' ) ν ν Sumado miembro a miembro estas dos igualdades, obteemos: Si llamamos: etoces: e A y" y" ) A y' y' ) y A y y y' A y' y' y" A y" y" y ) y ) ν A y y Lo que demuestra que la 5.) es tambié solució de la ecuació de essel. ) 5.) Vamos a tratar ahora de hallar ua solució particular de la ecuació, es decir, vamos a defiir cómo debe ser la fució y ) para que sea solució de dicha ecuació. R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

4 Ver γ γ ) co c ) Σ Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel A tal fi, comezaremos por sustituir e la misma la solució geeral.), es decir: y ) Σ ck k a ) kγ or razoes de orde práctico, hemos cambiado el ombre del ídice m por k. Hecho lo cual, reemplazamos el valor de y ) e la ecuació de essel, co lo que obteemos la ecuació: Σ k γ) k γ ) ck kγ Σ k γ) ck kγ Σ ck kγ ν ck k k k k Esta ecuació debe cumplirse para todo, lo que a su vez eige que sea ulos todos los coeficietes que multiplica a cada ua de las potecias de. Esta coclusió os coduce a ecotrar ciertas ecuacioes a partir de las cuales podremos determiar el valor de tales coeficietes. Empecemos por el caso e que k. El coeficiete de está dado precisamete por la suma de γ los coeficietes que multiplica a e cada ua de las sumatorias, es decir: γ kγ 5.) γ γ ) co γ co ν Ecuació Idicial Esta igualdad se cooce como Ecuació Idicial, porque podemos a partir de ella calcular los coeficietes ck apartado.). ara resolver la Ecuació Idicial es ecesario que se cumpla que co, pues de lo cotrario como puede verse por simple ispecció de la ecuació, si co, os ecotraríamos e u callejó si salida. Simplificado, hallamos que: ν Las solucioes de esta ecuació algebraica de segudo grado so: ν y γ ν De modo similar, si k, la suma de los coeficietes de γ ) γ c γ ) c ν γ Reemplazado e ella la primera de las dos solucioes posibles: teemos: γ γ ν ν ν ν c ν ) c γ Como establecimos que ν es u úmero o egativo, etoces c, que tambié debe ser ula, es: γ ν c deberá ser ecesariamete ulo.

5 T T or c c ck ] ) ck ck Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.5 arte 5 Fucioes de essel. Nota: Icluso si hubiéramos aceptado la seguda solució: γ γ habríamos obteido: ν ν ν ν c ν ) c por lo que c debería ser tambié igual a cero, salvo e el caso putual e que ν fuera igual a ),5T T. Es decir que para la geeralidad de los casos se cumple la codició Fialmete, para k,,,..., obteemos la forma geeral: k γ ) k γ ) ck k γ ) ck ck ν k γ ) k γ ) ck k γ ) ck ν ck Al simplificarla, resulta [ k γ ) ν ck ck Despejado ck obteemos la siguiete fórmula de recurrecia que permite obteer todos los coeficietes, pares e impares, a partir del coocimieto de los dos primeros: ck ck k γ ) ν De aquí, como c es igual a cero se deduce que todos los coeficietes de ídice impar so ulos: c c5 c7... cs ara determiar los coeficietes de ídice par, sabiedo que γ ν, empezaremos por reemplazar este valor e la fórmula de recurrecia: ck ck k ν ) ν ck k k ν ν ν ck k k ν ) Como k es u úmero par, podemos hacer: k m, co m,,,,... co lo cual, las fórmulas ateriores se modifica como sigue: cm c m ) c m ) m m ν ) m m ν ) ) ahora dejamos de lado el caso particular e el que ν,5, que veremos oportuamete. R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

6 Jν Σ m! m! Γ! Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.6 arte 5 Fucioes de essel Esta fórmula os permitirá calcular todos los coeficietes de ídice m, a partir del coocimieto de co, pero como éste o está defiido, se acostumbra adoptar para el mismo el siguiete valor, que coduce a aplicacioes iteresates de las fucioes de essel: co ν ν! ν Γ ν ) A partir de aquí, apelado a la fórmula de recurrecia, podemos obteer los demás coeficietes: ara c E cuyo caso, m ), c Si recordamos que co ν ) Γ ). Γ ) la epresió del coeficiete c ν ) se puede reformular como sigue: ν Γ ν ) c ν ν ) Γ ν ) ν ν ) De modo similar, para c c m ) será: c 8 ν ) 8. ν ν ) Γ ν ) ν Γ ν ) or reiteració, esta última fórmula coduce a la ecuació siguiete, que permite calcular e forma directa cualquier coeficiete de ídice par: cm mν ) m Γ ν m ) 5.5) 5. Fucioes de essel: Aplicado para los coeficietes de la ecuació.6) el valor dado por la ecuació aterior, y recordado que hemos elegido γ ν, se obtiee ua solució particular de la Ecuació de essel, que se cooce como Fució de essel de primera clase y que se desiga como Jν ): ) ν m mν ) m m Γ ν m ) Fució de essel de ª Clase 5.6) El epoete m e el umerador tiee e cueta que los coeficietes de ídice impar so ulos.

7 y J JḆ Σ Σ Σ m! m! m! m! Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.7 arte 5 Fucioes de essel. Si e lugar de γ ν hubiéramos tomado la seguda solució de la ecuació idicial, es decir γ ν, habríamos llegado a la solució: J ν ) ν m mν ) m m Γ m ν ) Si ν o es u etero, cualquier combiació lieal de estas dos últimas ecuacioes es ua Solució Geeral de la ecuació diferecial de essel. or ejemplo: y ) A Jν ) J ν ) dode A y so úmeros complejos arbitrarios. E efecto, esta ecuació o es otra que la 5.), e la que Jν ) e y J ν ) or el cotrario, si ν es u etero, ν, se demuestra que J ) y JḆ ) so liealmete depedietes etre sí, y la solució aterior o es válida. E efecto, las ecuacioes so ahora: m m ) ) 5.7) m m m )! y JḆ ) m m ) m m m )! 5.8) E la seguda de ellas, los ídices comieza a partir de m, porque, como el factorial de u úmero etero egativo es ifiito, todos los térmios para los que m es meor que so ulos, al estar divididos por ua catidad ifiita. Ahora demostraremos la depedecia lieal etre ambas solucioes. Empezaremos llamado: or lo tato, y m s m s, m s s Reemplazado e la 5.8) resulta: ) Σ m ) m m m Σ m )! s ) s s s s )! s! Es decir R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

8 JḆ z z. Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.8 arte 5 Fucioes de essel ) ) Σ s ) s s s s! s )! Si cambiamos el ombre del ídice s por m, esta ecuació es igual a ) J ). Queda por cosiguiete probado que J ) y JḆ ) so liealmete depedietes etre sí. Como coclusió, cuado ν es u úmero etero, para ecotrar ua solució geeral de la ecuació diferecial se hace ecesario recurrir a otro tipo de fucioes essel: Las llamadas fucioes de essel de seguda clase que estudiaremos e el parágrafo 5.9. A cotiuació represetamos las fucioes Jo ) y J ):,,8,6,,,,,6 Jo ) J) 5. Epresio itegral de las fucioes de essel: Hasta ahora hemos epresado las fucioes de essel a través de desarrollos e series de potecias de. Si embargo, como veremos e este apartado, dichas fucioes fuero itroducidas históricamete como itegrales que ivolucra relacioes etre fucioes trigoometricas de, de la forma siguiete: Sea ua fució fz) aalítica e ua coroa co cetro e el oríge de coordeadas, a la que desarrollaremos e serie alrededor del puto z, ). Empezaremos por recordar el desarrollo e serie de Lauret de ua fució f z ), e zo,): f z ) Σ a Σ b

9 a b a γ γ y está z dθ z z Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.9 arte 5 Fucioes de essel. Los coeficietes a b dados por las fórmulas: f z ) π i C z dz f z ) π i C z dz ara uestro caso vamos a llamar: γ y b γ Así, la serie de Lauret que defie la fució f z ), puede escribirse: f z ) Σ γ Σ γḇ Σ γ Dode γ π i C z f z ) dz Demostraremos seguidamete que si la fució f z ) es siedo f ζ ) e ζ e iθ ζ ζ ) es u complejo de módulo uitario, etoces γ es igual a la fució de essel de primera clase y orde. Ates de cotiuar, trataremos de averigüar qué forma adopta γ e este caso. Derivado ζ respecto de θ, d ζ i e iθ dθ y reemplazado e la itegral, obteemos: π i C e e e i θ e i θ ) π i θ i e dθ i θ i θ. e π e i se θ e i θ dθ y fialmete: π se θ θ ) e i π Fució de essel de 5.9) primera clase y orde R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

10 π π π π γ γ f π π: Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel E la Secció 5. trataremos de relacioar esta forma co la defiida e el parágrafo 5.. De hecho, demostraremos que J ) or otro lado, como i se θ θ ) e cos se θ θ ) i se se θ θ ) la fució de essel se puede escribir tambié de la maera siguiete: π cos se θ θ ) d θ i se se θ θ ) d θ 5.) π π E la última itegral el itegrado es el seo de ua diferecia. or tato, dicha itegral puede desdoblarse así: Llamemos: Etoces: π se se θ θ ) d θ π se se θ ) cos θ d θ cos se θ ) se θ d θ θ ) se se θ ) y f θ ) cos se θ ) π π se se θ θ ) dθ f θ ) cos θ dθ f θ ) se θ dθ 5.) Tratádose de u seo, f θ ) es ua fució impar, lo mismo que f coseo, es ua fució par. θ ), por tratarse de u f Si comparamos la fórmula de los coeficietes a Fourier, π a t ) cos t d t co la primer itegral del segudo miembro de la 5.), vemos que, si a desarrollo de Fourier de f θ ), la misma es igual a a f π θ ) cos θ d θ a e el desarrollo de ua fució e serie de es el coeficiete del

11 π γ γ. π Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. ero siedo f θ ) impar, los coeficietes a, y por tato, la itegral, deberá ser todos ulos. De modo similar, como f θ ) es ua fució par, la seguda itegral e la 5.) es tambié ula: π cos se θ ) se θ d θ f θ ) se θ d θ b E resume, la 5.) queda reducida a la igualdad: π cos se θ θ ) dθ π Epresió Itegral de la Fució de essel de ª Clase Siedo el itegrado ua fució coseo, de período π, puede poerse, alterativamete: π π cos se θ θ ) dθ cos se θ θ ) dθ 5.) π π 5. Demostració de la equivalecia etre las formas poliómica e itegral: A cotiuació, a partir de los desarrollos e serie de las fucioes elemetales, probaremos que las formas 5.6) ó 5.7) de las fucioes de essel y la epresió 5.9) so equivaletes. La forma epoecial el úmero complejo ζ, de módulo uitario, es: ζ. e de lo cual se deduce las relacioes siguietes: iθ ζ cos θ i se θ, ζ cos θ i se θ, ζ cos θ i se θ y ζ cos θ i se θ 5.) Restado etre sí las dos primeras se advierte que: de dode: ζ ζ i se θ i se θ e e ζ ζ e Si elevamos ambos miembros a la potecia, obteemos: i se θ e e ζ ζ ) ζ ζ e. e Al desarrollar las dos epoeciales e serie, ecotramos ua ueva igualdad: R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

12 J Jo Jo J J Σ! 6 ζ! 6 m!!!! 6 ζ! 6!!! Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel i se e θ ζ...!! 8 ζ! ζ 8ζ... Haremos seguidamete el producto de cada uo de los térmios de ua serie por todos los de la otra. Agrupado los correspodietes a potecias de ζ de igual orde, resulta: i se θ e ζ!)!) 6... ζ!! 5 5! ζ!!! ζ!! 5 5! ζ!!! ) Recordemos la fórmula 5.7) de la fució essel de ª clase: ) m m ) m m m )! para valores sucesivos de, esta fució vale, respectivamete: ara : ara : ) ) ) ) )!!!!!! 6!! )!)!) 6... ) ) ) ) )!!!! 5!! 7!! )!! 5 5!

13 J JḆ JḆ JḆ e e e JḆ!.! )!! JḆ! J! JḆ ) J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. De modo similar: )!! )!! 5 5! )!! odemos ver que cada uo de los parétesis e la 5.) se correspode eactamete co ua de las fucioes J ). Reemplazado e la mecioada igualdad, se obtiee: i se θ e Jo ) ζ J ) ζ ) ζ )... ζ ) ζ ) ζ Vimos por otra parte que si es u etero, etoces: ) ) ) ) J ), Sustituyedo esta igualdad e la 5.5), y agrupado térmios, hallamos: i se θ Jo ) ζ ζ Recurriremos ahora a las ecuacioes 5.), J ) ζ ζ J ) ζ ζ ) J ) ) ζ cos θ i se θ y ζ cos θ i se θ 5.) Sumádolas o restádolas etre sí, deducimos respectivamete: ζ ζ cos θ y ζ ζ i se θ Etoces, reemplazado e la 5.6), hallamos: i se θ Jo ) [ J ) cos θ J ) cos θ... ] ero tambié, como i [ J ) se θ J ) se θ J5 ) se 5θ... ] 5.7) i se θ cos se θ ) i se se θ ) 5.8) igualado las partes reales e imagiarias, se obtiee: R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

14 T T Recuérdese T etre J J J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel cos se θ ) Jo ) [ J ) cos θ J ) cos θ... ] 5.9) y se se θ ) [ J ) se θ J ) se θ J5 ) se 5θ... ] 5.) Al multiplicar ambos miembros de la primera de estas igualdades por cos θ e itegrar luego etre y π, ecotramos: π π π cos θ cos se θ ) dθ Jo m ) cos θ dθ Σ Jm ) cos mθ cos θ dθ E el segudo miembro podemos observar que, co la úica ecepció del térmio para el cual es igual a m, todos los demás so ulos, porque está multiplicados por itegrales de fucioes ) coseot los límites y π. or lo tato, la ecuació se reduce así: π π cos θ cos se θ ) dθ J ) cos θ dθ dode es etero y par m). Ahora sólo queda resolver la última itegral: π π π π cos θ dθ cos θ dθ dθ cos θ dθ π or cosiguiete ) π cos θ. cos se θ ) dθ 5.) π De idética forma, multiplicado la 5.) por se θ, e itegrado, se obtiee, para impar: ) π se θ. se se θ ) dθ 5.) π Es posible agrupar estas dos ecuacioes, 5.) y 5.) e ua sola. E efecto, como la primera de ellas es igual a cero para impar y la seguda lo es igualmete cuado es par, podemos decir que, para cualquier valor de etero y positivo, se satisface la igualdad: ) π [ cos θ. cos se θ ) se θ. se se θ ) ] dθ π O tambié, como el itegrado es igual al coseo de la diferecia etre θ y se θ: ) que cos a cos b / [ cos a b ) cos a b )]

15 J γ Σ m! m! m! Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.5 arte 5 Fucioes de essel. ) π cos θ se θ ) dθ π ero esta última itegral es la misma que la que aparece e la fórmula 5.), co lo que queda demostrado que J ) 5.5 Fució de essel para ν,5: U caso particular, iteresate por las aplicacioes que se deduce del mismo, es aquel para el cual ν es igual a,5. Trataremos e este apartado de hallar la fució de essel correspodiete. ara ello, reemplazado e la 5.6) obteemos: J,5 ),5 m m,5 ) m m Γ m,5 ) Que se puede escribir tambié:,5 J,5 ) Σ m m ) m m Γ m,5 ) E el deomiador aparece la fució Γ m,5 ), que aalizaremos a partir de la igualdad: E este caso: Γ ) ) Γ ) 5.) J,5 ),5 Σ m m ) m m m,5) Γ m,5 ) 5.) Volviedo a aplicar la misma relació, Γ ) ). Γ ), esta vez a Γ m,5 ), y e forma reiterada, Γ m,5 ) m,5 ). Γ m,5 ) m,5 ) m,5 ) m,5 )... Γ,5 ) m,5 ) m,5 ) m,5 )... Γ,5 ) Recordemos que el valor de la fució Gamma de,5 Ver arte I) es: Γ,5 ) π Etoces, para m teemos: R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

16 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.6 arte 5 Fucioes de essel ara m : ara m Γ,5 ) π Γ. Γ,5 ) π 5 Γ Γ,5 ) 5 π Notar que por razoes de mayor claridad estamos utilizado idistitamete las formas fraccioaria o decimal, segú os covega e cada oportuidad. Reemplazado e la 5.), y efectuado operacioes, se obtiee: J,5 ),5 8 π.. π π... Si sacamos factor comú π, queda: J,5 ),5 π 6... A cotiuació sacaremos uevamete factor comú, esta vez, /, J,5 ),5 π J,5 ),5 π! 5! 5... El último factor es igual al desarrollo e serie de se. Reemplazado, se obtiee fialmete la fució de essel para ν,5: J,5 ) π,5 se De modo similar se demuestra que el valor de la fució de essel para ν,5 es: J,5 ) π,5 cos

17 J J J J J m! m! m! m! Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.7 arte 5 Fucioes de essel. 5.6 ropiedades de las fucioes de essel: Estudiaremos e este apartado y los siguietes alguas propiedades de las fucioes de essel. E primer lugar, demostraremos la igualdad: d d ) ) 5.5) La demostració más secilla cosiste e trabajar co ambos miembros e forma separada, hasta llegar a ua misma epresió, lo que os permitirá, por carácter trasitivo, cofirmar la validez de la ecuació. Empezaremos por el miembro de la izquierda. ara ello, tomemos la 5.7), y multipliquémosla por, co lo cual obteemos: ) Σ m ) m que ahora debemos derivar respecto de : m m m )! d ) Σ d m ) m m m m m )! 5.6) asaremos ahora a aalizar la fució de essel J derecha e la 5.5), y cuya forma es la siguiete: ), que aparece e el miembro de la J ) Σ m m ) m m m )! Mulitiplicaremos ambos miembros por : ) Σ m m ) m m m )! A cotiuació vamos a recurrir al artificio de reemplazar: y por tato, Etoces: m k m k J ). Σ k k ) k k k )! k )! 5.7) R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

18 J J J J J J Σ J m! m! m! Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.8 arte 5 Fucioes de essel Al llegar aquí itroduciremos e la sumatoria el térmio correspodiete a k, aprovechado que el mismo es ulo, co lo cual o altera el valor de la sumatoria. Efectivamete, como el producto factorial de u úmero etero egativo, e este caso )!, es ifiito, etoces: k k ) ) k k )! k )! k )! )! Ello os permite completar la sumatoria e la 5.7), agregádole el térmio mecioado si que la misma se altere e absoluto. Es decir: ) Σ k k ) k k k )! k )! Si itroducimos la variable detro de la sumatoria, y multiplicamos umerador y deomiador por k, obteemos: k k k k ) Σ )... k. Σ ). k. k k k k k )! k )! k k )! k )! Apelado tambié a la igualdad: ) k ) k. ) k ), llegamos por fi a la ecuació: k k ) Σ ). k. k k k )! k )! cuyo segudo miembro es idético al de la 5.6), salvo porque e la sumatoria hemos reemplazado el ombre del ídice m por k. Queda por lo tato demostrada la propiedad 5.5). Más secillo resulta demostrar la propiedad siguiete: d d ) E efecto, e este caso, a partir de 5.7) teemos: ) m ) 5.8) ) m Derivado respecto de : d ) Σ ) d m m m Σ m )! m m m m ) m) m )! ) m m m) m )!

19 J J J J J Σ J J J J J m! m! m! J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.9 arte 5 Fucioes de essel. Dividimos ahora umerador y deomiador por y por m ), y operado, se obtiee e forma sucesiva: m m) d ) Σ ) m d m m )! d ) d m ) m) m m) m )! d ). Σ d m Co lo cual queda demostrada la 5.8). m) ) m m m )! ) 5.7 ropiedades de las raíces. E este apartado veremos alguas propiedades relacioadas co las raíces de las fucioes de essel. Alteracia de las raíces de J ) y J ). De las ecuacioes 5.5) y 5.8): d d ) ) y d d ) ) surge que etre cada dos ceros de J ) cae u cero de J ) y a la iversa. Lo mismo vale para las fucioes J ) y J ). Y por etesió a todas las fucioes de la familia. Notemos e primer lugar que la fució ) tiee los mismos ceros que J ceros ubicados e el orige de coordeadas. ), más otros ) ) α β R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

20 J λ J J J J J J J J J J J está Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel or su parte, la fució ceros ubicados e el ifiito. ) tedrá tambié los mismos ceros que J ), más otros Es decir que si α y β so dos ceros cosecutivos, o ulos i impropios, de J so de ) y de ). ), tambié lo Además, etre α y β debe eistir u valor λ para el cual ) presete u máimo o u míimo. Dicho valor λ es e cosecuecia u cero de la fució d d ) ) y por lo tato, por u razoamieto similar, tambié lo es de J ). Es decir: J λ ) λ ) Veamos esto e forma gráfica: J ) ) α λ β Razoado e forma iversa que ates, podemos decir que si λ es u cero o ulo de ) λ ) λ ) es ecesariamete tambié u cero de J ). Esto es lógico, puesto que los ceros de todos e el orige. De modo similar, etre α y β debe eistir u valor, δ, para el cual o u míimo. Dicho valor es e cosecuecia u cero de la fució ) presete u máimo d d J ) ) or lo tato, si δ es u cero o ifiito de ), es decir δ J δ ) δ ) etoces δ es ecesariamete u cero de J ).

21 J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. Las fucioes de essel tiee ifiitos ceros. Es posible demostrar que las fucioes de essel tiee ifiitos ceros. O, lo que es igual, que la ecuació: ) para todo, tiee ifiitas raíces. La represetació de las fucioes J ) y J ), al fial del parágrafo 5., o deja dudas al respecto. Al aplicar a las mismas la propiedad, deducimos que tambié J ) tedría ifiitas raíces, y por iducció, lo mismo debería ocurrir co todas las fucioes de essel de primera clase y coeficiete, etero. Volveremos más adelate sobre este puto. Ecuacioes difereciales de segudo orde co coeficietes variables diferetes: Sea las dos ecuacioes difereciales siguietes: u" ) g ). u ) 5.9) y v" ) h ). v ) 5.) co la codició: h ) g ) Esta codició es ecesaria, puesto que si h y g fuera iguales, estaríamos e presecia de ua misma ecuació. Despejado e las 5.9) y 5.) hallamos: u" ) u. g y v" ) v. h Si multiplicamos ambos miembros por v e la primera ecuació y por u e la seguda, es decir: u" v u v. g y v" u u v. h y restamos miembro a miembro, resulta: v u" u v" h g ). u v 5.) Si α y β so dos raíces cosecutivas de la ecuació u ), lo que equivale a decir que: u α ) y u β ), como el segudo miembro de la 5.) es igual a cero, debe cumplirse ecesariamete que R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

22 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel o tambié: De aquí: y v α ). u" α ) u α ). v" α ) v β ). u" β ) u β ). v" β ) v α ). u" α ) u α ). v" α ) 5.) v β ). u" β ) u β ). v" β ) 5.) Supogamos por u mometo que elegimos ua fució v ) que satisface la ecuació diferecial 5.), pero tal que i α i β sea raíces suyas. E tal caso, es evidete que para que se cumpla las relacioes 5.) y,.), la derivada seguda de la fució u ) debe ser ula e α y e β, respectivamete. La eplicació aterior os fuerza a aceptar que u ) y sus derivadas primera y seguda debe comportarse aproimadamete como muestra la figura siguiete: u') u ) u" ) α β Ahora procederemos a itegrar la ecuació 5.) etre α y β: β v u" u v" ) d h g ). u v. d α α Y calcularemos la primera itegral por partes. ara lo cual, teiedo e cueta que β y lo mismo: u" d du' d v" d dv' d du' la procederemos a modificar previamete así:

23 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. β v du' u dv' ) α β h g ). u v. d α β β β v du' u dv' h g ). u v. d α α α β β β β β v u' v' u' d u v' u' v' d h g ). u v. d α α α α α Simplificado las dos primeras itegrales, iguales etre sí, resulta β β v u' u v' ) h g ). u v. d 5.) α α es decir: β v β ) u' β ) u β ) v' β ) v α ) u' α ) u α ) v' α ) h g ) u v d α ero como u α ) y u β ), simplificado uevamete queda: β v β ) u' β ) v α ) u' α ) h g ) u v d 5.5) α Supogamos ahora que la fució v ), que como dijimos o es ula i e α i e β, se matiee positiva egativa) e todo el itervalo etre α y β. Hagamos aquí tambié u aálisis gráfico mostrado la situació e el itervalo α β: u ) u' ) v ) α β La figura muestra e primer lugar que u' α ) tiee distito sigo que u' β ). R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

24 u" u" ) u ) Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel Tambié observamos e la ecuació 5.5) que si v ) se matiee positiva o egativa) e todo el itervalo α β, el primer térmio de la ecuació o puede ser igual a cero e ígú puto del mismo, por lo que la itegral o puede ser ula e el itervalo, lo que implica que, ecesariamete, debe ser h ) g ) Esto es obvio, porque si fuera iguales, la itegral sería ula. Raíces de Jo ): Volvamos a la ecuació de essel 5.): y" y' y y hagamos e ella el cambio de variable: u y 5.6) y u / La derivada primera de esta fució es y' u' y la derivada seguda: / u / y" u" / / u' / u' u 5/ Al reemplazar e la ecuació diferecial de essel obteemos: u" u' u u' u u Ecuació que, ua vez simplificada, queda así: u' u u' u u Simplificado de uevo y agrupado los coeficietes de las potecias de igual grado de la variable u, resulta u Dividiedo por y reagrupado térmios, esta ecuació se puede modificar como sigue:

25 J Jo Jo Σ 6 m! 6 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.5 arte 5 Fucioes de essel. u" u 5.7) E el caso e que, la ecuació aterior se simplifica más aú, quedado: u" u 5.8) Sitetizado: Esta ecuació es la misma que la 5.9), co g 5.9) Su solució es: u y Además, como se trata de la ecuació de essel, co, tambié debe ser or tato: y Jo. u y Jo ) 5.) Verificaremos a cotiuació esta afirmació. Si e la ecuació 5.7), ) m hacemos, etoces: m ) Σ ) m m Es decir: )!) Reemplazado e la 5.), os queda: m m! ) ) m m m m )!!) 6... u Jo ) Derivaremos ahora para obteer u': / 5/ 9/ 6 /... u' / 5 / 9 7/ /... R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

26 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.6 arte 5 Fucioes de essel Y derivado uevamete, Tambié: u" u / 5 / 6 5/ / / 5/ / 9/ asta reemplazar estos valores e la 5.8), para verificar que efectivamete la 5.) es ua solució de la misma. E efecto, de tal reemplazo resulta: u" u u / 5 / 6 5/ /... / 5/ 9/ 6 /... / / 5/ /... Y al agrupar e esta ecuació los coeficietes de las potecias de de igual grado, hallamos: u" u u / / /... Como todos los coeficietes resulta ulos, comprobamos que, efectivamete, la 5.) es solució de la 5.8). Volvamos ahora a la ecuació 5.) y hagamos e ella h ). Este valor satisface la codició h ) g ). E efecto, para cualquier, se verifica que: g > h Al reemplazar e 5.) el valor adoptado para h, la misma queda así: v " v Ua solució de esta ecuació es:

27 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.7 arte 5 Fucioes de essel. E efecto: v se a ) v' cos a ) co a cte. y v" se a ) Cosideremos ahora dos raíces cosecutivas de v ): a y a π se a ) a aπ aπ Las raíces cosecutivas de las fucioes de essel, a partir de la seguda, está separadas etre sí por u valor muy próimo a π. Efectivamete, e el caso de J, las primeras raíces cae e: or su parte, las de J,, 5,5, 8,6557,,795,,998, etc. está ubicadas e,,8, 7,5,,7,,, etc. Estos valores cofirma, por ua parte, la alteracia etre las raíces de ua y otra fució, y por la otra, que la separació etre raíces cosecutivas es muy próima a π. E efecto, e el primer caso, la separació es respectivamete: O, tratádose de J,,,,57,,58,,8,...,85,,55,,5,... De todo lo visto, podemos etraer las siguietes coclusioes: A partir de la ecuació: v u" u v" h g ). u v 5.) Si α es ua raíz de u ), es decir, u α ), etoces v α ) ó u" α ) or idético razoamieto, si β es ua raíz de u ), v β ) ó u" β ) or otra parte, a partir de la igualdad: R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

28 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.8 arte 5 Fucioes de essel v β ) u' β ) v α ) u' α ) h g ). u ). v ) d 5.5) α podemos dedudcir que si h g, etoces O, lo que es igual: v β ) u' β ) v α ) u' α ) v β ) u' β ) v α ) u' α ) De aquí podemos deducir tambié que, si v α ), etoces v β ) Supogamos ahora que elegimos el puto a coicidete co α. Como dos raíces cualesquiera de la fució Jo ), que so a su vez raíces de u ), difiere etre sí u valor muy aproimado, pero o eactamete igual, a π, os ecotraremos co ua situació aproimada a la que represeta la figura siguiete: β u ) a α β a π u' ) v ) La figura muestra que etre cada dos raíces de v ) cae ua raíz de Jo ). Nótese que la fució v ) coserva su sigo etre α y β, lo que satisface el postulado que acompaña a la ecuació 5.5): Si v ) se matiee positiva o egativa) e todo el itervalo α β, el primer térmio de la ecuació o puede ser igual a cero e ígú puto del mismo, por lo que la itegral o puede ser ula e el itervalo, lo que implica que, ecesariamete, debe ser h ) g )

29 σ d J a ) ) J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.9 arte 5 Fucioes de essel. 5.8 Ortogoalidad de las Fucioes de essel. E esta secció probaremos que las fucioes de essel forma u cojuto ortogoal e el itervalo etre y. ara ello e la ecuació diferecial de essel, 5.), reemplazaremos la variable por σ a, dode a es ua costate arbitraria. La ecuació de essel queda etoces así:. J" σ ) σ. J' σ ) σ. J σ ) 5.) Derivado J σ ) respecto de obteemos: d J σ ) d J σ ) d σ a d J σ ) d dσ d d σ d J σ ) d J σ ) J ' σ ) d σ a d a Derivado uevamete, la derivada seguda es: d σ σ ) J" σ ) J' σ ) y J" σ ) so la derivadas respecto de. Reemplazado e 5.), la misma queda así:. J" σ ). J' σ ) a J σ ) o tambié, dividiedo por : J" σ ) J' σ ) a Tambié aquí esayaremos la solució: σ ) 5.) u J J u / Derivado respecto de : J' u' / Y derivado ua vez más: u / J" u" / / u' / u' u 5/ R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

30 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel u" / u' / u 5/ or fi, al remplazar e la 5.), la ecuació diferecial queda ahora formulada así: u" / u' / u / 5/ u' u 5/ A cotiuació, simplificaremos los dos térmios e u', multiplicaremos el resto por agruparemos los coeficietes de u; co lo cual la ecuació se reduce a la forma siguiete: a u / u 5/ /, y u" a u Reagrupado de uevo, la ecuació puede ahora sitetizarse como vemos aquí abajo: u" a u 5.) Si e lugar del reemplazo σ a hubiéramos hecho σ b, siguiedo idéticos pasos habríamos llegado a ua ecuació totalmete similar, ecepto por el ombre de la variable: v" b v 5.) Las dos últimas ecuacioes se puede simbolizar así: u" G ). u y v" H ). v dode y G ) a H ) b Si os deteemos u istate para aalizar lo hecho hasta aquí, podemos ver que estas ecuacioes so idéticas a las 5.9) y 5.), a partir de las cuales obtuvimos e su mometo la 5.). Siguiedo ahora los mismos pasos que e aquella ocasió, pero itegrado esta vez etre los límites y, llegamos a la igualdad siguiete: v u' u v' ) H G ). u v. d

31 J J J J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. Si restamos G ) de H ), es decir: H G b a y reemplazamos e la itegral aterior, os queda: v u' u v' ) b a ) u v. d 5.5) y como u. J a ) y v. J b ) obteemos fialmete: v u' u v' ) b a ). J Las derivadas de u y v so, respectivamete: a ). J b ). d u' / a ) a / J' a ) y v' or tato: v u' u v' / b ) b a ) J / J' b ) b ) a J' a ) J b ) b ) J a ) b J' b ) J a ) v u' u v' a J' a ) J Reemplazamos ahora e 5.5), y obteemos b ) b J' b ) J a ) b a ) J a ) J b ) a J' a ) J b ) b J' b ) J a ) Al establecer el itervalo de itegració etre y, la ecuació aterior se trasforma e la siguiete: b a ) J a ) J b ) d a J' a ) J b ) b J' b ) J a ) 5.6) R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

32 a a e J J J' J J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel A cotiuació aalizaremos ua por ua las diferetes alterativas que puede darse respecto de esta ecuació. rimer caso: a y b so ceros de J cero: b a ) J a ). J ) Etoces, el segudo miembro de la 5.6) es igual a b ) d Estamos e presecia de dos factores cuyo producto es cero. Eiste dos posibilidades: Si ambas raíces so distitas, a b, o la itegral es ula, o bie a b. Obviamete etoces, para que la itegral J a ) d 5.7) sea distita de cero, la úica posibilidad es que: b Esta es por tato la codició de ortogoalidad. Segudo caso: Ua seguda alterativa cosiste e que a y b sea ambas raíces de la ecuació J' ), observado la 5.6) vemos que se reproduce ua situació idética a la del primer caso. Es decir, que la codició ecesaria para que la itegral 5.7) sea o ula es la misma que ates: b Tercer caso: a y b so ambas raíces de la ecuació J ) 5.8) De acuerdo co la 5.5), sabemos que d d J ) ) Al efectuar esta derivada llegamos a la igualdad: ) ) ) Simplificado los dos miembros de la misma, obteemos ) J' ) J )

33 a J J ates J J J' J J J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. J ) J' ) ero a y b so raíces de la 5.8), es decir: J a ) ) etoces: o bie: J b ), J' a ) a a J' a ) J a ) a ) De modo similar obtedríamos: b J' b ) J b ) Multiplicado estas dos últimas igualdades etre sí, e forma cruzada, obteemos: b J' b ) J a ) a J' a ) J b ) 5.9) De aquí, simplificado e ambos miembros y pasado todo al primero, resulta: b J' b ) J a ) a J' a ) J b ) El primer miembro de esta última igualdad coicide eactamete co el último miembro de la 5.6). or tato, uevamete deberá ser ula la itegral que aparece e ella, salvo que fuera b La coclusió obvia es que esta tercera alterativa es equivalete a los dos ateriores. Cuarta posibilidad: a y b so dos raíces, diferetes, de J ) 5.5) Segú la 5.8), sabemos que d d ) ) Efectuado esta derivada llegamos a la epresió: ) ) ) Simplificamos aquí de pasar todo al primer miembro: ) J' ) J ) J ) J' ) J ) 5.5) Como a y b so raíces de la 5.5), es decir: R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

34 a Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel J a ) J b ), Al reemplazar cada ua de estas igualdades e la ecuació 5.5), ésta queda, respectivamete igual a: J a ) a J' a ) ó, b J' b ) J b ) Multiplicado miembro a miembro verificamos que: b J' b ) J a ) a J' a ) J b ) ero ya habíamos obteido esta igualdad, e la ecuació 5.), por lo que tambié la cuarta posibilidad coduce a u resultado idético a los tres primeros supuestos. Quita posibilidad: Cosideremos ahora la ecuació: J' ) C J ) e la que C es ua costate arbitraria, e tato que a y b so dos raíces distitas de la ecuació, es decir: a J' a ) C J a ) y b J' b ) C J b ) O bie: a J' a ) C J a ) y b J' b ) C J b ) Si como e los casos ateriores, multiplicamos miembro a miembro e forma cruzada, tedremos: a J' a ). C J b ) b J' b ). C J a ) Simplificado C, y pasado todo al primer miembro, obteemos uevamete ua ecuació que ya os está resultado familiar: b J' b ). J a ) a J' a ). J b ) La coclusió es, ua vez más, que este caso es tambié similar a los ateriores. E resume, si se cumple que a y b so raíces de cualesquiera de las cico ecuacioes supuestas, la codició ecesaria para que la itegral J a ) J b ) d sea distita de cero es e todos los casos la misma: b

35 fj J J Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.5 arte 5 Fucioes de essel. Coclusió: Codicioes de ortogoalidad de las fucioes de essel, e el itervalo {;} Recordemos que dos fucioes, fj fj ) y fk b, si j k ) fk ) d a, si j k ), de u cojuto so ortogoales etre sí cuado E ocasioes, la ortogoalidad requiere la eistecia de ua fució "complemeto" o "peso", g ), de la siguiete forma: b, si j k g ) fj ) fk ) d a, si j k Tal es el caso de las fucioes de essel, dode: El complemeto es g ), como puede verse e los cico casos epuestos. Las fucioes fj y fk ) J ) y fk ) J a ) J b ) J ) so, respectivamete: αj αk ) artiedo de esto, si llamamos C al cojuto de las fucioes essel de primera clase: C [ J αi ) ] ) costituye u Cojuto Ortogoal de fucioes e el itervalo {, }, cuyo peso es g ). Es decir que si: etoces: αj ) C y J αk ) C, si αj J αj ) J αk ) d, si αj αk αk 5.9 Desarrollo de fucioes e serie de Fucioes de essel: E el apartado aterior hemos demostrado que las fucioes de essel ), co,,,,... costituye u cojuto ortogoal de fucioes e el itervalo, y que lo mismo ocurre e el caso de las familias de fucioes siguietes R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

36 J J. φ J φ J J. Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.6 arte 5 Fucioes de essel αi ), J αi ), J αi ), J' αi ), J' αi ) C J αi ), or cosiguiete es posible e pricipio desarrollar ua fució f ) como ua suma costituida por los ifiitos térmios de ua cualquiera de las familias mecioadas, dode el parámetro i varía de cero a ifiito. or ejemplo: f ) Σ ci i αi ) co αo ) c α ) c α )... E los tetos especializados se ecuetra tablas de los valores de J αi ). Esta sumatoria costituye de hecho ua serie geeralizada de Fourier, f ) Σ c e la cual: φj ) J y φk ) J φ ) c αj ) αk ) ) c )... c φ ) ) Si multiplicamos ambos miembros de la serie 5.5) por φk ) y a cotiuació itegramos e u período que e forma geérica vamos a desigar como a, b, resultará: ero f c ck b b ). φk ). d Σ c. φk ). φ ). d a a φ a φk a b b b ). φk ) d c φ ). φk ) d... ). φk ) d... a b Mk si k φk ). φ ). d 5.5) a si k De aquí llegamos a la siguiete igualdad, que os permite defiir los coeficietes ck. f a b ). φk ). d ck. Mk 5.5)

37 Mk a. Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.7 arte 5 Fucioes de essel. Al itroducir este resultado e la sumatoria podemos escribir, cambiado el ombre de la variable de itegració para evitar cofusioes: f ) Σ φk ). k Mk b f ξ ). φk ξ ). d ξ El segudo miembro e esta ecuació costituye lo que se cooce como ua Serie geeralizada de Fourier. Volviedo a la ecuació 5.5), de modo similar teemos: b Mk si k j φj ). φk ). d a si k j haciedo los reemplazos adecuados al caso presete y teiedo e cueta el peso,, hallamos la igualdad:. J αj ). d Mk Obsérvese que Mk es la Norma del cojuto ortogoal de fucioes. or su parte, efectuado los reemplazos correspodietes e la ecuació 5.5) f a b ). φk ). d ck. para la serie de fucioes de essel teemos: f ).. J αj ). d ck De aquí podemos deducir el valor de los coeficietes: ck. f ). J Mk 5.5) Mk αj ). d 5. Fucioes de essel de seguda clase. E el apartado 5. se vio que cuado ν es u úmero etero, las fucioes J ) y JḆ ) matiee ua relació de liealidad etre sí, por lo que para resolver la ecuació diferecial respectiva se hacía ecesario recurrir a las llamadas Fucioes de essel de Seguda Clase. R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

38 T T T or T Como y y o o ) co o o T Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.8 arte 5 Fucioes de essel Es decir que cuado ν es u úmero etero, la solució geeral de la ecuació de essel o puede obteerse como ua suma poderada de J ) y JḆ ), como hacíamos e el caso cotrariot ) T. E este apartado trataremos la situació particular mecioada. Veamos primero el caso e que. E tal supuesto, la ecuació diferecial de essel, se reduce a La ecuació idicial y" y' y y y γ γ ) co se reduce a su vez a: γ γ γ co γ γ γ y Es decir que la ecuació idicial tiee ua raíz doble igual a cero. Esto os obliga a buscar u camio diferete para ecotrar la solució. E el caso geeral, para que la ecuació.6) γ α ) ± α ) tega ua raíz real doble, es ecesario y suficiete que se cumpla la igualdad: αo ) De aquí, se deduce que γ α βo ) α Ua solució particular de la ecuació diferecial de segudo orde co coeficietes variables puede ser, como hemos visto, de la forma.7): ) γ co c c β o... ) T La siguiete es asimismo ua seguda solució particular de la ecuació ) u ). y ) ) 5.55) ) supuesto, esta coclusió o ivalida todo lo visto hasta aquí sobre las fucioes de essel de subídice, etero. ) regla geeral, descompoer la solució e el producto de ua cierta potecia de, coveietemete elegida, por ua serie geométrica e, facilita grademete el trabajo posterior

39 T T La y y" [u [u [u y,. o y [ Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.9 arte 5 Fucioes de essel. ) e dode u ) es ua fució a determiart T. ara obteer la fució u ) debemos calcular las derivadas primera y seguda de y y ) u ). y y ) u ). y ): ) u ). y ) 5.56) ) u ). y ) u ). y ) Reemplazado estos valores e la ecuació geeral.), co a, teemos: α ). y' β ). y 5.57) ). y α ) [u ). y ) u ). y ) u ). y )] ) u ). y )] β ). u ). y Reagrupado adecuadamete los térmios de esta ecuació, ). y u ) [ ) u ). y )] α ). u ). y y ) α ). y ) β ). y )] ) ) vemos que la epresió que aparece multiplicado a u ) es justamete el primer miembro de la 5.57), por lo que la misma es igual a cero. Al simplificarla, queda solamete: ). y Desarrollemos ahora α ) e serie de potecias α ) α y dividamos todo por ) u ). y )] α ). u ). y α α α... ) ) para obteer e forma eplícita las derivadas de u ): u ) y α o α α α... ) u ) 5.58) or otro lado, la derivada primera de ) γ co c c... ) es: y ) γ γ co c c... ) γ c c... ) Esta ecuació se puede simplificar uificado las potecias de detro y fuera de los parétesis, asi: γ γ y ) γ co c c... ) c c... ) Esto os permite sacar factor comú y ) γ γ co γ c, co lo cual teemos: c... ) c c... )] ) determiació de la fució u ) requiere u proceso secillo pero largo. Si se desea obviarlo, sugerimos avazar a la págia 5., dode damos ua apretada sítesis del mismo. R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

40 y y y [ Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel A cotiuació vamos a dividir ambos miembros por y ): y ) γ γ co c ) γ c co c... ) c c... ) c... )] Simplificado: y ) γ co c c ) co c... ) c c c... )... ) ero la serie que multiplica a γ e el umerador es igual a la que aparece e el deomiador; por lo que, simplificado uevamete, obteemos: y ) γ ) co c c c c... ) γ... ) Φ ) E esta ecuació, el sigificado de Φ ) es obvio. Reemplazado e la 5.58) el resultado aterior, se llega a la igualdad: Llamado: u [ γ Ψ ) Φ ) α α o α α α α α... alcazamos ua simplificació aú mayor, que os permite escribir: u [ γ α o... Φ ) ]. u Ψ ) ]. u 5.59) Hemos hallado oportuamete que cuado la ecuació idicial deriva e ua raíz doble para la costate γ, el valor de ésta última es: γ α Reemplazado e la ecuació 5.59): u [ γ α Ψ ) ]. u Dividamos ambos miembros por u'. Si pasamos los térmios etre parétesis al segudo miembro, resulta: u u Al llegar aquí, podemos hacer: Ψ )

41 k y ) Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. u d u' u u' Etoces, itegrado, resulta: Y por tato: u l u l Ψ ) d Ψ) d e Como Ψ ) es u poliomio e, la itegral que aparece e el epoete es asimismo u poliomio e ; ello permite desarrollar la epoecial e esta ecuació como ua serie de potecias de. Si llamamos hi a los coeficietes de la misma, podemos escribir simbólicamete: u ho h h Itegrado uevamete, podemos tambié poer: u l k El sigificado de los coeficietes kj k... ) ho h h ) es tambié suficietemete eplícito: h ho, k, etc. Recapitulació: La ecuació de essel y" y' cuado es igual a cero se reduce a y y y y La ecuació idicial o os sirve e este caso para avazar hacia la solució geeral. or tato, recurriremos a la ecuació diferecial de segudo orde co coeficietes variables. Ua solució particular de la misma es: O bie y ) γ co ) u ). y c ) c... ) Dode la fució u ), como se ha visto, es de la forma u l k k ) R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

42 y al y y y Σ Jo 5.6) Jo Jo m m Jo Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel Al reemplazar este valor e la ecuació aterior, obteemos ) y ). l γ k k... ). co c c... ) Ahora estamos e codicioes de seguir e busca de la solució y ). Al efectuar el producto de las dos series etre parétesis, aparece ua ueva serie de potecias e. Llamado Am coeficiete de la potecia emésima, arribaremos a la epresió simbólica siguiete: ) y ). l γ Αm m Cuado γ, la ecuació aterior se simplifica así: ) y ). l Σ Αm m Aplicaremos ahora este resultado a la solució de la ecuació de essel: ) Jo ). l Σ Αm m Derivado sucesivamete, obteemos: y' ) J'o ). l m m m ) Σ m Αm m y" ) J"o ). l J'o ) J'o ) Jo y" ) J"o ). l Como para la ecuació de essel es: y" y' y J'o ) ) m ) Σ m m ) Αm Σ m m ) Αm m y por su parte, Jo ) es solució de la misma, reemplazado e la última igualdad las sucesivas derivadas de y ) hallamos: Jo J'o J"o ) l Σ Am m Σ m Am m J'o m m Σ m m ) Am m m m

43 ua Jν J Σ m! m! m m! Am Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel. Al ser Jo solució particular, la suma Jo J'o J"o es ecesariamete ula. or lo tato, luego de simplificar y ordear los térmios, resulta: J'o ) Σ Am m Σ m Am m Σ m m ) Am m m m Como veremos eseguida, os coviee agrupar las dos últimas sumatorias, que sólo difiere etre sí e el factor multiplicador de cada térmio; obteemos: J'o ) Σ Am m Σ m m m m Efectivamete, ahora podemos simplificar más y meos m: Hemos visto 5.7) que Si ν, será: J'o ) Σ Am m Σ m m m ) ν m ) Σ m Cuya derivada respecto de es: m mν ) ) m m m m ) Am m Γ ν m ) m Γ m ) m m J ) Σ ) m m m Γ m ) m m 5.6) Co el objeto de simplificar esta ecuació, le itroduciremos previamete ciertas modificacioes. Comezaremos por recordar que: Etoces Γ m ) m! m m )! m m ) J ) Σ m m m m )! m! Ahora sí, simplificaremos "m" e umerador y deomiador: R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

44 Am Ak 5.6) Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5. arte 5 Fucioes de essel m m J ) Σ ) m m m )! m! Además, como el primer térmio de la sumatoria, es decir, el que correspode al subídice m, es ulo porque e su deomiador aparece el factorial de, cuyo valor es ifiito, podemos hacer tambié: m m J ) Σ ) m m m )! m! Al itroducir este valor de la derivada e la 5.6), obteemos: m m ) Σ Σ Am m Σ m m m m )! m! m m m 5.6) Como esta epresió debe teer validez geeral, cualquiera sea el valor de, la suma de los térmios correspodietes a cada potecia de dicha variable deberá ser siempre igual a cero. Nótese que como m, sbídice, es u etero, las potecias de so todas impares. Cálculo de los coeficietes Am: A partir de la codició mecioada e el párrafo aterior podemos calcular los sucesivos coeficietes Am, como veremos más abajo. ero previamete, como para u dado valor de m, los epoetes de so diferetes e cada sumatoria, para evitar cofusioes cambiaremos el ombre de los subídices, así: Coeficietes de : m m Σ ) Σ Ah h Σ k m m m )! m! h k k 5.65) Los coeficietes de la potecia primera de e cada ua de las sumatorias so, respectivamete: m m h Luego h k Luego k Reemplazado estos valores e la 5.6), obteemos: )! )! A A A ero, como las sumatorias e la 5.6) comieza todas a partir del subídice m, A Etoces A es ulo.

45 y Am ) Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.5 arte 5 Fucioes de essel. A A /,5 Coeficietes de : m m h h k k Reemplazado e la 5.65), obteemos e este caso: O sea, 6 A )! )! A 6 A /8 / /8 A /8 / 6 A / 8 Coeficietes de : Reemplazado e la 5.65): De aquí, 5 m 5 m h 5 h k 5 k 6 6 A6 5 )! )! A 5 6 A6 5 /9 /8 /9 /8 A6 / 8, etc. Observemos que los úicos coeficietes que aparece so aquellos cuyo ídice es par, es decir: A, A, A6, A8, etc. Reemplazado sus valores e la solució propuesta, y ) Jo ). l ), ésta última queda así: ) que trataremos de epresar como ua sumatoria. ara ello, teiedo e cueta que, como acabamos de ver, m es siempre par, podremos m r Co lo cual se obtiee para los coeficietes la siguiete fórmula geeral:... r ) r r r! ) R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

46 A A A6 y y Yo Yo Jo e Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.6 arte 5 Fucioes de essel Verificaremos a cotiuació su validez. E efecto, si m Y por tato, r ): )! ) Si m, r : Si m 6, r : etc. )! ) ) 6! ) Ahora podemos reemplazar el valor de los coeficietes Am la 5.66): ) Jo ). l Σ... ) r r r r r! ) r Epresado e forma simbólica la suma que aparece etre parétesis, esta ecuació se puede epresar tambié como r r ) Jo ). l Σ Σ. ) r r r p p r! ) Como Jo ) e y ) so liealmete depedietes etre sí, es ecesario recurrir a ua solució idepediete, como por ejemplo: ) α [ y Se coviee e hacer: α /π ) β Jo ) ] y β γ l siedo γ la llamada Costate de Euler, cuya defiició y valor so: σ γ lim Σ l σ, σ k k r ) π r p p ) l γ l Σ Σ ) r r r! ) r

47 y so Yν Y Jν Jo Yν Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.7 arte 5 Fucioes de essel. Yo ) ) l r γ Σ Σ ) π r p p r r r! ) r Esta ecuació es la que se cooce como Fució de essel de Seguda Clase, o Fució de Neuma, de orde cero. Otras fucioes usuales so: La Fució de essel de Seguda Clase y orde ν, o Fució de Neuma de Orde ν, que se defie así: Y la de orde : ) Jν ) cos νπ J ν ) se νπ ) lim Yν ν ) Fució de essel de ª Clase Fució de Neuma) 5. Solució geeral de la Ecuació diferecial de essel: Ua solució geeral de la ecuació de essel para cualquier valor de ν, es la siguiete: y ) C ) C ) Dode C C costates complejas arbitrarias. Otra solució geeral está basada e las fucioes de essel de tercera clase, o fucioes de Hakel: Y H,ν ) Jν H,ν ) Jν ) i Yν ) i Yν ) ) Fucioes de Hakel E este caso, la solució completa es de la forma: y ) A. H,ν ). H,ν ) e dode A y so tambié costates complejas arbitrarias. Las fucioes de Hakel so de aplicació para resolver problemas de la Física e los cuales aparece magitudes e cuadratura. R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

48 Jν Jν J Yν Σ Σ m! m! ) ) JḆ,5 Jν Yν Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.8 arte 5 Fucioes de essel 5. Cuadro Sióptico. Ecuació Diferecial de essel Fórmula geeral y" y' ν y ν, úmero real o egativo Solució particular ) ν m mν ) m m Γ ν m ) ), fució de essel de primera clase Solució geeral y ) A Jν ) J ν ) A y, úmeros complejos arbitrarios No aplicable cuado ν es u etero Caso particular: ν,, úmero etero y" y' Solució geeral y ) A Jν ) Yν y ) ), Fució de essel de seguda clase Fucioes de essel Fució de essel de primera clase ) ν m mν ) m m Γ ν m ) Idem, epresió itegral, etero o egativo Caso particular: ν,5 Fució de essel de seguda clase o Fució de Neuma Fucioes de Hakel ) J,5 ) ) H,ν ) Jν H,ν ) Jν π cos θ se θ ) dθ π π se νπ,5 ) i Yν ) i Yν se ) [ Jν ) cos νπ J ν ) ] ) ) π,5 cos Utiles cuado e las ecuacioes aparece térmios imagiarios.

49 ,5 Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.9 arte 5 Fucioes de essel. El presete capítulo 5, dedicado a la Ecuació diferecial de essel y a su solució, o pretede ser ehaustivo e el estudio de las Fucioes de essel. Todo lo cotrario, la multitud de aplicacioes de las mismas como solució de ua catidad de ecuacioes que se preseta e los diferetes domiios de la Física, ha llevado al desarrollo de otras alterativas de ua riqueza tal, e catidad y e propiedades, que ecede largamete los propósitos de este tratado, pero que puede ser cosultadas tato e los tetos especializados como tambié e muchos libros dedicados al Cálculo Superior. 5. roblemas. Las Ecuacioes de essel acepta e geeral solucioes comues, lo que las hace particularmete iteresates para resolver muchos problemas de la Física. Y auque dichas solucioes puede parecer difíciles o largas e su aplicació, eiste e geeral tablas que ayuda grademete a su evaluació. E este apartado veremos primero cómo resolver alguas Ecuacioes de essel, y a cotiuació, cómo trasformar ciertas ecuacioes difereciales e Ecuacioes de essel, para de esta forma simplificar el problema de hallar la solució. 5.. Resolver las ecuacioes siguietes: Solució: a) y" y' ) y Aquí es: ν,5 y por lo tato, la solució geeral es: y ) A J/ ) J / ) A Si hacemos: π se π cos A π i y π, la ecuació aterior se trasforma e la siguiete: y ) cos i se ). e i b) y" y' 5 ) y R: y ) A J,5 ) JḆ ) R. Abascal Aálisis de Señales y Sistemas

50 J y, y y e z" Y z" z" Ecuacioes Difereciales de Orde Superior. 5.5 arte 5 Fucioes de essel c) y" y' 9 ) y R: y ) A J ) Y ) d) y" y' Solució: E este caso ν es igual a cero: ν R: y ) J ) Modificar las ecuacioes siguietes para trasformarlas e ecuacioes de essel, y hallar la solució: a) Solució: Hagamos y ' α y" 5 y' α y z. z z ' α α Reemplazado e la ecuació obteemos: α α ) odemos simlificar α z α α α α α ) z α z' y" α α ) z' α 5 α, que aparece e todos los sumados: A cotiuació ordearemos esta ecuació: z" α α 5 α z 5 z ' z. α 5 ) z ' [ α α ) 5 α De aquí: α 5 α Y tambié: α α ) 5 α De dode, reemplazado, obteemos: z" z ' ) z z α z 5 z ' ] z α α z. Que es ua ecuació de essel, e z, y e la cual, es igual a. La solució es: z ) A J ) Y Fialmete, como y z. y ) A α α ) z' la solució geeral, epresada como fució de y, es: ) α ) Dode A y so dos costates complejas arbitrarias. α α b) y" 6 y'