UNIDAD 1: NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.

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1 º Bchiller UNIDAD : NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

2 º Bchiller OBJETIVOS DIDÁCTICOS En est unidd prenderás :. Identificr números nturles, enteros, rcionles e irrcionles.. Operr correctmente con números reles.. Operr correctmente con epresiones lgebrics.. Relizr correctmente ls potencis de números reles y ls operciones con rdicles. 5. Reconocer y definir los conjuntos más usules de números reles (intervlos y entornos), sí como sus uniones e intersecciones. 6. Mnejr el concepto de logritmo y sus propieddes. 7. Conocer el concepto de vlor bsoluto. CONCEPTOS Números rcionles: definición. Epresión deciml y frccionri.. Números irrcionles: definición.. Números reles: definición. Operciones y propieddes. Densidd.. Potencis de eponente culquier. 5. Rdicles: definición. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 6. Intervlos y entornos. Unión e intersección. 7. Logritmos: definición y propieddes. Cmbio de bse. 8. Vlor bsoluto. Definición y cálculo.

3 º Bchiller NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES. INTRODUCCIÓN Los conjuntos de números vn mpliándose históricmente medid que surgen ctividdes que hcen necesrio su uso. Desde l más rudimentri, contr, que d lugr los números nturles N,,,,..., psndo por reprtir, que hce necesrio el ncimiento de los números rcionles Q {/b, b 0}, comercir con sldos negtivos, que origin el conjunto de los números enteros Z...,-,-,0,,,... y construir, comprr, edificr, medir que requiere que el conjunto de números se mplíe de nuevo. Actividd:. Construye un triángulo rectángulo de ctetos y, cuánto mide su hipotenus?. Los números no son un invento de l humnidd, siempre hn estdo hí, en el entorno y ls ctividdes que nos roden, hciéndose notr, pesr del rechzo que h generdo l eistenci de lgunos de ellos, como el 0 y -. Son sus grfís ls que hn eperimentdo un evolución sombros lo lrgo de l histori, pr responder ls necesiddes crecientes en su uso hst lcnzr l form que tienen en l ctulidd.. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS Números NATURALES: N,,,,... Números ENTEROS: Son los números nturles, sus opuestos y 0. Z..., -, -, 0,,,... Números RACIONALES: Se llm número rcionl l que puede epresrse como frcción de números enteros. Actividd: Q /,b Z; b 0 b Su epresión deciml es ect o periódic (pur o mit).. Define, con los puntes de cursos nteriores, qué se entiende por deciml ecto o periódico, y escribe cómo se reliz el pso de nº deciml frcción y vicevers.. Cuál serí el resultdo de ests operciones?, 0 0 0, 0

4 º Bchiller Números IRRACIONALES: Los números irrcionles, l contrrio que los rcionles, no pueden epresrse como cociente de números enteros, luego no pueden ser ni decimles ectos ni periódicos. Por tnto, los definimos como: El conjunto de números cuy epresión deciml tiene infinits cifrs decimles no periódics. Dicho conjunto se design con l letr I. Son ejemplos de números irrcionles:, π, e... Ddo que no se puede conocer su vlor ecto (por eso se designn con letrs o símbolos), se suelen utilizr proimciones medinte números rcionles cercnos. Por ejemplo π 6, e '78. Números REALES: Es el conjunto formdo por todos los números rcionles e irrcionles. Se design con l letr R. RQ I Se representn en l rect rel signndo cd punto un número. Entre cd dos números reles hy infinitos números reles. Actividd:. Cuál es el número rel siguiente? y el nterior? Son consecutivos los números reles? R Q I Z - N 8 - π e Actividd: 5. Clsific los siguientes números indicndo cuál es el conjunto (N, Z, Q, R) más pequeño l que pertenecen: 5, - 7, 0, 5/, 8,, 5, 6. Clsific los siguientes números en rcionles e irrcionles: π, ' 7, )... b) 7 c) d) e) f) g) 0... h)

5 º Bchiller. INTERVALOS Y ENTORNOS Los números reles pueden representrse en l rect rel grupdos en intervlos y entornos: - Intervlo bierto:,b R / < < b ( ) { } - Intervlo cerrdo:,b R / b [ ] { } b b - Intervlo semibierto o semicerrdo: [,b) { R / < b} (,b] { R / < b} b b - Intervlos infinitos:, R / > ( ) { } [, ) { R / } (, ) { R / < } (, ] { R / } - Entorno simétrico de centro y rdio r: ( r, r) E (,r) r r - Entorno lterl por l izquierd de centro y rdio r: E (,r) ( r, ) r - Entorno lterl por l derech de centro y rdio r: (, r) E (,r) r 5

6 º Bchiller - Entorno reducido de centro y rdio r: E * (,r) ( r, r) { } r r Ejemplo: [-,] E(,) (-,6) - 6 E * (-,) (-,)- {- } - - Unión : Se define l unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formdo por todos los elementos de mbos conjuntos. Se escribe A B. Intersección: Se define l intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formdo por los elementos comunes de mbos conjuntos. Se escribe A B. Ejemplos: ) A,, 6 B,, A B,,,, 6 A B ) [-,5) (,9) [-,9) [-,5] (,9) (,5], 6, 8 φ ( ] [ ] (φ signific conjunto vcío: que no contiene ningún elemento) 6

7 º Bchiller Actividd: 7. Represent los siguientes conjuntos numéricos: ) (-,-) b) { / - < 5 } c) (-,0) (, ) d) [, ) e) [-,5) (5,7] f) (-,) (, ) 8. Epres como desiguldd y como intervlo y represent: ) es menor que 5. b) es menor o igul que. c) está comprendido entre 5 y. d) está entre y 0, mbos incluidos. 9. Epres en form de intervlo los siguientes entornos: ) E * (-5,6) c) E, b) E,. VALOR ABSOLUTO d) E 0, 7 0. Identific los entornos E (-,6), E * (0,), E (5, ) y E (0,6) con el conjunto que le correspond: ) A { R / 0 < < 6 } b) B { R / - 7 < < 5 } c) C { R / - < < } - { 0 } d) D { R / < < 5 } Se define el vlor bsoluto de un número rel como su distnci l 0, es decir el vlor bsoluto de un número es el propio número si es positivo y su opuesto si es negtivo (Recuerd que si es negtivo, - es positivo). Se escribe 0 < 0 Ejemplos: ,

8 º Bchiller Actividd:. Hllr el vlor bsoluto de: 7, 0, Pr qué vlores de se cumplen ls siguientes igulddes? ) b) 0 c) d). Pr qué vlores de se cumplen ls siguientes desigulddes? ) < b) 5. NÚMEROS REALES. OPERACIONES. (REPASO) 5.. SUMA b R,, b R (l sum de dos números reles siempre es otro nº rel. L sum es un operción intern) - Propieddes: ) Conmuttiv: b b, b R b) Asocitiv ( b) c (b c), b, c R c) Elemento neutro: 0 R 0 d) Elemento opuesto: R, - R / ( - ) 0 Por cumplir ests cutro propieddes, se dice que R es un GRUPO ABELIANO respecto l sum. 5.. PRODUCTO b R,, b R (el producto de números reles tmbién es un operción intern). - Propieddes: ) Conmuttiv: b b, b R b) Asocitiv: ( b) c ( b c), b, c R c) Elemento neutro: R d) Elemento inverso: 0 R, R / Se deduce que el conjunto de los números reles R, es tmbién GRUPO ABELIANO respecto l producto. Además tmbién se cumple: Distributiv respecto l sum, b, c R, ( b c) b c 8

9 º Bchiller Por cumplir ests 9 propieddes se dice que R tiene estructur de CUERPO CONMUTATIVO respecto l sum y el producto. 5.. RESTA Por eistir elemento opuesto, podemos definir l rest como l sum con el opuesto b (-b ) 5.. COCIENTE Por eistir elemento inverso b b (b 0) 5.5. POTENCIACIÓN. PROPIEDADES ) Potencis de eponente entero: donde R, n Z - Si n > 0... (n fctores) - Si n 0 0 n 0 n n (y que ) n n n -n 0 - Si n < 0 ( y que ) -n n b) Potencis de eponente frccionrio: Propieddes: m m ( m n : ) n n m m n m n m n m ( b) b m ( : b) n n m m : b m m n n m n y que ( m ) n 5.6. RADICACIÓN. OPERACIONES CON RADICALES - Definición: m n Rdicl es tod epresión de l form n donde es el rdicndo y n es el índice de l riz, siendo: n b b n - Operciones ) Sum: Sólo se puede sumr rdicles cundo l simplificrlos, tienen el mismo índice y el mismo rdicndo, scndo como fctor común dicho rdicl ( b c) n b n c n 9

10 º Bchiller b) Producto : Si los rdicles tienen el mismo índice: n b n ( b) n n n b n b porque Si tienen distinto índice hy que reducir previmente índice común buscndo su m.c.m. Ejemplo: 7 b 5 b c ( ) b 5 ( 7 ) (b ) c 5 9 b c b 5 bc 5 c) Cociente : Si los rdicles tienen el mismo índice: : b n / b porque n : b n ( : b) n Si tienen distinto índice hy que reducir previmente índice común buscndo su m.c.m. d) Potencición : m n n m ( ) porque e) Rdiclizción : m /n m ( ) n n m n n m n m n porque ( / n ) / m m n m n f) Rcionlizción - Rcionlizción de denomindores: ) multiplicmos y dividimos por b b b) multiplicmos numerdor y denomindor por n b n m n b m c) multiplicmos numerdor y denomindor por el conjugdo. b ± c 0

11 º Bchiller Ejemplos:.. 5 ( 5 ) ( 5 ) 5 5 ( 5 5 ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 6 Actividd:. Reliz ls siguientes operciones: ) 5 : 5 b) ( bc) ( b) (c) c) d) 6 6 e) ( 5 : 9) f) g) ( ) ( ) ( ) 5 b h) b i) b b b b j) b b b b k) Rcionliz: : ) y y b) 5 5 c ) 6 5 d) 5 7 5

12 º Bchiller 6.- LOGARITMO DE UN NÚMERO. PROPIEDADES Segurmente, serís cpz de resolver l ecución: 6, unque l incógnit () esté en el eponente. Pr ello, bstrí con epresr tod l iguldd en bse : Sin embrgo, resultrí más difícil despejr con precisión l incógnit en est ecución: 0 y que, siguiendo l estrtegi nterior: 0, sólo podrímos dr un vlor proimdo, pues 0 no es potenci de. Deducimos que debe ser 5??.. pues 5 y 6 6. Por tnto,???. Podrímos buscr con l clculdor un buen proimción, probndo con distintos vlores. No obstnte, prece conveniente definir lgun herrmient mtemátic útil cundo se trt de mnejr eponentes. Sbemos que en tod potenci precen tres elementos: bse, eponente y potenci o resultdo. 8 Necesitmos conocer dos de los tres elementos pr clculr el tercero: ) Si conocemos l bse y el eponente: y debemos clculr el resultdo, l operción se llm POTENCIA y te result conocid. b) Si disponemos del eponente y l potenci: 8 y tenemos que clculr l bse, l operción se llm RADICACIÓN y, unque l hs estudido nteriormente, se escribe con otro formto: 8 c) L tercer posibilidd es que conozcmos l bse y el resultdo de l potenci: 8 Es entonces cundo debemos clculr el eponente. Esto es lo que conocemos con el nombre de LOGARITMO. Logritmo es un sinónimo de eponente LOGARITMO EXPONENTE Ejemplos: Tmbién se escribe con otro formto: log 8 Se lee logritmo en bse de 8 ) log 6 porque 6 b) log - porque c) log 5 0 porque 5 0

13 º Bchiller Actividd: 5. Complet los siguientes logritmos: log 9 log log log log log log log 6 7 Si no consigues hcerlo con cálculo mentl, puedes llmrle formto potenci, es decir: 7 ( ) log 7 luego log 7 y psr l Ahor que comprendes el concepto, vmos escribir un definición precis del concepto de logritmo: Definición: Se define el logritmo en bse de b, como el eponente l que hy que elevr pr obtener b, es decir log b b Cundo se mnejn números muy grndes o muy pequeños, es más cómodo utilizr sólo los eponentes. Sbís que los números de l escl de Richter que mide l fuerz de los terremotos, son logritmos? Actividd: 6. Clcul hor los siguientes logritmos: log log log 0 log Si hs encontrdo dificultdes pr resolverlos, igul hs llegdo lgun de ls siguientes conclusiones: Crcterístics: ) L bse tiene que ser un nº positivo y distinto de 0 y, y que un bse negtiv puede dr lugr potencis no reles: (-) ( )????? (en l unidd 5 veremos los números complejos, que surgen de ls ríces de números negtivos).

14 º Bchiller Además, no tiene sentido hblr de log ó log 0 5, pues culquier potenci de es igul (nunc podrí ser ), y culquier potenci de 0 serí 0, es decir, sólo eistirín log y log 0 0 y serín igul todos los números reles. ) Por otr prte, l potenci b no puede ser negtiv ni 0, Potenci b>0 log b c Eponente c culquier nº rel Bse >0 ) Los logritmos más utilizdos son los de bse 0, llmdos logritmos decimles, en los que no es necesrio precisr l bse, ( log 0 b log b ) y los logritmos neperinos, de bse el nº e 78 cuy notción es Ln log e. Ejemplos: log00, log0 - Lne Actividd: 7. Clcul los siguientes logritmos: log log log Lne Propieddes de los logritmos: Recuerd siempre que un logritmo es un eponente y, por tnto, debe cumplir ls misms propieddes. Sbemos que l multiplicr dos potencis de l mism bse, se sumn los eponentes y que: 5 m n m n Si el eponente del producto es l sum de los eponentes, el logritmo del producto, debe ser l sum de los logritmos, es decir: ) log b c) log b log c (

15 º Bchiller Por l mism rzón, y ddo que el eponente del cociente de dos potencis, m m n es l rest de los eponentes:, se cumplirá que el logritmo del cociente es n l rest de los logritmos: b ) log log b log c c Por último, l elevr un potenci otr potenci, se multiplicn los n eponentes: ( m ) m n y que ( ) 6, Luego debe cumplirse que: n ) log b n log b (recuerd que tnto n como el log b son los eponentes) Est últim propiedd puede rzonrse de otr mner, utilizndo l propiedd : n log b log (b b b... b) n veces log b log b log b n log b n veces Ejemplos: ) Conocido el log 0 0, clcul log0 y log0 08 log0 log( 0) loglog log0 08log log8 - log00 log - log00 log b) Sbiendo que loglog log, hll log( ) log Como hs podido observr, ests propieddes nos permitirán obtener otros logritmos prtir de uno o vrios conocidos, o despejr incógnits fectds por logritmos. Tmbién es cierto que l myorí de los logritmos son números irrcionles difíciles de precisr. Además, l infinidd de bses posibles hce más difícil l tre. Por eso, tn sólo se mnejn con siduidd ls bses 0 y e, que son ls que puedes encontrr en culquier clculdor. Pero entonces, cómo clculr log 5? Muy sencillo, se h encontrdo un fórmul que permite el pso de un bse otr. 5

16 º Bchiller Fórmul del cmbio de bse Pr psr de bse bse b log logb log b Serí entonces cierto que psndo bse 0 y utilizndo l clculdor: log 5 log 5 0'698 ' 65 log 0'77 Vmos demostrr est fórmul utilizndo el formto de potenci que result más fmilir. Demostrción Pr ello, nombrmos con un letr cd logritmo: log p, log b q y log b s. Queremos demostrr que Se cumple que: s Luego, ( b ) p si si si log p logb q b log s b b p q s p b q (b s ) p b q Sustituyendo por b s q p s q sp q q b b b sp q p como querímos demostrr s c.q.d. Por último, vmos hor resolver l ecución que hbímos plntedo l principio de este punto: ' 60 0' log 0 5 log 0 log Actividd: 8. Clcul, utilizndo l definición de logritmo: ) log 6 log log 9 log b) log log log 7 6

17 º Bchiller 9. Clcul l bse de estos logritmos: ) log 5 b) log c) log 0'0 d) log e) 9 log 0.Sbiendo que log 0 77, clcul el logritmo deciml de 0, 00, 000, 0, 0 0, Sbiendo que log k clcul: ) k 00 log b) ( 0' k ) log c) log d) ( log k) k. Si log k, escribe en función de : ) log k b) k log c) log 0k 00. Comprueb que log log log 6. Siendo log 0 0 y log 0 77 clcul: ) log 5 b) log c) log 8 d) log 8 7

18 º Bchiller EJERCICIOS. Indic si es verddero o flso: ) [, ) (, ) b) (-,) c) (-, ) [0, ) d) (-,) [-,) ** El símbolo signific contenido en A está contenido en B: A B**. Ddos los conjuntos: ) A { R / -7 < } b) B { R / < 6 } c) C { R / 0 < < 5 } Clcul: ) A B b) A B c) (A B) C d) A B C e) A (B C) f) A B C. Reliz ls siguientes operciones:. Clcul: ) b) ) log 0 b) log c) log 6 d) log e) log 0'00 f) log g) log 8 h) log π 5. Sbiendo que log 0 0, clcul: ) log 0'0 b) log c) 8 0'05 log d) log 5 8 0' Sbiendo que log 0 77, cuánto vldrá log 0? 6. Sbiendo que log b y log 9 b 5, cuál será el vlor de? 7. Qué relción eiste entre y b en los siguientes csos? i. log log b 0 ii. log log b log iii. log log b iv. log log b 8

19 º Bchiller 9 8. Reliz ls siguientes operciones: b. 5 ( - ) ( - 8 ) ( - ) 5 c. 7 ( - ) ( - 8 ) : ( - ) 5 d. : 5 e. f. ( ) g. ( ) 8 h. i : 5 6 : 5 j. 7 : k : : l. b : b b 9. De los siguientes números di cuáles son rcionles y cuáles irrcionles. Añde tmbién si son periódicos o no, indicndo si eiste, cuál es el período. ) 7 6 b) 0... c) 70 d) e) f) g) h) 6 0. Etre fctores de los siguientes rdicles: ) 8 b) 8 c) y y d) 5 6 y 8 e) y 5 f) 7 8 b

20 º Bchiller. Reliz ls siguientes operciones: [ ] ) ( ) b) ( ) 5 : ( ) c) e) f) h) j) y z 5 5 : 5 5 ( ) ( ) d) g) i) ( ) 9 [ ] k) 5 l) ( 8 ) m) 0 ' 5 n) ( 0'6 ) o) ( ) 5 ñ) p) 5 0 ' 000 q) r). Introduce fctores bjo el signo rdicl: 7 ) d) b b b b b) 8 c) 5 e) 7 Escribe en form de potencis los rdicles: y z y ) 5 b) b c) 5 d) e) 5. Escribe como rdicles ls potencis: f) b 5 ) ( ) b) 5 5 d) 5 e) 5 ( b 5) c) y z 0

21 º Bchiller 5. Reliz ls siguientes operciones: ) 5 7 b) b b c) d) b : 9 e) ( ) f) g) y ( y ) h) ( )( ) i) ( ) j) k) ( 5)( 5) m) l) n) 6 ñ) 5 o) 9 5 p) ( ) ( b ) ( b ) ( b ) ( ) b q) ( y) y y 9 9y y y 6. Rcionliz ls siguientes epresiones: 5 ) 5 5 d) g) j) 7 b 5 : 8 b 5 75 b 5y 5y y 7 b) 5 5 e) h) k) 7. Reliz ls siguientes operciones: ( ) : b b c) b f) b b b i) b b l) 9 b. b b b

22 º Bchiller c. d : 5 e. : f g. 5 8 ( ) h. b b b i. j. k. l. m. 6 5 : ( pq) ( p q ) ( p q ) 8 m n m n m n m m n cd b d cd 8 c d b d c 6 b d c Epresr en form de intervlo los siguientes entornos: E (-,0), E (,), E - (-8,) y E*(,5) 9. Define y represent gráficmente: ) E ( 0, ) E (, ) b) [ -, - ) ( -, 5 ] c) [ -, 0 ) [ -, ) 0. Clcul: log Si log 0 0 y log 0 77, hll: 0'8 ) log 0'08 b) log '

23 º Bchiller. Clcul : ) log 0'00 b) log 9 c) log 5. Clcul y represent gráficmente los siguientes conjuntos: ) A B b) A B c) A B C d) A C siendo: A E (0,5 ) B R / < 6 C R / < { } { }. Epres en form de intervlo y represéntlos gráficmente: ) A E ( 5,6 ) b) B E, c) C E, d) D { R / 5 } E R / 9 F R / < e) { } f) { } 5. Siendo log 0 0 y log 0 77, clcul: ) log 7 b) ' log c) '6 log 6 d) log ' e) log f) log 5' 76 9 log h) log 5 g) ( 6' ' ) j) log 0' Hll el vlor de en ls siguientes igulddes: ) log 5 b) log 5 c) log 6 i) log 78' 5

24 º Bchiller CUESTIONES. Rzon si ests firmciones son verdders o flss: ) Todo número entero es rcionl. b) Hy números irrcionles que son enteros. c) Todo número irrcionl es rel. d) Algunos números enteros son nturles. e) Hy números decimles que no pueden ser epresdos como un frcción. f) Todos los números decimles son rcionles. g) Entre dos números enteros siempre hy otro número entero. h) Entre dos números rcionles siempre hy infinitos números rcionles. i) Entre dos números rcionles hy infinitos números irrcionles. j) Los números rcionles llenn l rect. k) Los números irrcionles llenn l rect.. Si R, eplic si es verddero o flso: ) es siempre positivo o nulo. b) es siempre positivo o nulo. c) solo eiste si 0. d) - es negtivo si lo es. e) es siempre negtivo.. Cuál es l respuest correct? 7 ) ( ) 9 b) Si log 9, cuál será el vlor de log? 5. Es cierto que pr todo número rel? Y?

25 º Bchiller UNIDAD : ECUACIONES Y SISTEMAS 5

26 º Bchiller OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. Resolver ecuciones de primer y segundo grdo de form nlític e interpretr gráficmente ls soluciones.. Resolver ecuciones sencills de grdo superior y bicudrds.. Resolver ecuciones rdicles, eponenciles y logrítmics.. Resolver y clsificr sistems de hst tres ecuciones lineles con tres incógnits medinte los métodos de sustitución, igulción, reducción y Guss. 5. Resolver sistems de ecuciones no lineles. 6. Plnter y resolver problems medinte ecuciones y sistems de ecuciones. 7. Mnejr el método gráfico de resolución de inecuciones y sistems de inecuciones con un y dos incógnits. 8. Resolver problems de progrmción linel. CONCEPTOS. Ecución: concepto y clsificción.. Ecuciones de primer y segundo grdo: resolución y significdo geométrico.. Ecuciones de grdo superior, rdicles, eponenciles y logrítmics: concepto y resolución.. Sistems de ecuciones lineles: concepto y clsificción. 5. Sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits: métodos de resolución (reducción, sustitución e igulción) y significdo geométrico. 6. Sistems de tres ecuciones con tres incógnits: método de Guss. 7. Sistems de ecuciones no lineles. 8. Sistems de inecuciones lineles con un o dos incógnits: resolución 9. Progrmción linel. 6

27 º Bchiller ECUACIONES Y SISTEMAS. ECUACIONES Definición: Se llm ecución tod iguldd entre dos epresiones lgebrics; en ells intervienen cntiddes desconocids llmds incógnits. Los vlores de ls incógnits pr los que se cumple l iguldd se llmn soluciones. Actividd: y5 ( 0 y5 ) es un solución. puedes encontrr más?. cuánts soluciones hy? -0 cuánts soluciones tiene? hállls - 5 cuánts soluciones tiene? qué puedes deducir?. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Son de l form b0, con 0. b Su solución es y coincide con el punto de corte con el eje X de l rect y b. b (Observ que si queremos hllr los puntos de corte con el eje X de l función yb, debemos hcer y0, es decir, b0, lo que supone resolver l ecución).. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son de l form b c 0 con 0,,b,c R. Sus soluciones son de l form: b ± b c Pueden drse tres csos: ) Si b c > 0 dos soluciones reles. b) Si b c 0 eiste un únic solución rel doble. c) Si c < 0 no eiste solución rel, sino complej. Gráficmente ls soluciones coinciden con los puntos de corte en el eje X de l prábol y b c ) b) c) b 7

28 º Bchiller Actividd:. Resolver ls siguientes ecuciones de segundo grdo: ) ( 5 ) 5( 5) 5( ) b) ( ). ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR ) Ruffini: investig sobre ello repsndo tus puntes del ño nterior. Te fcilitmos un ejemplo. Ejemplo: Resuelve l ecución: equivle : ( )( 5)( ) 0-0 ± ( )( 5)( )( ) 0 0, -50, - 0 ó 0 Ls soluciones son:, 5,, Actividd:. Resolver ls siguientes ecuciones de grdo superior: ) 6 0 b) 5 0 c) d) Escribe un polinomio cuys ríces sen,, -, 0. e) 0 f) 8 0 g) 6 0 h) 0 8

29 º Bchiller b) Ecuciones bicudrds: Son de l form b c 0, con 0. Un ecución bicudrd se puede reducir un ecución de º grdo, hciendo el cmbio z ( z ) Ejemplo: Resuelve l ecución: 6 0 z ± 69 ± 5 z 6 0 z z 9 z z 9 9 ± z ± Soluciones:,-, y -. L descomposición fctoril serí: ( )( )( )( ) 0 Compruéblo utilizndo Ruffini Actividd:. Resolver ls siguientes ecuciones de grdo superior: ) b) 5 0 c) 0 d) 0 e) ECUACIONES IRRACIONALES Definición: Son quells en ls que l incógnit prece bjo el signo rdicl. 9

30 º Bchiller Ejemplo: Resuelve l ecución: * Aislmos un de ls rices * Elevmos l cudrdo mbos miembros (el segundo miembro es un identidd notble) * Elevmos otr vez l cudrdo * Agrupmos términos ( 8) 8 *Volvemos islr l riz grupndo términos que sen semejntes (ecución de segundo grdo) 88 ± ± ± 80 si es solución 8 no es solución. Por qué? Compruéblo IMPORTANTE: Debes verificr tods ls soluciones pues hy muchs posibiliddes de que prezcn soluciones flss. Investig por qué. Actividd: 5. Resolver ls siguientes ecuciones: ) 7 0 b) c) d) 5 e) 6 f) 6. ECUACIONES EXPONENCIALES Definición: Son quells cuy incógnit figur como eponente. Ejemplos: ) Resuelve l ecución: 9 Escribimos todo en función de l potenci : Si quieres puedes resolverl medinte un cmbio de vrible t 0

31 º Bchiller ) Fíjte en el siguiente ejemplo: hcemos el cmbio t t 5 t 0 ecución de º grdo t 5 ± ± 0 0 ) Cómo lo resolverís? Clro! Utilizndo logritmos. log log log '0 0'77 '8 ' log log Actividd: 6. Resolver ls siguientes ecuciones: ) b) 0 c) 5 0 d) 86 e) 5 f) 6 g) ECUACIONES LOGARÍTMICAS Definición: logritmo: Son quells cuy incógnit prece sometid l operción

32 º Bchiller Ejemplo: Resuelve l ecución: log log5 log log log log 5 log log log log 5 log log log 5 log ( 5) Comprueb ls soluciones y recuerd que no eisten logritmos de números negtivos ni de cero. Actividd: 7. Resolver ls siguientes ecuciones: ) log log b) log log( 6 5) c) log log 0 log 0 d) 5 log log log log 9 log log( ) e) log(5 ) f) log( ) log(9 ) g) log ( ) log(5 ) h) log5 (7 ) log5( ) log5( ) 8. ECUACIONES LINEALES Definición: Se llm ecución linel tod iguldd de l form:... n n b donde i son los coeficientes, i incógnits y b el término independiente. Observ que puede hber un número culquier de incógnits, tods ells con eponente.

33 º Bchiller Ejemplo: y z t 7 Según sus soluciones, un ecución linel pueden ser: ) Comptible determind: tiene solución únic. ; ; b) Comptible indetermind: tiene infinits soluciones. y 0 ; - y c) Incomptible: no tiene solución. 5 ; 0 6 imposible. 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: Un sistem formdo por m ecuciones y n incógnits es un conjunto de m ecuciones de l form: siendo ij los coeficientes,... n n b... n n b m m... mnn b m i ls incógnits y b i los términos independientes. Si todos los términos independientes son igules cero, se llm sistem homogéneo. Los sistems pueden ser: - Comptibles: Determindo: solución únic Indetermindo: infinits soluciones - Incomptibles: no tiene solución. 0. SISTEMAS LINEALES DE DOS INCÓGNITAS Definición: Métodos de resolución: Son de l form: by c ' b' y c' ) Método de sustitución: Despejmos el vlor de un de ls incógnits en un de ls ecuciones y l sustituimos en l otr

34 º Bchiller Ejemplo: 7 y y 5 7 (5 ) 7 5 y 5 9 8, y 5 8 b) Método de igulción: Despejmos un de ls incógnits en ls dos ecuciones e igulmos los vlores obtenidos Ejemplo: 7 7 y y y 5 y y c) Método de reducción: Consiste en conseguir un sistem equivlente eliminndo lgun incógnit Ejemplo : 7 y 7 y y 5 y y d) Método gráfico: Gráficmente cd un de ls ecuciones represent un rect. Por ser l solución un punto que stisfce mbs ecuciones, tiene que ser un punto en común, es decir, su punto de corte: - Si el sistem es comptible determindo: dos rects secntes y 5 y - Si el sistem es comptibles indetermindo: dos rects coincidentes y 5 y 0 - Si el sistem es incomptible: dos rects prlels.

35 º Bchiller Actividd: 8. Escribe un ecución que forme con l dd un sistem incomptible. y 5 * Qué observs l resolver los tres sistems? 9. Encuentr un número de dos cifrs sbiendo que ésts sumn y que si invertimos el orden de ls cifrs el número obtenido ecede en 5 l número ddo. 0.En un prking hy 7 vehículos entre coches, motos y cmiones de 6 rueds. El número de motos ecede en l de coches y cmiones juntos. Hll el número de vehículos de cd clse si en totl sumn 8 rueds.. En un centro hy dos equipos de fútbol A y B. Si del equipo A psn tres persons l B en mbos qued el mismo número. En cmbio, si del B psn 7 l A qued en éste un número que es el cudrdo de los de quél. Cuántos deportists hy en cd equipo?. Los ldos de un triángulo rectángulo tienen por medid en metros tres números pres consecutivos. Cuánto mide cd ldo?. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODO DE GAUSS Consiste en plicr reiterdmente el método de reducción hst conseguir un sistem tringulr en el que l primer ecución teng incógnits, l segund y l tercer. Amplí est informción con ls eplicciones de clse. Ejemplo: y z Resuelve el siguiente sistem: y z 0 y z 5 y z ( ) y z y z 0 y 5z y z 5 y z y z y 5z y 6z 6 z Recuerd que debes comprobr l solución en ls tres ecuciones. 5

36 º Bchiller Actividd:. Resuelve por el método de Guss: ) y z y z y z 5 b) y z y z 5 y z 6 c) y z y z 5 z 7 d) 5 y 9z 8 z 5 y z e) - y z y - z 7 - y - 5z 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Ejemplos: y ) y 0 y y 8y 0 y ( y) y 0 y y y y 0 y ± 6 8 ± 8 y 6 y 6 y b) y 9 y y 0 y 0 y y y y c) 05 y 79 5y y 7 05 y 7 y y 55 ± 55y 6 0 y y 55 ± y 9 y 6 6

37 º Bchiller Actividd:. Resuelve los sistems no lineles: y 56 ) y b) y log log y y c) y 5 d) y log log log log y 5 y e) y y log( y) f) log 6 log y. INECUACIONES Definición: Un inecución es un desiguldd entre dos epresiones lgebrics en l que intervienen incógnits. Pueden precer los signos <, >,,. Dos inecuciones son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones. Se cumple que: ) Si los dos miembros de l inecución se les sum o rest un mismo número, se obtiene un inecución equivlente. b) Si se multiplic o divide mbos miembros por un número positivo, se obtiene un ecución equivlente. c) Si se multiplic o divide mbos miembros por un número negtivo, result otr inecución con el signo de desiguldd contrrio, pero equivlente l dd.. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Ejemplo: 6 6 Ls soluciones son: (, ] 6 6-7

38 º Bchiller 5. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Ejemplo: 8 6 > > > (, ] - 6. INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Ejemplo: y Dibujmos l rect y. Los puntos de corte son (0, - ) y (, 0). En los puntos de est rect, se cumple que -y es igul. En los demás puntos, -y será distinto de, es decir, myor o menor. Cd semiplno corresponde uno de los dos signos. L solución corresponde uno de los semiplnos. Se elige un punto culquier de uno de ellos (0, 0) y se sustituye en l inecución. Si l stisfce, su semiplno será l solución, si no, lo será el otro SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Se resuelve cd inecución por seprdo y se llm solución o región fctible l recinto intersección de todos los semiplnos. 8

39 º Bchiller Actividd: 5. Resuelve los sistems de inecuciones con dos incógnits: 5y ) y 0 y 8 5y 0 b) y 0 5y 0 0 y c) < y > 8. PROGRAMACIÓN LINEAL Un problem de progrmción linel pretende hllr el máimo o mínimo de un función llmd función objetivo, sujet un conjunto de restricciones en form de inecuciones. Ejemplo: Con 80 kg de cero y 0 de luminio se quieren fbricr biciclets de pseo y de montñ que se venderán 0 y 90, respectivmente. Pr l de pseo son necesrios kg de cero y de luminio y pr l de montñ kg de cd uno de los dos metles. Cuánts biciclets de pseo y cuánts de montñ se deben fbricr pr obtener el máimo beneficio? Psos pr resolverlo:. Definir incógnits: biciclets de pseo y biciclets de montñ 0 y 0 Restricciones: - Restricción del cero: y 80 - Restricción del luminio: y 0. Función objetivo: (en este cso beneficio que se quiere mimizr) z 0 90y 9

40 º Bchiller. Dibujmos l región fctible: 0 - y 0 - y 80 (0, 0) y (80,0) - y 0 (0,60) y (0,0) 60 0 A B 0 D C Clculmos los vértices de l región fctible: A (0,0) (punto de corte de ls rects: y 80, 0) B (0,0) (punto de corte de ls rects y 80, y 0 ) C (0,0) (punto de corte de ls rects y 0, y 0) D (0,0) 6. Se sustituyen esos vlores en l función objetivo pr comprobr cuál de ells corresponde l vlor máimo: ( z 0 90y ) A z B z C z D z L solución es el vértice B, es decir 0 biciclets de pseo y 0 de montñ. 0

41 º Bchiller Actividd: 6. Hll los vértices del recinto del plno formdo por ls soluciones del sistem de inecuciones: 0 y 0 y y 7. Determin los vlores máimo y mínimo de l función z 8y sometid ls restricciones: y 0 y 0 y y y 0 8. En un fábric reciben dirimente 700 kg de cfé tipo C y 800 kg de cfé tipo D. Con ellos se relizn dos mezcls. Ls de tipo A que const de prtes de cfé tipo C y de tipo D en l que gn 5 céntimos de euro y l de tipo B que const de prte de tipo C y de tipo D en l que gn 0 céntimos de euro en kilo. Hll l cntidd de mezcl que l cs debe preprr de cd clse pr que l gnnci se máim Un gnderí dese proporcionr su gndo un diet que conteng un mínimo de uniddes del pienso A y un mínimo de 5 uniddes del pienso B. En el mercdo se comercilizn dos tipos de compuestos C y D, elbordos con mbos piensos. El pquete C contiene unidd de A y 5 de B, siendo su precio de 60 céntimos de euro, y el de D contiene uniddes de A y de B, siendo su precio de 80 céntimos de euro. Qué cntiddes de C y D deberá empler l gnderí pr preprr su diet con el coste mínimo. 0. Un empres construye en dos fctorís (F, F) tres tipos de brcos deportivos (A, B, C). L fctorí F construye en un mes: brco de tipo A, 5 de tipo B y de tipo C, siendo su coste de mntenimiento mensul de euros, y F construye en un mes: brco de tipo A, de tipo B y de tipo C, siendo su coste mensul de euros. L empres se h comprometido entregr nulmente, cierto club náutico, brcos de tipo A 5 de tipo B y de tipo C. Cuántos meses l ño deberá trbjr cd fctorí con objeto de que l empres cumpl su compromiso con el mínimo coste?

42 º Bchiller EJERCICIOS. Resuelve ls ecuciones de º grdo: ) b) ( ) ( ) c) ( ) 8 d) ( ) ( ). Resuelve ls ecuciones rdicles: ) 5 b) c) d) 5 5 e) 5 f) 6 g) 7 h) i) 9 j) 9 k) l) m). Resuelve ls ecuciones bicudrds: ) b) 0 c) d) e) f) 7 0. Descomponer en fctores: ) 6 0 b) c) 0 d) 0 e) Resuelve ls ecuciones eponenciles: ) b) 5 5 c) 6 d) e) f) 9 0 g) 5

43 º Bchiller 9 5 h) i) 8 6 j) 8 k) 5 l) 6 m) 6. Resuelve los sistems de inecuciones: 6 < y 7 ) y b) y 5 y 6 < Resuelve ls ecuciones logrítmics: ) log log 0 b) log ( ) c) log log( 6) log log( ) d) log(5 ) e) log log 5 6 f) log ( 5 ) log ( ) 8. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones: ) 5y y b) c) d) e) y y 7 y 5 y y y 5y 0 log log y Antonio mezcl cfé de clse A 950 pts el kilo con cfé de clse B 00 pts el kilo y obtiene 9 kilos de mezcl. El kilo de cfé mezcldo cuest 50 pts. Cuántos kilos de cfé de cd clse h mezcldo? 0. En l bols A y en l bols B hy un totl de 80 bols. Si psmos 0 bols d l bols B l bols A, el número de bols de l bols A es veces el número de bols de l bols B. Cuánts bols hy en cd bols?

44 º Bchiller. En un vión vn 9 persons entre hombres y mujeres. El número de mujeres es /5 del número de hombres. Cuántos hombres y mujeres vn en el vión?. L sum de dos números es igul 5. L quint prte del myor es igul l curt prte del menor. Cuáles son esos números?. Un pdre tiene el triple de l edd que su hij. Si el pdre tuvier 0 ños menos y l hij tuvier 8 ños más, los dos tendrín l mism edd. Cuál es l edd de l hij y cuál l del pdre?. En un clse hy 5 lumnos entre chicos y chics. Prcticn ntción el % de los chicos y el 60% de ls chics. Si el número totl de lumnos que prcticn ntción es igul 0, cuántos chicos y cuánts chics hy en l clse? 5. L bse de un rectángulo es / de su ltur y su perímetro es igul 8cm. Cuál es el áre del rectángulo? 6. En un cmping hy 0 vehículos entre coches y motos. Si se vn 0 coches, el número de coches y el número de motos es igul. Cuántos coches y motos hy en el cmping? 7. Un inversor, que tiene 8.000, coloc prte de su cpitl en un bnco l 8% y el resto en otro bnco l 6%. Si l primer prte le produce nulmente 00 más que l segund, cuánto coloco en cd bnco? 8. L superficie de un triángulo equilátero es de 50m. Clcul el ldo. 9. Un pís compr brriles de petróleo tres suministrdores distintos que lo venden 8, 7 y dólres el brril, respectivmente. L fctur totl sciende 6 millones de dólres. Si del primer suministrdor recibe el 0% del totl del petróleo comprdo, qué cntidd h comprdo cd suministrdor? 0. Un grnjero esper obtener 6 por l vent de huevos. En el cmino l mercdo se le rompen cutro docens. Pr obtener el mismo beneficio, ument en 0 5 el precio de l docen. Cuánts docens tení l principio?. Pepe y Olg hcen un trbjo en tres hors. Si Pepe lo hicier solo, trdrí hors. Cuánto tiempo trdrí Olg en hcerlo sol?. En un fábric de piensos se utilizn tres ingredientes, A, B y C, pr l elborción de limento pr el gndo. Se dispone de 90 tonelds de A, 90 de B y 70 de C, y se dese fbricr dos tipos de pienso M y M. Un toneld de pienso M requiere tonelds de A, de B y de C, y un toneld de M requiere toneld de A, de B y de C. Sbiendo que cd toneld de M, se vende 7 euros y cd un de M 6 euros. Cuánts tonelds de cd pienso M y M deben fcturrse pr obtener un beneficio máimo?. Un comercinte dese comprr dos tipos de frigoríficos, F y F. Los de tipo F cuestn 00 euros y los de tipo F, 500 euros. Sólo dispone de sitio pr 0 frigoríficos y de 7000 euros pr hcer ls comprs. Cuántos frigoríficos h de comprr de cd tipo pr obtener beneficios máimos con su vent

45 º Bchiller posterior, sbiendo que en cd frigorífico gn el 0% del precio de compr? CUESTIONES. Qué condición h de cumplir un ecución de º grdo pr que un de sus ríces se 0? Pon un ejemplo.. Tiene soluciones reles un ecución de º grdo cuyos coeficientes sen todos igules? Pon un ejemplo.. Un lumno dice que tod ecución de º grdo cuyo término independiente es negtivo tiene ríces reles. es cierto?. Si dos números son igules, sus cudrdos tmbién lo son, es cierto el recíproco? 5. Un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits, puede tener ectmente dos soluciones? Pon un ejemplo. 6. Determin pr que vlores de b l ecución b 9 0 tiene: ) Un solución. b) Dos soluciones. 7. Qué vlor h de tomr k pr que l ecución 6 k 0 teng un solución? 8. Escribe un ecución que teng por soluciones y Pr qué vlores de k tiene solución l ecución k 0? 5

46 º Bchiller UNIDAD : FUNCIONES -PROPIEDADES GLOBALES -OPERACIONES -FUNCIONES ELEMENTALES -INTERPOLACIÓN 6

47 º Bchiller OBJETIVOS DIDÁCTICOS En est unidd prenderás :. Anlizr si un gráfic es o no función.. Anlizr ls crcterístics de un función (dominio, imgen, simetrís, periodicidd, etremos bsolutos y reltivos, cotción y síntots) prtir de su gráfic.. Clculr dominios de un función prtir de su epresión nlític.. Clculr l simetrí de un función prtir de su epresión nlític. 5. Representr gráficmente funciones prtir de uns crcterístics. 6. Interpretr l evolución de un fenómeno socido su gráfic. 7. Operr con funciones dds por su epresión nlític. 8. Componer funciones dds por su epresión nlític. 9. Encontrr l función recíproc de otr dd. 0. Representr gráficmente funciones constntes, fines, lineles, cudrátics, rcionles del tipo k/, eponenciles, logrítmics y trigonométrics.. Reconocer ls fmilis de funciones elementles prtir de su epresión nlític o de su gráfic.. Determinr el polinomio interpoldor de grdo ó que se just un tbl de vlores ddos.. Interpolr y etrpolr vlores que no precen en l tbl de dtos conocidos. CONCEPTOS. Función: definición y epresión. Dominio y recorrido de un función.. Acotción. Etremos reltivos y bsolutos.. Simetrís, periodicidd y monotoní (crecimiento y decrecimiento). 5. Tendencis de un función. Asíntots. Rms infinits. 6. Sum, rest, producto y cociente de funciones. 7. Composición de funciones. 8. Función recíproc f - de un dd. 9. Funciones polinómics de grdo 0, y. 0. Funciones del tipo k/. Funciones eponenciles.. Funciones logrítmics.. Funciones trigonométrics.. Funciones definids trozos. 5. Interpolción linel y cudrátic. 6. Etrpolción Situciones reles, interpolción y etrpolción. 7

48 º Bchiller FUNCIONES. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Un función rel de vrible rel f es tod plicción de un subconjunto D R en R, entendiendo por plicción un correspondenci que soci cd elemento de D un único elemento de R. Se epres: f: D R y f() o simplemente y f(), donde es el origen o vrible independiente, e y es l imgen de medinte f o vrible dependiente. () () L gráfic () no es función pues eisten vlores de pr los que le corresponden vrios vlores de y, l gráfic () si es función pues pr cd vlor de eiste un único vlor de y. Ls funciones pueden venir dds medinte un fórmul mtemátic (lo que se denomin epresión nlític), medinte un tbl de vlores o bien medinte un gráfic. Dentro del primer grupo se encuentrn ls funciones trozos, que se crcterizn por contener vris epresiones mtemátics según el intervlo que se trte. Ejemplo f() < - - > 8

49 º Bchiller Actividd:. Cuáles de ls siguientes gráfics son funciones?. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.. Dominio de un función Es el conjunto de vlores que puede tomr l vrible independiente, pr los cules eiste un vlor de l vrible independiente y, es decir, eiste imgen medinte l función. Se escribe Dom(f) Anlíticmente:... Funciones polinómics n f ()... todos los vlores reles de dmiten imgen. Dom(f) R n Ejemplo 0 f() 5 Por ser un función polinómic Dom(f) R... Funciones rcionles P() Cocientes de polinomios: f (). No pertenecen l dominio quells que Q() nulen el denomindor (y que no tiene sentido dividir entre cero) Ejemplo 5. f() 6 0 Dom(f) R 6 { } 9

50 º Bchiller... Funciones irrcionles Se f() n g() ) Si n es pr: g() 0 (y que no tiene sentido hllr l ríz de índice pr de un número negtivo) Ejemplo. f() 0 Dom (f), 0. f () Relizmos un tbl pr sber dónde será positivo o igul cero el cociente: (- ) - (-) - (0) Dom (f) (, ) [ ), - 0 b) Si n es impr: Dom(f) Dom(g) Ejemplo f() Don (f) Dom( ) R y que es un función polinómic... Funciones eponenciles Se g() f(). Dom(f) Dom(g) Ejemplo: f() Dom(f) Dom l ser un función rcionl denomindor Dom(f) R 0 igul cero, 0 { }..5. Funciones logrítmics f()log (g()), entonces g()>0 puesto que no eisten logritmos de números negtivos ni de cero. 50

51 º Bchiller Ejemplo: f() log( 6) 6 > 0 > Dom(f) (, )..6. Funciones trozos En este cso, el dominio es l unión de los dominios de ls funciones que le componen, sin olvidr en que intervlos está definid cd un de ells. Actividd:. Clcul el dominio de ls siguientes funciones: 9 ) f() b) f() 5 8 c) f() 5 d) f() 5 e) f() f) f() log(5 8) g) f() f () 7 5 i) f() j) f() log( ) h) ( )( ) k) f() log( 5) l) f() 5 m) f () n) f() 5 Gráficmente: Cundo l función viene dd gráficmente pr clculr el dominio, simplemente plstmos l gráfic sobre el eje X. De est form, colocmos cd vlor de l imgen y sobre su origen, y sí tendrímos señldos los que tienen imgen, quedndo huecos en los que no tienen imgen... Recorrido de un función Es el conjunto de tods ls imágenes de l función f, es decir: Im(f) f()/ Dom(f) Cundo l función viene dd gráficmente pr clculr l imgen, simplemente plstmos l gráfic sobre el eje Y. 5

52 º Bchiller Actividd:. A prtir de l gráfic de ests funciones, indic cuál es su dominio de definición:. R ) ). R { }. R { 0} ) ). [, ) 5. [, ) 5) 6) 6. ( 0, ) 7. (.] 7) 8) 8. ( 0, ) 9. (, ) (, ) 9) 0) 0. R { }. [, ) ) ). [, ) 5

53 º Bchiller Actividd:. Relcion cd gráfic con su recorrido:. (.] ) ) 6). (.0] 5. R { } 5) 6. (.] 7. (,0) [, ) 7) 9) Y 8 6 8) 8. R { 0} 0) Y X 9. ( 0, ) 0. R. R { } ) X ). R { }. [ 0,). [, ) ) ) 5

54 º Bchiller. MONOTONÍA.. Funciones estrictmente crecientes y crecientes ) Un función es estrictmente creciente en un punto si eiste un entorno de, es decir un intervlo (-r,r), (-r,r) con < se cumple ( ) < f( ). (Es decir, en un intervlo pequeño lrededor del punto l umentr l f umente l y) b) Un función es creciente en un punto si eiste un entorno de, es decir un intervlo (-r,r), (-r,r) con < se cumple f() f( ). y y f() f() c b c b Estrictmente creciente en c creciente en c.. Funciones estrictmente decrecientes y decrecientes ) Un función es estrictmente decreciente en un punto si eiste un entorno de (-r,r), (-r,r) con < se cumple ( ) > f( ). (Es decir, f en un intervlo pequeño lrededor del punto l umentr l disminuye l y) b) Un función es decreciente en un punto si eiste un entorno de, es decir un intervlo (-r,r), (-r,r) con < se cumple f() f( ). y f() y f() c b c b Estrictmente decreciente en c decreciente en c 5

55 º Bchiller Ls funciones constntes son crecientes y decreciente l vez y que verificn mbs definiciones: y f() cte Un función será (estrictmente) creciente o (estrictmente) decreciente en un intervlo si lo es en cd punto del intervlo Actividd: 5. Anliz l monotoní de ls funciones que precen en l ctividd.. EXTREMOS RELATIVOS.. Máimo reltivo Un función f() lcnz un máimo reltivo en si su imgen f() es el myor vlor que tom l función en un intervlo lrededor del punto, es decir si eiste un intervlo lrededor de tl que: (-r,r) f() < f(),.. Mínimo reltivo Un función f() lcnz un mínimo reltivo en si su imgen f() es el menor vlor que tom l función en un intervlo lrededor del punto, es decir si eiste un intervlo lrededor de tl que: (-r,r), f() > f() es un máimo reltivo b es un mínimo reltivo b.. Máimo bsoluto Un función f() lcnz un máimo bsoluto en si f() es el myor vlor que tom l función en todo su dominio. 55

56 º Bchiller.. Mínimo bsoluto Un función f() lcnz un mínimo bsoluto en si f() es el menor vlor que tom l función en todo su dominio. Los etremos bsolutos son tmbién etremos reltivos. Actividd: 6. Anliz los etremos de ls funciones de l ctividd. 5. FUNCIONES ACOTADAS 5.. Función cotd superiormente Un función f() está cotd superiormente si tods ls imágenes son menores o igules que un número rel, es decir si y sólo si k R tl que f() k, Dom(f). K se llm cot superior y culquier vlor myor que k tmbién lo es. 5.. Función cotd inferiormente Un función f() está cotd inferiormente si tods ls imágenes son myores o igules que un número rel, es decir si y sólo si k R tl que f() k, Dom(f). K se llm cot inferior y culquier vlor menor que k tmbién lo es. Un función está cotd si lo está superior e inferiormente. Gráficmente si l función es cotd está contenid por completo en un bnd horizontl. Actividd: 7. Anliz l cotción de ls funciones de l ctividd. 6. FUNCIONES SIMÉTRICAS 6.. Respecto l eje Y Cd y su opuesto tienen l mism imgen, es decir f() f(-) Dom(f). Hblmos de función pr. 56

57 º Bchiller Ejemplo: Dd l función f (), vemos si present simetrí pr: f( ) ( ) ( ) f(), como f(-)f() l función es pr. 6.. Respecto l origen de coordends Cd y su opuesto tienen imágenes opuests, es decir, f() - f(-) Dom(f). Hblmos de funciones impres. Ejemplo: Dd l función f(), vemos si present simetrí impr: f( ) ( ) ( ) f() no es pr ( ) f() f( ) es impr ) No puede eistir simetrí respecto l eje X puesto que se contrdice con l definición de función l eigir que cd punto teng dos imágenes. b) Pueden eistir otros ejes o puntos de simetrí, de igul form que no tiene porqué eistir ningún tipo de simetrís. Actividd: 8. Anliz l simetrí de ls funciones de l ctividd. 9. Clcul l simetrí de ls siguientes funciones: 5 ) f() b) f() 5 c) d) g) f() e) f () 5 f() f) f() 5 5 f () 57

58 º Bchiller 7. TENDENCIAS DE UNA FUNCIÓN. ASÍNTOTAS. RAMAS INFINITAS ) Un función tiende hci un vlor constnte k cundo l umentr o disminuir los vlores de l indetermind, los correspondientes vlores de l vrible dependiente y se vn proimndo l vlor constnte k. Se epres de l siguiente form: Cundo tiende más infinito f() y tiende k. f() k Cundo tiende menos infinito f() y tiende k. f() k k f() k f() k L rect y k es un síntot horizontl. b) Si tiende un vlor constnte l función puede tender más o menos infinito, pueden drse los siguientes csos: f() f() f() f() L rect es un síntot verticl, en todos los csos. 58

59 º Bchiller c) Si tiende más o menos infinito, l función puede tender más o menos infinito. f() f() f() f() Actividd: 0. Anliz ls síntots de ls funciones de l ctividd. 8. FUNCIONES PERIÓDICAS Un función es periódic de periodo T, si T es el menor número rel que cumple f() f(t) Dom(f). Esto signific que l función se repite idénticmente en cd intervlo de mplitud T. Actividd: Dibuj un función periódic de periodo T y otr de periodo T.. Anliz ls funciones,, 0, y de l ctividd. (Dominio, Imgen, puntos de corte, monotoní, etremos, cotción, periodicidd y simetrí) 9. SUMA Y RESTA DE FUNCIONES 9.. Sum de funciones Dds dos funciones f() y g(), llmmos sum de f y g otr función (fg)() / (fg)() f()g(). El dominio de l sum es l intersección de los dominios. Ejemplo: Dds ls funciones f() 5, g(), entonces l función sum será: ( f g )() f() g() 5, el dominio será: Dom(f) R {} 0 59

60 º Bchiller * Si los dominios respectivos son disjuntos, no eiste l función sum. 9.. Función nul Se llm función nul f()0. Es el elemento neutro pr l sum de funciones. 9.. Función opuest Se llm función opuest de f y se escribe f l función: (-f)()-f() L gráfic de l función opuest es simétric respecto l eje X. 9.. Rest de funciones Dds dos funciones f() y g(), llmmos rest de f y g otr función (fg)(): (f-g)() f()-g(). Ejemplo: Dds ls funciones 0. PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES 0.. Producto de funciones f() 5, g(), entonces l función rest será: ( f g )() 5, el dominio será: Dom(f) R { 0} Dds dos funciones f y g, llmmos producto de f y g otr función f g : (f g)()f() g(). Ejemplo: Dds ls funciones f() 5, g(), entonces l función 5 multiplicción será: ( f g )(), el dominio será: Dom(f) R {} Función unidd Se llm función unidd f(). Es el elemento neutro pr el producto de funciones. 0.. Función invers Se llm función invers de f y se escribe /f l función (/f)()/f() El dominio de /f es: Dom(/f)Dom(f)-{/f()0} 60

61 º Bchiller Ejemplo: f() () > f > Cociente de funciones Dds dos funciones f y g, llmmos cociente de f y g otr función f/g: f f() () g g() El dominio de f/g es: Dom(f/g)Dom(f) Dom(g)-{/g()0}. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.. Función compuest Dds dos funciones f y g, llmmos función compuest y escribimos g o f l g f ()g f() función ( ) ( ) f g f() g(f()) ( go f )()g( f() ) Ejemplo: f() ( g f )()g( f() ) g 5 g()5 ( f g )()f ( g() ) f ( 5 ) 5 L composición NO cumple l propiedd conmuttiv, SI l socitiv: f g hf g h ( ) ( ).. Función identidd Se llm función identidd f(). Es el elemento neutro de l composición. f() g() ( g f )()g( f() ) g( ) ( f g )()f ( g() ) g( ) 6

62 º Bchiller. FUNCIÓN RECÍPROCA Dd un función f inyectiv, se llm función recíproc y se escribe f - l - función que cumple: f()y f (y) Se observ que Dom(f - ) Im(f) f()y y f - (y) Pr que eist f - es necesrio que f se inyectiv, es decir: f() f( ), o lo que es lo mismo: si f () f( ) puesto que si dos originles distintos tuviern l mism imgen, f - no podrí ser función. Ejemplo: Clculmos l función recíproc de f () ) f es inyectiv: f( ) f( )? b) Despejmos l : y y c) Intercmbimos por y: f () y * Ls gráfics de f y f - son simétrics respecto l bisectriz del er - er cudrntes y Actividd:. Sen f () y g(). Clcul: ) (fog)() b) (gof)() c) f - () d) f - () e) (f g)() f) (f g)(0) g) (f / g)() h) g - () 6

63 º Bchiller. FUNCIONES POLINÓMICAS Son quells de l form f ( ) n n... 0, donde 0,,..., n son números reles. Su dominio es R... De grdo cero n n Son de l form Dom(f) R Im(f) k. f ( ) k, donde k R. Se llmn funciones constntes. K f() k.. De grdo uno Son de l form f() b, 0, represent l pendiente de l rect y b l ordend en el origen, es decir ps por el punto (0,b) - y b se dice función fín - y se dice función linel. Dom(f) R, Im(f) R Pr representr un rect es necesrio conocer dos puntos y unirlos. >0 <0.. De grdo dos Son de l form f() b c, 0. Su gráfic es un prábol, si >0 está orientd hci rrib y si <0 está orientd hci bjo. El vértice de l prábol responde l epresión: (, y ) donde V 0 0 b 0. b L prábol es simétric respecto l rect y por ello pr dibujrl es suficiente situr el vértice y conocer medinte un tbl de vlores, lgún punto nterior y posterior. Puede cortr l eje X en dos, uno o ningún punto. 6