8 TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Transcripción

1 8 TRANFORMADA DE LAPLACE 8 TRANFORMADA DE LAPLACE INTRODUCCIÓN DEFINICIONE TRANFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONE ENCILLA TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN IMPULO: TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN PAO: TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN RAMPA: TRANFORMADA DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN: TRANFORMADA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: VALOR INICIAL Y FINAL DE f DEDUCIDO DE F VALOR INICIAL VALOR FINAL: REUMEN APLICACIÓN DE LA TRANFORMADA A LO CIRCUITO ELÉCTRICO TRANFORMANDO LA ECUACIONE DIFERENCIALE EXPREANDO LO CIRCUITO EN EL DOMINIO DE : MÉTODO PARA HALLAR UNA ANTITRANFORMADA TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: TRANFORMADA DE UNA FUNCIÓN DEPLAZADA EN EL TIEMPO TRANFORMADA DE gx f DONDE X E INDEPENDIENTE DE TRANFORMADA DE a f : TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN ENO: TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN COENO:

2 8.6.7 TRANFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: FRACCIONE PARCIALE: V CONIDEREMO EL CAO EN EL CUAL V u FUNCIÓN RAMPA: CAO ANTERIOR PERO CON o a qu la do raíc o igual EJEMPLO EJEMPLO

3 8. INTRODUCCIÓN. Exi mucho méodo para rolvr la cuacio difrcial d lo circuio, y poibl qu alguo d llo acomod mjor qu oro a ciro aálii ó a cira malidad. Pro l méodo d la raformada d Laplac i ua vaja a vid, y baa fudamo mamáico a impora ira, qu l qu uualm cog como méodo para l aálii y olució d a cuacio. Algua d la vaja d méodo o:. Opracioalm cillo d aplicar, proporcioa ao la olució aural como la forzada, y ayuda a corar y mplar corrcam lo valor iicial y fial codicio lími d la olucio.. baa la ri d Fourir y u raformada, qu o imprcidibl l llamado aálii dl domiio d la frcucia y l aálii faorial, lo cual mpla lo circuio d corri alra, ao l campo d la ala pocia como l d la comuicacio y l corol. 3. Proporcioa la mima cuació caracríica ó auxiliar qu ua oro méodo d olució d cuacio difrcial. D modo qu lo aálii logrado a parir d o méodo pud rpir fácilm mplado la raformada. Por la vaja arior, y ora o mcioada pro cai a impora, udiarmo la raformada d Laplac co ciro dimio. 9

4 Pro djamo para oro capíulo la fudamació mamáica, cocrádoo por ahora ólo la par opraiva, dcir, comzarmo a udiar la raformada d Laplac como ua impl hrramia para rolvr circuio lécrico. 8. DEFINICIONE Llamarmo variabl complja al úmro compljo digado por : α jw 8.. Cuya uidad o radia / gudo Ea variabl complja ua para lograr oda oidal amoriguada a parir d la cuació d Eulr: f A B * Dod * α E dcir, l cojugado d. jw, * Rmplazado α jw y α jw coidrado α como gaiva α < : α jw α jw f A B f, y Co A B : f A α jw jw Pro como: Tdrmo: ± jθ coθ ± j θ f A α co w 9

5 La gráfica para f da la figura 8... Obérv como la volv d a fució lía puada A α. Eoc α aocia a ua coa d amoriguamio, mira w aocia a la frcucia agular d oda oidal. Para obr a f, uvimo qu umar do fucio d la forma A : f A A A α jw α jw, Para lograr ora f, dbmo umar má fucio d la forma A. Como lo propuo Laplac, cualquir f, fíicam ralizabl, pud xprar como ua igral dida como ua uma d ifiiimal qu uma ifiia fucio d ipo, co ua ampliud, A, ifiiam pquña. Figura 8.. Dfiicio. f α j F d πj α j La fució F qu o da la forma d la ampliud ifiiimal : F [ f ] f d 93

6 α u valor qu prmi valuar la primra igral y ólo rquir r mayor qu ciro valor lími. Evidm, la arior o igua xplicació d la raformada d Laplac, y ólo prd dar ua pia d lo cocpo fudamal. La raformada d Laplac rmplaza ua f por ua uma ifiia igral d pquñíima fucio oidal amoriguada qu rula d umar la fucio complja F d, fucio complja qu o πj fució la variabl complja. Todo lo arior ólo comprd cuado udia co dimio la rlació d la raformada d Laplac co la ri d Fourir. Pro como o covi iroducir o ma ahora, pamo a uilizar la raformada, lo cual, al mo, o prmi comprdr como rabaja a raformada. 8.3 TRANFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONE ENCILLA 8.3. TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN IMPULO: F [ o ] u u d F u d u d o Dpué d dividir l irvalo d igració r - a y d a, obrvmo : u o cro para < <, para < <. Co a obrvacio, la igral quda: F u d d o o o 94

7 O a qu la primra igral rduc al ára d la fució impulo, qu la uidad, y la guda igral aula complam. obi l primr rulado orprd: la fució impulo i como raformada d Laplac a. E la figura rpimo la gráfica d la fució impulo, obr odo para qu l cocpo d u ára qud guro. Figura Traformada d la fució impulo TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN PAO: Aplicamo la dfiició d raformada, vr figura Figura Traformada d la fució pao. F [ ] u u d F u d d 9

8 Figura Traformada d la fució pao. Obérv como dividimo la igral do par, raado d guir lo mimo quma dl cao dl impulo. Ahora, obrvmo: E l irvalo < <, la fució val y o, como l impulo. E l irvalo < <, val, como l impulo, pro ahora l ára bajo la fució ula vr figura F F u d d El rulado arior o a vid como parc. Todo dpd d qu ga como lími a cro. Como α jw, lími rá vrdadro impr y cuado α a mayor qu cro α >. Ahora, α u parámro d libr cogcia, y lo podmo cogr mayor a cro para lograr l rulado apcido TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN RAMPA: Vr figura

9 Figura Traformada d la fució rampa. F [ ] u u d F d La cillz d a fució via qu la igral ga qu dividir vario igral, pro ahora la igral db hacr por par. v d u d d v d u d uv vdu udv d uv vdu udv Y como: d d vdu d uv d vu udv d udv 97

10 El primr érmio o i u lími vid, y dbmo rcurrir a la rgla d L Hopial: d d Lim Lim Lim d d Lo dmá érmio i i lími vid, ido l rulado fial: F [ u ] TRANFORMADA DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN: a: Hallmo [ f ] f f d coocida F [ ] [ f ] f f d F : Aprovchmo l méodo d la igral por par qu acabamo d vr l umral arior: v f d u d dv f d u [ f ] vdu uv udv f d [ f ] f f d 98

11 Ahora coidrmo l úlimo érmio: Y rcoocmo qu: F [ ] f d f f d D modo qu: [ f ] [ f ] f f F f F El primr érmio dl rulado i u lími o vid, pu u lími dpd d y d f?. O a, qu mo u produco cuyo primr facor id a cro, pro cuyo gudo facor dcoocmo u lími, pu dpd d la fució pcífica d qu ra. Por jmplo, ua fució como f, dría l icovi d qu l lími dl érmio mcioado ría ifiio. Aforuadam, podmo algar qu circuio la fucio db r fíicam ralizabl, y a rricció o prmi dchar a fucio ó modificarla para qu l lími d érmio d u rulado impr ulo. Acpado, oc, la ulidad d érmio: F f [ f ] Vmo como mpiza a aparcr, la aplicació d la raformada, lo valor iicial xplíciam xprado la cuacio. E fco, f ólo l valor d la fució f valuada -. Ea rfrcia xplícia a lo valor iicial la ñalábamo como ua 99

12 impora vaja d la raformada fr a oro méodo d olució d cuacio difrcial. Apliqumo rulado a alguo cao impl ilurado la figura Figura Traformada d la igral d ua fució. Eoc, por l orma d la raformada d u igral: Pro: u u u d igral d la fució pao [ u ] [ u ] u u [ ] u u y: [ u ] 3

13 u u d d Igral d la fució rampa. 3 [ u 3 ] [ ] u3 [ u 3 ] 3 3 u 3 u 4 u 3 d d 3 [ u ] [ ] 4 u 3 u Coiuado l proco, llgamo a ua cocluió imporaíima:! 8.3. TRANFORMADA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Acabamo d vr: F f [ f ] [ ] f f Pro: [ f ] [ f ] f 3

14 f d d f D dod: d d f [ ] f f Llamado f g d d g [ g ] g Acá ambié prgua xplíciam por l valor iicial d la fució. Al aplicar la raformada a la cuacio igro difrcial, corarmo qu o pid iformació obr lo valor iicial qu rquir la olució compla i qu gamo qu aalizar cual cia, como oro méodo. Pro odavía hay má iformació obr o valor, como mura l umral igui. 8.4 VALOR INICIAL Y FINAL DE f DEDUCIDO DE F VALOR INICIAL Vamo la úlima cuació dada, hacido g f : d d f [ f ] f F f Pu rcuérd qu: D dod: [ ] d d [ f ] d f f d F 3

15 d d f d F f Tommo ahora l lími, ambo mimbro: d Lim f d F f d Lim Como y o variabl idpdi d f d { F } f d Lim Lim Pro: Lim { F } Lim { F } Lim f f D modo qu la raformada o dará ua pia para la drmiació d lo valor iicial d la fucio VALOR FINAL: E lugar d omar l lími, ommo l lími : d Lim f d Lim F f d Como y o idpdi: d f d { F } f d Lim Lim Pro: 33

16 L im d f d d f f { F } f d Lim Lim { } { } f f f F f f f Lim F Lim f Lim { F } Rcuérd qu f Lim f REUMEN E buo prcaar d la imría qu hay o do úlimo rulado: f o F Lim f Lim Lim f f Lim { } { F } 8. APLICACIÓN DE LA TRANFORMADA A LO CIRCUITO ELÉCTRICO. 8.. TRANFORMANDO LA ECUACIONE DIFERENCIALE. E cao plaa la cuacio difrcial la forma ormal y aplica la raformada a a cuacio. Vamo u jmplo cillo. Para l circuio d la figura 8..., la cuació d malla : V ir L di d C id Ecuació qu podmo cribir: 34

17 ir L di d C id V Aplicado la dfiició d la raformada: ir L di id V d d C Llamado: I [ i ], V [ V ], i i d Y rcordado la raformada d la drivada d ua fució y la raformada d la igral d ua fució: I i RI L{ I i } V C Obmo ua cuació algbraica d la cual podmo dpjar I: i V Li I C R L C Para obr i dbmo hallar la airaformada d I, proco qu o hmo dicuido aú. Figura 8... Aplicació d la raformada a lo circuio lécrico. 3

18 8.. EXPREANDO LO CIRCUITO EN EL DOMINIO DE : Báicam coi aplicar la raformada a la cuacio idividual d lo lmo d lo circuio, y plaar la cuacio d Kirchhoff a la raformada d la fucio corri y volaj. Aplicado a forma al circuio d la figura 8..., obmo l circuio raformado d la figura 8... Figura 8... Aplicació d la raformada a lo circuio lécrico. Para l circuio raformado la cuació d malla quda: I i V RI LI Li C C i V Li I C R L C E lógico qu prmo la mima rpua obida a la raformació d la cuació difrcial; pro caigamo cua d la orm vaja qu i l circuio 36

19 raformado obr la raformació d la cuació difrcial. Por jmplo, l circuio raformado podmo aplicar odo lo orma d circuio qu hmo udiado para implificar o aclarar la olució, coa difícil d hacr la cuació raformada. La abla 8- o mura u rum d lo difr lmo lécrico y como raforma. TABLA 8. TRANFORMACIÓN DE LO ELEMENTO ELEMENTO ELEMENTO TRANFORMADO v Ri V RI v L di V LI Li d i v d C I i V C C 37

20 Tambié vamo la abla igui lo quival d Noro d lo raformado d la iducacia y la capacidad. Par faciliar la aimilació d o circuio, rcurd qu la iducacia y la capacidad o lmo dual, y, por lo ao, u circuio raformado rá dual, ambié parimo d la cuació dl codador: v C i d Traformádola: L v C I i V C C C [ ] [ ] L i d L i I v C Para la iducacia la cuació dual rá: i v d L Traformádola: L i L V v I L L [ ] L V i L [ ] L v d L v EQUIVALENTE THEVENIN EQUIVALENTE NORTON 38

21 Pro aú o hmo complado la olució dl circuio: ólo hmo obido la raformada d la rpua; o fala corar la airaformada, o a la fució l impo. 8.6 MÉTODO PARA HALLAR UNA ANTITRANFORMADA Podmo mplar do méodo:. Aplicar dircam la dfiició : F f π j α j [ ] α j F d Pro a igral cod uilza y dificulad qu ólo uprara coocido mucho má la auralza y l comporamio d, la variabl complja. Por lo ao, o mplarmo por l momo méodo.. Rcurrido a ua abla d raformada. E u procdimio imilar al uado Cálculo Igral para hallar cira igral cuado rcurr a ua abla d igral. La rlació f y F biuívoca, o a, qu a ua F corrpod u ola F y vicvra, por lo qu l procdimio d la abla d raformada válido complam. Parc, y lo, u rcuro óricam pobr l d rcurrir a ua abla para olucioar ua igral, por o raarmo d dar algua ida obr l cálculo dirco d la airaformada capíulo porior; pro por ahora o ira mucho má la olució d lo circuio y la irpració corrca d a 39

22 olució, para lo cual vaa aplicar la raformada d Laplac como u méodo implm opracioal. Ahora vamo la abla 8. la raformada qu mo haa l momo : TABLA 8. TRANFORMADA DE LA FUNCIONE. Nombr Gráfico d f f F Impulo u o Pao u Rampa u Uiaria gérica u! Igral d f f f d f F f Drivada d d d f f [ f ] f F f 3

23 8.6. TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: a a a a a a d d a a a a a Para qu lo arior a vrdad cario qu cumpla: a a La xprió arior ua forma qu mplarmo para rprar l lími d la xprió cuado id al ifiio, dcir: a a a Lim a agura qu l lími d a xprió cuado, cro, rcordado qu α jw y hacido α > a. E al cao: a a α jw a α jw L im a L im a L im a E u bu jmplo para raar d dr l papl dl parámro α la raformada d Laplac. E fco, comprd, oc, qu quir dcir cuado afirma qu α u parámro d libr cogcia, cuyo papl coguir qu f ga ua raformada. Para la fució a arior, f, dbmo cogr α mayor qu a, para lograr la raformada; pro obérv qu o impr poibl. 3

24 8.6. TRANFORMADA DE UNA FUNCIÓN DEPLAZADA EN EL TIEMPO. La ida d ua fució dplazada l impo ilura l figura Obérv qu o baa cambiar -, ido l dplazamio, para obr a fució dplazada lo qu db cumplir qu la fució dplazada a ua réplica fil d la f, pro dplazada, corrida como l ombr lo iiúa. E la figura 8.6.., mura la fució rampa,, y u fució dplazada. Figura Fució dplazada l impo. Figura Fució rampa dplazada l impo. Para viar rror acoumbra uar la fució pao para dar la corrca dfiició d a fucio. Aí la fució rampa ul xprar u. 3

25 E la figura , vmo como l produco d la fució ahora coidrada compla y la fució pao, o da la fució rampa qu hmo vido coidrado haa ahora. Figura La fució rampa por la fució pao. Uado la fució pao dplazada, u, ua fució dplazada qudaría vr figura : f u f dplazada Figura Ua fució dplazada l impo. i mbargo, a omclaura a vc complica xraordiariam la criura d algua xprio. Tao la complica qu ólo la vrmo cuado xia pligro d ambigüdad. 33

26 Pamo oc a calcular la raformada d ua fució dplazada: L [ f * u ] d f f * u d Para fcuar la úlima igral hacmo u cambio d variabl: f d [ f u ] f d Como d, l difrcial d ua coa cro, drmo: [ f u ] f d F E la igral dfiida dic, qu la variabl d igració muda, co lo cual quir afirmar qu u ombr la lra o lra qu la diga o i imporacia y o ifluy l rulado d la igral, como lo igui cao: x x 3 y z x dx y dy z dz y 3 z 3 z 3 Pu bi, la igral co f `, mo xacam la dfiició d la raformada d f, ólo qu la variabl rmplaza por la variabl. El rulado o dpd d i la variabl llama ó llama. 3 d 34

27 8.6.3 TRANFORMADA DE gx f DONDE X E INDEPENDIENTE DE. [ f g x ] f g x d g x f d g x F Obérv qu mimo procdimio pró co, pu idpdi d. E lugar d fx podmo colocar ua coa y obdrmo gral: [ Af ] A [ f ] AF TRANFORMADA DE a f : Apliqumo la dfiició: [ ] a a a f f d f d Hacmo l cambio d variabl: a a [ ] f f d F F a a [ ] a f F a a Evidm la raformada d u cao paricular d rulado cuado f u fució pao TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN ENO: Como ólo raamo la llamada raformada uilaral, qu rfir a fucio ula para < -, la fució o a la qu o rfrimo aquí ralidad : Au w Vr figura

28 Ua vz aclarado puo, apliqumo la fórmula d Eulr: jw jw A A A w j D lo cual: A jw Au w u j [ ] A u j jw Figura Fució o muliplicada por la fució pao. Como ya coocmo la raformada d coa a A A u jw j j a Baa qu ommo a jw y a jw la do raformada qu dividimo la raformada dl o: j jw j jw j jw jw A jw j w Aw w A A A jw jw [ A u w ] 36

29 8.6.6 TRANFORMADA DE LA FUNCIÓN COENO: raa, como l cao dl o, d la fució Au co w. Figura Fució coo por la fució pao. A jw A w u A jw u A A A jw jw jw jw jw jw A w [ u co ] TRANFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: E ma muy impora por r ua iroducció dd u puo d via poco uual al ma d la ri d Fourir. Vr figura Figura Fució priódica. raa d ua fució formada por par idéica qu rpi a irvalo igual idfiidam: 37

30 38,,... priodica f u f [ ] f priodica,,...,,... f u [ ] f,,...,,... F F Pro:...,,... Para obr a umaoria primro umamo haa u N ifiio. [ ] [ ] N Tomamo l lími cuado Lim [ ] f priodica F Coidramo qu la raformada via coiuy u bu acopio d hrramia qu o prmiirá rolvr u gra úmro d circuio. Pro la dbmo complar co la écica d la fraccio parcial, para qu ralm obgamo odo lo qu pramo d lla.

31 8.7 FRACCIONE PARCIALE: i rpaamo co cuidado l umral arior, vrmo qu, al lado d orma gral qu aplica a oda f, obuvimo raformada cuya forma gérica : m A ± a Aparm muy rrigido l campo d aplicació d a raformada ; pro ralidad, i coidramo qu oda xprió algbraica fiia pud rducir a la forma : Z, y qu i P facorizabl, a xprió rduc a : P Z 3... K, 3 vrmo qu podmo xpadir al xprió fraccio parcial : Z Z Z Z Z P Z i i i Z i i i, dod la Z o co a. Toda a fraccio parcial i forma muy parcida a la d la raformada qu hmo udiado, y poibl qu hallmo ura abla la airaformada corrpodi. Apliqumo é méodo a la raformada dl circuio R-L-C mjor, d la corri por l circuio qu hmo udiado a. K 39

32 i V Li C Z I P R L C V C CLi i I RC LC V C CLi i I RC CL CL CL Co: R R, ± L 4L CL Obmo: I V L i i CL Z Z Eudimo varia poibilidad circuio V E l circuio o hay fu d volaj; la úica xciació provi d la rgía almacada la L y la C. V i i I CL I A A A B B B A B A B 3

33 Como pud obrvar A y B o coa a drmiar qu iroduc voluariam. drmia, prciam, igualado cofici r la xprió Z origial y la obida al acar domiador comú la fraccio parcial: A B i A B i CL Obida la coa A y B, procdmo a corar la airaformada d la fraccio: [ I ] A B A B 8.7. CONIDEREMO EL CAO EN EL CUAL V u FUNCIÓN RAMPA: V i i I L CL A B C A A A B C A B B A A B A B Comparado cofici co la Z origial: C C A C C 3

34 3 L A CL i C B A A i C B A D la úlima r cuacio obmo la coa A, B y C, lo cual o prmi hallar la airaformada d I. [ ] I A B C A B C CAO ANTERIOR PERO CON o a qu la do raíc o igual C B A C B A CL i i L I V

35 I A A C i A A A C A B C i A B C CL A L B C C A Hallamo lo parámro A, B y C, procdmo a corar la airaformada: [ I ] A B C A B C Qudamo, óricam, capacidad d rolvr mucho circuio uilizado ólo la raformada via, impr y cuado apliqumo corrcam méodo d la fraccio parcial. 8.8 EJEMPLO EJEMPLO Rolvr l jmplo 7..3, uado la raformada d Laplac Tomamo la figura Figura Ejmplo. 33

36 Y co lo dao dl jmplo : R Ω, C f, L 3h. Y la rpua dl mimo jmplo: i, i 3 El circuio l domiio d, xpra como l circuio d la figura Figura Circuio dl jmplo l domiio d. La cuació d malla : R L I C I R L L R C C I

37 3 I A B A B A B 3 Dod: 3 3 B B A B A B A j A j j j B j j j j ,, ± ± Eoc: i A B

38 36 Amprio i j j j i j j i B A i j j j j Ejrcicio propuo: Vr apédic B.